1、2018-2019 学年湖南省湘西州高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中只有一项在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （3 分）命题“x0，x2+x+10”的否定是（ ） Ax0，x2+x+10 Bx0，x2+x+10 Cx00，x02+x0+10 Dx00，x02+x0+10 2 （3 分）已知 i 是虚数单位，则复数的模为（ ） A B2 C2 D4 3 （3 分）若实数 x，y 满足不等式组，则 2x+y 的最大值是（ ） A1 B0 C1 D2 4 （3
2、 分）已知各项为正数的等比数列an中，a21，a3a764，则公比 q（ ） A2 B3 C4 D5 5 （3 分）已知 x0，不等式 x+2，x+3，x+4，可推广为 x+n+1， nN*，则 a 的值为（ ） A2n Bn2 C22 （n1） Dnn 6 （3 分） “m3”是“椭圆的焦距为 8”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 7 （3 分）已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为 yx，则双曲线 的离心率为（ ） A B C D 8 （3 分）如图已知正方体 ABCDABCD中，E 是 CC的中点， ， ， ，x +y +z ，则（ ）
3、第 2 页（共 19 页） Ax1，y2，z3 Bx，y1，z1 Cx1，y2，z2 Dx，y1，z 9 （3 分）如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山 高 AB1（km） ，CD3（km） ，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30，山顶 C 的 仰角为 60，AEC150，则两山顶 A，C 之间的距离为（ ） A B C D 10 （3 分） 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 底面边长和侧棱长都相等， 则异面直线 AB1与 BC1 所成角的余弦值为（ ） A B C D 11 （3 分）在 1 和 17 之间插入 n2 个数，使这 n 个数成等差
4、数列，若这 n2 个数中第一 个为 a，第 n2 个为 b，则的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 12 （3 分）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，且 f（x）f（x） （xR） ，f（2）e2（e 为 自然对数的底数） ，则不等式 f（x）ex的解集为（ ） A （e，+） B （2，+） C （，2） D （，e） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 13 （4 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知A60，b4， ABC 的面积为 3，则 c 第 3 页（共 19 页） 14 （4
5、分）已知命题 p：x26x+80，命题 q：0x3若“pq”为真命题则实数 x 的 取值范围是 15 （4 分）将等差数列 1，4，7，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个 排列规则，数阵中第 10 行最后一个数是 16（4 分） 已知 a， bR+， 直线 yxa 与曲线 y1n （x+b） 相切， 则的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 48 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （6 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的准线方程为 x1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过抛物线 C
6、 的焦点作直线 l，交抛物线 C 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标 为 6，求|AB| 18 （6 分）已知等差数列an的公差为 1，前 n 项和为 Sn，且 a3+S39 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 19 （8 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （）求 B； （）若 b3，sinCsinA，求 a，c 20 （8 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，且 ，E 是 SA 的中点 （1）求证：平面 BED平面 SAB； （2）求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角（锐角
7、）的大小 第 4 页（共 19 页） 21 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（2，0） ，B（2，0） ，P 为不在 x 轴上的动点， 直线 PA，PB 的斜率满足 kPAkPB （1）求动点 P 的轨迹的方程； （2）若 M，N 是轨迹上两点，kMN1，求OMN 面积的最大值 22 （10 分）已知函数 f（x）a1nxax+1（aR 且 a0） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）求证：（n2，nN*） 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年湖南省湘西州高二（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省湘西州高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与
8、试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中只在每小题给出的四个选项中只有一项有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （3 分）命题“x0，x2+x+10”的否定是（ ） Ax0，x2+x+10 Bx0，x2+x+10 Cx00，x02+x0+10 Dx00，x02+x0+10 【分析】否定是：否定条件，否定结论 【解答】解：否定：否定条件，否定结论 故命题“x0，x2+x+10”的否定是x00，x02+x0+10 故选：C 【点评】本题考查否定，属于基础题 2 （3 分）已知 i 是虚数单位，则
9、复数的模为（ ） A B2 C2 D4 【分析】直接利用商的模等于模的商求解 【解答】解： 故选：C 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 3 （3 分）若实数 x，y 满足不等式组，则 2x+y 的最大值是（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 C 时，直线 y2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 第 6 页（共 19 页） 由，解得，即 C（1，0）
10、 ， 代入目标函数 z2x+y 得 z21+02 即目标函数 z2x+y 的最大值为 2 故选：D 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 4 （3 分）已知各项为正数的等比数列an中，a21，a3a764，则公比 q（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出公比 【解答】解：各项为正数的等比数列an中，a21，a3a764， ，且 q0， 解得公比 q2 故选：A 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 5 （3 分）已知 x0
11、，不等式 x+2，x+3，x+4，可推广为 x+n+1， nN*，则 a 的值为（ ） A2n Bn2 C22 （n1） Dnn 【分析】分别分析各个不等式的特点，归纳出 a 的值 【解答】解：第一个不等式的 a1，第二个不等式的 a422，第三个不等式的 a27 32， 第 7 页（共 19 页） 则由归纳推理可知，第 n 个不等式的 ann 故选：D 【点评】本题考查了归纳推理、分析能力，认真观察各式，根据所给式子的结构特点的 变化情况总结规律是解题的关键 6 （3 分） “m3”是“椭圆的焦距为 8”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【分析】根
12、据“m3”和“椭圆的焦距为 8”的推出关系判断即可 【解答】解：当“m3”时，椭圆的焦距为 8，故充分性成立； 当椭圆的焦距为 8 时，m3 或 m，故必要性不成立； 所以“m3”是“椭圆的焦距为 8”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了充分条件和必要条件的判断，考查推理能力和计算能力，属于基础 题 7 （3 分）已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为 yx，则双曲线 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程 yx 即 yx，由此可 得 b：a4：3，结合双曲线的平方关系可得 c 与 a 的比值，求出该双曲线的离心率 【解答】解
13、：双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上， 设双曲线的方程为， （a0，b0） 第 8 页（共 19 页） 由此可得双曲线的渐近线方程为 yx，结合题意一条渐近线方程为 yx， 得 ，设 b4t，a3t，则 c5t（t0） 该双曲线的离心率是 e 故选：A 【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的 标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题 8 （3 分）如图已知正方体 ABCDABCD中，E 是 CC的中点， ， ， ，x +y +z ，则（ ） Ax1，y2，z3 Bx，y1，z1 Cx1，y2，z2 Dx，y1，z 【分析】设正方体棱长为 1，建
14、立空间直角坐标系，写出向量的坐标，根据条件得 解得 x，y，z 【解答】解：正方体 ABCDABCD，棱长为 1， 以 D 为原点，以 AA，DC，DD分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 所以 （0，0，1）（0，0，） ， （0，1，0）（0，0） ， （1， 0，0）（，0，0） ，w ， 因为x +y +z ， 第 9 页（共 19 页） 所以（1，1，）x（0，0，）+y（0，0）+z（，0，0） 解得 x1，y2，z3， 故选：A 【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于中档题 9 （3 分）如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山 高 AB1
15、（km） ，CD3（km） ，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30，山顶 C 的 仰角为 60，AEC150，则两山顶 A，C 之间的距离为（ ） A B C D 【分析】利用直角三角形的边角关系，求得 AE 和 CE 的长， 再利用余弦定理求得 AC 的长 【解答】解：AB1，CD3， AEB30，CED60，AEC150， AE2AB2，CE2； ACE 中，由余弦定理得 AC2AE2+CE22AECEcosAEC 4+12222（） 28， AC2； 即两山顶 A，C 之间的距离为 2km 故选：A 第 10 页（共 19 页） 【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考
16、查了解三角形的应用问题，是基 础题 10 （3 分） 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 底面边长和侧棱长都相等， 则异面直线 AB1与 BC1 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】以 A 为原点，在平面 ABC 中，过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值 【解答】解：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，设底面边长和侧棱长都为 2， 以 A 为原点，在平面 ABC 中，过 A 作 AC 的垂线为 x 轴， AC 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（0，0，
17、0） ，B1（，1，2） ，B（） ，C1（0，2，2） ， （） ，（，1，2） ， 设异面直线 AB1与 BC1所成角为 ， 则 cos， 异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 11 （3 分）在 1 和 17 之间插入 n2 个数，使这 n 个数成等差数列，若这 n2 个数中第一 第 11 页（共 19 页） 个为 a，第 n2 个为 b，则的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据题意，可得 a+b1+1718，又由
18、基本不等式即可求解最小值 【解答】解：由题意可得，a+b1+1718， 则（） （a+b）2， 当且仅当 b5a 且 a+b18 即 a3，b15 时等号成立， 故选：B 【点评】本题考查等差数列的性质，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题 12 （3 分）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，且 f（x）f（x） （xR） ，f（2）e2（e 为 自然对数的底数） ，则不等式 f（x）ex的解集为（ ） A （e，+） B （2，+） C （，2） D （，e） 【分析】构造函数，利用导数易得函数 g（x）为增函数，进而问题转化为 g （x）g（2）得解 【解答】解：构造函数，则 ，故函
19、数 g（x）在定义域上单调递 增， f（x）ex即为，即 g（x）g（2） ， x2，即不等式的解集为（，2） 故选：C 【点评】本题考查导数的运用，考查构造函数思想，属于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 13 （4 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知A60，b4， ABC 的面积为 3，则 c 3 【分析】由已知结合三角形的面积公式即可求解 【解答】解：A60，b4，ABC 的面积为 3， 3， c3 第 12 页（共 19 页） 故答案为：3 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式
20、的简单应用，属于基础试题 14 （4 分）已知命题 p：x26x+80，命题 q：0x3若“pq”为真命题则实数 x 的 取值范围是 x|2x4， 【分析】根据不等式的性质分别判定命题 p，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得 到结论 【解答】解：已知命题 p：x26x+80，命题 q：0x3 解 p：x26x+80，可得 2x4， 若“pq”为真命题，则 p 真 q 真， 若 p 真 q 真时，有 p、q 命题的解集求交集，即x|2x4， 故答案为：实数 x 的取值范围是x|2x4， 【点评】本题主要考查复合命题真假的关系，比较基础 15 （4 分）将等差数列 1，4，7，按一定的规则排
21、成了如图所示的三角形数阵，根据这个 排列规则，数阵中第 10 行最后一个数是 163 【分析】设各行的首项组成数列an，则 a2a13，a3a26，anan13（n 1） ，叠加可得：an+1，由此可求数阵中第 10 行最后一个数 【解答】解：设各行的首项组成数列an，则 a2a13，a3a26，anan13 （n1） 叠加可得：ana13+6+3（n1）， an+1 a10+1136 数阵中第 10 行最后一个数是：136+93163 故答案为：163 【点评】本题考查归纳推理，考查数列的特点，观察分析数字的排列规律是解题的关键 第 13 页（共 19 页） 16 （4 分）已知 a，bR+
22、，直线 yxa 与曲线 y1n（x+b）相切，则的最小值为 不存在 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得 a+b1，由 a，bR+求得 b 的范围，再由“对勾函数”的单调性求出的范围，可 知最小值不存在 【解答】解：yln（x+b）的导数为 y， 由切线的方程 yxa 可得切线的斜率为 1， 可得切点的横坐标为 1b，切点为（1b，0） ， 代入 yxa，得 a+b1，则 a1b， a，bR+，0b1， 则， 由2 在（0，1）上单调递减，可得2（1，+） 的最小值不存在 故答案为：不存在 【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式
23、是解决本题的 关键，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 48 分，解答应写出文字说明证明过程或演算分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤步骤 17 （6 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的准线方程为 x1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过抛物线 C 的焦点作直线 l，交抛物线 C 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标 为 6，求|AB| 【分析】 （1）由抛物线的准线方程直接求出抛物线的方程； （2） 设过焦点的直线与抛物线联立， 求出横坐标两根之和， 有抛物线的性质得弦长 AB 等 于横坐标之和加焦距 【解答】解： （1）由抛物线
24、的准线得：1，p2，所以抛物线的方程为：y2 4x； （2）由（1）得焦点 F（1，0） ，又由题意得，显然直线的斜率不为零，设直线 l 为：x 第 14 页（共 19 页） my+1， A（x，y） ，B（x，y） ，联立直线 l 与抛物线的方程得：y24my40，y+y4m，x+x m（y+y）+24m2+2， 由题意得：4m2+22612，|AB|x+x+p12+214， 所以弦长|AB|为 14 【点评】考查抛物线的性质，属于中档题 18 （6 分）已知等差数列an的公差为 1，前 n 项和为 Sn，且 a3+S39 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 【分
25、析】 （1）首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d1，首项为 a1， 前 n 项和为 Sn，且 a3+S39 则：， 解得：a11 所以：an1+（n1）n （2）， ， 则： 2（1） 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 19 （8 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （）求 B； （）若 b3，sinCsinA，求 a，c 第 15 页（共 19 页
26、） 【分析】 （）由已知及正弦定理，得，结合 sinA0，可求 ，由于 0B，可求 B 的值 （）由已知及正弦定理，得，利用余弦定理可求，联立即可 解得 a，c 的值 【解答】解： （）由及正弦定理，得 在ABC 中，sinA0， 0B， （）由及正弦定理，得， 由余弦定理 b2a2+c22accosB 得， 即， 由，解得 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中 的应用，考查了转化思想，属于基础题 20 （8 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，且 ，E 是 SA 的中点 （1）求证：平面 BED平面 SAB；
27、 （2）求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角（锐角）的大小 【分析】 （1）证明平面 BED平面 SAB，利用面面垂直的判定定理，证明 DE平面 SAB 即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面 BED 与平面 SBC 的法向量，利用向量的夹角公式， 第 16 页（共 19 页） 即可求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角（锐角）的大小 【解答】 （1）证明：SD底面 ABCD，SD平面 SAD， 平面 SAD平面 ABCD（2 分） ABAD，平面 SAD平面 ABCDAD， AB平面 SAD， 又 DE平面 SAD， DEAB，（4 分） SDAD，E 是 SA 的中点，DES
28、A， ABSAA，DEAB，DESA， DE平面 SAB， DE平面 BED， 平面 BED平面 SAB（6 分） （2）解：由题意知 SD，AD，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 不妨设 AD2 则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，S（0，0，2） ，E（1， 0，1） ， ，（8 分） 设是平面 BED 的法向量，则，即， 令 x11，则， 第 17 页（共 19 页） 是平面 BED 的一个法向量 设是平面 SBC 的法向量，则，即， 解得 x20，令，则 z21， 是平面 SBC 的一个法向量（10 分） ， 平面 BED 与平面 SBC 所成锐二面角的
29、大小为（12 分） 【点评】本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利 用向量法，属于中档题 21 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（2，0） ，B（2，0） ，P 为不在 x 轴上的动点， 直线 PA，PB 的斜率满足 kPAkPB （1）求动点 P 的轨迹的方程； （2）若 M，N 是轨迹上两点，kMN1，求OMN 面积的最大值 【分析】 （1）设点 P（x，y） ，利用 kPAkPB即可的动点 P 的轨迹方程； （2）设 MN 的方程为 yx+b，与方程联立，利用根与系数关系表示出|MN|，再表示出 点 O 到直线 MN 的距离 d， 进而可表示出面
30、积表达式，运用导数求出面积最值即可 【解答】解： （1）设 P（x，y）为轨迹上任意一点，则根据 kPAkPB 即，整理得动点 P 的轨迹的方程为：（y0） ； （2）设 MN：yx+b，联立，整理得 5x2+8bx+4b240，5b20， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x2b，x1x2（b21） ， |MN|x1x2|， O 到直线 MN 的距离 d， 第 18 页（共 19 页） 所以OMN 面积 S， 设 f（b）5b2b4，则 f（b）10b4b30，解得 b0 或 b 又因为 5b20，故 b0 或 b 且 S（0）0，S（）， 故OMN 的面积 S 最大值为
31、 【点评】本题考查点的轨迹方程，涉及直线与椭圆形成三角形最值问题，利用根于系数 关系表示线段长度是关键，属于中档题 22 （10 分）已知函数 f（x）a1nxax+1（aR 且 a0） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）求证：（n2，nN*） 【分析】 （1）结合函数的导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间， （2）结合（1）可得 lnxx1，然后结合对数的运算性质即可证明 【解答】解： （1）f（x）a1nxax+1， f（x）a， 当 a0 时，若 0x1，则 f（x）0，若 x1，f（x）0， f（x）的单调递增区间（0，1） ，单调递减区间（1，+） ； 当 a0 时，若 0x1，则 f（x）0，若 x1，f（x）0， f（x）的单调递减区间（0，1） ，单调递增区间（1，+） ； （2）令 a1，则 f（x）lnxx+1， 所以 f（1）0， 由（1）可知 f（x）在1，+）单调递减，故 f（x）f（1） ， （当 x1 时取等号） ， 所以 lnxx+10，即 lnxx1， 从而有 0lnnn1， （n2，nN*） 即（n2，nN*） ， （n2，nN*） 【点评】本题主要考查了利用导数来求函数的单调区间，考查了利用函数单调性的性质， 构造函数证明不等式问题，属于难题
