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第23讲 函数中特殊角存在问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)

1、 2019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 23 函数中特殊角存在问题函数中特殊角存在问题 【难点突破】着眼思路,方法点拨【难点突破】着眼思路,方法点拨, 疑难突破;疑难突破; 解决存在性问题就是:假设存在推理论证得出结论若能导出合理的结果,就作出“存在”的判断, 导出矛盾,就作出不存在的判断尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直 角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点这类题型对基础知识,基本技能提出了较高要求, 并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对知识、能力的一次全面的考查 常见的题型主要包括 求存在某个角等于特殊

2、角,如 90 ,60 、30 、45 等,存在某个角与已知角 相等,或为角平分线,存在某个角具有某个特点等等。 【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题;【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题; 【原创【原创 1】 如图所示, 在直角坐标系内, 一对称轴为 x=-1 的抛物线恰好经过正方形 ABCD 中的 B 点和 D 点, 并且交 x 轴为 B 点,交 x 轴负半轴为点 E,点 A 在 y 轴上,其坐标为(0,4) ,点 B 坐标为(2,0) 。 (1)试求出此抛物线的解析式; (2)过点 A 作 AM/x 轴,交 CD 于点 M,求 DM 的长; (3)令抛物线交 y 轴为 H,连接 H

3、B,是否存在点 P 在抛物线上,使的PHB 为直角三角形,若存在,试 求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由。 【解答】 (1)抛物线对称轴为 x=-1,右侧交 x 轴于点 B(2,0) , 交 X 轴负半轴点 E(-4,0) , 设抛物线解析式为 y=a(x-2) (x+4), 根据图形特点,在正方形边 CD 外构造直角三角形 CDK,使的 DK/x 轴,CKX 轴,交 x 轴于点 F,四边 形 ABCD 为正方形,则ABOCDK,ABOBCF, KF=6,则点 D 坐标为(4,6) , 代入上设解析式可得 y= 2 33 3 84 xx。 (2)延长 CB 交 Y 轴于点 G, AM/x

4、 轴,DAM=BAG,ABGADM,DM=BG。 根据(1)题可知点 C 坐标为(6,2) ,点 B 坐标为(2,0) ,则设直线 BC 解析式为 y=kx+b, 将 B、C 两点坐标代入可得: 20 62 kb kb ,解得 1 2 1 k b ,则 BC 解析式为: 1 1 2 yx BC 交 y 轴于点 G,则 BG= 22 21 = 5 DM= 5。 (3)以 BH 为边的直角三角形有三种情况可讨论: 第一种:以 BH 为直角边,以点 B 为顶点: y= 2 33 3 84 xx。 交 y 轴点 H 坐标为(0,-3) , 过点 B 作 BPBH,交抛物线于点 P,过点 P 作 PQx

5、 轴,则有BOHPQB,设点 P 坐标为(x, 2 33 3 84 xx) 可得: 2 33 3 2 84 32 xx x ,即: 2 9341040xx 解得: 1 2x (舍去) , 2 52 9 x P1点坐标( 52 - 9 , 140 27 ) 第二种:以 BH 为直角边,以点 H 为顶点; 过点 H 作 PHBH,交抛物线于点 P,交 X 轴于点 L,过点 P 作垂线交 x 轴于点 N,令点 P 横坐标为x,则 纵坐标为 2 33 3 84 xx,根据HOLBOH,可得 L 点坐标( 9 2 ,0) 再根据PNLBOH,可列等式: 2 9 3 2 33 2 (3) 84 x xx

6、,即: 2 917 0 84 xx ,解得 3 34 9 x , 4 0x (舍去) 可解得点 P 坐标为( 34 9 , 13 27 )或者(0,-3) (舍去) 第三种:以 BH 为斜边: 根据勾股定理可知 BH= 13, 能组成直角三角形的点均在以线段 BH 中点为圆心, 以 13 2 长为半径的圆上, 在第四象限作矩形 OHJB,抛物线在三角形 BHJ 中,而到 BH 中点长度为 1 2 BH 的点均在矩形外,故此种情 况不存在。显然在 y 轴左侧也不能存在。 因此,点 P 的坐标为( 52 - 9 , 140 27 )或( 34 - 9 , 13 27 ) 。 【典题精练】典例精讲,

7、运筹帷幄,举一反三;【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三; 【例题【例题 1】(2017 湖北咸宁)如图,抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其对称轴 交抛物线于点 D,交 x 轴于点 E,已知 OB=OC=6 (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标; (2)连接 BD,F 为抛物线上一动点,当FAB=EDB 时,求点 F 的坐标; (3)平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点,以线段 MN 为对角线作菱形 MPNQ,当点 P 在 x 轴上,且 PQ=MN 时,求菱形对角线 MN 的长 【分析】 (1)由条件可求得 B、C 坐标,利用待定系

8、数法可求得抛物线解析式,进一步可求得 D 点坐标; (2)过 F 作 FGx 轴于点 G,可设出 F 点坐标,利用FAGBDE,由相似三角形的性质可得到关于 F 点坐标的方程,可求得 F 点的坐标; (3)可求得 P 点坐标,设 T 为菱形对角线的交点,设出 PT 的长为 n,从而可表示出 M 点的坐标,代入抛 物线解析式可得到 n 的方程,可求得 n 的值,从而可求得 MN 的长21 教育名师原创作品 【解答】解: (1)OB=OC=6, B(6,0) ,C(0,6) , ,解得, 抛物线解析式为 y=x22x6, y=x22x6= (x2)28, 点 D 的坐标为(2,8) ; (2)如图

9、 1,过 F 作 FGx 轴于点 G, 设 F(x, x22x6) ,则 FG=|x22x6|, 在 y=x22x6 中,令 y=0 可得 x22x6=0,解得 x=2 或 x=6, A(2,0) , OA=2,则 AG=x+2, B(6,0) ,D(2,8) , BE=62=4,DE=8, 当FAB=EDB 时,且FGA=BED, FAGBDE, =,即=, 当点 F 在 x 轴上方时,则有=,解得 x=2(舍去)或 x=7,此进 F 点坐标为(7,) ; 当点 F 在 x 轴上方时,则有=,解得 x=2(舍去)或 x=5,此进 F 点坐标为(5,) ; 综上可知 F 点的坐标为(7,)或(

10、5,) ; (3)点 P 在 x 轴上, 由菱形的对称性可知 P(2,0) , 如图 2,当 MN 在 x 轴上方时,设 T 为菱形对角线的交点, PQ=MN, MT=2PT, 设 PT=n,则 MT=2n, M(2+2n,n) , M 在抛物线上, n=(2+2n)22(2+2n)6,解得 n= 或 n=, MN=2MT=4n=+1; 当 MN 在 x 轴下方时,同理可设 PT=n,则 M(2+2n,n) , n=(2+2n)22(2+2n)6,解得 n= 或 n=(舍去) , MN=2MT=4n=1; 综上可知菱形对角线 MN 的长为+1 或1 【例题【例题 2】如图,抛物线 yax2+b

11、x+c(a0)的顶点为 M,直线 ym 与抛物线交于点 A,B,若AMB 为 等腰直角三角形, 我们把抛物线上 A, B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形, 线段 AB 称为碟宽,顶点 M 称为碟顶 (1)由定义知,取 AB 中点 N,连结 MN,MN 与 AB 的关系是 MNAB,MNAB (2)抛物线 y对应的准蝶形必经过 B(m,m),则 m 2 ,对应的碟宽 AB 是 4 (3)抛物线 yax24a(a0)对应的碟宽在 x 轴上,且 AB6 求抛物线的解析式; 在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 P(xp,yp),使得APB 为锐角,若有,请求出 yp的取

12、值范围若 没有,请说明理由 【分析】(1)直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案; (2)利用已知点为 B(m,m),代入抛物线解析式进而得出 m 的值,即可得出 AB 的值;(3)根据题 意得出抛物线必过(3,0),进而代入求出答案; 根据 yx23 的对称轴上 P(0,3),P(0,3)时,APB 为直角,进而得出答案 【解答】解:(1)MN 与 AB 的关系是:MNAB,MNAB, 如图 1,AMB 是等腰直角三角形,且 N 为 AB 的中点, MNAB,MNAB, 故答案为:MNAB,MNAB; (2)抛物线 y对应的准蝶形必经过 B(m,m), mm2, 解得:m2 或 m0(不合

13、题意舍去), 当 m2 则,2x2, 解得:x 2, 则 AB2+24; 故答案为:2,4; (3)由已知,抛物线对称轴为:y 轴, 抛物线 yax24a(a0)对应的碟宽在 x 轴上,且 AB6 抛物线必过(3,0),代入 yax24a(a0), 得,9a4a0, 解得:a, 抛物线的解析式是:yx23; 由知,如图 2,yx23 的对称轴上 P(0,3),P(0,3)时,APB 为直角, 在此抛物线的对称轴上有这样的点 P,使得APB 为锐角,yp的取值范围是 yp3 或 yp3 【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。 1. 如图,在平面直角坐

14、标系 xOy 中,已知 A,B 两点的坐标分别为(4,0) , (4,0) ,C(m,0)是线段 A B 上一点(与 A,B 点不重合) ,抛物线 L1:y=ax2+b1x+c1(a0)经过点 A,C,顶点为 D,抛物线 L2: y=ax2+b2x+c2(a0)经过点 C,B,顶点为 E,AD,BE 的延长线相交于点 F (1)若 a=,m=1,求抛物线 L1,L2的解析式; (2)若 a=1,AFBF,求 m 的值; (3)是否存在这样的实数 a(a0) ,无论 m 取何值,直线 AF 与 BF 都不可能互相垂直?若存在,请直接 写出 a 的两个不同的值;若不存在,请说明理由 【分析】 (1

15、)利用待定系数法,将 A,B,C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式; (2)过点 D 作 DGx 轴于点 G,过点 E 作 EHx 轴于点 H,易证ADGEBH,根据相似三角形对应 边比例相等即可解题; (3)开放性答案,代入法即可解题; 【解答】解: (1)将 A、C 点带入 y=ax2+b1x+c1中,可得:,解得: , 抛物线 L1解析式为 y= ; 同理可得:,解得:, 抛物线 L2解析式为 y= ; (2)如图,过点 D 作 DGx 轴于点 G,过点 E 作 EHx 轴于点 H, 由题意得:,解得:, 抛物线 L1解析式为 y=x2+(m4)x+4m; 点 D 坐标为(,)

16、, DG= ,AG=; 同理可得:抛物线 L2解析式为 y=x2+(m+4)x4m; EH= ,BH=, AFBF,DGx 轴,EHx 轴, AFB=AGD=EHB=90 , DAG+ADG=90 ,DAG+EBH=90 , ADG=EBH, 在ADG 和EBH 中, , ADGEBH, =, =,化简得:m2=12, 解得:m=; (3)存在,例如:a=,; 当 a=时,代入 A,C 可以求得: 抛物线 L1解析式为 y=x2+ (m4)x+m; 同理可得:抛物线 L2解析式为 y=x2+(m+4)xm; 点 D 坐标为(,) ,点 E 坐标为(,) ; 直线 AF 斜率为,直线 BF 斜率

17、为; 若要 AFBF,则直线 AF,BF 斜率乘积为1, 即=1,化简得:m2=20,无解; 同理可求得 a=亦无解 2. 已知,如图 1,抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 B、C,与 y 轴交于点 A,且 AOCO,BC4 (1)求抛物线解析式; (2)如图 2,点 P 是抛物线第一象限上一点,连接 PB 交 y 轴于点 Q,设点 P 的横坐标为 t,线段 OQ 长为 d,求 d 与 t 之间的函数关系式; (3)在(2)的条件下,过点 Q 作直线 ly 轴,在 l 上取一点 M(点 M 在第二象限),连接 AM,使 AM PQ,连接 CP 并延长 CP 交 y 轴于点 K,过点

18、 P 作 PNl 于点 N,连接 KN、CN、CM若MCN+NKQ 45 时,求 t 值 【分析】(1)先令 x0 代入抛物线的解析式中求得与 y 轴交点 A 的坐标,根据 OAOC 可得 C 的坐标, 从而得 B 的坐标,利用待定系数法求抛物线解析式; (2)如图 2,设 P(t,t2+2t+3)(0t3),证明BOQBGP,列比例式可得结论; (3)如图 3,如图 3,作辅助线,构建全等三角形和等腰直角三角形,先得 QNOGAQt,则AQN 是等腰直角三角形,得 ANt,由 PGOK,得,求得 AK3t,证明NGC 是等腰直角三角形, 及AKNNMC,则,代入可得 t 的值,并根据(2)中

19、的点 P 只在第一象限进行取舍 【解答】解:(1)如图 1,当 x0 时,y3, A(0,3), OAOC3, BC4, OB1, B(1,0),C(3,0), 把 B(1,0),C(3,0)代入抛物线 yax2+bx+3 中得:, 解得:, 抛物线的解析式为:yx2+2x+3; (2)如图 2,设 P(t,t2+2t+3)(0t3), 过 P 作 PGx 轴于 G, OQPG, BOQBGP, , , dt+3(0t3); (3)如图 3,连接 AN,延长 PN 交 x 轴于 G, 由(2)知:OQ3t,OA3, AQOAOQ3(3t)t, QNOGAQt, AQN 是等腰直角三角形, QA

20、N45 ,ANt, PGOK, , , OK3t+3, AK3t, QANNKQ+ANK, NKQ+ANK45 , MCN+NKQ45 , ANKMCN, NGCG3t, NGC 是等腰直角三角形, NC(3t),GNC45 , CNHNCM+NMC45 , NKQNMC, AKNNMC, , AQQNt,AMPQ, RtAQMRtQNP(HL), MQPNt2+2t+3(3t)t2+3t, , t27t+90, t13,t2, 0t3, t13,不符合题意,舍去, t 3. 在平面直角坐标系中,抛物线yx2(k1)xk与直线ykx1交于A,B两点,点A在点B的左侧 (1)如图,当 k1 时,

21、写出 A,B 两点的坐标; (2)在(1)的条件下,点 P 为抛物线上的一个动点,且在直线 AB 下方,试求出ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标; (3)如图,抛物线 yx2(k1)xk(k0)与 x 轴交于点 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧),在直线 y kx1 上是否存在唯一一点 Q,使得OQC90 ?若存在,请求出此时 k 的值;若不存在,请说明理由 解:(1)当 k1 时,抛物线的解析式为 yx21, 直线的解析式为 yx1.联立两个解析式, 得 x21x1,解得 x1 或 x2, 当 x1 时,yx10; 当 x2 时,yx13, A(1,0),B(2,3); (2)设

22、 P(x,x21)如图所示, 过点 P 作 PFy 轴,交直线 AB 于点 F,则 F(x,x1) PF(x1)(x21)x2x2. SABPSPFASPFB1 2PF(xFxA) 1 2PF(xBxF) 1 2PF(xBxA) 3 2PF,www.21-cn- SABP3 2(x 2x2)3 2 x1 2 2 27 8 , 当 x1 2时,yPx 213 4. ABP 面积最大值为27 8 , 此时点 P 坐标为 1 2, 3 4 ; (3)存在,理由如下:设直线 AB:ykx1 与 x 轴,y 轴分别交于点 E,F, 则 E 1 k,0 ,F(0,1),OE 1 k,OF1. 在 RtEO

23、F 中,由勾股定理得: EF 1 k 2 1 1k2 k . 令 yx2(k1)xk0,即(xk)(x1)0, 解得 xk 或 x1, C(k,0),OCk. 设以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q, 根据圆周角定理,此时OQC90 . 设点 N 为 OC 中点,连接 NQ,如图所示, 则 NQEF,NQCNONk 2, ENOEON1 k k 2. NEQFEO,EQNEOF90 , EQNEOF, NQ OF EN EF, 即 k 2 1 1 k k 2 1k2 k ,k 2 5 5 . k0, k2 5 5 , 当 k2 5 5 时,存在唯一一点 Q, 使得OQC90 . 4.

24、 如图,已知直线 y3xc 与 x 轴相交于点 A(1,0),与 y 轴相交于点 B,抛物线 yx2bxc 经过 点 A,B,与 x 轴的另一个交点是 C (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是对称轴的左侧抛物线上的一点,当 SPAB2SAOB时,求点 P 的坐标; (3)连接BC,抛物线上是否存在点M,使MCBABO?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在, 请说明理由 解:(1)将 A(1,0)代入 y3xc 中,得3c0,解得 c3. y3x3,B(0,3) 将 A(1,0),B(0,3)代入 yx2bxc 中,得 1bc0, c3, 解得 b2, c3. 抛物线的解析式为 yx22

25、x3. (2)连接 OP,如解图 1 所示 抛物线的对称轴为直线 x 2 2 (1)1. 设 P(m,m22m3)(m1) SPABSPOBSAOBSPOA,SPAB2SAOB, SPOBSPOASAOB 当 P 点在 x 轴的上方时, 1 2 3 (m) 1 2 1 (m 22m3)1 2 1 3, 解得 m12,m23(舍去) 此时 P 点的坐标为(2,3) 当 P 点在 x 轴的下方时, 1 2 3 (m) 1 2 1 (m 22m3)1 2 1 3, 解得 m15,m20(舍去) 此时 P 点的坐标为(5,12) 综上所述,P 点的坐标为(2,3)或(5,12) (3)存在点 M,使M

26、CBABO,点 M 的坐标为(1 2, 7 4)或( 2 7, 171 49 ) 【提示】 在 yx22x3 中,令 y0,得x22x30,解得 x11,x23,C(3,0)OC OB3,OBC为等腰直角三角形,OBCOCB45 ,BC3 2.当MCB在直线BC的下方 时,如解图 2 所示设直线 CM 交 y 轴于点 D,作 DEBC 于点 E,设 D(0,t),则 BD3t.DBE 45 ,BDE 为等腰直角三角形,DEBE 2 2 BD 2 2 (3t)MCBABO,tanMCBDE CE, tanABOOA OB, DE CE OA OB 1 3,即CE3DE,3 2 2 2 (3t)3

27、 2 2 (3t),解得t3 2,D(0, 3 2), 直线CD 的解析式为 y1 2x 3 2.联立 y1 2x 3 2, yx22x3, 解得 x 1 2, y7 4 或 x3, y0. (舍去),此时 M 点的坐标为 (1 2, 7 4)当MCB 在直线 BC 的上方时,如解图 3 所示,设 CM 交直线 AB 于点 N,过点 N 作 NPx 轴于 点 P.易得直线 AB 的解析式为 y3x3,AB 10.设 N(k,3k3)MCBABO,CBO OCB,NCAABC又BACCAN,ABCACN,AB AC AC AN,即 10 4 4 AN,AN 8 10 5 .在 RtNPA 中,由勾股定理,得(k1)2(3k3)2(8 10 5 )2,解得 k113 5 (舍去),k23 5.N 点的 坐标为(3 5, 24 5 ),直线 CN 的解析式为 y2x6.联立 y2x6, yx22x3,解得 x1, y4 或 x3, y0. (舍 去),此时 M 点的坐标为(1,4) 综上所述,存在点 M,使MCBABO,点 M 的坐标为(1 2, 7 4)或(1,4)