1、 2019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 28 统计与概率问题统计与概率问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 统计图解题要领：分析统计图时，首先看统计的类别，再观察各类别的数量(扇形统计图反映的是百 分比)；分析频数分布直方图时，一般地，横轴上表示类别或数据段，纵轴表示各类或数据段的具体数量， 各段的数量也就是这段数据出现的频数，这段数据个数与统计总量的比是这段数据出现的频率，各段频数 之和等于总量，各段频率之和等于 1. 解题要领：逐个分析各个图表的信息，然后再分析不同图表间数据的关系；一般地，统计图表是 一
2、个样本的统计信息，可以根据样本中各个统计量的占比(频率)估计总体的相应情况 数据分析解题要领：中位数是位置数，求中位数时一定要先对所有数据按大小顺序排序；无论是 以表格还是条形图形式给出数据，都要注意出现多次的数据排序时也应占有相关位置，勿要忽视；偶数 个数据的中间数有两个，其中位数为这两个中间数的平均数 极差与方差解题要领：反映数据波动大小的量：极差与方差，极差与方差越小，说明数据波动越小； 极差是所有数据中最大值与最小值的差；求方差时要注意方差公式中，一是各个数据与平均数的差的平 方，二是差的平方和的平均数 概率解题要领：如果是求两步试验的事件的概率，既可以用列表法，也可以用树状图法分析结
3、果， 如果是求三步试验的事件的概率，那就只能运用树状图法；求分步试验的概率，要分清是放回性试验， 还是不放回性试验，如果是不放回性试验，运用列表法时一定要剔除不可能的结果 复杂概率问题解题要领：两步事件是指一次试验中涉及两个因素(或需两步才能完成)的事件，求两步事 件的概率既可用列表法，又可用树状图法，关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果数 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】为了激发学生参加课外运动的兴趣，某实验中学积极开展了“我运动我快乐”五项全能评选活动， 活动方案根据制定的运动项目积分等级制，各项都优秀的记为 A
4、级，以此记录为 B 级、C 级、D 级、E 级 五个等级。某体育老师随即抽取某班进行检测，以下是根据检测结果绘制而成的条形统计图和扇形统计图 （不完整） 。 （1） 若获得 D 级学生人数占全体抽测学生总数的 40%， 则抽测的学生总数是多少？试求出 E 级在扇形统计 图中对应扇形的圆心角大小是多少？请补全条形统计图。 （画在试题相对应的图上） （2）如果随机从这么参加检测的班级随机抽取 15 人进行技能评比，试问抽到 A 级的人数是多少？ 解析： （1）根据统计图中的已知数据，可以从 D 级学生人数占全体抽测学生总数的 40%，可以借助其他部 分人数计算出总体人数，结合 E 级所占的人数在扇
5、形统计图中所占比例得到圆心角的大小。 （2）首先计算出 A 级所占的百分比，再计算出 15 人当中可能有多少个 A 级学生，利用概率公示计算即可 得到。 解： （1） （6+6+10+5） （1-40%）=45（人）45-27=18（人）5 45 360=40（度） 答：抽测的学生总数是 45 人， a 为 18；E 级在扇形统计图中对应扇形的圆心角大小是 40 度。 （2）6 45= 2 15 ，15 2 15 =2（人） 答：抽到 A 级的人数是 2 人。 【原创【原创 2】为进一步激发学生读书的积极性，不断提升学校浸润书香的校园文化底蕴，2018 年春季，河北 省某实验中学启动了“读书小
6、明星”评选活动， 进一步促进了全校学生崇尚阅读、 自觉阅读的良好习惯的形成， 营造了“多读书、读好书”的良好氛围。该中学对全校四个年级学生读书情况进行调查，调查的四种结果分别 是：A 非常爱好读书，B 比较喜欢读书，C 不太喜欢读书，D 不喜欢读书。随即将调查结果绘制成了下面两 种统计图，请结合统计图给定的信息回答下面的问题： （1）请计算本次调查中“C 不太喜欢读书”的学生人数和所占的百分比，并将这两个统计图补充完整； （2）随机抽取了 6 名 C 中“不太喜欢读书”的学生中有 4 名女生，两名男生，现从这 6 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到不同性别学生
7、的概率 【分析】 （1）用 A 的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；用抽查的总人数减去 A、B、D 的人 数，求出喜欢“跑步”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可； （2）用 A 表示男生，B 表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可 【解答】解： （1）根据题意得： 45 30%=150（名） 本项调查中喜欢“C 不太喜欢读书”的学生人数是：150154530=60（人） ， 所占百分比是： 100%-20%-30%-10%=40%， 画图如下： （2）用 A 表示男生，B 表示女生，列表如下： A A B B B B A AA AB AB AB
8、AB A AA AB AB AB AB B AB AB BB BB BB B AB AB BB BB BB B AB AB BB BB BB B AB AB BB BB BB 通过列表得到：共有 30 种情况，不同性别的情况共有 16 种，刚好抽到不同性别学生的概率： P= 16 30= 8 15 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计 了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅 不完整的统计图，请结
9、合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81 ； （2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ 微信 ”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付， 请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用 360 乘以“支付 宝”人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得； （
10、3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情 况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15） （115%30%）200 人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 360 81 ， 故答案为：200、81 ； （2）微信人数为 200 30%60 人，银行卡人数为 200 15%30 人， 补全图形如下： 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”， 故答案为：微信；故答案为：微信；（3）将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C， 画树状图如下： 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，其中两
11、人恰好选择同一种支付方式的有 3 种， 两人恰好选择同一种支付方式的概率为 【例题【例题 2】某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设 A：踢毽子；B：篮球；C： 跳绳；D：乒乓球四种运动项目为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并 将调查结果绘制成如下两个统计图请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了多少名学生？ （2）请将两个统计图补充完整 （3）若该中学有 1200 名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？ 【解析】 （1）结合条形统计图和扇形统计图，利用 A 组频数 80 除以 A 组频率 40%，即可得到该校本次调 查中，共调查
12、了多少名学生； （2）利用（1）中所求人数，减去 A、B、D 组的频数即可的 C 组的频数；B 组频数除以总人数即可得到 B 组频率； （3）用 1200 乘以抽查的人中喜欢篮球运动项目的人数所占的百分比即可 【解答】解： （1）80 40%=200（人） 故本次共调查 200 名学生 （2）200803050=40（人） ， 30 200 100%=15%， 补全如图： （3）1200 15%=180（人） 故该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有 180 人 【归纳】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关 键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据
13、【例题【例题 3】为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽 取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完 成下列问题： （1）学校这次调查共抽取了 100 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 36 ； （4）设该校共有学生 2000 名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？ 【分析】（1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得； （2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形； （3）用 360 乘以“戏曲”人数所占百分比即可得； （
14、4）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得 【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为 10 10%100 名， 故答案为：100； （2）“民乐”的人数为 100 20%20 人， 补全图形如下： （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 360 10%36 ， 故答案为：36 ； （4）估计该校喜欢书法的学生人数为 2000 25%500 人 【归纳】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的 百分比大小也考查了用样本估计总体的思想 【例题
15、 4】某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相 声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类） ，并将调查结果绘制成如下不完 整统计图 请你根据图中信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生 （2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 72 度 （3）补全条形统计图（标注频数） （4）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中最喜爱小品的人数为 640 人 （5）九年一班和九年二班各有 2 名学生擅长舞蹈，学校准备从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生参加舞蹈节 目的编排，那么抽取的 2 名学生恰好来自同一
16、个班级的概率是多少？ 【解答】解： （1）14 28%=50，所以本次共调查了 50 名学生； （2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数=360 10 50 =72 ； （3）最喜欢舞蹈类的人数为 50101416=10（人） ，补全条形统计图为： （4）2000=640，估计该校 2000 名学生中最喜爱小品的人数为 640 人； 故答案为：50；72；640； （5）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的结果数为 4，所以抽取的 2 名学生 恰好来自同一个班级的概率= 4 12 = 1 3 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位
17、。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题：一、选择题： 1. （2018 辽宁省阜新市）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这 个点取在阴影部分的概率是（ ） A 1 5 B 1 6 C 1 7 D 1 8 【解答】解：设阴影部分的面积是 x，则整个图形的面积是 7x，则这个点取在阴影部分的概率是 7 x x = 1 7 故选 C 2. （2018 广西梧州 3 分）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱 子中装有红、黄、白三种球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出 1 个球，然后放回箱 子中轮到
18、下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（ ） A 1 27 B 1 3 C 1 9 D 2 9 【分析】画出树状图，利用概率公式计算即可 【解答】解：如图，一共有 27 种可能，三人摸到球的颜色都不相同有 6 种可能， P（三人摸到球的颜色都不相同）= 6 27 = 2 9 故选：D 3. 一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，1卡片除数字 不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然 后根据概
19、率公式求解 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有 4 种， 所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为，故选：B 4. 正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ） A B C D 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率 【解答】解：如图，连接 PA、PB、OP； 则 S半圆O ，SABP 2 11， 由题意得：图中阴影部分的面积4（S半圆OSABP） 4（1）24， 米粒落在阴影部分的概率为，
20、故选：A 二、填空题：二、填空题： 5. （2018 江苏常州 2 分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色 部分关于圆心中心对称在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是 1 2 【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等，根据概率公式计算即可 【解答】解：圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称， 圆中的黑色部分和白色部分面积相等， 在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是 1 2 ， 故答案为： 1 2 6. （2018四川凉州3 分）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望 上学时经过每个路囗都是
21、绿灯，但实际这样的机会是（ ） A 1 2 B 1 8 C 3 8 D 1 2 + 1 2 + 1 2 【分析】列举出所有情况，看个路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可 【解答】解：画树状图，得 共有 8 种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，实际这样的机会是 1 8 ，故选：B 7. （2018 辽宁省盘锦市）如图，正六边形内接于O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的 概率是 【解答】解：如图所示：连接 OA 正六边形内接于O，OAB，OBC 都是等边三角形，AOB=OBC=60 ，OCAB， SABC=SOBC，S阴=S扇形OBC，则飞镖落在阴影部分的概率是 1 6 ； 故答案为
22、： 1 6 8. 一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀， 再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 。 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解：列表得： 黑 白 白 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 共 9 种等可能的结果，两次都是黑色的情况有 1 种， 两次摸出的球都是黑球的概率为1 9 ， 三、解答题：三、解答题： 9. 不透明的袋子中装有 4 个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2
23、、3、4 （1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标 号相同”的概率 （2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于 4”的概率 【分析】（1）画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概 率公式求解 （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和等于 4 的结果数，然后根据概 率公式求解 【解答】解：（1）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为 4， 所以“两次取的球标号相同”的概率； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的
24、结果数，其中两次取出的球标号和等于 4 的结果数为 2， 所以“两次取出的球标号和等于 4”的概率 2 12 1 6 10. 在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的 3 个红球和 2 个白球，把它们充分搅匀 （1）“从中任意抽取 1 个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取 1 个球是黑球”是 不可能 事件； （2）从中任意抽取 1 个球恰好是红球的概率是 3 5 ； （3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若 两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明 【解答】解： （1）“从中任
25、意抽取 1 个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取 1 个球是黑球”是不 可能事件； 故答案为：必然，不可能； （2）从中任意抽取 1 个球恰好是红球的概率是： 3 5 ； 故答案为： 3 5 ； （3）如图所示： ， 由树状图可得：一共有 20 种可能，两球同色的有 8 种情况，故选择甲的概率为： 8 20 = 2 5 ； 则选择乙的概率为： 3 5 ， 故此游戏不公平 11. 某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实 践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如 下不完整的统计图其中
26、最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为 21，请结合统计 图解答下列问题： (1)本次活动抽查了 名学生； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应的扇形的圆心角是 度； (4)该校此次参加社会实践活动的学生有 720 人，请求出最喜欢烈士陵园的学生约有多少人？ 解：(1)60. (2)补全的条形统计图如下图所示 (3)36. (4)720 24 60288(人) 答：该校参加社会实践活动的学生中，最喜欢烈士陵园的学生约有 288 人 12. 某中学 1000 名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩
27、（得分取整数，满分为 100 分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整 且局部污损，其中“”表示被污损的数据） 请解答下列问题： 成绩分组 频数 频率 50x60 8 0.16 60x70 12 a 70x80 0.5 80x90 3 0.06 90x90 b c 合计 1 （1）写出 a，b，c 的值； （2）请估计这 1000 名学生中有多少人的竞赛成绩不低于 70 分； （3）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传 活动，求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率 【分析】 （1）利用 50x60 的频数
28、和频率，根据公式：频率= 频数 总数 先计算出样本总人数，再分别计算出 a， b，c 的值； （2）先计算出竞赛分数不低于 70 分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出 1000 名学生中竞赛成绩不 低于 70 分的人数； （3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和 2 名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率 【解答】解： （1）样本人数为：8 0.16=50（名） a=12 50=0.24 70x80 的人数为：50 0.5=25（名） b=50812253=2（名） c=2 50=0.04 所以 a=0.24，b=2，c=0.04； （2）在选取的样本中，竞赛分数不低于 70
29、 分的频率是 0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有： 1000 0.6=600（人） 这 1000 名学生中有 600 人的竞赛成绩不低于 70 分； （3）成绩是 80 分以上的同学共有 5 人，其中第 4 组有 3 人，不妨记为甲，乙，丙，第 5 组有 2 人，不妨 记作 A，B 从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有 20 种情况： 抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA 共 8 种情况， 抽取的 2 名同学来自同一组的概率 P= 8 20 = 2 5 ； 13. 目前“校园手
30、机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了 若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A无所谓；B基本赞成；C赞成；D反对）并 将调查结果绘制成频数折线统计图 1 和扇形统计图 2（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名名中学生家长； （2）求出图 2 中扇形 C 所对的圆心角的度数，并将图 1 补充完整； （3）在此次调查活动中，初三（1）班有 A1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有 B1、 B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这 4 位家长中选 2 位家长参加学校组织的家
31、校活动， 用列表法或画树状图的方法求出选出的 2 人来自不同班级的概率 【分析】（1）用 D 类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）用 360 乘以 C 类所占的百分比得到扇形 C 所对的圆心角的度数，再用 200 乘以 C 类所占的百分比得 到 C 类人数，然后补全图 1； （3）画树状图展示所有 12 种等可能结果，再找出 2 人来自不同班级的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（1）120 60%200（人）， 所以调查的家长数为 200 人； （2）扇形 C 所对的圆心角的度数360 （120%15%60%）18 ， C 类的家长数200 （120%15%60%）10（人）， 补充图为： （3）设初三（1）班两名家长为 A1、A2，初三（2）班两名家长为 B1，B2， 画树状图为 共有 12 种等可能结果，其中 2 人来自不同班级共有 8 种， 所以 2 人来自不同班级的概率
