1、2020 年高考（文科）数学（4 月份）模拟试卷（问卷） 一、选择题 1已知集合 Ax|x22x0，Bx|x10，则集合 AB（ ） Ax|0x2 Bx|0x1 Cx|x1 Dx|1x2 2若 z（i 表示虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若 ，则 sin2（ ） A B C D 4设 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最大值是（ ） A4 B1 C2 D4 5下面四个条件中，是 ab 成立的充分而不必要的条件为（ ） Aacbc Bab1 Ca3b3 Dlog2alog2b 6一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的
2、体积为，则 h 的值为（ ） A B C D 7已知双曲线的一条渐近线方程为 y2x，且经过点，则该双曲线的标准方程 为（ ） A B C D 82013 年华人数学家张益唐证明了李生素数猜想的一个弱化形式李生素数猜想是希尔伯 特在二十世纪初提出的 23 个数学问题之一可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素数，称素数对（p，p+2）为孪生素数在不超过 15 的素数中，随机选取两个不 同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ） A B C D 9 如图， 正方形 ABCD 中， M、 N 分别是 BC、 CD 的中点， 若+， 则 + （ ） A2 B C D 10 已知函数 为
3、其图象的对 称中心， B， C 是该图象上相邻的最高点和最低点， 若 BC5， 则 f （x） 的解析式为 （ ） A B C D 11 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看， 蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而 成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 10928，这样 的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有谈谈 与蜂房结构有关的数学问题 用数学的眼光去看蜂巢的结构， 如图， 在六棱柱 ABCDEF ABCDE的三个顶点 A，C，E 处分别用平面 BFM，平面 BDO，平面 DFN 截掉三个相等的三棱锥 MABF，OBCD，NDEF，
4、平面 BFM，平面 BDO，平面 DFN 交于点 P，就形成了蜂巢的结构如图， 以下四个结论BDFMON；BFMN；B，M，N，D 四点共面；异面直 线 DO 与 FP 所成角的大小为 10928其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 12已知函数 f（x）xex，要使函数 g（x）mf（x）22f（x）+1 恰有一个零点，则实 数 m 的取值范围是（ ） Ae22e，0 B（e22e，01 Ce2+2e，0 D（e2+2e，01 二、填空题 13数学竞赛后，小明、小华、小强各获一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得 铜牌老师猜测： “小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌”老师
5、只猜对了一个， 那么小明获得的是 14若函数且 f（0）3，f（1）4，则 f（f（3） 15过椭圆 C的焦点 F（2，0）且倾斜角为的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，O 为坐标原点，若直线 OM 的斜率为，则椭圆 的方程为 16在ABC 中，已知 AB6，A60，BC 边上的中线，则 sinB 三、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程 或演算步骤 17如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是正方形，梯形 ADEF底面 ABCD，且 A （）证明平面 ABF平面 CDF； （）平面 CDF 将多面体 A
6、BCDEF 分成两部分，求两部分的体积比 18 设 Sn是公差不为零的等差数列an的前 n 项和 已知 a2是 a1与 a5的等比中项， S636 （）求an的通项公式； （）设，求bn的前 n 项和 Tn 19已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，Q 是抛物线上的一点， （）求抛物线 C 的方程； （）过点（2，0）作直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在一点 A，使 得 x 轴平分MAN？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由 20某传染病疫情爆发期间，当地政府积极整合医疗资源，建立“舱医院“对所有密切接触 者进行 14 天的隔离观察治疗治疗期
7、满后若检测指标仍未达到合格标准，则转入指定专 科医院做进一步的治疗“舱医院”对所有人员在“入口”及“出口”时都进行了医学 指标检测，若“入口”检测指标在 35 以下者则不需进入“舱医院”而是直接进入指定专 科医院进行治疗以下是 20 名进入“舱医院”的密切接触者的“入口”及“出口”医学 检测指标： 入口 x 50 35 35 40 55 90 80 60 60 60 65 35 60 90 35 40 55 50 65 50 出口 y 70 50 60 50 75 70 85 70 80 70 55 50 75 90 60 60 65 70 75 70 （）建立 y 关于 x 的回归方程；（回
8、归方程的系数精确到 0.1） （）如果 60 是“舱医院”的“出口”最低合格指标，那么， “入口”指标低于多少时， 将来这些密切接触者将不能进入“舱医院“而是直接进入指定专科医院接受治疗（检 测指标为整数） 附注：参考数据：xiyi77650，x 67100 参考公式：回归方程+x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 21已知函数） （）求函数 f（x）的单调区间； （）设 x1，x2为函数 f（x）的两个极值点，求证 选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22在平面直角
9、坐标系 xOy 中，直线 l：yx，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 （）求曲线 C 被直线 l 截得的弦长； （）与直线 l 垂直的直线 EF 与曲线 C 相切于点 Q，求点 Q 的直角坐标 23已知 f（x）|2xm|x+2m|（m0）的最小值为 （）求 m 的值； （）已知 a0，b0，且 a2+b2m，求证： 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的. 1已知集合 Ax|x22x0，Bx|x10，则集合 AB（ ） Ax|0x2 Bx|0x1 Cx|x1 Dx|1x2 【分析】求出集合 A，
10、B，由此能求出集合 AB 解：集合 Ax|x22x0x|0x2， Bx|x10x|x1， 集合 ABx|1x2 故选：D 2若 z（i 表示虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接利用复数的除法运算把给出的复数化简为 a+bi（a，bR）的形式，则答案 可求 解： 所以复数 Z 对应的点为，位于第四象限 故选：D 3若 ，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式可求 sin，利用同角三角函数基本关系式可求 cos，进而 根据二倍角的正弦函数公式可求 sin2 的值 解：， sin，可得 cos， s
11、in22sincos2（） 故选：B 4设 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最大值是（ ） A4 B1 C2 D4 【分析】画出约束条件对应的平面区域，结合图形找出目标函数的最优解，求出目标函 数的最小值 解：画出 x，y 满足约束条件的平面区域如图阴影部分； 由 zx+y 得 yx+z，平移直线 yx+z， 由平移可知当直线 yx+z 过点 A 时， 直线 yx+z 的截距最小，z 取得最小值； 由，求得 A（3，1）， 可得 zx+y2， 即 z 的最大值是 2 故选：C 5下面四个条件中，是 ab 成立的充分而不必要的条件为（ ） Aacbc Bab1 Ca3b3 Dlog2alo
12、g2b 【分析】由 log2alog2bab，反之不成立即可判断出关系 解：由 log2alog2bab，反之不成立， ab 成立的充分而不必要的条件为 log2alog2b 故选：D 6一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则 h 的值为（ ） A B C D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示： 所以，解得 h 故选：C 7已知双曲线的一条渐近线方程为 y2x，且经过点，则该双曲线的标准方程 为（ ） A B C D 【分析】解法 1：根据题意判断双曲线的焦点在 x 轴
13、上，设出标准方程，求出 a2和 b2； 解法 2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是 x2k（k0），代入点的坐标求出 k 的值 【解答】解法 1：根据题意知，244，所以点在渐近线方程 y2x 的右 下方， 所以该双曲线的焦点在 x 轴上，设标准方程为1，且 a0，b0； 又2，所以 b2a； 又1，即1， 解得 a24，b216， 所以双曲线的标准方程是1 解法 2： 根据渐近线方程设双曲线的标准方程是 x2k （k0） ， 代入点 （4， 4） ， 计算得 k164，所以双曲线的标准方程为 x24，即1 故选：A 82013 年华人数学家张益唐证明了李生素数猜想的一个弱化形式李生素数猜想
14、是希尔伯 特在二十世纪初提出的 23 个数学问题之一可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素数，称素数对（p，p+2）为孪生素数在不超过 15 的素数中，随机选取两个不 同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ） A B C D 【分析】 不超过 15 的素数有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 其中能够组成孪生素数的的有 （3， 5） ， （5，7），（11，13），由此能求出在不超过 15 的素数中，随机选取两个不同的数，其 中能够组成孪生素数的概率 解：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素数，称素数对（p，p+2）为孪生素数 不超过 15 的素数有 2，3，5，7
15、，11，13， 其中能够组成孪生素数的的有（3，5），（5，7），（11，13）， 在不超过 15 的素数中，随机选取两个不同的数， 基本事件总数 n15， 其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数 m3， 其中能够组成孪生素数的概率是 p 故选：C 9 如图， 正方形 ABCD 中， M、 N 分别是 BC、 CD 的中点， 若+， 则 + （ ） A2 B C D 【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出 ， 解：以 AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 设正方形边长为 1，则（1，），（，1），（1，1） +， ，解得 + 故选：D 10 已知函数 为其图象的对
16、 称中心， B， C 是该图象上相邻的最高点和最低点， 若 BC5， 则 f （x） 的解析式为 （ ） A B C D 【分析】根据 BC5，求得 ，再根据正弦函数的图象的对称中心 求出 ，可得函数的解析式 解：函数为其图象的 对称中心， B，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 BC5， 根据+k，kZ，令 k0，可得 ， 则 f（x）的解析式为 f（x）2sin（x）， 故选：A 11 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看， 蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而 成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 10928，这样 的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家
17、华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有谈谈 与蜂房结构有关的数学问题 用数学的眼光去看蜂巢的结构， 如图， 在六棱柱 ABCDEF ABCDE的三个顶点 A，C，E 处分别用平面 BFM，平面 BDO，平面 DFN 截掉三个相等的三棱锥 MABF，OBCD，NDEF，平面 BFM，平面 BDO，平面 DFN 交于点 P，就形成了蜂巢的结构如图， 以下四个结论BDFMON；BFMN；B，M，N，D 四点共面；异面直 线 DO 与 FP 所成角的大小为 10928其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】不妨设正六边形的边长为 1， 由已知可得BDF 与MON 都是边长为的等边三角形，即可判
18、断出正误； 由可知：BFMN，即可判断出正误； 由已知可得：四边形 BMND 是平行四边形，即可判断出正误； 利用异面直线 DO 与 FP 所成角的范围即可判断出正误 解：不妨设正六边形的边长为 1， 由BDF 与MON 都是边长为的等边三角形，BDFMON，正确； 由可知：BFMN，因此不正确； 由已知可得：四边形 BMND 是平行四边形，因此 B，M，N，D 四点共面，正确； 异面直线 DO 与 FP 所成角不可能为钝角 10928因此不正确 其中正确的个数是 2 故选：B 12已知函数 f（x）xex，要使函数 g（x）mf（x）22f（x）+1 恰有一个零点，则实 数 m 的取值范围是
19、（ ） Ae22e，0 B（e22e，01 Ce2+2e，0 D（e2+2e，01 【分析】先利用导数求出函数 f（x）的单调性和极值，画出函数 f（x）的大致图象，由 题意可知方程 mf（x）22f（x）+10 只有一个根，令 f（x）t，由函数 f（x）的图 象可知方程 mt22t+10，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于 ，m 0 时显然符合题意，m0 时，利用二次函数的根的分布即可列出不等式，求出 m 的取值 范围 解：解：函数 f（x）xex，xR， f（x）ex+xexex（x+1）， 当 x（，1）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减；当 x（1，+）时，f （x）0
20、，函数 f（x）单调递增， 函数 f（x）的最小值为 f（1）， 函数 f（x）的大致图象，如图所示：， 函数 g（x）mf（x）22f（x）+1 恰有一个零点，等价于方程 mf（x）22f（x）+1 0 只有一个根， 令 f（x）t，由函数 f（x）的图象可知方程 mt22t+10，只能有一个正根，且若有负 根的话，负根必须小于， 当 m0 时，方程为2t+10，t，符合题意， 当 m0 时， 若44m0，即 m1 时，方程为 t22t+10，t1，符合题意， 若0，即 m1 时：设 （t）mt22t+1， （i）当 m0 时，二次函数 （x）开口向下，又 （0）10， 要使方程 mt22t
21、+10 只有一个正根，且负根小于 ，则 g（）0， 即，me22e， e22em0， （ii）当 0m1 时，二次函数 （x）开口向下，又 （0）10，则方程 mt22t+1 0 要么有两个负根，要么有两个正根，不符合题意， 综上所求，实数 m 的取值范围是：e22em0 或 m1， 故选：B 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分. 13数学竞赛后，小明、小华、小强各获一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得 铜牌老师猜测： “小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌”老师只猜对了一个， 那么小明获得的是 铜牌 【分析】根据小明得奖的情况，分类讨论即可判断 解：若小明得金牌，则小明得金牌
22、，小华不得金牌这两句话都正确，故不合题意， 若小明得银牌，小华得金牌，则这三句话全是错误的，故不合题意， 若小明得银牌，小华得铜牌，则小华不得金牌，小强不得铜牌是正确的，不合题意， 若小明得铜牌，小华得金牌，小强得银牌，故合题意， 若小明得铜牌，小华得银牌，小强得金牌，故不合题意， 故小明得铜牌， 故答案为：铜牌 14若函数且 f（0）3，f（1）4，则 f（f（3） 1 【分析】由 f（0）a0+b3，f（1）a1+b4，求出 a，b2，从而 f（3） a3+b23+210进而 f（f（3）f（10）lg10，由此能求出结果 解：函数且 f（0）3，f（1）4， f（0）a0+b3，解得 b
23、2， f（1）a1+b4，解得 a， f（3）a3+b23+210 f（f（3）f（10）lg101 故答案为：1 15过椭圆 C的焦点 F（2，0）且倾斜角为的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，O 为坐标原点，若直线 OM 的斜率为，则椭圆 的方程为 【分析】根据条件可得直线 l 的方程为 yx+2，联立直线与椭圆的方程，表示出 M 的 坐标，进而可得 kOM，解出 a2，b2即可 解：根据条件可知直线方程为 y（x2）x+2， 联立，整理可得（a2+b2）x24a2x+4a2a2b20， 不妨设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2 ，y1+y2
24、 ， 所以 M（，），则 kOM，又因为 c2，解得 a28，b24， 故椭圆的方程为， 故答案为： 16在ABC 中，已知 AB6，A60，BC 边上的中线，则 sinB 【分析】如图所示，由中线长定理可得：62+b22+，再利用余弦定理正 弦定理可得：62+6acosB，sin2B+cos2B1联立解 得 解：如图所示， 由中线长定理可得：62+b22+， 62+6acosB 由正弦定理可得：， sin2B+cos2B1 联立解得：a2，cosB sinB 故答案为： 三、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程 或演算步骤 17如图，在多面体
25、 ABCDEF 中，底面 ABCD 是正方形，梯形 ADEF底面 ABCD，且 A （）证明平面 ABF平面 CDF； （）平面 CDF 将多面体 ABCDEF 分成两部分，求两部分的体积比 【分析】（）取 AD 的中点 G，连接 FG，可得 DFAF，ABDF，即可得 DF平面 ABF，从而证明平面 ABF平面 CDF； （）作 FMAD 于 M，过 E 作 ENAD 于 N，作 MGAB，NHCD 利用多面体 ABCDEF 的体积 VVFABGM+VECDNH+VFMGENH，求得多面体 ABCDEF 的体 积，再求得 VFCDE即可 解：（）底面 ABCD 是正方形，ABAD， 梯形 A
26、DEF底面 ABCD，AB平面 ADEF， DF平面 ADEF，ABDF， 梯形 ADEF 中，AFEFDEAD，取 AD 的中点 G，连接 FG， FGAD，DFAF， AFABA，DF平面 ABF， DF平面 CDF，平面 ABF平面 CDF； （）如图 2，作 FMAD 于 M，过 E 作 ENAD 于 N，作 MGAB，NHCD 梯形 ADEF底面 ABCD，且 A FM面 ABCD，EN面 ABCD， 在 RAFD 中，由 AD2AF 可得FAD60， 令 A 2， 则 FMEN，AMND1， 多 面 体ABCDEF的 体 积V VF ABGM+VECDNH+VFMGENH 由（1）
27、及对称性可得 AECDE， AD2EF，EFAD，F 到面 CDE 的距离等于 A 到面 CDE 的距离的一半， 即 F 到面 CDE 的距离等于 d， 故 VFCDE 平面 CDF 将多面体 ABCDEF 分成两部分，两部分的体积比为 2：1 18 设 Sn是公差不为零的等差数列an的前 n 项和 已知 a2是 a1与 a5的等比中项， S636 （）求an的通项公式； （）设，求bn的前 n 项和 Tn 【分析】（）等差数列的公差设为 d，且 d 不为 0，运用等比数列的中项性质和等差数 列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （）求得（2n1） 4n，运用数
28、列的错位相减法求和，结合等比数 列的求和公式，计算可得所求和 解：（）Sn是公差 d 不为零的等差数列an的前 n 项和， 由 a2是 a1与 a5的等比中项，可得 a22a1a5，即（a1 +d）2 a1（a1+4d）， 化为 d2a1， 由 S636，可得 6a1+15d36a136，解得 a11，d2， 则 an1+2（n1）2n1，nN*； （）（2n1） 4n， 则bn的前 n 项和 Tn1 4+3 16+5 64+（2n1） 4n， 4Tn1 16+3 64+5 256+（2n1） 4n+1， 两式相减可得3Tn4+2（16+64+4n）（2n1） 4n+1 4+2（2n1） 4n
29、+1， 化简可得 Tn+ 4n+1 19已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，Q 是抛物线上的一点， （）求抛物线 C 的方程； （）过点（2，0）作直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在一点 A，使 得 x 轴平分MAN？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】（）由题意可知 F（，0），设 Q（，y0），由即可求 出 p 的值，从而得到抛物线 C 的方程； （）对直线 l 的斜率分情况讨论，当直线 l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知 x 轴上任意一点 A（不与点（2，0）重合），都可使得 x 轴平分MAN； 当直线 l 的斜率存在
30、时，由题意可得 kAM+kAN0，设直线 l 的方程为：yk（x2）（k 0）与抛物线方程联立，利用韦达定理代入 kAM+kAN0 得 4a8，解得 a2，故 点 A（2，0） 解：（）由题意可知，F（，0）， 点 Q 在物线 C：y22px 上，设 Q（，y0）， ， ，解得 p2， 抛物线 C 的方程为：y24x； （）当直线 l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知 x 轴上任意一点 A（不与点 （2，0）重合），都可使得 x 轴平分MAN； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：yk（x2）（k0），设 M（x1，y1）， N（x2，y2）， 联立方程，消去 y 得：k2x2
31、（4k2+4）x+4k20， ，x1x24 （*）， 假设在 x 轴上是否存在一点 A（a，0），使得 x 轴平分MAN， kAM+kAN0， ， ，又 y1k（x12），y2k（x22）， ， 把（*）式代入上式化简得：4a8， a2， 点 A（2，0）， 综上所求，在 x 轴上是否存在一点 A（2，0），使得 x 轴平分MAN 20某传染病疫情爆发期间，当地政府积极整合医疗资源，建立“舱医院“对所有密切接触 者进行 14 天的隔离观察治疗治疗期满后若检测指标仍未达到合格标准，则转入指定专 科医院做进一步的治疗“舱医院”对所有人员在“入口”及“出口”时都进行了医学 指标检测，若“入口”检测指
32、标在 35 以下者则不需进入“舱医院”而是直接进入指定专 科医院进行治疗以下是 20 名进入“舱医院”的密切接触者的“入口”及“出口”医学 检测指标： 入口 x 50 35 35 40 55 90 80 60 60 60 65 35 60 90 35 40 55 50 65 50 出口 y 70 50 60 50 75 70 85 70 80 70 55 50 75 90 60 60 65 70 75 70 （）建立 y 关于 x 的回归方程；（回归方程的系数精确到 0.1） （）如果 60 是“舱医院”的“出口”最低合格指标，那么， “入口”指标低于多少时， 将来这些密切接触者将不能进入“舱
33、医院“而是直接进入指定专科医院接受治疗（检 测指标为整数） 附注：参考数据：xiyi77650，x 67100 参考公式：回归方程+x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 【分析】（）结合表格中的数据和的公式计算出回归方程的系数即可得解； （）把 y60 代入回归方程，算出 x 的值即可得解 解：（） 由表格中的数据可知， 所以， 39.8， 所以 y 关于 x 的回归方程为 （）当 y60 时，有 600.5x+39.8，解得 x40.441， 所以当“入口”指标低于 41 时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院“而是直接进 人指定专科医院接受治疗 21已知函数） （）求函数 f
34、（x）的单调区间； （）设 x1，x2为函数 f（x）的两个极值点，求证 【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （II）由（I）可得 f（x1）+f（x2）+3af（a）+f（a）+3a ， 构造函数 g（a），a1，转化为求解 g（a）的范围问题，结合导 数及函数性质可求 解：（I）函数的定义域（0，+）， ，a1， 当 xa 或 0x1 时，f（x）0，当 1xa 时，f（x）0， 故函数的单调递增区间（a，+），（0，1），单调递减区间（1，a）； （II）不妨设 x1x2，则由（1）可知 x11，x2a， 所以 f（x1）+f（x2）+3a f（a）+f（a
35、）+3a+3a ， ， 令 g（a），a1 则 g（a）a+2+lna， ，即 g（a）在（1，+）上单调递减，且 g（3）ln310， g（4）ln420， 故存在 a0（3，4）使得 g（a）0，即 2a0+lna00， 当 a（1，a0）时，g（a）0，g（a）单调递增，当 a（a0，+）时，g（a）0， g（a）单调递减， 故 当 a a0时 ， g （ a ） 取 得 最 大 值 g （ a0） ， ， 因为 a0（3，4），结合二次函数的性质可知，当 a04 时，g（4）0， 故 g（a）g（4）0， 所以 f（x1）+f（x2）+3a 0，即 f（x1）+f（x2）+3a 选考题
36、：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：yx，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 （）求曲线 C 被直线 l 截得的弦长； （）与直线 l 垂直的直线 EF 与曲线 C 相切于点 Q，求点 Q 的直角坐标 【分析】（）首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用 点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长 （）利用直线垂直的充要条件的应用求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位 置关系的应用求出切
37、点的直角坐标 解：（）曲，转换为直角坐标方程为（x1）2+y21 直线 l：yx，转换为， 所以圆心（1，0）到直线 x的距离 d， 所以曲线 C 被直线 l 截得的弦长为 l2 （）与直线 l 垂直的直线设为， 由于直线 EF 与曲线 C 相切， 所以圆心（1，0）到直线的距离 d， 解得 b， 所以直线 EF 的方程为或 所以设切点 Q（x，y），故解得， 或，解得， 即切点坐标为（）或（） 23已知 f（x）|2xm|x+2m|（m0）的最小值为 （）求 m 的值； （）已知 a0，b0，且 a2+b2m，求证： 【分析】 （）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出 f（x）的最小值， 与已知最小值相等列式可求出； （）利用分析法结合基本不等式即可证明 解：（）f（x）|2xm|x+2m|， f（x）f（x）在区间（，上单调递减，在区间，+）上单调递增， f（x）minf（）3m， m1； （）由（）a0，b0，且 a2+b21， 要证， 只要证 b4+a4ab， 即证（a2+b2）22a2b2ab， 即证 2a2b2+ab10， 即证（2ab1）（ab+1）0， 即证 2ab1， 即证 2aba2+b2， 显然 1a2+b22ab，当且仅当 ab 时取等号
