1、 2019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 24 函数中相似形存在问题函数中相似形存在问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 存在性问题是根据已知的条件，探索制定适合某个问题的结论的数值、点、直线或其图形是否存在的 题目，对于相似三角形存在问题在中考中函数图象中点的存在问题是重点，其解题思路是：先对结论作 出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的计算、推理，若导出矛盾，则否定先前假 设，若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论它主要考查考生的观察、分析、比较、 归纳、推理等方面的能力，由
2、于这类题目的综合性极强因此中考常以压轴题出现 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个 三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检 验 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】如图，二次函数 y=ax2+bx+c（aO）与
3、x 轴交于点 A、B两点，其中点 A 在点 B 的左侧，其坐标 为（-1，0），与 y 轴交于点 C（0，4），抛物线的对称轴为 x=1，连接 BC （1）求此二次函数的解析式； （2） 若点 D 为线段 BC 上的一动点，作 DE 垂直 x 轴，交 x 轴于点 E，交抛物线于点 F，试求线段 DF 的最 大长度是多少？ （3）在该抛物线对称轴上是否存在点 P，使BEP 与BOC 相似？若存在，请直接写出所有满足条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 解： （1）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A（-1,0） ，且与 y 轴交于点（0，-4） ，对称轴为 x=1，
4、可列方程组得： 0 4 2 abc c ab 即： 4 3 4 8 3 a c b 二次函数解析式为：y= 4 3 x2+ 8 3 x+4. （2）点 C（0,4） ，B（3,0） ， 故可设 BC 所在的直线为： 1 ykxm，则有 4 30 m km ， 即 4 4 3 m k BC 所在的直线即为： 1 4 4 3 yx 则在线段 BC 上方抛物线上动点 F 到线段 BC 的距离 DF= 4 3 x2+ 8 3 x+4-（ 4 4 3 x）= 2 411 () 323 x 4 0 3 ，且 1 03 2 故 DF 的最大值为 1 3 。 （3）由题意可得：OB=3，OC=4， 则 OC
5、OB = 4 3， 当BEPBOC 时， PE BE= OC OB = 4 3，或者 BE PE= OC OB = 4 3， 可得：PE= 8 3，或 PE= 3 2， 则 PE= 8 3时， 当BEPBOC 时， 故 P1（1， 8 3 ）或 P2（1， 8 3 ） ； 当 PE= 3 2 时， 当BEPCOB 时， 可得：P3（1， 3 2 ）或 P4（1， 3 2 ）. 综上所述：点 P 的坐标为： （1， 8 3 ） ， （1， 8 3 ） ， （1， 3 2 ） ， （1， 3 2 ） 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题
6、 1】 （】 （2017 日照）日照）如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x 轴，y 轴分别相交 于 M（4，0） ，N（0，3）两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛 物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D （1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3） 设抛物线交 x 轴于 A， B 两点， 在抛物线上是否存在点 Q， 使得 S四边形OPMN=8SQAB， 且QABOBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）连接 OC，由勾股定理可求得 MN 的长，
7、则可求得 OC 的长，由垂径定理可求得 OD 的长，在 RtOCD 中，可求得 CD 的长，则可求得 PD 的长，可求得 P 点坐标； （2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把 N 点坐标代入可求得抛物线解析式； （3）由抛物线解析式可求得 A、B 的坐标，由 S四边形OPMN=8SQAB可求得点 Q 到 x 轴的距离，且点 Q 只能 在 x 轴的下方，则可求得 Q 点的坐标，再证明QABOBN 即可 【解答】解： （1）如图，连接 OC， M（4，0） ，N（0，3） ， OM=4，ON=3， MN=5， OC=MN=， CD 为抛物线对称轴， OD=MD=2， 在 RtOCD 中，由勾股定理
8、可得 CD=， PD=PCCD=1， P（2，1） ； （2）抛物线的顶点为 P（2，1） ， 设抛物线的函数表达式为 y=a（x2）21， 抛物线过 N（0，3） ， 3=a（02）21，解得 a=1， 抛物线的函数表达式为 y=（x2）21，即 y=x24x+3； （3）在 y=x24x+3 中，令 y=0 可得 0=x24x+3，解得 x=1 或 x=3， A（1，0） ，B（3，0） ， AB=31=2， ON=3，OM=4，PD=1， S四边形OPMN=SOMP+SOMN= OMPD+OMON= 4 1+ 4 3=8=8SQAB， SQAB=1， 设 Q 点纵坐标为 y，则 2 |y
9、|=1，解得 y=1 或 y=1， 当 y=1 时，则QAB 为钝角三角形，而OBN 为直角三角形，不合题意，舍去， 当 y=1 时，可知 P 点即为所求的 Q 点， D 为 AB 的中点， AD=BD=QD， QAB 为等腰直角三角形， ON=OB=3， OBN 为等腰直角三角形， QABOBN， 综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（2，1） 【例题【例题 2】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y1 6x 2bxc 过点 A(0，4)和 C(8，0)，P(t，0)是 x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段 AP 的中点，将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90 得线段 PB.过
10、点 B 作 x 轴 的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线相交于点 D. (1)求 b，c 的值； (2)当 t 为何值时，点 D 落在抛物线上； (3)是否存在 t，使得以 A，B，D 为顶点的三角形与AOP 相似？若存在，求此时 t 的值；若不存在，请说 明理由 解：(1)A(0，4)，C(8，0)在抛物线上， c4， 01 6 8 28bc，解得 b5 6， c4； (2)AOPPEB90 ， OAP90 APOEPB， AOPPEB，AO PE AP PB， AO4，AP2MP2PB， PE2，OEOPPEt2， 又DEOA4， 点 D 的坐标为(t2，4)， 当点 D 落在抛物线
11、上时， 有1 6(t2) 25 6(t2)44， 解得 t3 或 t2， t0， t3，故当 t 为 3 时，点 D 落在抛物线上； (3)存在 t，能够使得以 A，B，D 为顶点的三角形与AOP 相似 理由如下：当 0t8 时，若POAADB， 则PO AD AO BD，即 t t2 4 41 2t 整理，得 t2160， t 无解； 若POABDA， 同理，解得 t2 2 5(负值舍去)； 当 t8 时，若POAADB，则PO AD AO BD， 即 t t2 4 41 2t ， 解得 t8 4 5(负值舍去)； 若POABDA，同理，解得 t 无解 综上所述，当 t22 5或 84 5时
12、， 以 A，B，D 为顶点的三角形与AOP 相似. 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 1. 如图 1，抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 D，顶点为 C （1）求此抛物线的解析式； （2） 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M， 过 M 作 MNx 轴于点 N， 使以 A、 M、 N 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 【解析】AMN 是直角三角形，因此必须先证明BCD 是直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比 例分两种情况列方程
13、 （1）抛物线的解析式为 yx24x3 （2）由 yx24x3(x2)21，得 D(0,3)，C(2, 1) 如图 3-2，由 B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1)，可知CBO45 ，DBO45 所以CBD90 ，且 21 33 2 BC BD 图 2 图 3 图 4 设点 M、N 的横坐标为 x，那么 NMyM，而 NA 的长要分 N 在 A 的右边或左边两种情况，因此列方程要 “两次分类”： 当 N 在 A 右侧时，NAx1，分两种情况列方程： 当3 NABD NMBC 时， 1 3 (1)(3) x xx 解得 10 3 x 此时 M 107 (,) 39 （如图 3） 当 1
14、3 NABC NMBD 时， 11 (1)(3)3 x xx 解得 x6此时 M(6,15)（如图 5） 当 N 在 A 左侧时，NA1x，也要分两种情况列方程： 当3 NABD NMBC 时， 1 3 (1)(3) x xx 解得 8 3 x 1，不符合题意（如图 4） 当 1 3 NABC NMBD 时， 11 (1)(3)3 x xx 解得 x0，此时 M(0,3)（如图 6） 图 5 图 6 2. 如图，抛物线 y=x2+x+2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C （1）试求 A，B，C 的坐标； （2）将ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180 ，得到BAD 求点 D 的
15、坐标； 判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点 P，使BMP 与BAD 相似？若存在，请直接写出所有满足条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）直接利用 y=0，x=0 分别得出 A，B，C 的坐标； （2）利用旋转的性质结合三角形各边长得出 D 点坐标； 利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形 ADBC 的形状； （3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案 【解答】解： （1）当 y=0 时，0=x2+x+2， 解得：x1=1，x2=4， 则 A（1，0） ，B（4，0） ， 当 x=0 时，y
16、=2，故 C（0，2） ； （2）过点 D 作 DEx 轴于点 E， 将ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180 ，得到BAD， DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5， D（3，2） ； 将ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180 ，得到BAD， AC=BD，AD=BC， 四边形 ADBC 是平行四边形， AC= ，BC=2 ， AB=5，AC2+BC2=AB2， ACB 是直角三角形，ACB=90 ，四边形 ADBC 是矩形； （3）由题意可得：BD=，AD=2， 则=， 当BMPADB 时， =， 可得：BM=2.5， 则 PM=1.25， 故 P（1.5，1.25） ， 当BMP
17、1ABD 时，P1（1.5，1.25） ， 当BMP2BDA 时，可得：P2（1.5，5） ， 当BMP3BDA 时，可得：P3（1.5，5） ， 综上所述：点 P 的坐标为： （1.5，1.25） ， （1.5，1.25） ， （1.5，5） ， （1.5，5） 3. 如图 1-1，抛物线 2 13 4 82 yxx与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，与 y 轴交于点 C动直线 EF（EF/x 轴）从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点， 动点 P 同时从点 B 出发， 在线段 OB 上以每秒 2 个单
18、位的速度向原点 O 运动 是否存在 t， 使得BPF 与ABC 相似若存在，试求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 【解析】BPF 与ABC 有公共角B，那么我们梳理两个三角形中夹B 的两条边 ABC 是确定的由 2 13 4 82 yxx，可得 A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4) 于是得到 BA4，BC4 5还可得到 1 2 CECO EFOB BPF 中，BP2t，那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来，问题就解决了 在 RtEFC 中，CEt，EF2t，所以5CFt 因此4 555(4)BFtt 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： 当 BABP BCBF 时
19、， 42 4 55(4) t t 解得 4 3 t （如图 1-2） 当 BABF BCBP 时， 45(4) 24 5 t t 解得 20 7 t （如图 1-3） 图 2 图 3 4. 如图所示，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，A、B 两点的坐标分别为（1，0） 、 （0，3） （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 E 为抛物线的顶点，点 C 为抛物线与 x 轴的另一交点，点 D 为 y 轴上一点，且 DC=DE，求出点 D 的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线 DE 上存在点 P，使得以 C、D、P 为顶点的三角形与DOC 相似，请你 直接写出所有满足条件的点 P
20、的坐标 【分析】 （1）把点 A、B 的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出 b、c 的值，即可得解； （2）令 y=0，利用抛物线解析式求出点 C 的坐标，设点 D 的坐标为（0，m） ，作 EFy 轴于点 F，利用勾 股定理列式表示出 DC2与 DE2，然后解方程求出 m 的值，即可得到点 D 的坐标； （3）根据点 C、D、E 的坐标判定COD 和DFE 全等，根据全等三角形对应角相等可得EDF=DCO， 然后求出 CDDE，再利用勾股定理求出 CD 的长度，然后分 OC 与 CD 是对应边；OC 与 DP 是对应 边；根据相似三角形对应边成比例列式求出 DP 的长度，过点 P 作 PGy
21、 轴于点 G，再分点 P 在点 D 的左 边与右边两种情况，分别求出 DG、PG 的长度，结合平面直角坐标系即可写出点 P 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（0，3） ， ， 解得， 故抛物线的函数解析式为 y=x22x3； （2）令 x22x3=0， 解得 x1=1，x2=3， 则点 C 的坐标为（3，0） ， y=x22x3=（x1）24， 点 E 坐标为（1，4） ， 设点 D 的坐标为（0，m） ，作 EFy 轴于点 F， DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12， DC=DE， m2+9=m2+8m
22、+16+1， 解得 m=1， 点 D 的坐标为（0，1） ； （3）点 C（3，0） ，D（0，1） ，E（1，4） ， CO=DF=3，DO=EF=1， 根据勾股定理，CD=， 在COD 和DFE 中， ， CODDFE（SAS） ， EDF=DCO， 又DCO+CDO=90 ， EDF+CDO=90 ， CDE=180 90 =90 ， CDDE， 分 OC 与 CD 是对应边时， DOCPDC， =， 即=， 解得 DP=， 过点 P 作 PGy 轴于点 G， 则=， 即=， 解得 DG=1，PG=， 当点 P 在点 D 的左边时，OG=DGDO=11=0， 所以点 P（，0） ， 当点
23、 P 在点 D 的右边时，OG=DO+DG=1+1=2， 所以，点 P（，2） ； OC 与 DP 是对应边时， DOCCDP， =， 即=， 解得 DP=3， 过点 P 作 PGy 轴于点 G， 则=， 即=， 解得 DG=9，PG=3， 当点 P 在点 D 的左边时，OG=DGOD=91=8， 所以，点 P 的坐标是（3，8） ， 当点 P 在点 D 的右边时，OG=OD+DG=1+9=10， 所以，点 P 的坐标是（3，10） ， 综上所述，满足条件的点 P 共有 4 个，其坐标分别为（，0） 、 （，2） 、 （3，8） 、 （3，10） 5. 如图，已知 A（2，0） ，B（4，0）
24、 ，抛物线 y=ax2+bx1 过 A、B 两点，并与过 A 点的直线 y=x 1 交于点 C （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使四边形 ACPO 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不 存在，请说明理由； （3）点 M 为 y 轴右侧抛物线上一点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N 问：是否存在这样的点 N，使以点 M、N、C 为顶点的三角形与AOC 相似，若存在，求出点 N 的坐标， 若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）把 A（2，0） ，B（4，0）代入抛物线 y=ax2+bx1，得 解得 抛物线解析式为：y= 抛物线对称轴为
25、直线 x= （2）存在 使四边形 ACPO 的周长最小，只需 PC+PO 最小 取点 C（0，1）关于直线 x=1 的对称点 C（2，1） ，连 CO 与直线 x=1 的交点即为 P 点 设过点 C、O 直线解析式为：y=kx k= 1 2 y= 1 2 x 则 P 点坐标为（1， 1 2 ） （3）当AOCMNC 时，如图，延长 MN 交 y 轴于点 D，过点 N 作 NEy 轴于点 E ACO=NCD，AOC=CND=90 CDN=CAO 由相似，CAO=CMN CDN=CMN MNAC M、D 关于 AN 对称，则 N 为 DM 中点 设点 N 坐标为（a， 1 2 a1） 由EDNOA
26、C ED=2a 点 D 坐标为（0， 5 1 2 a） N 为 DM 中点 点 M 坐标为（2a， 3 1 2 a） 把 M 代入 y= 2 11 1 84 xx，解得 a=4 则 N 点坐标为（4，3） 当AOCCNM 时，CAO=NCM CMAB 则点 C 关于直线 x=1 的对称点 C即为点 N 由（2）N（2，1） N 点坐标为（4，3）或（2，1） 6. 如图，已知直线 y=2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线过 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动 点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D （1）若抛物线的解析式为 y=2x2+2x+4，设其顶点
27、为 M，其对称轴交 AB 于点 N 求点 M、N 的坐标； 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三角形与AOB 相似？ 若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1， y=2x2+2x+4=2（x 1 2 ）2+ 9 2 ， 顶点为 M 的坐标为（ 1 2 ， 9 2 ） ， 当 x= 1 2 时，y=21 2 +4=3，则点 N 坐标为（ 1 2 ，3） ； 不存在 理由如下： MN= 9 2 3= 3 2 ， 设 P 点坐标为（m，2m+4
28、） ，则 D（m，2m2+2m+4） ， PD=2m2+2m+4（2m+4）=2m2+4m， PDMN， 当 PD=MN 时，四边形 MNPD 为平行四边形，即2m2+4m= 3 2 ，解得 m1= 1 2 （舍去） ，m2= 3 2 ，此时 P 点 坐标为（ 3 2 ，1） ， PN= 22 13 ()(3 1)5 22 ， PNMN， 平行四边形 MNPD 不为菱形， 不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形； （2）存在 如图 2，OB=4，OA=2，则 AB= 22 24 =2 5， 当 x=1 时，y=2x+4=2，则 P（1，2） ， PB= 22 1(24)5， 设抛物线的解析式
29、为 y=ax2+bx+4， 把 A（2，0）代入得 4a+2b+4=0，解得 b=2a2， 抛物线的解析式为 y=ax22（a+1）x+4， 当 x=1 时，y=ax22（a+1）x+4=a2a2+4=2a，则 D（1，2a） ， PD=2a2=a， DCOB， DPB=OBA， 当时，PDBBOA，即， ，解得 a=2，此时抛物线解析式为 y=2x2+2x+4； 当时，PDBBAO，即，解得 a= 5 2 ，此时抛物线解析式为 y= 5 2 x2+3x+4； 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为 y=2x2+2x+4 或 y= 5 2 x2+3x+4 7. 如图 1，在平面直角坐标系中，顶点
30、为 M 的抛物线 yax2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B， AOBO2，AOB120 （1）求这条抛物线的解析式； （2）连结 OM，求AOM 的大小； （3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标 图 1 【解析】ABC 与AOM 中相等的一组角在哪里呢？ 本题由简到难，层层深入第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点 M 的坐标，为第（2）题求AOM 的 大小作铺垫；求得了AOM 的大小，第（3）题暗示了要在ABC 中寻找与AOM 相等的角 （1）如图 2-2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H容易得到 A( 1, 3) 再由 A( 1,
31、3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为 2 32 3 33 yxx （2）由 22 32 333 (1) 3333 yxxx，得顶点 M 3 (1,) 3 所以 3 tan 3 BOM所以BOM30 所以AOM150 图 2 （3）由 A( 1, 3)、B(2,0)，可得ABO30 因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150 所以ABC 与AOM 相似，存在两种情况： 当3 BAOA BCOM 时， 2 3 2 33 BA BC 此时 C(4,0)（如图 3） 当3 BCOA BAOM 时，332 36BCBA此时 C(8,0)（如图 4） 图 3 图 4 8.在平面直角坐标系
32、 xOy 中，抛物线 y= 1 4 x2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B（8，0） （1）求抛物线的解析式； （2） 点 C 是抛物线与 y 轴的交点，连接 BC， 设点 P 是抛物线上在第一象限内的点， PDBC， 垂足为点 D 是否存在点 P，使线段 PD 的长度最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 当PDC 与COA 相似时，求点 P 的坐标 【分析】 （1）直接把点 A（2，0） ，B（8，0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程组，解出可得结论； （2）先得直线 BC 的解析式为：y= 1 2 x+4， 如图 1，作辅助线，先说明 RtPDE 中，PD=PE
33、sinPED=PEsinOCB= 2 5 5 PE，则当线段 PE 最长 时，PD 的长最大，设 P（t， 2 13 4 42 tt） ，则 E（t， 1 4 2 t） ，表示 PE 的长，配方后可得 PE 的最大 值，从而得 PD 的最大值； 先根据勾股定理的逆定理可得ACB=90 ，则COABOC， 所以当PDC 与COA 相似时，就有PDC 与BOC 相似，分两种情况： （I）若PCD=CBO 时，即 RtPDCRtCOB， （II）若PCD=BCO 时，即 RtPDCRtBOC， 分别求得 P 的坐标即可 【解答】解： （1）把 A（2，0） ，B（8，0）代入抛物线 y= 1 4 x
34、2+bx+c， 得： 1 20 1680 bc bc ，解得： 3 2 4 b c ， 抛物线的解析式为：y= 1 4 x2+ 3 2 x+4； （3 分） （2）由（1）知 C（0，4） ，B（8，0） ， 易得直线 BC 的解析式为：y= 1 2 x+4， 如图 1，过 P 作 PGx 轴于 G，PG 交 BC 于 E， RtBOC 中，OC=4，OB=8， BC= 22 48=4 5， 在 RtPDE 中，PD=PEsinPED=PEsinOCB= 2 5 5 PE， 当线段 PE 最长时，PD 的长最大， 设 P（t， 2 13 4 42 tt） ，则 E（t， 1 4 2 t） ，
35、PG= 2 13 4 42 tt，EG= 1 2 t+4， PE=PGEG=（ 2 13 4 42 tt）（ 1 2 t+4）= 1 4 t2+2t= 1 4 （t4）2+4， （0t8） ， 当 t=4 时，PE 有最大值是 4，此时 P（4，6） ， PD= 2 5 4 5 = 8 5 5 ， 即当 P（4，6）时，PD 的长度最大，最大值是 8 5 5 ； （7 分） A（2，0） ，B（8，0） ，C（0，4） ， OA=2，OB=8，OC=4， AC2=22+42=20，AB2=（2+8）2=100，BC2=42+82=80， AC2+BC2=AB2， ACB=90 ， COABOC
36、， 当PDC 与COA 相似时，就有PDC 与BOC 相似， 相似三角形的对应角相等， PCD=CBO 或PCD=BCO， （I）若PCD=CBO 时，即 RtPDCRtCOB， 此时 CPOB， C（0，4） ， yP=4， 2 13 4 42 tt=4， 解得：x1=6，x2=0（舍） ， 即 RtPDCRtCOB 时，P（6，4） ； （II）若PCD=BCO 时，即 RtPDCRtBOC， 如图 2，过 P 作 x 轴的垂线 PG，交直线 BC 于 F， PFOC， PFC=BCO， PCD=PFC， PC=PF， 设 P（n， 2 1 4 n+n+4） ，则 PF= 2 1 4 n+2n， 过 P 作 PNy 轴于 N， RtPNC 中，PC2=PN2+CN2=PF2， n2+（ 2 1 4 n+ 3 2 n+44）2=（ 2 1 4 n+2n）2， 解得：n=3， 即 RtPDCRtBOC 时，P（3， 25 4 ） ； 综上所述，当PDC 与COA 相似时，点 P 的坐标为（6，4）或（3， 25 4 ） （12 分）
