1、1 （5 分）下列命题是真命题的是（ ） AxR，x20 Bx0R，20 Cx0R，x020 DxR，2x1 2 （5 分）i 是虚数单位，复数的虚部为（ ） A1+2i B2 C2i D2i 3 （5 分） “0x4”是“log2x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）长轴长为 8，以抛物线的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ） A B C D 5 （5 分）曲线 ye x 在点（0，1）处的切线方程为（ ） Ax+y+10 Bxy10 Cxy+10 Dx+y10 6 （5 分）如图，F1、F2是双曲线 C：的左、右焦点，过
2、 F2的 直线与双曲线 C 交于 A、B 两点若|AB|：|BF1|：|AF1|3：4：5，则双曲线的渐近线方 程为（ ） 第 2 页（共 21 页） Ay2x By2x Cyx Dyx 7（5分） 3男2女共5名同学站成一排合影， 则2名女生相邻且不站两端的不同排法有 （ ） A20 种 B24 种 C30 种 D40 种 8 （5 分）若（23x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a1+a2+a3+a6等于（ ） A4 B4 C64 D63 9 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y22x 的焦点，点 E 在射线上，线段 EF 的垂直平分线为直线 m，若 m 与 l 交于点，m 与抛物
3、线 C 交于点 P，则 PEQ 的面积为（ ） A2 B C D 10 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 AB，AA1的中点，则异面直线 C1M 与 BN 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 11 （5 分）已知 A，B 分别为椭圆 C：1（ab0）的左、右顶点，不同两点 P， Q 在椭圆 C 上，且关于 x 轴对称，设直线 AP，BQ 的斜率分别为 m，n，则当 +ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）函数 f（x）4lnxax+3 在两个不同的零点 x1，x2，函数 g（x）x2ax+
4、2 存 在两个不同的零点 x3，x4，且满足 x3x1x2x4，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，3） B （2，3） C （2，4e） D （3，4e） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若（mx+y）6展开式中 x3y3的系数为160，则 m 14 （5 分）已知 l 为双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线，l 与圆（xc） 2+y2a2（其中 c2a2+b2）相交于 A，B 两点，若|AB|a，则 C 离心率为 15 （5 分）如图，60的二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分
5、别在这个二面角的 两个半平面内，且都垂直于 AB，已知 AB4，AC6，BD8，则 CD 的长为 第 3 页（共 21 页） 16 （5 分）定义在区间（0，+）上函数 f（x）使不等式 2f（x）xf（x）3f（x）恒成 立， （f（x）为 f（x）的导数） ，则的取值范围 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知函数 f（x）x33ax1 在 x1 处取得极值 （1）求实数 a 的值； （2）当 x2，1时，求函数 f（x）的最小值 18 （12 分
6、）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，点 M 在抛物线上，且点 M 的横坐标 为 4，|MF|5 （1）求抛物线的方程； （2）设过焦点 F 且倾斜角为 45的 l 交抛物线于 A、B 两点，求线段 AB 的长 19 （12 分）从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活动 （1）求所选 3 人中恰有一名男生的概率； （2）求所选 3 人中男生人数 的分布列，并求 的期望 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，BCD90，AB2BC2CD4， 为等边三角形，且平面 PAB平面 ABCD，Q 为 PB 中点 （）求证：AQ平面 PBC； （）
7、求二面角 BPCD 的正弦值 第 4 页（共 21 页） 21 （12 分）平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+1（ab0）的离心率是， 抛物线 E：x22y 的焦点 F 是 C 的一个顶点 （）求椭圆 C 的方程； （）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M （i）求证：点 M 在定直线上； （ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求的最大 值及取得最大值时点 P 的坐标 22 （12 分）已知函
8、数 （ I）若 f（x）在（1，+）为增函数，求实数 a 的取值范围； （）当1a1 时，函数 f（x）在（1，+）上的最小值为 g（a） ，求 g（a）的值 域 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年湖南省衡阳八中高二（上）第二次月考数学试卷学年湖南省衡阳八中高二（上）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）下列命题是真命题的是（ ） Ax
9、R，x20 Bx0R，20 Cx0R，x020 DxR，2x1 【分析】举例说明命题 A、D 错误； 根据命题与它的否定一真一假，判断命题 B 错误； 根据平方数的定义判断命题 C 正确 【解答】解：对于 A，当 x0 时，x20，所以命题 A 错误； 对于 B，由xR，2x0 是真命题，所以它的否定命题是假命题，即 B 错误； 对于 C，x0R，x020，它是真命题，即 C 正确； 对于 D，x1 时，2 1 1，所以命题 D 错误 故选：C 【点评】本题考查了全称量词命题与存在量词命题的真假性判断问题，是基础题 2 （5 分）i 是虚数单位，复数的虚部为（ ） A1+2i B2 C2i D
10、2i 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求 【解答】解：， 则复数的虚部为：2 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （5 分） “0x4”是“log2x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 6 页（共 21 页） 【分析】根据 log2x1 得到 x 的范围，结合充分条件和要条件的定义即可得到结论 【解答】解：由 log2x1 得 0x2， 故“0x4”是“log2x1”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了对数不等式的解法，充分条件必要条件的定义，考查分析解
11、决问题 的能力和计算能力，属于基础题 4 （5 分）长轴长为 8，以抛物线的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ） A B C D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，然后求解椭圆的短轴长，然后 求解椭圆方程 【解答】解：长轴长为 8，所以 a4， 抛物线的焦点（0，3） ，所以 c3，则 b 椭圆的标准方程为： 故选：D 【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的 考查，中档题 5 （5 分）曲线 ye x 在点（0，1）处的切线方程为（ ） Ax+y+10 Bxy10 Cxy+10 Dx+y10 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x0
12、处的导数值，再由直线方程的斜截式得 答案 【解答】解：由 ye x，得 yex， 则 y|x01， 曲线 ye x 在点（0，1）处的切线方程为 yx+1 即 x+y10 故选：D 第 7 页（共 21 页） 【点评】本题考查利用导数研究过曲线某点处的切线方程，是基础题 6 （5 分）如图，F1、F2是双曲线 C：的左、右焦点，过 F2的 直线与双曲线 C 交于 A、B 两点若|AB|：|BF1|：|AF1|3：4：5，则双曲线的渐近线方 程为（ ） Ay2x By2x Cyx Dyx 【分析】设|AF2|t，|AB|3x，根据双曲线的定义算出 t3x，axRtABF1中算出 cosBAF1，
13、可得 cosF2AF1，在F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的渐近 线方程可得 【解答】解：设|AF2|t，|AB|3x，则|BF1|4x，|AF1|5x， 根据双曲线的定义，得|AF1|AF2|BF2|BF1|2a， 即 5xt（3x+t）4x2a，解之得 t3x，ax |AB|：|BF1|：|AF1|3：4：5，得ABF1是以 B 为直角的 Rt， cosBAF1，可得 cosF2AF1， F2AF1中，|F1F2|2|AF1|2+|AF2|22|AF1|AF2|cosF2AF1 25x2+9x225x3x（）52x2，可得|F1F2|2x， 即有 ax，cx，b2x， 则双曲线的渐近线方
14、程为 y2x 故选：A 第 8 页（共 21 页） 【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利 用余弦定理解三角形等知识，属于中档题 7（5分） 3男2女共5名同学站成一排合影， 则2名女生相邻且不站两端的不同排法有 （ ） A20 种 B24 种 C30 种 D40 种 【分析】根据题意，分 3 步进行分析：，将 2 名女生看成一个整体，考虑 2 人之间的 顺序，将 3 名男生排成一排，排好后，将 2 名女生整体安排在男生中间的 2 个 空位中，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： ，将 2 名女生看成一个整体，考虑 2 人
15、之间的顺序，有 A222 种情况， ，将 3 名男生排成一排，有 A336 种情况， ，排好后，将 2 名女生整体安排在男生中间的 2 个空位中，有 2 种情况； 则有 26224 种不同排法； 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 8 （5 分）若（23x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a1+a2+a3+a6等于（ ） A4 B4 C64 D63 【分析】分别令 x0，x1，可得要求式子的值 【解答】解：（23x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，令 x0，可得 a064， 再令 x1，可得 64+a1+a2+a3+a61，a1+a2+a
16、3+a663， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数 和常用的方法是赋值法，属于基础题 第 9 页（共 21 页） 9 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y22x 的焦点，点 E 在射线上，线段 EF 的垂直平分线为直线 m，若 m 与 l 交于点，m 与抛物线 C 交于点 P，则 PEQ 的面积为（ ） A2 B C D 【分析】求得抛物线的焦点，设 E（，t） ，t0，求得 EF 的中点和斜率，可得直线 m 的方程，求得 Q 的坐标，解方程可得 t2，直线 m 的方程，联立抛物线方程可得 P 的 坐标，运用三角形的面积公式计算可得PEQ 的
17、面积 【解答】解：F（，0）为抛物线 C：y22x 的焦点， 设 E（，t） ，t0，|EQ|t|， EF 的中点为（0，） ，EF 的斜率为t，直线 m 的方程为 yx+， m 与 l 交于点，可得+，解得 t2（舍去） ， 则直线 m 的方程为 yx+1， 联立抛物线方程 y22x，可得 y22（2y2） ，即 y2，x2，P（2，2） ， 可得PEQ 的面积为|EQ| （2+）|EQ|（2） 故选：C 【点评】本题考查抛物线的方程和应用，直线方程和抛物线方程联立求交点，考查方程 思想和运算能力，属于中档题 10 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 AB，AA
18、1的中点，则异面直线 C1M 与 BN 所成角的大小为（ ） 第 10 页（共 21 页） A30 B45 C60 D90 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出异面直线 C1M 与 BN 所成角的大小 【解答】解：正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 AB，AA1的中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2， C1（0，2，2） ，M（2，1，0） ，B（2，2，0） ，N（2，0，1） ， （2，
19、1，2） ，（0，2，1） ， 设异面直线 C1M 与 BN 所成角的大小为 ， 则 cos0， 90 异面直线 C1M 与 BN 所成角的大小为 90 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 11 （5 分）已知 A，B 分别为椭圆 C：1（ab0）的左、右顶点，不同两点 P， Q 在椭圆 C 上，且关于 x 轴对称，设直线 AP，BQ 的斜率分别为 m，n，则当 +ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 第 11 页（共 21 页） 【分析】设 P（x0，y0） ，
20、则 Q（x0，y0） ，y02A（a，0） ，B（a，0） ， 利用斜率计算公式肯定：mn，+ln|m|+ln|n|+ln ，令t1，则 f（t）+t+2lnt利用导数研究其单调性即可得出 【解答】解：设 P（x0，y0） ，则 Q（x0，y0） ， A（a，0） ，B（a，0） ， 则 m，n， mn， +， 令t1，则 f（t）+2lnt f（t）+1+t， 可知：当 t时，函数 f（t）取得最小值+2ln 2+1ln2 故选：D 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值， 考查了推理能力与计算能力，属于难题 12 （5 分）函数 f（x）4lnxax+
21、3 在两个不同的零点 x1，x2，函数 g（x）x2ax+2 存 在两个不同的零点 x3，x4，且满足 x3x1x2x4，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，3） B （2，3） 第 12 页（共 21 页） C （2，4e） D （3，4e） 【分析】令函数，函数，则 x1，x2为函数与函 数 ym 图象交点的横坐标，x3，x4为函数与函数 ym 图象交点的横坐标， 在同一坐标系中作出函数图象，观察即可得到答案 【解答】解：函数 f（x）4lnxax+3 的零点即为函数与函数 ym 图象 交点的横坐标， 函数 g（x）x2ax+2 的零点即为函数与函数 ym 图象交点的横坐标， ，令
22、m（x）0，则，当时，m（x）0， 当时，m（x）0，故， 由双勾函数性质可知，函数 h（x）在单调递增，在 单调递减， 在同一坐标系中作出图象如下图所示， 由图象可知，要使 x3x1x2x4，则需 故选：D 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，含参函数的零点可以先把参数分离出来， 再通过函数图象观察，本题主要是对数形结合思想的运用，属于中档题 第 13 页（共 21 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若（mx+y）6展开式中 x3y3的系数为160，则 m 2 【分析】由题意可得 m3C6316
23、0，解得即可 【解答】解：（mx+y）6展开式中 x3y3的系数为160， m3C63160， 解得 m2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解展开式的指定项的系数，属于公式 的基本应用 14 （5 分）已知 l 为双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线，l 与圆（xc） 2+y2a2（其中 c2a2+b2）相交于 A，B 两点，若|AB|a，则 C 离心率为 【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用体积推出 ab 关系式，然后求 解离心率即可 【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay0， 圆（xc）2+y2a2的圆心（c，0） ，半径
24、为：a， l 为双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线，l 与圆（xc）2+y2a2（其 中 c2a2+b2）相交于 A，B 两点，若|AB|a， 可得，可得 4b23a2， 可得 4（c2a2）3a2， 解得 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能 力 15 （5 分）如图，60的二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的 两个半平面内，且都垂直于 AB，已知 AB4，AC6，BD8，则 CD 的长为 第 14 页（共 21 页） 【分析】由已知可得，利用数量积的 性质即可得出 【解答】解：由条件，知， 所以+2
25、+2+2 62+42+82+268cos12068 所以 CD2 故答案为：2 【点评】本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是 解题的关键 16 （5 分）定义在区间（0，+）上函数 f（x）使不等式 2f（x）xf（x）3f（x）恒成 立， （f（x）为 f（x）的导数） ，则的取值范围 （4，8） 【分析】构造函数 g（x），h（x），根据函数的单调性判断出的 取值范围 【解答】解：因为 2f（x）xf（x）3f（x） ，x0，f（x）0， 构造函数 g（x），g（x），故 g（x）在（0，+）递 减， 可得 g（2）g（1） ，即，所以， 同理，构造函数 h
26、（x），h（x），故 h（x）在（0，+ ）递增， 故 h（2）h（1） ，即，所以， 故（4，8） 第 15 页（共 21 页） 【点评】考查用导数法判断函数的单调性和单调性的应用，中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知函数 f（x）x33ax1 在 x1 处取得极值 （1）求实数 a 的值； （2）当 x2，1时，求函数 f（x）的最小值 【分析】 （1）f（x）在 x1 处取得极值，则 f（1）0 可求出 a 的值； （2）求出函数在2，
27、1上的单调区间，从而得出函数的最小值； 【解答】解： （1）f（x）3x23a， 又函数 f（x）在 x1 处取得极值，则 f（1）33a0； 即 a1，此时 f（x）在（，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1， +）上单调递增； 所以当 a1 时满足条件； 所以 a1； （2）由（1）可知 f（x）在2，1上单调递增，1，1单调递减； 所以 当 x2，1时，函数 f（x）的最小值是 f（2） ，f（1）中的较小者； f（2）3，f（1）3； 故函数 f（x）的最小值为3 【点评】本题考查极值，函数最值，属于基础题 18 （12 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，点 M
28、 在抛物线上，且点 M 的横坐标 为 4，|MF|5 （1）求抛物线的方程； （2）设过焦点 F 且倾斜角为 45的 l 交抛物线于 A、B 两点，求线段 AB 的长 【分析】 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得 p，进而得 到所求抛物线方程； （2）写出直线 l 的方程，联立抛物线的方程，可得 x 的二次方程，运用韦达定理和弦长 公式，可得所求值 【解答】解： （1）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（，0） ，准线方程为 x， 点 M 的横坐标为 4，|MF|5，可得 4+5，解得 p2， 即抛物线的方程为 y24x； 第 16 页（共 21 页） （2）过
29、焦点 F（1，0）且倾斜角为 45的 l 的方程为 yx1， 联立抛物线方程 y24x 可得 x26x+10， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，可得 x1+x26， 则|AB|x1+x2+p6+28 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用 韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于基础题 19 （12 分）从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活动 （1）求所选 3 人中恰有一名男生的概率； （2）求所选 3 人中男生人数 的分布列，并求 的期望 【分析】 （1）从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人，共有种，
30、所选 3 人中 恰有一名男生，有种，故可求所选 3 人中恰有一名男生的概率； （2） 的可能取值为 0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到 的分布列与期望 【解答】解： （1）从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人，共有种，所选 3 人中恰有一名男生，有种，故所选 3 人中恰有一名男生的概率为 P； （2） 的可能取值为 0，1，2，3 P（0），P（1），P（2），P（3） 的分布列为 0 1 2 3 P 期望 E0+1+2+3 【点评】本题考查古典概型的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的 取值与含义是关键 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB
31、CD，BCD90，AB2BC2CD4， 为等边三角形，且平面 PAB平面 ABCD，Q 为 PB 中点 （）求证：AQ平面 PBC； 第 17 页（共 21 页） （）求二面角 BPCD 的正弦值 【分析】 （）根据条件可得出 ABBC，则 BC平面 PAB，又因为 PBAQ，所以 AQ 平面 PBC； （）取 AB 中点 O，则可证明 PO平面 ABCD，建立如图所示坐标系，求出平面 PBC 的一个法向量，进而可求出二面角的余弦值，从而得正弦值 【解答】解： （）因为 ABCD，BCD90，所以 ABBC， 又因为平面 PAB平面 ABCD，且平面 PAB平面 ABCDAB， 所以 BC平面
32、 PAB， 又因为 AQ平面 PAB，所以 BCAQ， 因为 Q 为 PB 中点，且PAB 为等边三角形，所以 PBAQ， 又因为 PBBCB，所以 AQ平面 PBC； （2）取 AB 中点为 O，连接 PO，因为PAB 为等边三角形，所以 POAB， 由平面 PAB平面 ABCD，因为 PO平面 PAB，所以 PO平面 ABCD， 所以 POOD，由 AB2BC2CD4，ABC90，则 ODBC，所以 ODAB， 以 AB 中点 O 为坐标原点，OD，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直 角坐标系， 所以 A（0，2，0） ，D（2，0，0） ，C（2，2，0） ，P（
33、0，0，2） ，B（0，2，0） ， 则（2，2，0） ，（2，0，2） ，（0，2，0） 因为 Q 为 PB 中点，所以 Q（0，1，） ， 由题可知，平面 PBC 的一个法向量为（0，3，） ， 设平面 PCD 的法向量 （x，y，z） ，由，得， 第 18 页（共 21 页） 取 z1，则 （，0，1） ， 所以 cos， 所以二面角 BPCD 的正弦值为； 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的的求法，建立空间直角坐标系是关键， 属于中档题 21 （12 分）平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+1（ab0）的离心率是， 抛物线 E：x22y 的焦点 F 是 C 的一个顶点 （
34、）求椭圆 C 的方程； （）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M （i）求证：点 M 在定直线上； （ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求的最大 值及取得最大值时点 P 的坐标 【分析】 （I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的 a，b，c 的关系， 解得 a，b，进而得到椭圆的方程； 第 19 页（共 21 页） （） （i）设 P（x0，y0） ，运用导数求得切线的斜率和方程，
35、代入椭圆方程，运用韦达 定理，可得中点 D 的坐标，求得 OD 的方程，再令 xx0，可得 y进而得到定直 线； （ii）由直线 l 的方程为 yx0xy0，令 x0，可得 G（0，y0） ，运用三角形的面积公 式， 可得 S1|FG|x0|x0 （+y0） ， S2|PM|x0|， 化简整理， 再 1+2x02 t（t1） ，整理可得 t 的二次方程，进而得到最大值及此时 P 的坐标 【解答】解： （I）由题意可得 e，抛物线 E：x22y 的焦点 F 为（0，） ， 即有 b，a2c2， 解得 a1，c， 可得椭圆的方程为 x2+4y21； （） （i）证明：设 P（x0，y0） ，可得
36、x022y0， 由 yx2的导数为 yx，即有切线的斜率为 x0， 则切线的方程为 yy0x0（xx0） ， 可化为 yx0xy0，代入椭圆方程， 可得（1+4x02）x28x0y0x+4y0210， 64x02y024（1+4x02） （4y021）0，可得 1+4x024y02 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 可得 x1+x2，即有中点 D（，） ， 直线 OD 的方程为 yx，可令 xx0，可得 y 即有点 M 在定直线 y上； （ii）直线 l 的方程为 yx0xy0，令 x0，可得 G（0，y0） ， 则 S1|FG|x0|x0 （+y0）x0（1+x02） ； S2|
37、PM|x0|（y0+） x0， 第 20 页（共 21 页） 则， 令 1+2x02t（t1） ，则 2+（）2+， 则当 t2，即 x0时，取得最大值， 此时点 P 的坐标为（，） 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考 查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简 整理的运算能力，属于难题 22 （12 分）已知函数 （ I）若 f（x）在（1，+）为增函数，求实数 a 的取值范围； （）当1a1 时，函数 f（x）在（1，+）上的最小值为 g（a） ，求 g（a）的值 域 【分析】 （）求出函数的导数，问题转化为（x2
38、）lnx+2x3a 在（1，+）上恒成 立，根据函数的单调性求出 a 的范围即可； （）根据函数的单调性求出 f（x）的最小值， 令 a （m） （m2）lnm+2m3， m（1，2） ， 可转化为求 在 m（1，2）上的值域，从而求出 g（a）的值域即可 【解答】解： （）f（x）（x2）lnx+2xa30 （x2）lnx+2x3a 在（1，+）上恒成立， 设在（1，+）为增函数； a1； （）， 可得 f（x）（x2）lnx+2xa3 在（1，+）上是增函数， 又 f（1）a10，f（2）a+10， 第 21 页（共 21 页） 则存在唯一实数 m（1，2） ，使得 f（m）0 即（m2）
39、lnm+2ma30 则有 x1，m）f（x）0f（x）在（1，m上递减； xm，+）f（x）0f（x）在m，+）上递增； 故当 xm 时，f（x）有最小值 则 f（x）的最小值， 又 a（m2）lnm+2m3，令 a（m）（m2）lnm+2m3，m（1，2） ， 求导得，故 a（m）在 m（1，2）上递增， 而 a（1）1，a（2）1， 故 a（1，1）可等价转化为 m（1，2） 故求 f（x）的最小值 g（a）的值域， 可转化为：求在 m（1，2）上的值域 易得在（1，2）上为减函数， 则其值域为 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题
