1、2018-2019 学年湖南省怀化市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上. 1 （5 分）复数的共轭复数是（ ） A2+i B2i C2+i D2i 2 （5 分）设集合 Ax|x0，Bx|x25x140，则 AB 等于（ ） Ax|0x5 Bx|2x7 Cx|2x5 Dx|0x7 3 （5 分）设 R，则“，是“sin”的（ ） A必要不充分条件 B
2、充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知向量 （1，2） ， （x，2） ，且 ，则| + |（ ） A5 B C4 D 5 （5 分）已知等比数列an中 a33，则 a1a5等于（ ） A9 B5 C6 D无法确定 6 （5 分）已知点 A（2，3）在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为（ ） A B1 C D 7 （5 分）将函数 ysin（x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴 的方程是（ ） Ax Bx C Dx 8 （5 分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元） ，以便引导学生树立正确的消 费观
3、 在某校抽取样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6，14） 内的频数为（ ） 第 2 页（共 21 页） A780 B680 C648 D460 9 （5 分）如图所示的三视图表示的四棱锥的体积为，则该四校锥的最长的棱的长度为 （ ） A4 B2 C6 D4 10 （5 分）函数 y（ex+e x）sinx 的部分图象大致为（ ） A B C D 11 （5 分）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家， 第 3 页（共 21 页） 且这三家至少有一个参会国
4、入住，则这样的安排方法共有（ ） A96 种 B124 种 C130 种 D150 种 12 （5 分）已知 O 为坐标原点，双曲线1（a0，b0）上有 A，B 两点满足 OAOB，且点 O 到直线 AB 的距离为 c，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）二项式（x+）8的展开式中的系数为 14 （5 分）设 xy 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 15 （5 分）已知函数 f（x），若 f（f（1） ）4a2则实数 a 的取值范围 是 16 （5 分）已知函数 f（
5、x）lnxax2bx，若 x1 是函数 f（x）的极大值点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 （10 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S44S2，2a1+1a2 （）求数列an的通项公式； （）设数列 bn，求bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且bsinAacosB 2a0 （）求B 的大小； （）若 b，ABC 的面积为，求 a，c 的值 19 （12 分）如
6、图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60，AB 2AD，PD底面 ABCD （）证明：PABD； （）若 PDAD，求二面角 APBC 的余弦值 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（1，0） 、F2 （1，0） ，椭圆的离心率为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求F1AB 的面积的最大值 21 （12 分）某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单 价 x 和月销售量 y 之间的一组数据，如表所示： 销售单价 x （
7、元） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量 y （万 件） 11 10 8 6 5 （）根据统计数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程，并预测月销售量不低于 12 万件时 销售单价的最大值； （）生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于 10 万件，则生产企业奖励网 店 1 万元；若月销售量不低于 8 万件且不足 10 万件，则生产企业奖励网店 5000 元；若 月销售量低于 8 万件，则没有奖励现用样本估计总体，从上述 5 个销售单价中任选 2 个销售单价，下个月分别在两个不同的网店进行销售，求这两个网店下个月获得奖励的 总额 X 的分布列及其数学期望 参考公式：对于一组数据（
8、x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn） ，其回归直线 x+ 的斜 率和截距的最小二估计分别为 ， 参考数据：392，502.5 第 5 页（共 21 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）aexx+b，g（x）xln（x+1） ， （a，bR，e 为自然对数 的底数） ，且曲线 yf（x）与 yg（x）在坐标原点处的切线相同 （1）求 f（x）的最小值； （2）若 x0 时，f（x）kg（x）恒成立，试求实数 k 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年湖南省怀化市高二（下）期末数学试卷（理科）学年湖南省怀化市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试
9、题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上. 1 （5 分）复数的共轭复数是（ ） A2+i B2i C2+i D2i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】解：复数2i 的共轭复数为2+i 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题 2 （5 分）设集合 Ax|x0，Bx|x25x140，则
10、 AB 等于（ ） Ax|0x5 Bx|2x7 Cx|2x5 Dx|0x7 【分析】求出关于 B 的不等式，求出 A、B 的交集即可 【解答】解：Ax|x0， Bx|x25x140（2，7） ， ABx|0x7， 故选：D 【点评】本题考查了解不等式问题，考查集合的交集的运算，是一道基础题 3 （5 分）设 R，则“，是“sin”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解：设 R，若“时，则“sinsin”故“，能推出“sin ” ， 若“sin”则“+2k，kZ；或 5+2k，kZ； 故：
11、 “sin”不能推出“， 第 7 页（共 21 页） 由充要条件可判断：R， “，是“sin”的充分不必要条件， 故选：B 【点评】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4 （5 分）已知向量 （1，2） ， （x，2） ，且 ，则| + |（ ） A5 B C4 D 【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出 x 的值，再求模长 【解答】解：向量 （1，2） ， （x，2） ， 且 ， x+2（2）0， 解得 x4； + （5，0） ， | + |5 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算性质的应用问题，是基础题目 5 （5 分）已知等比数
12、列an中 a33，则 a1a5等于（ ） A9 B5 C6 D无法确定 【分析】根据题意，根据等比中项的性质可得 a1a5（a3）29，即可得答案 【解答】解：根据题意，等比数列an中 a33， 则 a1a5（a3）29； 故选：A 【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比中项的计算，属于基础题 6 （5 分）已知点 A（2，3）在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为（ ） A B1 C D 【分析】利用点 A（2，3）在抛物线 C：y22px 的准线上，确定焦点 F 的坐标，即可 求出直线 AF 的斜率 【解答】解：点 A（2，3）在抛物线 C：y2
13、2px 的准线上， 第 8 页（共 21 页） 2， F（2，0） ， 直线 AF 的斜率为 故选：C 【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基 础题 7 （5 分）将函数 ysin（x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴 的方程是（ ） Ax Bx C Dx 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，可得所得函数的解析式为 ysin （x+） ，再根据正弦函数的图象的对称性可得 x+k+，kz，由此求得所得函 数图象的一条对称轴的方程 【解答】解：将函数 ysin（x）图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式 为 ysin（x+）sin
14、（x+） ， 令 x+k+，kz，可得对称轴方程为 xk+，kz， 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称 性，属于基础题 8 （5 分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元） ，以便引导学生树立正确的消 费观 在某校抽取样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6，14） 内的频数为（ ） A780 B680 C648 D460 第 9 页（共 21 页） 【分析】根据频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于 1，求出样本数据落在6， 14）内的频率，即可求出对应的频数 【解答】解：根据题意，得 样本数据落在6，
15、14）内的频率是 1（0.02+0.03+0.03）40.68； 样本数据落在6，14）内的频数是 10000.68680 故选：B 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应灵活应用频率分布直方图中 各个小长方形的面积之和等于 1 的条件，是基础题 9 （5 分）如图所示的三视图表示的四棱锥的体积为，则该四校锥的最长的棱的长度为 （ ） A4 B2 C6 D4 【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥 PABCD，其中 PA底面 ABCD，底面是边 长为 4，2 的长方形，高 PA4可得最长的棱长为 PC 【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥 PABCD， 其中 PA底面 AB
16、CD，底面是边长为 4 与 a 的长方形，高 PA4.解得 a2 则最长的棱长为 PC6 故选：C 第 10 页（共 21 页） 【点评】本题考查了四棱锥的三视图、勾股定理、空间线面位置关系，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 10 （5 分）函数 y（ex+e x）sinx 的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】先函数的奇偶性和对称性，然后利用极限思想进行排除即可 【解答】解：函数 f（x）（ex+e x）sinxf（x） ，图象是奇函数，图象关于原点 对称，排除 B，D， 当 x0 且 x0，f（x）0，排除 A， 故选：C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数
17、奇偶性和对称性的关系以及极 限思想是解决本题的关键 11 （5 分）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家， 且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（ ） A96 种 B124 种 C130 种 D150 种 第 11 页（共 21 页） 【分析】由题意知五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参 会国入住，可以把 5 个国家人分成三组，一种是按照 1、1、3；另一种是 1、2、2；当按 照 1、1、3 来分时共有 C53A33，当按照 1、2、
18、2 来分时注意其中包含一个平均分组的问 题，不要出错 【解答】解：五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会 国入住， 可以把 5 个国家人分成三组， 一种是按照 1、1、3；另一种是 1、2、2 当按照 1、1、3 来分时共有 C53A3360， 当按照 1、2、2 来分时共有A3390， 根据分类计数原理知共有 60+90150， 故选：D 【点评】本题考查排列组合与分类计数原理，是一个基础题，对于复杂一点的计数问题， 有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原 理解决 12 （5 分）已知 O 为坐标原点，双曲线1（a0，b0）
19、上有 A，B 两点满足 OAOB，且点 O 到直线 AB 的距离为 c，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】 当 A， B 所在直线斜率不存在时， AB 方程为 xc， 由题意， 求得 e； 当 A，B 所在直线斜率存在时，设直线方程为 ykx+m，联立直线方程与双曲线方程，结 合题意得到： （a2c2b4） （1+k2）0，由此也可得双曲线的离心率为 【解答】解：当 A，B 所在直线斜率不存在时，AB 方程为 xc， 由题意，即 b2c2a2ac， 得 e2e10，求得 e； 当 A，B 所在直线斜率存在时，设直线方程为 ykx+m， 第 12 页（共 21 页） 联立，得（b
20、2a2k2）x22a2kmxa2m2a2b20 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则， y1y2（kx1+m） （kx2+m） 由点 O 到直线 AB 的距离为 c，得，即 m2k2c2+c2 又 OAOB，x1x2+y1y2， 则（a2b2） （k2c2+c2）+a2b2+a2k2b20， 整理得： （a2c2b4） （1+k2）0， a2c2b40，即 a2c2（c2a2）20， 即，则 e 双曲线的离心率为 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能 力，是中档题 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满
21、分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）二项式（x+）8的展开式中的系数为 56 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于2，求得 r 的值，即可 求得展开式中的系数 【解答】解：二项式（x+）8的展开式的通项公式为 Tr+1x8 2r，令 82r2， 求得 r5， 可得展开式中的系数为 56， 故答案为：56 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题 14 （5 分）设 xy 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 3 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求得最优 解，联立
22、方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由满足约束条件，做出可行域如图， 化目标函数 zx+2y 为直线方程的斜截式 yx+ 由图可知，当直线 yx+过可行域内的点 A、B 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 最大 则 zmax3 故答案为：3 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15 （5 分）已知函数 f（x），若 f（f（1） ）4a2则实数 a 的取值范围 是 （1，4） 【分析】运用解析式转化不等式为 16+12a4a2，球即可 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：函数 f（x）， f（1）3+14，f（f（1） ）f（4
23、）16+12a， 若 f（f（1） ）4a2，则 16+12a4a2， 即 a23a40，解得1a4 故答案为： （1，4） 【点评】本题考查了分段函数的运用，不等式的求解即可，属于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）lnxax2bx，若 x1 是函数 f（x）的极大值点，则实数 a 的取值范围是 a1 【分析】f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）axb，由 f（1）0，得 b1a所 以 f（x），由此能求出 a 的取值范围 【解答】解：f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）axb，由 f（1）0，得 b1 a 所以 f（x） 若 a0，由 f（x）0，得 x1 当 0x1 时，f
24、（x）0，此时 f（x）单调递增； 当 x1 时，f（x）0，此时 f（x）单调递减 所以 x1 是 f（x）的极大值点 若 a0，由 f（x）0，得 x1，或 x 因为 x1 是 f（x）的极大值点，所以1，解得1a0 综合：a 的取值范围是 a1 故答案为：a1 【点评】本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答， 注意合理地进行等价转化 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S44S2，2a
25、1+1a2 （）求数列an的通项公式； 第 15 页（共 21 页） （）设数列 bn，求bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）通过联立 S44S2与 2a1+1a2，可求出首项和公差，进而利用等差数列的 通项公式计算即得结论； （2）通过（1）裂项，进而并项相加即得结论 【解答】解： （1）S44S2，2a1+1a2， 4a1+6d4（2a1+1） ，2a1+1a1+d， 解得：a11，d2， an2n1； （2）由（1）可知， 并项相加，得 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意 解题方法的积累，属于中档题 18 （12 分）已知 a，b，c
26、分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且bsinAacosB 2a0 （）求B 的大小； （）若 b，ABC 的面积为，求 a，c 的值 【分析】 （）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得 sin（B）1， 结合 B 的范围即可得解 B 的值 （）由已知利用三角形面积公式可求 ac2，由余弦定理可得：a2+c25，联立即可求 得 a，c 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （）bsinAacosB2a0 由正弦定理可得：sinBsinAsinAcosB2sinA0， sinBcosB2，可得 sin（B）1， B（0，） ，B（，） ，可得：B， B6 分 第 16
27、 页（共 21 页） （）ABC 的面积为acsinBacsin， ac2， b，B，由余弦定理可得：a2+c22accos7，解得：a2+c25， 联立可得：a1，c2，或 a2，c112 分 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦 定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60，AB 2AD，PD底面 ABCD （）证明：PABD； （）若 PDAD，求二面角 APBC 的余弦值 【分析】 （）因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD，利用
28、勾股定 理证明 BDAD，根据 PD底面 ABCD，易证 BDPD，根据线面垂直的判定定理和性 质定理，可证 PABD； （）建立空间直角坐标系，写出点 A，B，C，P 的坐标，求出向量，和 平面 PAB 的法向量，平面 PBC 的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可 【解答】 （）证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD， 从而 BD2+AD2AB2，故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD故 PABD （）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长， 射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A（1，0，0） ，B
29、（0，0） ，C（1，0） ，P（0，0，1） （1，0） ，（0，1） ，（1，0，0） ， 第 17 页（共 21 页） 设平面 PAB 的法向量为 （x，y，z） ，则 即， 因此可取 （，1，） 设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ，则， 即： 可取 （0，1，） ，cos 故二面角 APBC 的余弦值为： 【点评】此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求 空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（1，0） 、F2 （1，0） ，椭圆的离心率为 （1）求椭
30、圆 C 的标准方程； （2）过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求F1AB 的面积的最大值 【分析】 （1）由椭圆的焦点，离心率 e，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的 方程 （2）设直线 l 的方程为 xty+1，代入 2x2+3y26 得得（2t2+3）y2+4ty40， 由此利用韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出F1PQ 面积 的最小值 第 18 页（共 21 页） 【解答】解： （1）椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（1，0） 、 F2（1，0） ， 2c2，c1，又e，a2b2+c2， 椭圆 C 的标准方程为：
31、 （2）设直线 l 的方程为 xty+1，代入 2x2+3y26 得得（2t2+3）y2+4ty40， y1+y2，y1y2， F1AB 的面积 s2c|y1y2|y1y2|， 令 u1，+） ，则 s， y2u+在1，+）上是增函数， 当 1，即 t0 时，F1AB 的面积的最小值是 【点评】题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，注意韦达定理、弦 长公式、换元法、函数单调性的合理运用属于中档题 21 （12 分）某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单 价 x 和月销售量 y 之间的一组数据，如表所示： 销售单价 x （元） 9 9.5 10 10.
32、5 11 月销售量 y （万 件） 11 10 8 6 5 （）根据统计数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程，并预测月销售量不低于 12 万件时 销售单价的最大值； （）生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于 10 万件，则生产企业奖励网 店 1 万元；若月销售量不低于 8 万件且不足 10 万件，则生产企业奖励网店 5000 元；若 月销售量低于 8 万件，则没有奖励现用样本估计总体，从上述 5 个销售单价中任选 2 个销售单价，下个月分别在两个不同的网店进行销售，求这两个网店下个月获得奖励的 第 19 页（共 21 页） 总额 X 的分布列及其数学期望 参考公式：对于一组数据（
33、x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn） ，其回归直线 x+ 的斜 率和截距的最小二估计分别为 ， 参考数据：392，502.5 【分析】 （）分别求得 x，y 的平均数，计算 ， ，可得所求回归直线方程； （）考虑 X2，1.5，1，0.5，0 万元，求得对应的概率，再由数学期望公式，计算可 得所求 【解答】解： （） （9+9.5+10+10.5+11）10， （11+10+8+6+5）8， 3.2， 8（3.2）1040， y 关于 x 的回归直线方程为： 3.2x+40 要使月销售量不低于 12 万件，则有3.2x+4012， 解得 x8.75， 销售单价的最大值为 8.75
34、 元 （） 由题意得销售单价共有 5 个， 其中使得月销售量不低于 10 万件有有 2 个， 记为 a1， a2， 月销售量不低于 8 万元且不足 10 万元的有 1 个，记为 b， 月销售量低于 8 万元的有 2 个，记为 c1，c2， 从中任取 2 件，基本事件个数 n10， 可得 X2，1.5，1，0.5，0 万元， 第 20 页（共 21 页） P（X2）；P（X1.5）0.2；P（X1）；P（X0.5）；P（X 0） X 的分布列为 X 0 0.5 1 1.5 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 可得 E（X）00.1+0.50.2+10.4+1.50.2+20.11 【
35、点评】本题考查线性回归直线方程的求法，注意运用方程思想，考查离散型随机变量 的概率分布列和数学期望的求法，考查运算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）aexx+b，g（x）xln（x+1） ， （a，bR，e 为自然对数 的底数） ，且曲线 yf（x）与 yg（x）在坐标原点处的切线相同 （1）求 f（x）的最小值； （2）若 x0 时，f（x）kg（x）恒成立，试求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）据导数的几何意义和最值和函数的单调性的关系即可求出； （2）构造函数，再分类讨论，根据导数和单调性的关系即可求出 【解答】解： （1）因为 f（x）aex1， 依题意，f（0
36、）g（0） ，且 f（0）0，解得 a1，b1， 所以 f（x）ex1，当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0 故 f（x）的单调递减区间为（，0） ，单调递增区间为（0，+） 当 x0 时，f（x）取得最小值为 0 （2）由（1）知，f（x）0，即 exx+1，从而 xln（x+1） ，即 g（x）0 设 F（x）f（x）kg（x）ex+kln（x+1）（k+1）x1， 则， 当 k1 时，因为 x0，（当且仅当 x0 时等号成立） 此时 F（x）在0，+）上单调递增，从而 F（x）F（0）0，即 f（x）kg（x） 当 k1 时，由于 g（x）0，所以 g（x）kg（x） ，
37、又由（1）知，f（x）g（x）0，所以 f（x）g（x）kg（x） ，故 F（x）0， 即 f（x）kg（x） （此步也可以直接证 k1） 第 21 页（共 21 页） 当 k1 时，令，则， 显然 h （x） 在0， +） 上单调递增， 又 h （0） 1k0， 所以 h（x）在上存在唯一零点 x0， 当 x（0，x0）时，h（x）0，h（x）在0，x0）上单调递减， 从而 h（x）h（0）0，即 F（x）0，所以 F（x）在0，x0）上单调递减， 从而当 x（0，x0）时，F（x）F（0）0，即 f（x）kg（x） ，不合题意 综上，实数 k 的取值范围为（，1 【点评】本题考查了导数和函数的单调性，考查了运算能力，转化能力，解决问题的能 力，属于中档题
