1、2018-2019 学年湖南省名校联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （5 分）已知复数 z 满足2i，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部是（ ） A3 B3 C4 D4 2 （5 分）已知集合 Ax|2x1，Bx|（x+2） （x1）0，则 AB（ ） A2，0） B （，2 C （，1 D2，+） 3 （5 分）设 a 为实数，则“a”是“a2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分
2、也不必要条件 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a1，则输出的结果为（ ） A15 B6 C10 D21 5 （5 分）函数 f（x）|x|sin2x 的部分图象可能是（ ） A B C D 6 （5 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的圆上，且满足 CACB，圆内的弧线是以 C 为圆心， CA 为半径的圆的一部分，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 第 2 页（共 21 页） （ ） A B C D 7 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的右焦点为 F 点 A（0，b） ，连接 AF 与双曲线 C 交于点 B，若2，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A
3、yx By2x Cyx Dy 8 （5 分）将函数 f（x）cos2x 的图象向左平移个单位，得到 g（x）的图象，则下列关 于 g（x）的说法正确的是（ ） A最小正周期为 B关于 x对称 C关于点（，0）对称 D在区间，上单调递减 9 （5 分）已知 a2 0.2，b1og 3，clog，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dcab 10 （5 分）用 1，3，5 三个奇数和 2，4 两个偶数组成一个五位数，两个偶数之间恰好有一 个奇数的五位数的个数是（ ） A24 B36 C48 D60 11 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
4、c，ccosA+csinAb+a，则 C （ ） A B C D 12 （5 分）将边长为 2 的菱形 ABCD 沿对角线 BD 折叠成空间四边形，则三棱锥 ABCD 体积的最大值是（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知向量| |1，| |，且 和 的夹角为，则（ + ） （2 ） 14 （5 分）设曲线 y在点（2，2）处的切线与直线 ax+3y+70 垂直，则 a 15 （5 分）若（x2+）n展开式的二项式系数之和为 32，展开式中含 x 项的系数是 80，则 等于 16 （5
5、 分）已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，过 C 上一点 A 作 C 的准线 l 的垂线，垂足 为 B，连接 FB 交 x 轴于点 D，若|AF|5，则|AD| 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Snan+1，a14 （1）求an的通项公式； （2）若 bnlog2an，求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图所示的三棱台中，A1C12ACCC12，M，N 分别为 A1C1，A1B 的中点， ACCB，ACCB，CC1C1B1A1C1MN （1）求证：
6、MN平面 CC1B1B； （2）求二面角 MABA1的余弦值 19 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值 k（k70，95）来衡量当 85k95 时， 产品为一等品；75k85 时，产品为二等品；当 70k75 时，产品为三等品现从甲、 乙两条生产线，各随机抽取了 100 件该产品作为样本，测量每件产品的质量指标值，整 理得到甲、乙两条生产线产品的质量指标值的频率分布直方图如图所示，视样本的频率 为总体的概率 （1）若从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取 1 件，求恰好抽到 1 件一等品的概率； 第 4 页（共 21 页） （2）若一件三等品，二等品、一等品的利润分别为 10 元、20 元
7、、30 元，从乙生产线生 产的产品中随机抽取 2 件，求这两件产品的利润分之和 X 的分布列和数学期望； （3）若从甲生产线生产的产品中随机抽取 n 件，其中抽到二等品的件数为随机变量 Y， 且 Y 的数学期望不小于 1200，求 n 的最小值 20 （12 分）已知椭圆：（ab0）的离心率为，的四个顶点围成的四 边形面积为 （1）求的方程； （2）过的右焦点 F，且斜率不为 0 的直线 l 与 P 交于 A，B 两点线段 AB 的垂直平分线 经过点 M（0，） ，求MAB 的面积 21 （12 分）已知函数 f（x）ex（x2+ax+a）1，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若不等
8、式 m（x+1）xex+1 在区间1，+）上恒成立，求 m 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为， （t 为参数） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程是 cossin， 曲线 C2的极坐标方程是 6cos+4sin （1）求直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程曲线 C1的普通方程； （2）若直线 l 与曲线 C1和曲线 C2
9、在第一象限的交点分别为 P，Q，求|OP|+OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|，g（x）f（x）2|x| （1）求 g（x）的最大值 m； （2）若 a0，b0，且m，求证：f（a+3）+f（b+1）4 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年湖南省名校联考高二（下）期末数学试卷（理科）学年湖南省名校联考高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
10、 题目要求的题目要求的 1 （5 分）已知复数 z 满足2i，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部是（ ） A3 B3 C4 D4 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由2i，得 z（2i） （1+2i）4+3i 复数 z 的虚部是 3 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|2x1，Bx|（x+2） （x1）0，则 AB（ ） A2，0） B （，2 C （，1 D2，+） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行并集的运算即可 【解答】解：Ax|x0，Bx|2x1； AB（，1 故
11、选：C 【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解 法，以及并集的运算 3 （5 分）设 a 为实数，则“a”是“a2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：若“a” ，则 a0，则“a2”成立， 若 a2，当 a0 时不等式 a2也成立，但此时 a不成立， 即“a”是“a2”的充分不必要条件， 第 6 页（共 21 页） 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关 键 4 （5 分）执行如
12、图所示的程序框图，若输入的 a1，则输出的结果为（ ） A15 B6 C10 D21 【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程， 分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：k1，S0，输入的 a1， 第一次执行循环体后，S0+11，a1，k2，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，S143，a1，k3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，S3+96，a1，k4，不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后，S61610，a1，k5，满足退出循环的条件； 故输出 S 值为10， 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模
13、拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 5 （5 分）函数 f（x）|x|sin2x 的部分图象可能是（ ） A B 第 7 页（共 21 页） C D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊角的三角函数值判断点的坐标，然后判 断选项即可 【解答】解：函数 f（x）|x|sin2x 是奇函数，所以排除选项 B； 当 x时，f（）sin 排除选项 A，D； 故选：C 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的坐标的应用，是基本 知识的考查 6 （5 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的圆上，且满足 CACB，圆内的弧线是以 C 为圆心， CA 为半径的圆的一部
14、分，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 （ ） A B C D 【分析】设圆的半径为 1，分别求出两个阴影部分的面积，求得 P1，P2的值可得答案 【解答】解：记ABC 三边所围成的区域（黑色部分）为，右侧月牙形区域（黑色部 分）为， 设圆的半径为 1，则区域的面积为 S1211； 区域的面积 S212（ ）2211； 圆的面积为 12 P1P2 所以在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：； 故选：A 第 8 页（共 21 页） 【点评】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出两个阴影部分的面积，是中档题 7 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的右焦点为 F
15、点 A（0，b） ，连接 AF 与双曲线 C 交于点 B，若2，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ayx By2x Cyx Dy 【分析】利用右焦点为 F（c，0） ，点 A（0，b） ，线段 AF 与双曲线 C 的右支交于点 B， 2，确定 B 的坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线 C 的渐近线方程 【解答】解：设 B（x，y） ， 右焦点为 F（c，0） ，点 A（0，b） ，连接 AF 与双曲线 C 交于点 B，若2， x，y， 代入双曲线方程，可得，b2a， 双曲线 C 的渐近线方程为：y2x 故选：B 【点评】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的方程，利用向量知识确定 B 的坐标
16、是 关键 8 （5 分）将函数 f（x）cos2x 的图象向左平移个单位，得到 g（x）的图象，则下列关 于 g（x）的说法正确的是（ ） A最小正周期为 B关于 x对称 C关于点（，0）对称 D在区间，上单调递减 【分析】根据函数 yAcos（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用余弦 函数的图象和性质，得出结论 【解答】 解： 将函数 f （x） cos2x 的图象向左平移个单位， 得到 g （x） cos （2x+） 的图象， 第 9 页（共 21 页） 显然，它的最小正周期为，故排除 A 当 x时，g（x），不是最值，故 g（x）的图象不关于 x对称，故排除 B 当 x时，
17、g（x）1，是最值，故 g（x）的图象关于 x对称，故排除 C 在区间，上，2x+0，g（x）单调递增，故 D 满足， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAcos（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质， 属于基础题 9 （5 分）已知 a2 0.2，b1og 3，clog，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dcab 【分析】可以得出 2 0.21， ，从而可得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：2 0.2201， ，； abc 故选：A 【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及对数的运算 10 （5 分）用 1，3，5 三
18、个奇数和 2，4 两个偶数组成一个五位数，两个偶数之间恰好有一 个奇数的五位数的个数是（ ） A24 B36 C48 D60 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，从 1，3，5 三个奇数中任选一个放在 2 与 4 之间，将选好的数字作为一个整体，与其他 2 个数字全排列，由分步计数原理计算 可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，从 1，3，5 三个奇数中任选一个放在 2 与 4 之间，有 A22C316 种情况， ，将选好的数字作为一个整体，与其他 2 个数字全排列，有 A336 种情况， 则有 6636 个符合条件的三位数； 故选：B 第 10 页（共 21 页） 【点
19、评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 11 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ccosA+csinAb+a，则 C （ ） A B C D 【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求 sin（C）， 结合 C 的范围，利用正弦函数的性质可求 C 的值 【解答】解：ccosA+csinAb+a， 由正弦定理，得 sinCcosA+sinCsinAsinB+sinA， 可得：sinCcosA+sinCsinAsinB+sinAsinAcosC+sinCcosA+sinA， 可得：sinCsinAsinAcosC+sinA
20、， sinA0， 可得：sinCcosC+1，即sin（C）1，可得 sin（C）， C（0，） ，C（，） ， C，可得：C 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质， 在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 12 （5 分）将边长为 2 的菱形 ABCD 沿对角线 BD 折叠成空间四边形，则三棱锥 ABCD 体积的最大值是（ ） A B C D 【分析】对角线 BD 折叠成空间四边形过程中，当面 ADB面 DBC 时，三棱锥 ABCD 体积的最大 设 BCA ， 0 900， V 利用导数求解 【解答】解：如图，对角线 BD
21、折叠成空间四边形过程中，当面 ADB面 DBC 时，三棱 锥 ABCD 体积的最大 第 11 页（共 21 页） 此时，三棱锥 ABCD 的体积 V 图 1 中，设BCA，0900 S2sin2，AOCO2cos V 又函数 f（x）x（1x2） ，f（x）13x2 可得 f（x）在（0，）递增，在（）递减， f（x） 三棱锥 ABCD 体积的最大值是 故选：C 【点评】本题考查了空间折叠问题，考查了函数思想，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知向量| |1，| |，且 和 的夹角为，则（ + ） （2 ） 【分析】直接
22、利用向量的数量积转化求解即可 【解答】解：向量| |1，| |，且 和 的夹角为， 则（ + ） （2 ）2+23 故答案为： 【点评】本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查 14 （5 分）设曲线 y在点（2，2）处的切线与直线 ax+3y+70 垂直，则 a 3 【分析】先求出导函数 y，再由两直线垂直时斜率之积为1，列出方程求出 a 的值 第 12 页（共 21 页） 【解答】解：由题意得，y， 在点（2，2）处的切线与直线 ax+3y+70 垂直， 1，解得 a3， 故答案为：3 【点评】本题考查了导数的几何意义，即一点处的切线斜率是该点出的导数值，以及直 线相互垂直的等价条件应
23、用 15 （5 分）若（x2+）n展开式的二项式系数之和为 32，展开式中含 x 项的系数是 80，则 等于 ln2 【分析】先利用二项式系数的性质求得 n 的值，再利用二项展开式的通项公式及题意， 求出 a 得值，求定积分可得要求式子的值 【解答】解：（x2+）n展开式的二项式系数之和为 2n32，n5 （x2+）n（x2+）5展开式的通项公式为 Tr+1arx10 3r， 令 103r1，可得 r3，故展开式中含 x 项的系数是a380，a2， 则dxlnxln2， 故答案为：ln2 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 16 （5 分
24、）已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，过 C 上一点 A 作 C 的准线 l 的垂线，垂足 为 B，连接 FB 交 x 轴于点 D，若|AF|5，则|AD| 【分析】由抛物线的焦点坐标和准线方程，求出 A，B 的坐标，得到 FB 的方程，然后求 解 D 的坐标，即可求解|AD| 【解答】解：抛物线 C：x24y 的焦点为 F（0，1） ，准线为 l：y1，|AF|5， 可得 A（4，4） ，B（4，1） ，所以 FB 的方程为：y1x， D（2，0） ， |AD|2 故答案为：2 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查学生的计算能力，属于基础题 三三、解答题
25、：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Snan+1，a14 （1）求an的通项公式； （2）若 bnlog2an，求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用数列的递推式和等比数列的定义，以及通项公式可得所求； （2）求得 bnlog2anlog24n2n，（） ，由裂项相 消求和可得所求和 【解答】解： （1）Snan+1，a14， 可得 n2 时，Sn1an，又 Snan+1， 相减可得 anan+1an，即 an+14an， 当 n1 时，可得 4a2，解得 a216，
26、则 an4n，满足 n1， 则 an4n，nN*； （2）bnlog2anlog24n2n， （） ， 可得前 n 项和 Tn（1+） （1） 【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，考查裂项相消求和，化简运算 能力，属于中档题 18 （12 分）如图所示的三棱台中，A1C12ACCC12，M，N 分别为 A1C1，A1B 的中点， ACCB，ACCB，CC1C1B1A1C1MN （1）求证：MN平面 CC1B1B； （2）求二面角 MABA1的余弦值 第 14 页（共 21 页） 【分析】 （1）连结 BC1，推导出 MNBC1，由此能证明 MN平面 CC1B1B （2）由 MNB
27、C1，得MN，A1C1BC1，B1C1C1A1，从而 A1C1平面 CC1B1B， 进而 A1C1CC1， 再由 CC1C1B1， 得 A1C1CC1， CC1C1B1， 从而 CC1平面 A1B1C1， 分别以 C1A1，C1B1，C1C 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面 角 MABA1的余弦值 【解答】解： （1）证明：连结 BC1，M，N 分别为 A1C1，A1B 的中点， MNBC1， MN平面 CC1B1B，BC1平面 CC1B1B， MN平面 CC1B1B （2）由（1）得 MNBC1， MN，A1C1BC1， B1C1C1A1，BC1C1B1C1， A
28、1C1平面 CC1B1B，A1C1CC1， CC1C1B1，B1C1C1A1C1，A1C1CC1， CC1C1B1，B1C1C1A1C1，CC1平面 A1B1C1， C1A1，C1B1，C1C 两两垂直，分别以 C1A1，C1B1，C1C 为 x，y，z 轴，建立空间直角 坐标系， 则 M（1，0，0） ，A（1，0，2） ，A1（2，0，0） ， （0，0，2） ，（1，1，0） ，（1，0，2） ， 设平面 MAB 的一个法向量为 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （1，1，0） ， 设平面 ABA1的一个法向量 （x，y，z） ， 第 15 页（共 21 页） 则，取 x2，得 （2
29、，2，1） ， cos， 二面角 MABA1的平面角为锐角， 二面角 MABA1的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值 k（k70，95）来衡量当 85k95 时， 产品为一等品；75k85 时，产品为二等品；当 70k75 时，产品为三等品现从甲、 乙两条生产线，各随机抽取了 100 件该产品作为样本，测量每件产品的质量指标值，整 理得到甲、乙两条生产线产品的质量指标值的频率分布直方图如图所示，视样本的频率 为总体的概率 （1）若从甲、
30、乙生产线生产的产品中各随机抽取 1 件，求恰好抽到 1 件一等品的概率； （2）若一件三等品，二等品、一等品的利润分别为 10 元、20 元、30 元，从乙生产线生 产的产品中随机抽取 2 件，求这两件产品的利润分之和 X 的分布列和数学期望； （3）若从甲生产线生产的产品中随机抽取 n 件，其中抽到二等品的件数为随机变量 Y， 且 Y 的数学期望不小于 1200，求 n 的最小值 【分析】 （1）由频率分布直方图分别求得甲生产线为一等品与乙生产线为一等品的概率， 再由独立事件的概率公式求解； （2）由频率分布直方图可，乙生产线为二等品与乙生产线为三等品的概率，可得两件产 第 16 页（共 2
31、1 页） 品的利润和 X 的取值有：20，30，40，50，60分别求概率，列出频率分布表，再由期 望公式求期望； （3）从甲生产线抽到二等品的件数 YB（n，0.4） ，求得 E（Y）0.4n，由 0.4n1200 求解 n 的最小值 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，甲生产线为一等品的概率为 50.08+50.04 0.6， 乙生产线为一等品的概率为 50.06+50.040.5， 记 A“恰好抽到 1 件一等品” ， 则 P（A）0.60.5+0.40.50.5； （2）由频率分布直方图可知，乙生产线为二等品的概率为 50.03+50.050.4， 乙生产线为三等品的概率为 50
32、.020.1， 两件产品的利润和 X 的取值有：20，30，40，50，60 P（X20）0.10.10.01；P（X30）20.10.40.08； P（X40）20.50.1+0.40.40.26； P（X50）20.50.40.4；P（X60）0.50.50.25 X 的分布列为： X 20 30 40 50 60 P 0.01 0.08 0.26 0.4 0.25 E（X）200.01+300.08+400.26+500.4+600.2548； （3）从甲生产线抽到二等品的件数 YB（n，0.4） ， E（Y）0.4n， 由 0.4n1200，解得 n3000 n 的最小值为 3000
33、【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查运算求解能力，正确理解题意是 关键，是中档题 20 （12 分）已知椭圆：（ab0）的离心率为，的四个顶点围成的四 边形面积为 （1）求的方程； 第 17 页（共 21 页） （2）过的右焦点 F，且斜率不为 0 的直线 l 与 P 交于 A，B 两点线段 AB 的垂直平分线 经过点 M（0，） ，求MAB 的面积 【分析】 （1）由题意，得 bc，结合的四个顶点围成的四边形面积为求解 a，b 的值，则椭圆方程可求； （2）由（1）得，F（3，0） ，设直线 l 的斜率为 k（k0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的中点为（x0
34、，y0） 联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得 AB 的中点坐 标，写出线段 AB 的垂直平分线方程，把点 M（0，）代入求得 k，求出|AB|，再由 点到直线距离公式求得点 M 到直线的距离，代入三角形面积公式求解 【解答】解： （1）由题意，b2a2c2c2，即 bc 又的四个顶点围成的四边形面积为， 解得 bc3，a 的方程为； （2）由（1）得，F（3，0） ， 设直线 l 的斜率为 k（k0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， AB 的中点为（x0，y0） 由，得（1+2k2）x212k2x+18（k21）0 0 恒成立， ， 线段 AB 的垂直平分线为 y+ 将
35、点 M（0，）代入，得， 解得 k 第 18 页（共 21 页） 把 k代入（1+2k2）x212k2x+18（k21）0 得 2x26x90 x1+x23， |AB| 点 M 到直线的距离 d 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能 力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ex（x2+ax+a）1，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若不等式 m（x+1）xex+1 在区间1，+）上恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）求函数的导数 f（x）ex（x+a） （x+2） ，分别讨论 a 的范围可求得 f（x） 的单调性； （2）将不
36、等式 m（x+1）xex+1 在区间1，+）上恒成立转换成当 x1 时，m +1 恒成立， 当 x1 时，m，令 g（x），求函数的最值可得 m 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）ex（x2+ax+a）1，aR f（x）ex（x2+ax+a）+ex（2x+a）exx2+（a+2）x+2a， 即：f（x）ex（x+a） （x+2） ， 当 a2 时，f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增， 当a2即：a2 时，由 f（x）0，得：xa 或 x2， 由 f（x）0，得：ax2， 所以 f（x）在区间（，a）和（2，+）上单调递增；在区间（a，2）上单 调递减； 当a2即：a2 时由
37、f（x）0，得：xa 或 x2， 由 f（x）0得：2xa， 所以 f（x）在区间（，2）和（a，+）上单调递增；在区间（2，a）上单 第 19 页（共 21 页） 调递减； 综上所述：当 a2 时，f（x）在（，+）上单调递增； 当 a2 时，f（x）在区间（a）和（2+）上单调递增；在区间（a 2）上单调递减， 当 a2 时，f（x）在区间（，2）和（a，+）上单调递增；在区间（2， a）上单调递减， （2）因为不等式 m（x+1）xex+1 在区间1，+）上恒成立， 所以当 x1 时，m+1 恒成立， 当 x1 时，m， 令 g（x），则 g（x）， 由（1）得，当 a1 时，f（x）e
38、x（x2+x+1）1 在 x（1，+）上单调递增， 又因为 f（0）0， 所以 x（1，0）时，g（x）0；x（0，+）时，g（x）0， 所以 g（x）在区间（1，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增； 则 g（x）ming（0）1，所以：m1 综上，m 的取值范围为（，1 【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用以及恒成立 问题，考查计算能力 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系
39、 xOy 中，曲线 C1的参数方程为， （t 为参数） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程是 cossin， 曲线 C2的极坐标方程是 6cos+4sin （1）求直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程曲线 C1的普通方程； （2）若直线 l 与曲线 C1和曲线 C2在第一象限的交点分别为 P，Q，求|OP|+OQ|的值 【分析】 （1）由已知直线 l 和曲线 C2的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式可 得直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程，把曲线 C1的参数方程中的参数消去，可得曲线 C1 第 20 页（共 21 页） 的普通方程； （2）写出
40、直线 l 与曲线 C1的极坐标方程，分别求出|OP|，|OQ|，则|OP|+OQ|的值可求 【解答】解： （1）由 cossin，得 cossin， 则直线 l 的直角坐标方程为 xy0 由 6cos+4sin，得 26cos+4sin， 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y26x4y0 由， （t 为参数） ， 消去参数 t，可得曲线 C1的普通方程为； （2）直线 l 的极坐标方程为 （R） 曲线 C1的极坐标方程为 曲线 C2的极坐标方程是 6cos+4sin P，Q 在第一象限， |OP|，|OQ| |OP|+|OQ| 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查
41、计算能力， 是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|，g（x）f（x）2|x| （1）求 g（x）的最大值 m； （2）若 a0，b0，且m，求证：f（a+3）+f（b+1）4 【分析】 （1）g（x）f（x）2|x|x2|2|x|去绝对值后判断 f（x）的单调性，然后求 出最大值可得 m； （2）由（1）知 m2，可得，然后由 f（a+3）+f（b+1）a+b 可利用“1“的 代换转化为利用用基本不等式求最值问题 第 21 页（共 21 页） 【解答】解： （1）g（x）f（x）2|x|x2|2|x|， g（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减， mg（x）maxg（0）2； （2）由（1）知m2， f（a+3）+f（b+1）a+b，a0，b0， a+b2+， 当且仅当 ab2 时取等号， f（a+3）+f（b+1）a+b4 【点评】本题考查了绝对值不等式单调性的判断和利用基本不等式求最值，考查了转化 思想和运算能力，属中档题
