1、2019-2020 学年湖南省湘南教研联盟高二（上）第一次联考数学试卷 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共分，共 60 分） 分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1|2，Bx|log2x1，则 AB（ ） A （1，3） B （0，3） C （2，3） D （1，4） 2 （5 分）设向量 （2，m） ， （1，1） ，若 （ +2 ） ，则实数 m 等于（ ） A2 B4 C6 D3 3 （5 分）已知an是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3，a2成等差数列，则 q（ ） A1 或 B1 C D2 4 （5 分）已知 sin（+），则 cos（2）的
2、值等于（ ） A B C D 5 （5 分）若双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则该双曲线 C 的渐近 线方程为（ ） A By2x C Dy4x 6 （5 分）已知 m 为非零实数，则“1”是“m1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）下列命题中，真命题的是（ ） Ax（0，+） ，x21 Bx（1，+） ，lgxx Ca（0，+） ，a2a Da（0，+） ，x2+a1 对 xR 恒成立 8 （5 分）已知正数 a，b 满足 a+b3，则的最小值为（ ） A B C D 第 2 页（共 18 页） 9 （5 分）已知直线
3、yx+1 与双曲线交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点 M 的横坐标为 1，则该双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 10 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB2AD，以 A，B 为焦点的双曲线经过 C，D 两点，则此双 曲线的离心率为（ ） A B C D 11 （5 分）已知椭圆（ab0）的短轴长为 2，上顶点为 A，左顶点为 B，F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1AB 的面积为，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为（ ） A1，2 B C D1，4 12 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 M（x0，2） （）是 抛物线 C 上一点，以点
4、 M 为圆心的圆与直线 x交于 E，G 两点，若 sinMFG， 则抛物线 C 的方程是（ ） Ay2x By22x Cy24x Dy28x 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩 笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 14 （5 分）若命题“tR，t22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 15 （5 分）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，M 为抛物线 C 上一点，N（2，2） ，则|
5、MF|+|MN| 的取值范围为 16 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过 F2与 双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 P，若|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分第分第 17 题题 10 分，分，18-22 每题每题 12 分）分） 17 （10 分）已知命题 p：方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根；命题 q：2m+14 第 3 页（共 18 页） （1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若 pq 为真命题，pq 为假命题，求实数 m 的取值范围
6、 18 （12 分）设an是等差数列，a14，且 a2+5，a3+3，a4+1 成等比数列 （1）求an的通项公式 （2）求数列an的前 n 项和 Sn 19 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2cosC（acosB+bcosA）c （1）求 C； （2）若 c，a+b5，求ABC 的面积 20 （12 分）如图，M、N 是焦点为 F 的抛物线 y22px（p0）上两个不同的点，且线段 MN 中点 A 的横坐标为， （1）求|MF|+|NF|的值； （2）若 p2，直线 MN 与 x 轴交于点 B 点，求点 B 横坐标的取值范围 21 （12 分） 如图， 过
7、椭圆的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， 点 A 和点 B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，OPAB （1）求椭圆的离心率 e； （2） 过右焦点 F2作一条弦 QR， 使 QRAB 若F1QR 的面积为， 求椭圆的方程 22 （12 分）从抛物线 y236x 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段，垂足为 Q，点 M 是线段 PQ 上的一点，且满足 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； 第 4 页（共 18 页） （2）设直线 xmy+1（mR）与轨迹 c 交于 A，B 两点，T 为 C 上异于 A，B 的任意一 点，直线 AT，BT 分别与直线 x1 交于 D，E 两点，以 DE 为直径
8、的圆是否过 x 轴上 的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年湖南省湘南教研联盟高二（上）第一次联考数学学年湖南省湘南教研联盟高二（上）第一次联考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共分，共 60 分） 分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1|2，Bx|log2x1，则 AB（ ） A （1，3） B （0，3） C （2，3） D （1，4） 【分析】先分别求出集合 A，
9、B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x1|2x|1x3，Bx|log2x1x|x2， ABx|2x3（2，3） 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 2 （5 分）设向量 （2，m） ， （1，1） ，若 （ +2 ） ，则实数 m 等于（ ） A2 B4 C6 D3 【分析】运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，解方程即可得到 m 的值 【解答】解：向量 （2，m） ， （1，1） ， 若 （ +2 ） ，则 （ +2 ）0， 即为（1，1） （4，m2）0， 即有 4m+20，解得 m6 故选：C
10、【点评】本题考查向量的加减运算和向量数量积的坐标表示，考查方程思想，以及运算 能力，属于基础题 3 （5 分）已知an是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3，a2成等差数列，则 q（ ） A1 或 B1 C D2 【分析】由 a1，a3，a2成等差数列直接求解，由已知 a1，a3，a2成等差数列可得 4a2 4a1+a3，结合等比数列的通项公式可求公比 q 的值 【解答】解：a1，a3，a2成等差数列 第 6 页（共 18 页） 2a1q2a1+a1q q1 或 故选：A 【点评】 本题主要考查了等比数列的性质、 通项公式及等差数列的性质， 以及运算能力 属 基础题 4 （5 分）已知 si
11、n（+），则 cos（2）的值等于（ ） A B C D 【分析】 由已知利用诱导公式求得 cos， 再由诱导公式及二倍角的余弦求得 cos （2） 的值 【解答】解：由 sin（+），得cos，cos cos（2）cos212cos2 故选：A 【点评】本题考查利用诱导公式及倍角公式化简求值，是基础的计算题 5 （5 分）若双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则该双曲线 C 的渐近 线方程为（ ） A By2x C Dy4x 【分析】运用双曲线的离心率公式和 a，b，c 的关系，结合渐近线方程，即可得到所求 【解答】解：由题意可得 e， 即 ca， 则 b2a， 由渐近线方程 yx， 可得
12、 y2x 故选：B 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查离心率公式和基本量 a，b，c 的关 系，考查运算能力，属于基础题 第 7 页（共 18 页） 6 （5 分）已知 m 为非零实数，则“1”是“m1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求解分式不等式可得1 的解集，结合充分必要条件的判定得答案 【解答】解：由1，得0，即0， 解得：1m0 即由1 能够推出 m1，反之，由 m1，不一定得到1 “1”是“m1”的充分而不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查分式不等式的解法，是基础题 7 （5 分）下
13、列命题中，真命题的是（ ） Ax（0，+） ，x21 Bx（1，+） ，lgxx Ca（0，+） ，a2a Da（0，+） ，x2+a1 对 xR 恒成立 【分析】举出反例可判断 A，C，根据 ylgx 与 yx 的图象有且只有一个交点但在区 间（0，1）上，可判断 B，举出正例，可判断 D 【解答】解：x1，1，x21 不成立，故 A 是假命题； ylgx 与 yx 的图象有且只有一个交点但在区间（0，1）上， 故x（1，+） ，lgxx 是假命题； a（0，1，a2a 不成立，故 C 是假命题； a2（0，+） ，x2+a1 对 xR 恒成立，故 D 是真命题， 故选：D 【点评】本题以命
14、题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题，难度中档 8 （5 分）已知正数 a，b 满足 a+b3，则的最小值为（ ） A B C D 【分析】正数 a，b 满足 a+b3，则 a+b+14利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即 第 8 页（共 18 页） 可得出 【解答】解：正数 a，b 满足 a+b3，则 a+b+14 则a+（b+1）（）（1+4）（5+） （5+4）， 当且仅当即 a，b时原式有最小值 故选：A 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 9 （5 分）已知直线 yx+1 与双曲线交于 A，B 两点，且线段 AB
15、 的中点 M 的横坐标为 1，则该双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】联立直线与双曲线方程组成方程组，利用韦达定理，转化求解双曲线的离心率 即可 【解答】解：联立直线 yx+1 与双曲线可得： （b2a2）x2 2a2xa2a2b20， 线段 AB 的中点 M 的横坐标为 1，可得2，可得 3a2c2， e1，e， 故选：B 【点评】本题纠错双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，直线与双曲线的 位置关系的应用考查计算能力 10 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB2AD，以 A，B 为焦点的双曲线经过 C，D 两点，则此双 曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】设
16、出双曲线方程，通过点的坐标满足双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即 可 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：设双曲线方程为，由题意图象过点（c，c） ， 代入得， 由 e1，所以，故 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 11 （5 分）已知椭圆（ab0）的短轴长为 2，上顶点为 A，左顶点为 B，F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1AB 的面积为，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为（ ） A1，2 B C D1，4 【分析】根据F1AB 的面积和短轴长得出 a，b，c 的值，从而得出|PF1|的范围，得到 关于|PF1|的函数，从而求出答案
17、【解答】解：由 2b2 可得 b1，即 A（0，1） ， 又 F（c，0） ，B（a，0） ， ， 又 a2c21， a2，c |PF1|+|PF2|2a4， ， 2|PF1|2+， |PF1|（4|PF1|）（|PF1|2）2+4， 1|PF1|（4|PF1|）4 14 故选：D 【点评】本题考查哦了椭圆的性质，函数最值的计算，属于中档题 第 10 页（共 18 页） 12 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 M（x0，2） （）是 抛物线 C 上一点，以点 M 为圆心的圆与直线 x交于 E，G 两点，若 sinMFG， 则抛物线 C 的方程是（ ） Ay2x By
18、22x Cy24x Dy28x 【分析】根据点 M 在抛物线上和 sinMFG列方程组可解得 x0和 p 【解答】解：画出图形如右图所示，作 MDEG，垂足为 D，由题意得点 M（x0，2） ， （x0）在抛物线上，则 82px0， 由抛物线的性质，可知|DM|x0， 因为 sinMFG，所以|DM|MF|（x0+） ， 所以 x0（x0+） ，解得 x0p， 由解得 x0p2（舍去）或 x0o2 故抛物线 C 的方程为 y24x 故选：C 【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13
19、（5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩 笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 【分析】从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，基本事件总数 n10，取出的 第 11 页（共 18 页） 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m4，由此能求出取出的 2 支彩 笔中含有红色彩笔的概率 【解答】解：有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔， 基本事件总数 n10， 取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m4， 则取出的
20、 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基知识，考查运算求解能力， 是基础题 14 （5 分）若命题“tR，t22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 （， 1 【分析】命题“tR，t22ta0”是假命题，则tR，t22ta0 是真命题，可得 0 【解答】解：命题“tR，t22ta0”是假命题， 则tR，t22ta0 是真命题， 4+4a0，解得 a1 实数 a 的取值范围是（，1 故答案为： （，1 【点评】本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 15 （5 分）设抛物线
21、C：y24x 的焦点为 F，M 为抛物线 C 上一点，N（2，2） ，则|MF|+|MN| 的取值范围为 3，+） 【分析】根据抛物线定义可知 MF|xM+1，判断出当直线 MN 垂直抛物线准线时， |MF|+|MN|为最小，即可求出|MF|+|MN|的取值范围 【解答】解：抛物线 C：y24x 的焦点为 F（1，0） ，准线 x1 根据抛物线定义可知|MF|xM+1 当直线 MN 垂直抛物线准线时，|MF|+|MN|为最小，最小为 2+13， 第 12 页（共 18 页） |MF|+|MN|的取值范围为3，+） 故答案为：3，+） 【点评】本题主要考查了抛物线的应用当涉及抛物线上的点与焦点的
22、问题时，常需要 借助抛物线的定义来解决 16 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过 F2与 双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 P，若|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为 【分析】设过 F2与双曲线的一条渐近线 yx 平行的直线交双曲线于点 P，运用双曲线 的定义和条件可得|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，再由渐近线的斜率和余弦定理，结 合离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】解：设过 F2与双曲线的一条渐近线 yx 平行的直线交双曲线于点 P， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， 由|PF1|3|PF2|，可得|PF1|3
23、a，|PF2|a，|F1F2|2c， 由 tanF1F2P可得 cosF1F2P， 在三角形 PF1F2中，由余弦定理可得： |PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosF1F2P， 即有 9a2a2+4c22a2c， 化简可得，c23a2， 则双曲线的离心率 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以 及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题 三、解答题（本大三、解答题（本大题共题共 6 小题，共小题，共 70.0 分第分第 17 题题 10 分，分，18-22 每题每题 12 分）分） 17 （10 分）已知命
24、题 p：方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根；命题 q：2m+14 （1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； 第 13 页（共 18 页） （2）若 pq 为真命题，pq 为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）若 p 为真命题，则应有84m0，解得实数 m 的取值范围； （2）若 pq 为真命题，pq 为假命题，则 p，q 应一真一假，进而实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）若 p 为真命题，则应有84m0，（3 分） 解得 m2（4 分） （2）若 q 为真命题，则有 m+12，即 m1，（6 分） 因为 pq 为真命题，pq 为假命题， 则 p，q 应一真一
25、假（7 分） 当 p 真 q 假时，有，得 1m2；（10 分） 当 p 假 q 真时，有，无解（13 分） 综上，m 的取值范围是1，2） （14 分） 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，指数函数的 图象和性质，难度中档 18 （12 分）设an是等差数列，a14，且 a2+5，a3+3，a4+1 成等比数列 （1）求an的通项公式 （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）利用等比数列的关系列出方程求出公差，然后求解通项公式； （2）利用等差数列的前 n 项和的公式求解即可 【解答】解： （1）因为 a14，且 a2+5，a3+3，a4+1 成等
26、比数列， 所以（4+2d+3）2（4+d+5） （4+3d+1） ，解得 d2 所以 an4+2（n1）2n6 （2）因为 a14，an2n6，所以 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及数列求和，是基本知识的考查 19 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2cosC（acosB+bcosA）c （1）求 C； （2）若 c，a+b5，求ABC 的面积 【分析】 （1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公 式可得 2sinCcosCsinC， 第 14 页（共 18 页） 可得 cosC，即可得解 C 的值 （2）由已知及
27、余弦定理得 a2+b2ab7，由 a+b5，得 a2+b2+2ab25，联立解得 ab 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）由已知及正弦定理得，2cosC（sinAcosB+sinBcosA）sinC， 即 2cosCsin（A+B）sinC 故 2sinCcosCsinC， 可得 cosC， 所以 C （6 分） （2）由已知及（1）得：在ABC 中，C， 所以由余弦定理得 a2+b22abcosC7 即，（8 分） a+b5 得 a2+b2+2ab25， 由得 ab6，（10 分） 所以 即ABC 的面积为 ，（12 分） 【点评】本题
28、主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导 公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想， 属于基础题 20 （12 分）如图，M、N 是焦点为 F 的抛物线 y22px（p0）上两个不同的点，且线段 MN 中点 A 的横坐标为， （1）求|MF|+|NF|的值； （2）若 p2，直线 MN 与 x 轴交于点 B 点，求点 B 横坐标的取值范围 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （1）利用抛物线的定义，求|MF|+|NF|的值； （2）分类讨论，利用差法，即可求点 B 横坐标的取值范围 【解答】解： （1）设 M（x1，y1） ，N（x
29、2，y2） ，则 x1+x28p，|MF|x1+，|NF|x2+， |MF|+|NF|x1+x2+p8； （2）p2 时，y24x， 若直线 MN 斜率不存在，则 B（3，0） ； 若直线 MN 斜率存在，设 A（3，t） （t0） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 代入利用点差法，可得 y12y224（x1x2） kMN， 直线 MN 的方程为 yt（x3） ， B 的横坐标为 x3， 直线 MN 代入 y24x，可得 y22ty+2t2120 0 可得 0t212， x3（3，3） ， 点 B 横坐标的取值范围是（3，3 【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解
30、决问题的能力，属于中 档题 21 （12 分） 如图， 过椭圆的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， 点 A 和点 B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，OPAB （1）求椭圆的离心率 e； （2） 过右焦点 F2作一条弦 QR， 使 QRAB 若F1QR 的面积为， 求椭圆的方程 第 16 页（共 18 页） 【分析】 （1）由于 F1（c，0） ，且 OPAB，根据直线的斜率相等得到： kOPkAB解得：bc从而，即可求得椭圆的离心率 e； （2）由（1）知椭圆方程可化简为 x2+2y22b2易求直线 QR 的斜率为，故可设 直线 QR 的方程为： 将直线的方程代入椭圆的方程，消去 y
31、得到关于 x 的 一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得 b 值，从而解决问题 【解答】解： （1）F1（c，0） ， OPAB，kOPkAB， 解得：bc，故 （2）由（1）知椭圆方程可化简为 x2+2y22b2 易求直线 QR 的斜率为，故可设直线 QR 的方程为： 由消去 y 得：5x28bx+2b20 ， 于是F1QR的面积S ，b5因此椭圆的方程为 x2+2y250， 即 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，解题的关键是要求考生对 椭圆基础知识的熟练掌握 22 （12 分）从抛物线 y236x 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段，垂足为 Q，点 M 是
32、线段 PQ 上的一点，且满足 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）设直线 xmy+1（mR）与轨迹 c 交于 A，B 两点，T 为 C 上异于 A，B 的任意一 第 17 页（共 18 页） 点，直线 AT，BT 分别与直线 x1 交于 D，E 两点，以 DE 为直径的圆是否过 x 轴上 的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由 【分析】 （1）利用已知条件转化为抛物线的定义，即可求点 M 的轨迹 C 的方程 （2）设直线 xmy+1 与曲线 C 的交点坐标为 A（，y1） ，B（，y2） ，T（，y0） ， 由韦达定理和直线的斜率，可得直线 AT 的方程，即可
33、求出点 D，E 的坐标，根据向量的 数量积即可求出 【解答】解： （1）设 M（x，y） ，P（x0，y0） ，则点 Q 的坐标为（x0，0） 因为足 所以（xx0，yy0）2（x0x，y） 即 因为点 P 在抛物线 y236x 上 所以 y0236x0，即（3y）236x 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y24x （2）设直线 xmy+1 与曲线 C 的交点坐标为 A（，y1） ，B（，y2） ， 由得 y24my40 由韦达定理得 y1+y24m，y1y24 设点 T（，y0） ，则 kAT 所以直线 AT 的方程为 yy0（x） 令 x1，得点 D 的坐标为（1，） 同理可得点 E 的坐标为（1，） 如果以 DE 为直径的圆过 x 轴某一定点 N（n，0） ，则满足0 第 18 页（共 18 页） 因 为 （ 1 n ，） （ 1 n ，） （ 1+n ） 2+ 所以（1+n）2+0 即（1+n）2 40，解得 n1 或 n3 故以 DE 为直径的圆过 x 轴上的定点（1，0）和（3，0） 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以 及计算能力
