1、2018-2019 学年湖南省湘潭市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设命题 p：x0（0，+） ，x02x02，则p 为（ ） Ax0（0，+） ，x02x02 Bx（0，+） ，x2x2 Cx0（0，+） ，x02x02 Dx（0，+） ，x2x2 2 （5 分）椭圆1 的焦距为（ ） A2 B2 C D2 3 （5 分） “x2”是“x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
2、也不必要条件 4 （5 分） 已知 a， b， c 分别为ABC 内角 A， B， C 的对边， a2+c2b2ac， 则角 B （ ） A B C D 5 （5 分）若 ab0，cd0，则一定有（ ） Aa+cb+d Ba+cb+d C D 6 （5 分）已知等比数列an的公比为 q，a44，a7，则 q（ ） A2 B2 C D 7 （5 分）已知 x0，则 x+的最小值为（ ） A B1 C D 8 （5 分）已知点 A（0，1，0） ，B（1，0，1） ，C（2，1，1） ，P（x，0，z） ，若 PA 平面 ABC，则点 P 的坐标为（ ） A （1，0，2） B （1，0，2） C
3、 （1，0，2） D （2，0，1） 9 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为（ ） A3 B4 C4 D3 10 （5 分）在ABC 中，BAC30，BC2，AC2，则 AB（ ） 第 2 页（共 19 页） A4 B2 C4 或 2 D2 11 （5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，AA13，ABACBC2， 则 AA1与平面 AB1C1所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 12 （5 分）已知中心在坐标原点的椭圆 C1与双曲线 C2有公共焦点，且左，右焦点分别为 F1， F2， C1与 C2在第一象限的交点为 P，
4、 PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形， 若|PF1| 10，C1与 C2的离心率分别为 e1，e2，则 2e1+e2的取值范围是（ ） A （，+） B （，+） C （1，+） D （，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知向量 （3，2，5） ， （1，x，1） ，且8，则 x 的值为 14 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a4+a1010，则 S13 15 （5 分）若抛物线 y22px（p0）的焦点恰好是双曲线1 的右焦点，则 实数 p 的值为 16 （5 分）一批救灾物
5、资随 51 辆汽车从某市以 vkm/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路 线长 400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达 灾区，最少需要 h 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）设命题 p：xR，x2+2ax+a0，命题 q：4a21若命题 pq 为假命题，p q 为真命题，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，且 asinBbcosA0 （1）求角 A； （2）若 a，b3，求ABC 的面积
6、 19 （12 分）已知公差不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S20420，且 a2，a4，a8成 第 3 页（共 19 页） 等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：Tn 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，短轴的一个端点到右 焦点的距离为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l：yx+m 交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|，求 m 的值 21 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD4，四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形，DAB60，E 是 AD
7、的中点 （1）求证：BE平面 PAD； （2）求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 22 （12 分）已知 F 为抛物线 E：x22py（p0）的焦点，C（x0，1）为 E 上一点，且|CF| 2过 F 任作两条互相垂直的直线 l1，l2，分别交抛物线 E 于 P，Q 和 M，N 两点，A， B 分别为线段 PQ 和 MN 的中点 （1）求抛物线 E 的方程及点 C 的坐标； （2）试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由； （3）证明直线 AB 经过一个定点，求此定点的坐标，并求AOB 面积的最小值 第 4 页（共 19 页） 第 5 页（共 19 页） 201
8、8-2019 学年湖南省湘潭市高二（上）期末学年湖南省湘潭市高二（上）期末数学试卷（理科）数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设命题 p：x0（0，+） ，x02x02，则p 为（ ） Ax0（0，+） ，x02x02 Bx（0，+） ，x2x2 Cx0（0，+） ，x02x02 Dx（0，+） ，x2x2 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出即可
9、 【解答】解：命题 p：x0（0，+） ，x02x02， 则p 为x（0，+） ，x2x2 故选：D 【点评】本题考查了特称命题的否定应用问题，是基础题 2 （5 分）椭圆1 的焦距为（ ） A2 B2 C D2 【分析】根据题意，由椭圆的方程分析 a、b 的值，计算可得 c 的值，由焦距的定义分析 可得答案 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为1，其焦点在 y 轴上， 且 a，b，则 c， 则椭圆的焦距 2c2； 故选：A 【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意分析椭圆焦点的位置，属于基础题 3 （5 分） “x2”是“x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也
10、不必要条件 【分析】由 x1，我们不一定能得出 x2；x2 时，必然有 x1，故可得结论 【解答】解：由 x1，我们不一定能得出 x2，比如 x1.5，所以 x1 不是 x2 的充 第 6 页（共 19 页） 分条件； x21，由 x2，能得出 x1，x1 是 x2 的必要条件 x2 是 x1 的充分不必要条件 故选：A 【点评】四种条件的判断，定义法是基本方法，不成立时，列举反例即可 4 （5 分） 已知 a， b， c 分别为ABC 内角 A， B， C 的对边， a2+c2b2ac， 则角 B （ ） A B C D 【分析】利用余弦定理，求出 cosB，根据 B 的范围，即可得到结论
11、【解答】解：a2+c2b2ac， cosB， B（0，） B 故选：B 【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题 5 （5 分）若 ab0，cd0，则一定有（ ） Aa+cb+d Ba+cb+d C D 【分析】直接利用不等式的基本性质的应用求出结果 【解答】解：由于 cd0， 所以：， 进一步求出：， 由于：ab0， 则：， 即：， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型 第 7 页（共 19 页） 6 （5 分）已知等比数列an的公比为 q，a44，a7，则 q（ ） A2 B2 C D 【分析】
12、利用等比数列通项公式列出方程，能求出公比 【解答】解：等比数列an的公比为 q，a44，a7， ， q 故选：C 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 7 （5 分）已知 x0，则 x+的最小值为（ ） A B1 C D 【分析】 根据 x0 即可由基本不等式得出， 从而得出的最小值为 【解答】解：x0； ，当且仅当 x，即 x时取“” ； 的最小值为 故选：D 【点评】考查函数最值的定义及求法，根据基本不等式求函数最值的方法 8 （5 分）已知点 A（0，1，0） ，B（1，0，1） ，C（2，1，1） ，P（x，0，z） ，若 P
13、A 平面 ABC，则点 P 的坐标为（ ） A （1，0，2） B （1，0，2） C （1，0，2） D （2，0，1） 【分析】推导出（x，1，z） ，（1，1，1） ，（2，0，1） ，由 PA平面 ABC，得，由此能求出点 P 的坐标 【解答】解：点 A（0，1，0） ，B（1，0，1） ，C（2，1，1） ，P（x，0，z） ， （x，1，z） ，（1，1，1） ，（2，0，1） ， PA平面 ABC， 第 8 页（共 19 页） ， 解得 x1，z2， 点 P 的坐标为（1，0，2） 故选：C 【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能 力，是基础
14、题 9 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为（ ） A3 B4 C4 D3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出最大值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B 时，直线 y2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由，解得 B（2，0） ， 代入目标函数 z2x+y 得 z22+04 即目标函数 z2x+y 的最大值为 4 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是
15、解决此类问题的基本方法 10 （5 分）在ABC 中，BAC30，BC2，AC2，则 AB（ ） A4 B2 C4 或 2 D2 第 9 页（共 19 页） 【分析】由已知利用余弦定理可得 AB26AB+80，即可解得 AB 的值 【解答】解：BAC30，BC2，AC2， 由余弦定理：BC2AC2+AB22ABACcosBAC，22（2）2+AB22AB2 ，可得：AB26AB+80， 解得：AB4，或 2 故选：C 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 11 （5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，AA13，ABACBC2， 则 AA1与平
16、面 AB1C1所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】以 B 为原点，在平面 ABC 中，过 B 作 BC 的垂线为 x 轴，以 BC 为 y 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 AA1与平面 AB1C1所成角的大小 【解答】解：以 B 为原点，在平面 ABC 中，过 B 作 BC 的垂线为 x 轴， 以 BC 为 y 轴，BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（，1，0） ，A1（，3） ，B1（0，0，3） ， C1（0，2，3） ， （0，0，3） ，（0，2，0） ，（，3） ， 设平面 AB1C1的法向量 （x，y，z） ， 则，取
17、 z1，得 （，0，1） ， 设 AA1与平面 AB1C1所成角的大小为 ， 则 sin 30 第 10 页（共 19 页） AA1与平面 AB1C1所成角的大小为 30 故选：A 【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运 算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 12 （5 分）已知中心在坐标原点的椭圆 C1与双曲线 C2有公共焦点，且左，右焦点分别为 F1， F2， C1与 C2在第一象限的交点为 P， PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形， 若|PF1| 10，C1与 C2的离心率分别为 e1，e2，则 2e1+e2的取值范围是（ ） A （，+）
18、B （，+） C （1，+） D （，+） 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c，|PF1|m，|PF2|n， （mn） ，由条件可得 m 10，n2c，再由椭圆和双曲线的定义可得 a15+c，a25c， （c5） ，运用三角形的 三边关系求得 c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围 【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为 c，|PF1|m，|PF2|n， （mn） ， 由于PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10， 即有 m10，n2c， 由椭圆的定义可得 m+n2a1， 由双曲线的定义可得 mn2a2， 即有 a15+c，a25c， （c5） ， 再由三角形的两边之
19、和大于第三边，可得 2c+2c10， 可得 c，即有c5 由离心率公式可得 2e1+e2+1 15（+） ， 设 f（c）15（+） ，可知函数在（，5）为增函数，且当 c5 时，f（c） 第 11 页（共 19 页） +， f（x）f（）， 故 2e1+e2的取值范围是（，+） ， 故选：B 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边 关系，考查运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知向量 （3，2，5） ， （1，x，1） ，且8，则 x 的值为 8 【
20、分析】根据空间向量数量积的坐标运算列方程求出 x 的值 【解答】解：向量 （3，2，5） ， （1，x，1） ， 则3+2x58， 解得 x8， 即 x 的值为 8 故答案为：8 【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标表示与应用问题，是基础题 14 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a4+a1010，则 S13 65 【分析】由等差数列an的性质和利用求和公式即可得出 【解答】解：由等差数列an的性质可得：a4+a1010a1+a13， 则 S1365 故答案为：65 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 15 （5 分
21、）若抛物线 y22px（p0）的焦点恰好是双曲线1 的右焦点，则 实数 p 的值为 12 【分析】求出双曲线的右焦点为 F（6，0） ，该点也是抛物线的焦点，可得 6，即可 得到结果 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点坐标为（，0） ， 双曲线1，则 c216m+m+2036， 双曲线1 的右焦点为（6，0） ， 6， 即 p12， 故答案为：12 【点评】本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双 曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题 16 （5 分）一批救灾物资随 51 辆汽车从某市以 vkm/h 的速度匀
22、速直达灾区，已知两地公路 线长 400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达 灾区，最少需要 10 h 【分析】由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了 50 个km+400km 所用的时间，利用 基本不等式，即可得出结论 【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为 t 小时， 由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了 50 个km+400km 所用的时间， 因此，t+210 当且仅当，即 v80 时取“” 故这些汽车以 80km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少要 10 小时 故答案为：10 【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查利用数学知识解决实际问题
23、， 考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）设命题 p：xR，x2+2ax+a0，命题 q：4a21若命题 pq 为假命题，p q 为真命题，求实数 a 的取值范围 【分析】求出命题 p，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可 第 13 页（共 19 页） 【解答】解：若：xR，x2+2ax+a0， 则判别式4a24a0，得 0a1， 由 4a21 得 a2，得a， 若命题 pq 为假命题，pq 为真命题， 则 p，q 一个为真命题，
24、一个为假命题， 若 p 真 q 假，则得a1， 若 p 假 q 真，则得a0， 综上a0 或a1， 即实数 a 的取值范围是a0 或a1 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决 本题的关键注意要进行分类讨论 18 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，且 asinBbcosA0 （1）求角 A； （2）若 a，b3，求ABC 的面积 【分析】 （1）由正弦定理可得 sinAsinBsinBcosA，结合 sinB0，可求 tanA， 结合范围 0A，可求 A （2）由已知利用余弦定理可得 c23c40，解得 c 的值，根据三
25、角形面积公式即可计 算得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）asinBbcosA0 由正弦定理可得：sinAsinBsinBcosA， sinB0， sinAcosA，即 tanA， 0A， A6 分 第 14 页（共 19 页） （2）a，b3，A， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得：139+c22，可得：c23c4 0， 解得：c4， （负值舍去） ， SABCbcsinA312 分 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19 （12 分）已知公差不为零的等差数列an的前 n 项
26、和为 Sn，S20420，且 a2，a4，a8成 等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：Tn 【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的 中项性质可得首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得 bn（） ，由数列的裂 项相消求和，化简可得 Tn，再由不等式的性质，即可得证 【解答】解： （1）公差 d 不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S20420， 可得 20a1+190d420， a2，a4，a8成等比数列，可得 a42a2a8，即为（a1+3d）2
27、（a1+d） （a1+7d） ， 即为 a1d， 由可得 a1d2， 则 an2+2（n1）2n； （2）证明：bn（） ， 可得前 n 项和为 Tn（1+） （1） ， 由0，可得 Tn 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列中项性质，以及数列的裂 项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题 第 15 页（共 19 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，短轴的一个端点到右 焦点的距离为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l：yx+m 交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|，求 m 的值 【分析】 （1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离
28、为 2 可知 a2，进而利用离心率的值 计算即得结论； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立直线与椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次 方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出 【解答】解： （1）由题意可得， 解得：a2，b1， 椭圆 C 的方程为； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立 得 x2+2mx+2m220， x1+x22m，x1x22m22， |AB|x1x2|2m ， 解得 m1 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式，属于中档题 第 16 页（共 19 页） 21 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中
29、，平面 PAD平面 ABCD，PAPD4，四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形，DAB60，E 是 AD 的中点 （1）求证：BE平面 PAD； （2）求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 【分析】 （1） 连接 BD， 推导出 PEAD，PEBE，BEAD，由此能证明 BE平面 PAD （2）以 E 为原点，EA，EB，EP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出平面 PAB 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 【解答】证明： （1）连接 BD，由 PAPD2，E 是 AD 的中点，得 PEAD， 由平面 PAD平面 ABCD，可得 PE平面 ABC
30、D，PEBE， 又由于四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， A60， BEAD，BE平面 PAD（6 分） 解： （2）以 E 为原点，EA，EB，EP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， P（0，0，） ，A（1，0，0） ， B（0，0） ，C（2，0） ， （1，0，） ，（0，） ，（2，） ， 令平面 PAB 的法向量为 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （，1，1） ，（9 分） 同理可得平面 PBC 的一个法向量为 （0，1，1） ， 所以平面 PAB 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为： |cos ， |（12 分） 第 17 页（共 19 页） 【点评】本题
31、考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题 22 （12 分）已知 F 为抛物线 E：x22py（p0）的焦点，C（x0，1）为 E 上一点，且|CF| 2过 F 任作两条互相垂直的直线 l1，l2，分别交抛物线 E 于 P，Q 和 M，N 两点，A， B 分别为线段 PQ 和 MN 的中点 （1）求抛物线 E 的方程及点 C 的坐标； （2）试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由； （3）证明直线 AB 经过一个定点，求此定点的坐标，并求AOB 面积的最小值 【分析】 （1）
32、根据抛物线的性质和定义即可求出 p2，代值计算即可求出点 C 的坐标， （2）设直线 l1的方程为 ykx+1，k0，则直线 l2的方程为 yx+1，设 P（x1，y1） ， Q （x2， y2） ， M （x3， y3） ， N （x4， y4） ， 根据抛物线定义可得|PQ|y1+y2+2， |MN|y3+y4+2， 再分别联立方程组根据韦达定理可得|PQ|4+4k2， |MN|4+， 即可求出 ， （3）设 A（xA，yA） ，B（xB，yB） ，由（2）分别求出点 A，B 的坐标，求出直线 AB 的斜 率，写出直线方程，即可得到直线过定点（0，3） ，再根据两点之间的距离公式和点到直
33、第 18 页（共 19 页） 线的距离公式可得表示三角形面积，根据基本不等式即可求出最值 【解答】解： （1）抛物线 E：x22py（p0）的准线方程为 y， C（x0，1）为 E 上一点，且|CF|2， 1+2，即 p2， 抛物线方程为 x24y， 当 y1 时，x02， 即 C（2，1）或 C（2，1） （2）由（1）可得 F（0，1） ， 设直线 l1的方程为 ykx+1，k0，则直线 l2的方程为 yx+1， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，M（x3，y3） ，N（x4，y4） ， |PQ|y1+y2+2，|MN|y3+y4+2， 由，分别消 x 可得，y2（2+4k2）y
34、+10，k2y2（4+2k2）y+k2 0， y1+y22+4k2，y3+y42+ |PQ|4+4k2，|MN|4+ +， 故是为定值，定值为 （3）设 A（xA，yA） ，B（xB，yB） ， A，B 分别为线段 PQ 和 MN 的中点， 由（2）可得 yA（y1+y2）1+2k2，yB（y3+y4）1+， xA2k，xB， 则直线 AB 的斜率为k， 第 19 页（共 19 页） 直线 AB 的方程为 y（1+2k2）（x2k） ，即 yx+3， 直线 AB 过定点（0，3） ， |AB|2（k+） 点（0，0）到直线 yx+3 的距离 d， SAOB|AB|d3（k+）326，当且仅当 k1 时取等号 故AOB 面积的最小值为 6 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线是否过定点坐标的判断与求法，考查直线 与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用，三角形的面 积，基本不等式，属于中档题
