1、 2019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 23 函数中特殊角存在问题函数中特殊角存在问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 解决存在性问题就是：假设存在推理论证得出结论若能导出合理的结果，就作出“存在”的判断， 导出矛盾，就作出不存在的判断尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直 角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求， 并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查 常见的题型主要包括 求存在某个角等于特殊
2、角，如 90 ，60 、30 、45 等，存在某个角与已知角 相等，或为角平分线，存在某个角具有某个特点等等。 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】 如图所示， 在直角坐标系内， 一对称轴为 x=-1 的抛物线恰好经过正方形 ABCD 中的 B 点和 D 点， 并且交 x 轴为 B 点，交 x 轴负半轴为点 E，点 A 在 y 轴上，其坐标为（0，4） ，点 B 坐标为（2，0） 。 （1）试求出此抛物线的解析式； （2）过点 A 作 AM/x 轴，交 CD 于点 M，求 DM 的长； （3）令抛物线交 y 轴为 H，连接 H
3、B，是否存在点 P 在抛物线上，使的PHB 为直角三角形，若存在，试 求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。 【解答】 （1）抛物线对称轴为 x=-1，右侧交 x 轴于点 B（2，0） ， 交 X 轴负半轴点 E（-4，0） ， 设抛物线解析式为 y=a（x-2） （x+4）, 根据图形特点，在正方形边 CD 外构造直角三角形 CDK，使的 DK/x 轴，CKX 轴，交 x 轴于点 F，四边 形 ABCD 为正方形，则ABOCDK，ABOBCF, KF=6,则点 D 坐标为（4，6） ， 代入上设解析式可得 y= 2 33 3 84 xx。 （2）延长 CB 交 Y 轴于点 G， AM/x
4、 轴，DAM=BAG，ABGADM，DM=BG。 根据（1）题可知点 C 坐标为（6，2） ，点 B 坐标为（2，0） ，则设直线 BC 解析式为 y=kx+b， 将 B、C 两点坐标代入可得： 20 62 kb kb ，解得 1 2 1 k b ，则 BC 解析式为： 1 1 2 yx BC 交 y 轴于点 G，则 BG= 22 21 = 5 DM= 5。 （3）以 BH 为边的直角三角形有三种情况可讨论： 第一种：以 BH 为直角边，以点 B 为顶点： y= 2 33 3 84 xx。 交 y 轴点 H 坐标为（0，-3） ， 过点 B 作 BPBH，交抛物线于点 P，过点 P 作 PQx
5、 轴，则有BOHPQB，设点 P 坐标为（x， 2 33 3 84 xx） 可得： 2 33 3 2 84 32 xx x ，即： 2 9341040xx 解得： 1 2x （舍去） ， 2 52 9 x P1点坐标（ 52 - 9 , 140 27 ） 第二种：以 BH 为直角边，以点 H 为顶点； 过点 H 作 PHBH，交抛物线于点 P，交 X 轴于点 L，过点 P 作垂线交 x 轴于点 N,令点 P 横坐标为x，则 纵坐标为 2 33 3 84 xx，根据HOLBOH，可得 L 点坐标( 9 2 ,0) 再根据PNLBOH，可列等式： 2 9 3 2 33 2 (3) 84 x xx
6、，即： 2 917 0 84 xx ，解得 3 34 9 x ， 4 0x （舍去） 可解得点 P 坐标为（ 34 9 , 13 27 ）或者（0，-3） （舍去） 第三种：以 BH 为斜边： 根据勾股定理可知 BH= 13， 能组成直角三角形的点均在以线段 BH 中点为圆心， 以 13 2 长为半径的圆上， 在第四象限作矩形 OHJB，抛物线在三角形 BHJ 中，而到 BH 中点长度为 1 2 BH 的点均在矩形外，故此种情 况不存在。显然在 y 轴左侧也不能存在。 因此，点 P 的坐标为（ 52 - 9 , 140 27 ）或（ 34 - 9 , 13 27 ） 。 【典题精练】典例精讲，
7、运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】(2017 湖北咸宁)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其对称轴 交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，已知 OB=OC=6 （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）连接 BD，F 为抛物线上一动点，当FAB=EDB 时，求点 F 的坐标； （3）平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点，以线段 MN 为对角线作菱形 MPNQ，当点 P 在 x 轴上，且 PQ=MN 时，求菱形对角线 MN 的长 【分析】 （1）由条件可求得 B、C 坐标，利用待定系
8、数法可求得抛物线解析式，进一步可求得 D 点坐标； （2）过 F 作 FGx 轴于点 G，可设出 F 点坐标，利用FAGBDE，由相似三角形的性质可得到关于 F 点坐标的方程，可求得 F 点的坐标； （3）可求得 P 点坐标，设 T 为菱形对角线的交点，设出 PT 的长为 n，从而可表示出 M 点的坐标，代入抛 物线解析式可得到 n 的方程，可求得 n 的值，从而可求得 MN 的长21 教育名师原创作品 【解答】解： （1）OB=OC=6， B（6，0） ，C（0，6） ， ，解得， 抛物线解析式为 y=x22x6， y=x22x6= （x2）28， 点 D 的坐标为（2，8） ； （2）如图
9、 1，过 F 作 FGx 轴于点 G， 设 F（x， x22x6） ，则 FG=|x22x6|， 在 y=x22x6 中，令 y=0 可得 x22x6=0，解得 x=2 或 x=6， A（2，0） ， OA=2，则 AG=x+2， B（6，0） ，D（2，8） ， BE=62=4，DE=8， 当FAB=EDB 时，且FGA=BED， FAGBDE， =，即=， 当点 F 在 x 轴上方时，则有=，解得 x=2（舍去）或 x=7，此进 F 点坐标为（7，） ； 当点 F 在 x 轴上方时，则有=，解得 x=2（舍去）或 x=5，此进 F 点坐标为（5，） ； 综上可知 F 点的坐标为（7，）或（
10、5，） ； （3）点 P 在 x 轴上， 由菱形的对称性可知 P（2，0） ， 如图 2，当 MN 在 x 轴上方时，设 T 为菱形对角线的交点， PQ=MN， MT=2PT， 设 PT=n，则 MT=2n， M（2+2n，n） ， M 在抛物线上， n=（2+2n）22（2+2n）6，解得 n= 或 n=， MN=2MT=4n=+1； 当 MN 在 x 轴下方时，同理可设 PT=n，则 M（2+2n，n） ， n=（2+2n）22（2+2n）6，解得 n= 或 n=（舍去） ， MN=2MT=4n=1； 综上可知菱形对角线 MN 的长为+1 或1 【例题【例题 2】如图，抛物线 yax2+b
11、x+c（a0）的顶点为 M，直线 ym 与抛物线交于点 A，B，若AMB 为 等腰直角三角形， 我们把抛物线上 A， B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形， 线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶 （1）由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN，MN 与 AB 的关系是 MNAB，MNAB （2）抛物线 y对应的准蝶形必经过 B（m，m），则 m 2 ，对应的碟宽 AB 是 4 （3）抛物线 yax24a（a0）对应的碟宽在 x 轴上，且 AB6 求抛物线的解析式； 在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 P（xp，yp），使得APB 为锐角，若有，请求出 yp的取
12、值范围若 没有，请说明理由 【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案； （2）利用已知点为 B（m，m），代入抛物线解析式进而得出 m 的值，即可得出 AB 的值；（3）根据题 意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案； 根据 yx23 的对称轴上 P（0，3），P（0，3）时，APB 为直角，进而得出答案 【解答】解：（1）MN 与 AB 的关系是：MNAB，MNAB， 如图 1，AMB 是等腰直角三角形，且 N 为 AB 的中点， MNAB，MNAB， 故答案为：MNAB，MNAB； （2）抛物线 y对应的准蝶形必经过 B（m，m）， mm2， 解得：m2 或 m0（不合
13、题意舍去）， 当 m2 则，2x2， 解得：x 2， 则 AB2+24； 故答案为：2，4； （3）由已知，抛物线对称轴为：y 轴， 抛物线 yax24a（a0）对应的碟宽在 x 轴上，且 AB6 抛物线必过（3，0），代入 yax24a（a0）， 得，9a4a0， 解得：a， 抛物线的解析式是：yx23； 由知，如图 2，yx23 的对称轴上 P（0，3），P（0，3）时，APB 为直角， 在此抛物线的对称轴上有这样的点 P，使得APB 为锐角，yp的取值范围是 yp3 或 yp3 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 1. 如图，在平面直角坐
14、标系 xOy 中，已知 A，B 两点的坐标分别为（4，0） ， （4，0） ，C（m，0）是线段 A B 上一点（与 A，B 点不重合） ，抛物线 L1：y=ax2+b1x+c1（a0）经过点 A，C，顶点为 D，抛物线 L2： y=ax2+b2x+c2（a0）经过点 C，B，顶点为 E，AD，BE 的延长线相交于点 F （1）若 a=，m=1，求抛物线 L1，L2的解析式； （2）若 a=1，AFBF，求 m 的值； （3）是否存在这样的实数 a（a0） ，无论 m 取何值，直线 AF 与 BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接 写出 a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1
15、）利用待定系数法，将 A，B，C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2）过点 D 作 DGx 轴于点 G，过点 E 作 EHx 轴于点 H，易证ADGEBH，根据相似三角形对应 边比例相等即可解题； （3）开放性答案，代入法即可解题； 【解答】解： （1）将 A、C 点带入 y=ax2+b1x+c1中，可得：，解得： ， 抛物线 L1解析式为 y= ； 同理可得：，解得：， 抛物线 L2解析式为 y= ； （2）如图，过点 D 作 DGx 轴于点 G，过点 E 作 EHx 轴于点 H， 由题意得：，解得：， 抛物线 L1解析式为 y=x2+（m4）x+4m； 点 D 坐标为（，）
16、， DG= ，AG=； 同理可得：抛物线 L2解析式为 y=x2+（m+4）x4m； EH= ，BH=， AFBF，DGx 轴，EHx 轴， AFB=AGD=EHB=90 ， DAG+ADG=90 ，DAG+EBH=90 ， ADG=EBH， 在ADG 和EBH 中， ， ADGEBH， =， =，化简得：m2=12， 解得：m=； （3）存在，例如：a=，； 当 a=时，代入 A，C 可以求得： 抛物线 L1解析式为 y=x2+ （m4）x+m； 同理可得：抛物线 L2解析式为 y=x2+（m+4）xm； 点 D 坐标为（，） ，点 E 坐标为（，） ； 直线 AF 斜率为，直线 BF 斜率
17、为； 若要 AFBF，则直线 AF，BF 斜率乘积为1， 即=1，化简得：m2=20，无解； 同理可求得 a=亦无解 2. 已知，如图 1，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 A，且 AOCO，BC4 （1）求抛物线解析式； （2）如图 2，点 P 是抛物线第一象限上一点，连接 PB 交 y 轴于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，线段 OQ 长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，过点 Q 作直线 ly 轴，在 l 上取一点 M（点 M 在第二象限），连接 AM，使 AM PQ，连接 CP 并延长 CP 交 y 轴于点 K，过点
18、 P 作 PNl 于点 N，连接 KN、CN、CM若MCN+NKQ 45 时，求 t 值 【分析】（1）先令 x0 代入抛物线的解析式中求得与 y 轴交点 A 的坐标，根据 OAOC 可得 C 的坐标， 从而得 B 的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）如图 2，设 P（t，t2+2t+3）（0t3），证明BOQBGP，列比例式可得结论； （3）如图 3，如图 3，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，先得 QNOGAQt，则AQN 是等腰直角三角形，得 ANt，由 PGOK，得，求得 AK3t，证明NGC 是等腰直角三角形， 及AKNNMC，则，代入可得 t 的值，并根据（2）中
19、的点 P 只在第一象限进行取舍 【解答】解：（1）如图 1，当 x0 时，y3， A（0，3）， OAOC3， BC4， OB1， B（1，0），C（3，0）， 把 B（1，0），C（3，0）代入抛物线 yax2+bx+3 中得：， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3； （2）如图 2，设 P（t，t2+2t+3）（0t3）， 过 P 作 PGx 轴于 G， OQPG， BOQBGP， ， ， dt+3（0t3）； （3）如图 3，连接 AN，延长 PN 交 x 轴于 G， 由（2）知：OQ3t，OA3， AQOAOQ3（3t）t， QNOGAQt， AQN 是等腰直角三角形， QA
20、N45 ，ANt， PGOK， ， ， OK3t+3， AK3t， QANNKQ+ANK， NKQ+ANK45 ， MCN+NKQ45 ， ANKMCN， NGCG3t， NGC 是等腰直角三角形， NC（3t），GNC45 ， CNHNCM+NMC45 ， NKQNMC， AKNNMC， ， AQQNt，AMPQ， RtAQMRtQNP（HL）， MQPNt2+2t+3（3t）t2+3t， ， t27t+90， t13，t2， 0t3， t13，不符合题意，舍去， t 3. 在平面直角坐标系中，抛物线yx2(k1)xk与直线ykx1交于A，B两点，点A在点B的左侧 (1)如图，当 k1 时，
21、写出 A，B 两点的坐标； (2)在(1)的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，试求出ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； (3)如图，抛物线 yx2(k1)xk(k0)与 x 轴交于点 C，D 两点(点 C 在点 D 的左侧)，在直线 y kx1 上是否存在唯一一点 Q，使得OQC90 ？若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由 解：(1)当 k1 时，抛物线的解析式为 yx21， 直线的解析式为 yx1.联立两个解析式， 得 x21x1，解得 x1 或 x2， 当 x1 时，yx10； 当 x2 时，yx13， A(1，0)，B(2，3)； (2)设
22、 P(x，x21)如图所示， 过点 P 作 PFy 轴，交直线 AB 于点 F，则 F(x，x1) PF(x1)(x21)x2x2. SABPSPFASPFB1 2PF(xFxA) 1 2PF(xBxF) 1 2PF(xBxA) 3 2PF，www.21-cn- SABP3 2(x 2x2)3 2 x1 2 2 27 8 ， 当 x1 2时，yPx 213 4. ABP 面积最大值为27 8 ， 此时点 P 坐标为 1 2， 3 4 ； (3)存在，理由如下：设直线 AB：ykx1 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F， 则 E 1 k，0 ，F(0，1)，OE 1 k，OF1. 在 RtEO
23、F 中，由勾股定理得： EF 1 k 2 1 1k2 k . 令 yx2(k1)xk0，即(xk)(x1)0， 解得 xk 或 x1， C(k，0)，OCk. 设以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q， 根据圆周角定理，此时OQC90 . 设点 N 为 OC 中点，连接 NQ，如图所示， 则 NQEF，NQCNONk 2， ENOEON1 k k 2. NEQFEO，EQNEOF90 ， EQNEOF， NQ OF EN EF， 即 k 2 1 1 k k 2 1k2 k ，k 2 5 5 . k0， k2 5 5 ， 当 k2 5 5 时，存在唯一一点 Q， 使得OQC90 . 4.
24、 如图，已知直线 y3xc 与 x 轴相交于点 A(1，0)，与 y 轴相交于点 B，抛物线 yx2bxc 经过 点 A，B，与 x 轴的另一个交点是 C (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是对称轴的左侧抛物线上的一点，当 SPAB2SAOB时，求点 P 的坐标； (3)连接BC，抛物线上是否存在点M，使MCBABO？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在， 请说明理由 解：(1)将 A(1，0)代入 y3xc 中，得3c0，解得 c3. y3x3，B(0，3) 将 A(1，0)，B(0，3)代入 yx2bxc 中，得 1bc0， c3， 解得 b2， c3. 抛物线的解析式为 yx22
25、x3. (2)连接 OP，如解图 1 所示 抛物线的对称轴为直线 x 2 2 （1）1. 设 P(m，m22m3)(m1) SPABSPOBSAOBSPOA，SPAB2SAOB， SPOBSPOASAOB 当 P 点在 x 轴的上方时， 1 2 3 (m) 1 2 1 (m 22m3)1 2 1 3， 解得 m12，m23(舍去) 此时 P 点的坐标为(2，3) 当 P 点在 x 轴的下方时， 1 2 3 (m) 1 2 1 (m 22m3)1 2 1 3， 解得 m15，m20(舍去) 此时 P 点的坐标为(5，12) 综上所述，P 点的坐标为(2，3)或(5，12) (3)存在点 M，使M
26、CBABO，点 M 的坐标为(1 2， 7 4)或( 2 7， 171 49 ) 【提示】 在 yx22x3 中，令 y0，得x22x30，解得 x11，x23，C(3，0)OC OB3，OBC为等腰直角三角形，OBCOCB45 ，BC3 2.当MCB在直线BC的下方 时，如解图 2 所示设直线 CM 交 y 轴于点 D，作 DEBC 于点 E，设 D(0，t)，则 BD3t.DBE 45 ，BDE 为等腰直角三角形，DEBE 2 2 BD 2 2 (3t)MCBABO，tanMCBDE CE， tanABOOA OB， DE CE OA OB 1 3，即CE3DE，3 2 2 2 (3t)3
27、 2 2 (3t)，解得t3 2，D(0， 3 2)， 直线CD 的解析式为 y1 2x 3 2.联立 y1 2x 3 2， yx22x3， 解得 x 1 2， y7 4 或 x3， y0. (舍去)，此时 M 点的坐标为 (1 2， 7 4)当MCB 在直线 BC 的上方时，如解图 3 所示，设 CM 交直线 AB 于点 N，过点 N 作 NPx 轴于 点 P.易得直线 AB 的解析式为 y3x3，AB 10.设 N(k，3k3)MCBABO，CBO OCB，NCAABC又BACCAN，ABCACN，AB AC AC AN，即 10 4 4 AN，AN 8 10 5 .在 RtNPA 中，由勾股定理，得(k1)2(3k3)2(8 10 5 )2，解得 k113 5 (舍去)，k23 5.N 点的 坐标为(3 5， 24 5 )，直线 CN 的解析式为 y2x6.联立 y2x6， yx22x3，解得 x1， y4 或 x3， y0. (舍 去)，此时 M 点的坐标为(1，4) 综上所述，存在点 M，使MCBABO，点 M 的坐标为(1 2， 7 4)或(1，4)
