1、 2020 年年 4 月杭州市统测模拟数学月杭州市统测模拟数学 一、选择题：一、选择题：（本大题共（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知 R 为实数集，集合 Ax|y1g（x+3），Bx|x2，则R（AB）（ ） Ax|x3 Bx|x3 Cx|x3 Dx|2x3 2复数 = 5+上的虚部为（ ） A 5 26 B 5 26 C 5 26 D 5 26 3已知实数 x，y 满足线性约束条件 1 + 0 + 2 0 ，则 z2x+y 的最小值为（ ） A1 B1 C5 D5 4已知公比为 q 的等比数列an的首项 a10，则“q1”是“a5a3”的（
2、） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 （ ） A6 B20 3 C7 D22 3 6已知函数 f（x）sinx3(0，xR）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公 差为 2的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 3个单位，横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数 g（x）的图象，则下列关于函数 g（x）的命题中正确的是（ ） A函数 g（x）是奇函数 Bg（x）的图象关于直线 = 6对称 Cg（x）在 3 ， 3上是增函数 D当 6 ， 6时，函数 g（x）的值域是0，
3、2 7如图为我国数学家赵爽 （约 3 世纪初）在为周髀算经 作注时验证勾股定理的示意图， 现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色 不同，则 A、C 区域涂色不相同的概率为（ ） A1 7 B2 7 C3 7 D4 7 8下列函数图象中，函数 f（x）xe|x|（Z）的图象不可能的是（ ） A B C D 9设点 M 是棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AD 的中点，点 P 在面 BCC1B1所在 的平面内， 若平面 D1PM 分别与平面 ABCD 和平面 BCC1B1所成的锐二面角相等， 则点 P 到点 C1的最短距离是（ ） A
4、25 5 B 2 2 C1 D 6 3 10函数 f（x）4lnxax+3 在两个不同的零点 x1，x2，函数 g（x）x2ax+2 存在两个 不同的零点 x3，x4，且满足 x3x1x2x4，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，3） B （22，3） C （22，4e ;1 4） D （3，4e ;1 4） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分.） 11 （6 分）已知直线 l1：ax+2y30 和直线 l2： （1a）x+y+10若 l1l2，则实数 a 的 值为 ；若
5、l1l2，则实数 a 的值为 12（6 分） 随机变量 X 的取值为 0、 1、 2， P （X0） 0.2， DX0.4， 则 P （X1） ； 若 Y2X，则 DY 13（6 分） 已知( + 1 )(2 + 1) 5 （a0） ， 若展开式中各项的系数和为 81， 则 a ， 展开式中常数项为 14 （6 分）已知椭圆 M： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，双曲线 N： 2 2 2 2 =1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭 圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 15已知单位向量 ， ，两两的夹角均为 （0，
6、且 2） ，若空间向量 满足 = + + (， )，则有序实数组（x，y，z）称为向量 在“仿射”坐标 系 Oxyz（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作 = (，)有下列命题： 已知 = (1，3， 2)， = (4，0，2)，则 =0； 已知 = (，0) 3， = (0，0，) 3其中 xyz0，则当且仅当 xy 时，向量 ， 的 夹角取得最小值； 已 知 = (1，1，1)， = (2，2，2)，则 + = (1+ 2，1+ 2，1+ 2)； 已知 = (1，0，0) 3， = (0，1，0) 3， = (0，0，1) 3，则三棱锥 OABC 的 表面积 S= 2，其中真命题有 （写
7、出所有真命题的序号） 16已知 、 、2 是平面内三个单位向量，若 ，则| + 4 | + 2|3 + 2 |的最小值 是 17设 aR，若不等式|3+ 1 | + |3 1 | + 4 8恒成立，则实数 a 的取值范围 是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.） 18在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin（A 3） （1）求 A； （2）D 是线段 BC 上的点，若 ADBD2，CD3，求ADC 的面积 19 （15 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB4，AD2，点 E 是 DC 的中点，将ADE
8、 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，连结 DB、DC、EB （1）求证：平面 ADE平面 BDE； （2）求 AD 与平面 BDC 所成角的正弦值 20 （15 分）已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 an2+2an4Sn1（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn= +1 212+1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的取值范围 21 （15 分）已知直线 x2 上有一动点 Q，过点 Q 作直线 l，垂直于 y 轴，动点 P 在 l1 上，且满足 = 0（O 为坐标原点） ，记点 P 的轨迹为 C来源:学科网 ZXXK （1）求曲线 C 的方程； （
9、2）已知定点 M（ 1 2，0） ，N（ 1 2，0） ，点 A 为曲线 C 上一点，直线 AM 交曲线 C 于 另一点 B，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D，求MBD 的内切圆半 径 r 的取值范围 22 （15 分）已知函数 f（x）xlnx （1）求 f（x）的单调区间与极值； （2）若不等式(2+ 3 2) +3 2 0对任意 x1，3恒成立，求正实数 的取值范 围 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知 R 为实数集，集合 Ax|y1g（x+3），Bx|x2，则R（AB
10、）（ ） Ax|x3 Bx|x3 Cx|x3 Dx|2x3 分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB，从而能求出R（AB） R 为实数集，Ax|ylg（x+3）x|x3，Bx|x2， ABx|x3， R（AB）x|x3 故选：C 本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是基础题 2复数 = 5+上的虚部为（ ） A 5 26 B 5 26 C 5 26 D 5 26来源:学科网 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 = 5+ = (5) (5+)(5) = 1 26 + 5 26 ， 复数 = 5+上的虚部为 5 26 故选：A 本
11、题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知实数 x，y 满足线性约束条件 1 + 0 + 2 0 ，则 z2x+y 的最小值为（ ） A1 B1 C5 D5 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可 绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即：z2x+y，其中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最 小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程： = 1 + = 1，可得点的坐标为：A（1，1） ， 据此可知目标函数的最小值为：z2x+y211 故选：B 本题考查了线性规划的问题，关键是
12、画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础 题 4已知公比为 q 的等比数列an的首项 a10，则“q1”是“a5a3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 利用等比数列的通项公式及其单调性即可判断出结论 依题可知5 3= 3(2 1)0，a10，a30，q1 或 q1， 故选：A 本题考查了等比数列的通项公式及其单调性， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5 一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 （ ） A6 B20 3 C7 D22 3 好像几何体的直观图，利用三视图是数据，转化求解几何体的体积即可
13、由题意， 该几何体是由一个边长为 2 的正方体截去一个底面积为 1， 高为 2 的一个三棱锥 所得的几何体，如图， 所以 V23 1 3 1 2 2 1 2 = 22 3 ， 故选：D 本题考查三视图求解几何体的体积，画出几何体的直观图是解题的关键 6已知函数 f（x）sinx3(0，xR）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公 差为 2的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 3个单位，横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数 g（x）的图象，则下列关于函数 g（x）的命题中正确的是（ ） A函数 g（x）是奇函数 Bg（x）的图象关于直线 = 6对称 Cg（x）在 3 ， 3上是增函
14、数 D当 6 ， 6时，函数 g（x）的值域是0，2 先根据题意化简函数， 然后根据题意求出周期， 然后根据变换求出 g （x） ， 然后判断选项 f（x）sinx3 =2sin（ 3） ， 由题意知函数周期为 ， 则 = = 2 ，2， 从而 f（x）2sin（2 3） ， 把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 3个单位，横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数 g（x） 2sin（ + 3） ， g（x）不是奇函数，A 错； g（x）在 3 ， 6是单调递增，C 错； 6 ， 6时，函数 g（x）的值域是1，2，D 错； g（x）的图象关于直线 = 6对称，B 对； 只有选项 B 正确， 故
15、选：B 本题考查三角函数，图象的变换，以及图象的性质，属于中档题来源:学+科+网 7如图为我国数学家赵爽 （约 3 世纪初）在为周髀算经 作注时验证勾股定理的示意图， 现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色 不同，则 A、C 区域涂色不相同的概率为（ ） A1 7 B2 7 C 3 7 D4 7 提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色， 相邻区域颜色不同， 利用分步计数原理求出不同的涂色方案有 420 种，其中，A、C 区域涂色不相同的情况有 240 种，由此能求出 A、C 区域涂色不相同的概率 提供 5 种颜色给其中
16、 5 个小区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色， 相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设 5 个区域依次为 A、B、C、D、E，分 4 步进行分析： ，对于区域 A，有 5 种颜色可选； ，对于区域 B，与 A 区域相邻，有 4 种颜色可选； ，对于区域 E，与 A、B 区域相邻，有 3 种颜色可选； ，对于区域 D、C，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 3 种颜色可选， 若 D 与 B 颜色不相同，D 区域有 2 种颜色可选，C 区域有 2 种颜色可选， 则区域 D、C 有 3+227 种选择， 则不同的涂色方案有 5437420 种， 其中，A、C 区域涂色不相同的情况有： 若 A，C
17、 不同色，则 ABCE 两两不同色，涂色方案有 5432 种， 涂 D 时只要和 AEC 不同色即可，有 2 种，故共有 240 种， A、C 区域涂色不相同的概率为 p= 240 420 = 4 7 故选：D 本题考查概率的求法，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 8下列函数图象中，函数 f（x）xe|x|（Z）的图象不可能的是（ ） A B C D 结合函数定义域，奇偶性以及幂函数的性质分别进行判断即可 A 图象中函数的定义域为 R，函数是偶函数，则 为正偶数时，满足对应图象， B 图象中函数的定义域为x|x0，函数是偶函数，则 为负偶数时，满足对应图象， C 图象中函
18、数的定义域为 R，函数是奇函数，则 为正奇数，函数为增函数，且递增的 速度越来越快，故 C 不满足条件 D 图象中函数的定义域为 R，函数是奇函数，则 为正奇数，函数为增函数，且递增的 速度越来越快，故 D 满足条件 故选：C 本题主要考查函数图象的识别和判断结合函数的定义域，奇偶性，得到 是奇偶数是 解决本题的关键难度中等 9设点 M 是棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AD 的中点，点 P 在面 BCC1B1所在 的平面内， 若平面 D1PM 分别与平面 ABCD 和平面 BCC1B1所成的锐二面角相等， 则点 P 到点 C1的最短距离是（ ） A25 5 B 2 2 C
19、1 D 6 3 过点 P 作 D1M 的平行线交 BC 于点 Q、交 B1C1于点 E，连接 MQ，则 PN 是平面 D1PM 与平面 BCC1B1的交线，MN 是平面 D1PM 与平面 ABCD 的交线，EF 与 BB1平行，交 BC 于点 F，过点 F 作 FG 垂直 MQ 于点 G，推导出点 E 一定是 B1C1的中点，从而点 P 到点 C1的最短距离是点 C1到直线 BE 的距离，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 P 到点 C1的最短距离 如图，过点 P 作 D1M 的平行线交 BC 于点 Q、交 B1C1于点
20、 E，连接 MQ， 则 PQ 是平面 D1PM 与平面 BCC1B1的交线，MQ 是平面 D1PM 与平面 ABCD 的交线 EF 与 BB1平行，交 BC 于点 F，过点 F 作 FG 垂直 MQ 于点 G，则有，MQ 与平面 EFG 垂直， 所以，EG 与 MQ 垂直，即角 EGF 是平面 D1PM 与平面 ABCD 的夹角的平面角， 且 sinEGF= ， 来源:Zxxk.Com MN 与 CD 平行交 BC 于点 N，过点 N 作 NH 垂直 EQ 于点 H， 同上有：sinMHN= ，且有EGFMHN，又因为 EFMNAB，故 EGMH， 而 2SEMQEGMQMHEQ，故 MQEQ
21、， 而四边形 EQMD1一定是平行四边形，故它还是菱形，即点 E 一定是 B1C1的中点， 点 P 到点 C1的最短距离是点 C1到直线 BE 的距离， 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， E（2，1，2） ，B（2，0，0） ，C1（2，2，2） ， =（0，1，2） ，1 =（0，2，2） ， 点 P 到点 C1的最短距离： d|1 |1 ( | 1 | | |1 | )2=22 1 ( 6 58) 2 = 25 5 故选：A 本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象 能力，考查化归与转化思想、数形
22、结合思想，是中档题 10函数 f（x）4lnxax+3 在两个不同的零点 x1，x2，函数 g（x）x2ax+2 存在两个 不同的零点 x3，x4，且满足 x3x1x2x4，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，3） B （22，3） C （22，4e ;1 4） D （3，4e ;1 4） 令函数() = 4+3 ，函数() = + 2 ，则 x1，x2 为函数() = 4+3 与函数 ym 图象交点的横坐标，x3，x4为函数() = + 2 与函数 ym 图象交点的横坐标，在同一 坐标系中作出函数图象，观察即可得到答案 函数 f （x） 4lnxax+3 的零点即为函数() = 4+3
23、 与函数 ym 图象交点的横坐标， 函数 g（x）x2ax+2 的零点即为函数() = + 2 与函数 ym 图象交点的横坐标， () = 4(4+3) 2 ， 令 m （x） 0， 则 = 1 4， 当0 1 4时， m （x） 0， 当 1 4时， m（x）0，故()= ( 1 4) = 4; 1 4， 由双勾函数性质可知，函数 h（x）在(， 2)，(2，+ )单调递增，在 (2，0)，(0，2)单调递减， 在同一坐标系中作出图象如下图所示， 由图象可知，要使 x3x1x2x4，则需34; 1 4 故选：D 本题考查函数零点与方程根的关系，含参函数的零点可以先把参数分离出来，再通过函 数
24、图象观察，本题主要是对数形结合思想的运用，属于中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分.） 11 （6 分）已知直线 l1：ax+2y30 和直线 l2： （1a）x+y+10若 l1l2，则实数 a 的 值为 1 或 2 ；若 l1l2，则实数 a 的值为 2 3 根据两直线垂直和平行时的条件，列方程求出 a 的值 直线 l1：ax+2y30 和直线 l2： （1a）x+y+10； 当 l1l2时，a（1a）+210， 化简得 a2a20， 解得 a1 或 a2； 当 l1l
25、2时，a2（1a）0， 解得 a= 2 3 故答案为：1 或 2，2 3 本题考查了利用直线方程判断两直线平行或垂直的应用问题，是基础题 12（6 分） 随机变量 X 的取值为 0、 1、 2， P （X0） 0.2， DX0.4， 则 P （X1） 0.6 ； 若 Y2X，则 DY 1.6 设 P（X1）x，则 P（X2）0.8x，0x0.8，则 EX00.2+x+2（0.8x） 1.6x，通过 DX，解得 x，由此能求出 P（X1）以及 DY 随机变量 X 的取值为 0、1、2，P（X0）0.2，DX0.4， 设 P（X1）x，则 P（X2）0.8x，0x0.8， 则 EX00.2+x+2
26、（0.8x）1.6x， DX（x1.6）20.2+（x0.6）2x+（x+0.4）2（0.8x）0.4， 整理，得：x20.2x0.240， 解得 x0.6 或 x0.4（舍） ，P（X1）0.6， EX1.6x1.60.61D（Y）D（2X）4D（X）1.6 故答案为：0.6；1.6 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查随机变量的分布列、数学期望、方差 的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 13 （6 分） 已知( + 1 )(2 + 1) 5 （a0） ， 若展开式中各项的系数和为 81， 则 a 2 3 ， 展开式中常数项为 10 在( + 1 )(2 + 1) 5中令
27、x1 求得 a 的值，再根据多项式乘积的特点求出展开式中的常 数项 ( + 1 )(2 + 1) 5中，令 x1，得（a+1） 3581，解得 a= 2 3； 所以（ 2 3x+ 1 ） （2x+1） 5（2 3x+ 1 ） （1+10x+） ， 其展开式中的常数项为1 10x10 故答案为：10 本题考查了二项式展开式定理的应用问题，是基础题 14 （6 分）已知椭圆 M： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，双曲线 N： 2 2 2 2 =1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭 圆 M 的离心率为 3 1 ；双曲线 N 的离
28、心率为 2 利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近 线的夹角求解双曲线的离心率即可 椭圆 M： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，双曲线 N： 2 2 2 2 =1若双曲线 N 的两条渐近线 与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标（c，0） ，正六边形的一个顶点（ 2， 3 2 ） ，可得： 2 42 + 32 42 = 1， 可得1 4 2+ 3 4( 1 2;1) = 1，可得 e48e2+40，e（0，1） ， 解得 e= 3 1 同时，双曲线的渐近线的斜率为3，即 =3， 可得： 2 2 = 3
29、，即 2:2 2 = 4， 可得双曲线的离心率为 e= 2+2 2 =2 故答案为：3 1；2 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 15已知单位向量 ， ，两两的夹角均为 （0，且 2） ，若空间向量 满足 = + + (， )，则有序实数组（x，y，z）称为向量 在“仿射”坐标 系 Oxyz（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作 = (，)有下列命题： 已知 = (1，3， 2)， = (4，0，2)，则 =0； 已知 = (，0) 3， = (0，0，) 3其中 xyz0，则当且仅当 xy 时，向量 ， 的 夹角取得最小值； 已 知 = (1，1，1)， = (2，2，
30、2)，则 + = (1+ 2，1+ 2，1+ 2)； 已知 = (1，0，0) 3， = (0，1，0) 3， = (0，0，1) 3，则三棱锥 OABC 的 表面积 S= 2，其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 理解仿射坐标的概念，利用空间向量的共线定理及数量积运算即可求解 若 = （2， 0， 1） ， = （1， 0， 2） ， 则 = （2 ） （ +2 ） 2+3 23cos， 0，且 2， 0； = (，0) 3， = (0，0，) 3，其中 xyz0，向量 的夹角取得最小值，两向量同 向 存在实数 0，满足 = ，根据仿射坐标的定义，易知为正确； 已知 =（x1，y1，z1）
31、， =（x2，y2，z2），则 =（x1x2） +（y1y2） +（z1 z2） ， = (1 2，1 2，12) = (1，0，0) 3， = (0，1，0) 3， = (0，0，1) 3已知，则三棱锥 OABC 为 正四面体，棱长为 1，表面积为 S4 4 1 2 1 3 2 = 3 故答案为： 本题主要考察了向量的相关概念，综合性较强，属于中档题 16已知 、 、2 是平面内三个单位向量，若 ，则| + 4 | + 2|3 + 2 |的最小值 是 45 本题中 2 是一个整体，首先简化，根据条件 ，建立直角坐标系，将| + 2 |转化为 |2 + |，进一步转化为两点间的距离，同理|6
32、+ 4 |也可以表示为两点间的距离， 最后数形结合可知，最小值为两点间的距离 先简化本题，将 2 看成一个整体，仍记为，则 本题化为已知 、 、 是平面内三个单位向量，若 ，求| + 2 |+|6 + 4 |的最 小值， 根据题意设 = (1，0)， = (0，1)，2 对应的点 C 在单位圆上， | + 2 |2= 5 + 4，|2 + |25+4， | + 2 |2 + |， |2 + |表示 C 点到（2，0）的距离，|6 + 4 |表示点 C 到（6，4）的距离， 而单位圆与以点（2，0） ， （6，4）为端点的线段相交， 所以| + 4 |+|6 + 4 |的最小值为（2，0）和（6
33、，4）两点的距离 45， 故答案为：45 本题需要对向量的模考察非常深刻，题目属于难题 17 设 aR， 若不等式|3+ 1 | + |3 1 | + 4 8恒成立， 则实数 a 的取值范围是 4 64 3 ，4+64 3 由题意可得|x3+ 1 |+|x 31 |+8（4a）x 恒成立，讨论 x0，x0，运用基本不等式， 可得最值，进而得到所求范围 |x3+ 1 |+|x 31 |+ax4x8 恒成立， 即为|x3+ 1 |+|x 31 |+8（4a）x 恒成立， 当 x0 时，可得 4a|x2+ 1 2|+|x 21 2|+ 8 的最小值， 由|x2+ 1 2|+|x 21 2|+ 8 |
34、x2+ 1 2 +x2 1 2|+ 8 =2x2+ 8 =2x2+ 4 + 4 322 4 4 3 =64 3 ， 当且仅当 x32 即 x= 2 3 取得最小值 64 3 ，即有 4a64 3 ，则 a464 3 ； 当 x0 时，可得 4a|x2+ 1 2|+|x 21 2| 8 的最大值， 由|x2+ 1 2|+|x 21 2| 8 2x2+ 8 =2x2+ 4 + 4 322 4 4 3 =64 3 ， 当且仅当 x32 即 x= 2 3 取得最大值64 3 ，即有 4a64 3 ，则 a4+64 3 ， 综上可得 464 3 a4+64 3 ， 故答案为：464 3 ，4+64 3
35、本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等 式，考查转化思想和运算能力，属于中档题 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.） 18在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin（A 3） （1）求 A； （2）D 是线段 BC 上的点，若 ADBD2，CD3，求ADC 的面积 （1） 由正弦定理， 三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tanA= 3， 结合范围 A （0，） ，可求 A 的值 （2）设B， (0， 3)，由题意可得BAD，ADC2，DAC= 2 3 ， ACD
36、= 3 ，在ADC 中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 sin= 3 5 cos， 可求 sin，cos，利用二倍角的正弦函数公式可求 sin2，进而根据三角形的面积公式可 求 SADC的值 （1）由正弦定理可得 asinBbsinA， 则有 bsinAb（1 2sinA 3 2 cosA） ，化简可得1 2sinA= 3 2 cosA， 可得 tanA= 3， 因为 A（0，） ， 所以 A= 2 3 （2）设B， (0， 3)，由题意可得BAD，ADC2，DAC= 2 3 ， ACD= 3 ， 在ADC 中， = ，则 3 (2 3 ;) = 2 ( 3;) ， 所以 3 3 2
37、:1 2 = 2 3 2 ;1 2 ，可得 sin= 3 5 cos， 又因为 sin2+cos21，可得 sin= 21 14 ，cos= 57 14 ， 则 sin22sincos= 53 14 ， 所以 SADC= 1 2 sinADC= 1 2 2 3 53 4 = 153 14 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19 （15 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB4，AD2，点 E 是 DC 的中点，将ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，连结 DB、DC、EB （1）求证：
38、平面 ADE平面 BDE； （2）求 AD 与平面 BDC 所成角的正弦值 （1）利用勾股定理的逆定理可得：AEEB，再利用面面垂直的判定定理即可得出：BE 平面 ADE，进而证明结论 （2）如图所示，建立空间直角坐标系设平面 BDC 的法向量为 =（x，y，z） ，可得 = =0，可得 可得 AD 与平面 BDC 所成角的正弦值=| | | | | （1）证明：AE2+BE2= (22)2+ (22)2=16AB2，AEEB， 又平面 ADE平面 ABCE，平面 ADE平面 ABCEAE， BE平面 ADE， 平面 ADE平面 BDE； （2） 解： 如图所示， 建立空间直角坐标系 E （0
39、， 0， 0） ， A （22， 0， 0） ， B （0， 22， 0） ， D （2， 0， 2） ，C（2，2，0） =（2，2，0） =（2，22，2） ， =（2，0，2） ， 设平面 BDC 的法向量为 =（x，y，z） ，则 = =0，2x2y0， 2x+22y2z0， 取 =（1，1，3） AD 与平面 BDC 所成角的正弦值= | | | | | = 42 211 = 222 11 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运 算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20 （15 分）已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 an2+2an4Sn1（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn= +1 212+1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的取值范围 本题第（1）题先利用公式 an= 1， = 1 ;1， 2进行转化计算可发现数列a n是以 1 为 首项，2 为公差的等差数列，即可计算出数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1） 题的结果计算出 Sn的表达式，以及数列bn的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn，最后运用放缩法即可计算得到 Tn的取值范围 （1）由题意，当 n1 时，a12+2a14S114a11， 整理，得 a122a1+10， 解得 a11 当
