1、广东省揭阳市第三中学广东省揭阳市第三中学 20202020 届疫情下第三次测试届疫情下第三次测试 数学（文科）试题 第第 I I 卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 60 分，在分，在 每小题给出的四个选项中，只有一项每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。来源来源:学科网学科网 ZXXK 1.已知全集1,2,3,4,5,6U ，1,3A，则 U C A A1，2，3，4，5，6 B1，3 C2，4，5，6 D 2.i是虚数单位，复数 1 1 i z i - =
2、+ ，则1z A1 B2 C3 D2 3.若两个非零向量, a b满足，2ab，2ab，1b ,则向量ab与b的夹角为 A 6 B 3 C. 2 3 D. 5 6 4.已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （0,0ab）的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方 程为 A 1 2 yx B2yx C 5 2 yx D5yx 5.设变量满足约束条件： 240 220 410 xy xy xy ，则目标函数3zxy的最小值为来源:Zxxk.Com yx, A6 B 3 2 C 3 2 D1 6.若 235 logloglogtxyz，且2t 则 A523zxy B532zyx C325yxz D2
3、35xyz 7.从A、B等 5 名学生中随机选出 2 人，则B学生被选中的概率为 A 1 5 B 2 5 C 8 25 D 9 25 8.下列命题的符号语言中，不是公理的是 Ababa/, BlPlPP且且, C,Al BlABl 且 Dcbcaba/,/ 9.设函数( )()f x xR满足()( ),(2)( ),fxf xf xf x ,则( )yf x的图像可能是 A B C D 已知数 列 n a的前n项和为 n S， 12 1,2aa且对于任意 * 1,nnN满足 11nn SS ) 1(2 n S则 A 4 7a B 16 240S C 10 19a D 20 381S 11.已
4、知函数( )2(coscos ) sinf xxx x，给出下列四个命题： ( )f x 的最小正周期为( )f x的图象关于直线 4 x 对称 ( )f x 在区间 , 4 4 上单调递增( )f x 的值域为 2,2 ( )f x 在区间2,2上有 6 个零点 其中所有正确的编号是 A. B C D 12. 已知三棱锥SABC的体积为 4 3 3 ，SC的中点O为三棱锥SABC外接球球心，且SC 平 面OAB，=OA AB，则球O的体积为 A . 36 B. 4 3 C. 32 3 D. 9 2 来源:学+科+网 Z+X+X+K 第第 IIII 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090
5、分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. 第第 13 题题第第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第第 22 题题 第第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. C 二二 、填空题：共、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分，将答案填写在答题卷中的相应区域，分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试答案写在试 题卷上无效题卷上无效 。 13. 0 tan15 14.已知函数xxfy)(是偶函数，且(3)1f，则( 3)f 15.已知点3,0A，抛物线 2 :4C
6、xy的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准 线相交于点N，则| MN FM 16.若等差数列 n a的满足 2 7a ， 5 19a 且 2 12n aaaanbn则ab 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 答案写在试题卷上无效答案写在试题卷上无效 17.（本题满分 12 分） 在ABC中，设角A BC、 、的对边分别为abc、 、且sinsin 2 BC baB , sin3sinCB , （） 求A； （）计算 sin sinsin A
7、BC 的值 18.（本题满分 12 分） 如图所示，在几何体ABCDE中，ABAC，DC平面ABC，/BECD，3AB, 2ACBE， 1 2 CDBE. （I）求多面体ABCDE的体积； （II）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l， 求证：l平面BCDE 19.（本题满分 12 分） 某高中为了了解高三学生每天自主参加 体育锻炼的情况， 随机抽取了 100 名 学生进行调查， 其中女生有 55 名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图： 将每天自主参加体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生称为体育健康A类学生，已知体育健康 A类学生中有 10 名女生. （I）根
8、据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A类学生与性 别有关？ 非非体育健康A类学生 体育健康A类学生 合计 22 时间 男生 女生 来源:学科网 合计 （II）将每天自主参加体育锻炼时间不低于 50 分钟的学生称为体育健康A类学生，已知体育健 康A类学生中有 2 名女生，.若从体育健康A类学生中任意选取 2 人，求至少有 1 名女生的概 率 附： 2 2 () ()()()() n adbc k ac bd cd ab 来 20.（本题满分 1 2 分） 如图，设F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点，直线： 2 a x c 与x轴交于P点，AB 为
9、椭圆的长轴，已知8AB ，且2PAAF，过点P作斜率为 1 4 直线l与椭圆C相交于不 同的两点MN、 ， （ ）求MN； （）证明：MFANFB 2 0 ()P Kk 0.05 0.010 0.005 0 k 3.841 6.635 7.879 21. （本题满分 12 分） 设函数( )lnf xaxx ， ( ) x g xex （）讨论函数( )f x的单调性； （）令( )( )( )h xf xg x，当2a时，证明( )2ln24h x . 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
10、记分。作答时请写清 题号题号 22.（本题满分 10 分）选修选修 44 坐标系与参数方坐标系与参数方 程程 在平面坐标系中xOy中， 已知直线l的参考方程为 8 2 xt t y （t为参数），曲线C的参 数方程为 2 2 2 2 xs ys （s为参数）设P为曲线C上的动点， （）求直线l和曲线C的直角坐标方程； （）求点P到直线l的距离的最小值 23.（本题满分 10 分）选选 修修 45 不等式选讲不等式选讲 设abc、 、均为正数， （）证明： 222 abcabbcca； （）若1ab bc ca，证明 3abc 广东省揭阳市第三中学广东省揭阳市第三中学 20202020 届疫情下
11、第三次测试届疫情下第三次测试 高三数学（文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分共 60 分。 1.解析： U C A2，4，5，6 答案为 C来源:学_科_网 2.解析： 1 = 1 i zi i - =- + ，112zi 答案为 B 3.解析：由2ab，2ab平方相减可得0a b ， ()1 cos 2 ab b ab b ， 3 答案为 B 4.解析：由 5 2 c e a 和 222 cab可得 1 2 b a ，所以 1 2 yx 答案为 A 5.解析：作出可行域，可知3zxy经过点 1 ( ,3) 2 取得最小值， 3 3 2 zxy 答案为
12、 C来源:学,科,网 Z,X,X,K 6.解析： 解得 1 2 ,22 tt xx ， 1 3 ,33 tt yy ， 1 5 ,55 tt zz ， 设幂函数 1t yx ，1 0t ， 单调递减，所以532zyx答案为 B 7.解析：5 名学生中随机选出 2 人有 10 种，B学生被选中有 4 种， 42 105 P 答案为 B 8.解析：A 不是公理，答案为 A 9.解析：()( ),(2)( ),fxf xf xf x 可知函数 ( )()f x xR 为奇函数，周期为 4， 对照图形可知符合要求的为 D，答案为 D 10.解析：当2n时， 11111 2(1)22 nnnnnnnnn
13、 SSSSSSSaa 所以数列 n a的从第 2 项起为等差数列， 1 22 n a n 1 2 n n 所以， 4 6a ， 10 18a 2 1 ()(1) (1) 1 2 n n aan San n ， 16 16 15 1241S ， 20 20 19 1381S 答案为 D 11.解析： ( )2(|cos |cos ) sin2|cos |sinsin2f xxxxxxx 函数 3 3 f ， 4 0 3 f ， 4 33 ff ，故函数 ( )f x的最小正周期不是，故错误 由于 3 2 4 f ， 5 0 4 f ， 35 44 ff ， 故 ( )f x的图象不关于直线 4
14、x 对称， 故排除 在区间 , 4 4 上， 2, 2 2 x ， ( )2|cos |sinsin22sin2f xxxxx ， 单调递增， 故正确 当cos0x时， ( )2|cos |sinsin22sin cossin22sin2f xxxxxxxx ， 故它的最大值为2，最小值为2；当cos0x 时， ( )2|cos |sinsin22sin cossin20f xxxxxxx ， C 综合可得，函数 ( )f x的最大值为2，最小值为 2，故正确 当cos0x 时， ( )0f x ，在区间 2,2 上有无数个零点，故错误. 答案为C 12.解析：OAB为等边三角形，边长为球的半
15、径R， 20 11114 3 2sin60 33323 OABOAB VSOCSOSRR ,解得2R 球的体积为 3 432 33 VR答案为 C 二、填空题： 共 4 小题，每小 题 5 分共 20 分。 13.解析： 00 000 00 3 1 tan45tan303331 3 tan15tan(4530 )23 1tan45 tan3033331 1 3 答案为 2 3 14.解析：()( )fxxf xx所以()( )2fxf xx，( 3)(3)2 37ff 答案 为 7 15.解析：焦点为(0,1)F,过点 M 作准线的垂线 MH， 则FMMH 所以 22 1113 10 sins
16、in1 MNMNFA FMHMHNMMAOFO 答案为 10 16.解析： 1 3,4ad， 2 (1) 342 2 n n n Snnn 可知2,1ab所以2ab答案为 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。 17.解析：（）由三角形内角和定理可得 22 BCA 此时 sinsin 2 BC baB 变形可得 sin()sin 22 A baB 由诱导公式可得sin( )cos 222 AA 所以cossin 2 A baB 2 分 由正弦定理2 sin,2 sinaRA bRB可得sincossinsin 2 A BAB 即cossin 2 A A 4 分 由二倍角公式可得si
17、n 2scos 22 AA Ain ，所以 1 s 22 A in 因为0A解得 3 A 6 分 （）因为sin3sinCB 由正弦定理可得3cb 7 分 由余弦定理得 222 2 cosabcbA 222 1117 =()2, 3329 ccc cc 故 7 . 3 a c 9 分 由正弦定理得 2 22 7 sinsin111414 3 9 . 1 sinsinsinsinsinsin933 3 3 2 c AAa BCABCA bc c c 12 分 18.证明：(I) 过点A作BC的垂线AF角BC于点F, 则AFBC 1 分 又因为DC平面ABC，AF 平面ABC 所以AFCD CDB
18、CC 所以AF 平面BCDE 3 分 由 ABAC，3AB,2ACBE， 1 1 2 CDBE. 22 13BCACAB, 11 22 ABC SAB ACBC AF 解得 6 13 AB AC AF BC ， 5 分 ()3 13 22 BCDE CDBE BC S 四棱锥ABCDE的体积 113 136 3 33213 BCDE VSAF6 分 （II）因为CD平面ABC，BE平面ABC 所以/CDBE，7 分 又因为CD平面ABE，BE平面ABE， 所以/CD平面ABE9 分 l 平面ABE平面ACD，则/CDl10 分 又l平面BCDE，CD平面BCDE 所以/l平面BCDE12 分
19、19.解析： (I)由频率颁布直方图可知,在抽取的 100 人中,体育健康A类学生有 25 人,从而2 2列 联表如下: 非体育健康A类学生 体育健康A类学生 合计 男生 30 15 45 女生 45 10 55 合计 75 25 100 2 分 由2 2列联表中数据代入公式计算,得: 55452575 )15451030(100 )()()( )( 22 2 badcdbca bcadn k841. 3030. 3 33 100 5 分 所以,没有理由认为达到体育健康A类学生与性别有关.6 分 （II）由频率分布直方图可知，体育健康A类学生为 5 人，记 123 aaa ， ，表示男生， 1
20、2 bb ， 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空 间为 12132311 ( ,),( ,),(,),( , )a aa aa aa b 12212231 ,( ,),(, ),(,),( , ),a ba ba ba b 3212 (,),( ,)a bb b 由 10 个基本事件组成，而且这些事件的出现时等可能的8 分 用 A 表示“任选 2 人中至少有 1 名是女生”这一事件，则 11122122313212 ( ,),( ,),(,),(,),(,),(,),( ,)Aa ba ba ba ba ba bb b共计 7 种 10 分 7 ( ) 10 P A 12 分 20.
21、 解析：（）8AB , 4a，又2PAAF， 1 2 e 2c , 222 12bac 椭圆的标准方程为 22 1 1612 xy ，2 分 点P的坐标为( 8,0)，点F的坐标为( 2,0) 直线l的方程为 1 (8) 4 yx 即 48xy 联立 22 48 1 1612 xy xy 可得 2 1348360yy设 1122 ( ,)(,)M x y N xy 则 12 48 13 yy， 12 36 13 y y 4 分 222222 21212121212112 ()()(44 )()17()17 ()4MNxxyyyyyyyyyyy y 2 483612 51 17 ()4 1313
22、13 6 分 （）证明： 121212211212 12121212 (46)+4686(+) = 224646(46)(46)(46)(46) MFNF yyyyyyyyy yyy kk xxyyyyyy （） 9 分来源:学科网ZXXK ,而 1212 36483 124 1224 1224 12 86(+)86860 131313131313 y yyy 11 分 0 MFNF kk，从而MFANFB得证. 12 分 21.解析：（）( )lnf xaxx ， 0x ( ) 1 axa fx xx 2 分 当0a时， ( ) 0 xa fx x 函数( )lnf xaxx在(0,)上单调
23、递增， 3 分 当0a时，令 ( ) 0 xa fx x 解得xa 令 ( ) 0 xa fx x 解得xa 令 ( ) 0 xa fx x 解得0 xa 所以函数( )lnf xaxx在(,)a上单调递增，在(0,)a上单调递减， 6 分 （）( )( )( )ln x h xf xg xaxe当2a时( )2ln x h xxe 2 ( ) x h xe x ，令 2 ( ) x yh xe x ，则 2 2 0 x ye x 所以 2 ( ) x h xe x 在(0,)上单调递减. 取 12 1 ,1 2 xx，则 1 2 1 1 ( )( )40 2 h xhe， 2 ()(1)20
24、h xhe 所以函数 2 ( ) x h xe x 存在唯一的零点 0 1 ( ,1) 2 x 8 分 即 0 0 0 2 ()0 x h xe x 所以当 0 (0,)xx， 2 ( )0 x h xe x ，当 0 (,)xx， 2 ( )0 x h xe x ， 故函数( )h x在 0 (0,)x单调递增，在 0 (,)x 单调递减， 所以 当 0 xx时，函数( )h x取得极大值，也是最大值 0 00 ()2ln x h xxe 10 分 由 0 0 2 0 x e x 可得 0 0 2 x e x ， 0 0 2 lnln x e x 即 00 ln2lnxx 所以 00 lnl
25、n2xx 故 0 0000 00 21 ()2ln2(ln2)2ln22() x h xxexx xx 由基本不等式可得 00 00 11 22xx xx ，因为 0 1 ( ,1) 2 x 所以 0 0 1 2x x 所以 00 0 1 ()2ln22()2ln24h xx x 又因为 0 ( )()h xh x 即( )2ln24h x 所以当 2a 时，( )2ln24h x 成立.12 分 22. 解析：（）由8xt 可得8tx，所以即280xy 来源:学科网 ZXXK 所以直线l直角坐标方程为280xy.2 分 由 2 2xs可得 2 2 x s ，所以 22 (2 2 )84 2
26、x ysx 所以曲线C的直角坐标方程为 2 4yx5 分来源:Zxxk.Com （）设点( , )P x y，则 2 2 2 2 xs ys ，则 22 22 24 282(2)4 44 5 555 1( 2) sss d 9 分 8 22 tx y 当2s 时取等号，此时4,4xy所以点P到直线l的距离的最小值为 4 5 5 10 分 2 3.证明：（）因为ab c、 、均为正数，由重要不等式可得 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2caca3 分 以上三式相加可得 222222 222abbccaabbcca 即 222 abcabbcca得证.5 分 （）因为1ab bc ca由（）可知 222 1abc6 分 故 2222222 ()2222()1 23abcabcabbccaabcabbcca 所以 3abc 得证.10 分
