2020届山东省新高考数学第一次模拟模拟检测试卷（含答案解析）

资源描述

2、15 年相比，2018 年一本达线人数减少 B与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C2015 年与 2018 年艺体达线人数相同 D与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 P（，），则 sin2（） A B C D 6 2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展 “参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，

3、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（） A B C D 7 已知抛物线 y28x 的准线与双曲线的两条渐近线分别交于 A， B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 的面积等于，则双曲线的离心率为（） A3 B C2 D 8设函数则下列结论中正确的是（） A对任意实数 a，函数 f（x）的最小值为 B对任意实数 a，函数 f（x）的最小值都不是 C当且仅当时，函数 f（x）的最小值为 D当且仅当时，函数 f（x）的最小值为二、多项选择题（共 4 小题） 9已知空间中不同直线 m、n 和不同平面、，下列命题中是真命题的是（） A若 m、n

4、互为异面直线，m，n，m，n，则 B若 mn，m，n，则 C若 n，m，则 nm D若，m，nm，则 n 10如图所示，点 A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 P，若，+3，则（） AP 为线段 OC 的中点时， BP 为线段 OC 的中点时， C无论取何值，恒有 D存在 R， 11设等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差为 d，且满足 a10，S11S18，则对 Sn描述正确的有（） AS14是唯一最大值 BS15是最大值 CS290 DS1是最小值 12已知函数 f（x）sinx+cosx（0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数 f（

5、x）的图象沿 x 轴向右平移个单位，得到函数 g（x）的图象关于函数 g（x），下列说法正确的是（） A在上是增函数 B其图象关于直线 x对称 C函数 g（x）是偶函数 D在区间上的值域为，2 三、填空题（共 4 小题） 13若函数 f（x）xalnx 在点（1，1）处的切线方程为 y2x1，则实数 a 14数列an满足 a13，an+1an+ln（1+），则 a10 15已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为 1，高为 2 的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为 16如图，矩形 ABCD 中，AB2，BC1，O 为 AB 的中点当点 P 在 BC 边上时

6、，的值为；当点 P 沿着 BC，CD 与 DA 边运动时，的最小值为四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤） 17在ABC 中，3sinA2sinB，（1）求 cos2C；（2）若 ACBC1，求ABC 的周长 18为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值

7、 65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根据以下不等式进行评判（p 表示相应事件的频率）： p （X+） 0.6826 P （2X+2）0.9544P（3X+3）0.9974评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备 M 的性能等级（2）将直径小于等于 2或直径大于 +2的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E （Y）；（ii）从样

8、本中随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 Z 的数学期望 E（Z） 19已知等差数列an的公差是 1，且 a1，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前 n 项和 Tn 20如图在直角ABC 中，B 为直角，AB2BC，E，F 分别为 AB，AC 的中点，将AEF 沿 EF 折起，使点 A 到达点 D 的位置，连接 BD，CD，M 为 CD 的中点（）证明：MF面 BCD；（）若 DEBE，求二面角 EMFC 的余弦值 21如图，椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，设 A，B 分别为椭圆 C 的右顶点，下顶点，OAB 的面积为 1 （1）求椭圆 C 的方程；

10、析】可解出集合 B，然后进行交集、并集的运算即可解：Bx|x0，Ax|x1； ABx|x1，ABx|x0 故选：B 2已知复数 z 满足（1i）z2i（i 为虚数单位），则（） A1i B1+i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由（1i）z2i，得 z，故选：A 3设 xR，则“2x8”是“|x|3”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可解：由 2x8 得 x3，由“|x|3”得 x3 或 x3，即“2x8”是“|x|3”

11、的充分不必要条件，故选：A 4某中学 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（） A与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少 B与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C2015 年与 2018 年艺体达线人数相同 D与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加【分析】作差比较可得解：设 2015 年高考考生人数为 x，则 2018 年高考考生人数为 1.5 线，由 24% 1.5x2

12、8% x8% x0，故选项 A 不正确；由（40% 1.5x32% x）32% x，故选项 B 不正确；由 8% 1.5x8% x4% x0，故选项 C 不正确；由 28% 1.5x32% x42% x0，故选项 D 正确故选：D 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 P（，），则 sin2（） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sin 和 cos 的值，再利用二倍角公式，求得 sin2 的值解：平面直角坐标系 xOy 中，已知角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半

13、轴重合，终边过点 P（，），|OP|1， sin，cos，则 sin22sincos，故选：B 6 2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展 “参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（） A B C D 【分析】用对立事件解决，设 A小张和小王至多 1 人被抽中，B小张和小王都被抽中，A，B 互为对立事件，B 包含一个基本事件，代入概率公式即可解：小王和小李至多 1 人

14、被抽中的反面为，小王和小李都被抽中设 A小张和小王至多 1 人被抽中，B小张和小王都被抽中，则 B 包含 1 个基本事件， p（A）1p（B）1 故选：D 7 已知抛物线 y28x 的准线与双曲线的两条渐近线分别交于 A， B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 的面积等于，则双曲线的离心率为（） A3 B C2 D 【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，利用三角形的面积转化求解即可解：抛物线 y28x 的准线：x2，双曲线的两条渐近线 y x，抛物线 y28x 的准线与双曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，可得|AB|，FAB 的面积等于，F 为抛物线的焦点

15、（2，0）可得：8，可得 b，所以 b23a2c2a2，可得 e2 故选：C 8设函数则下列结论中正确的是（） A对任意实数 a，函数 f（x）的最小值为 B对任意实数 a，函数 f（x）的最小值都不是 C当且仅当时，函数 f（x）的最小值为 D当且仅当时，函数 f（x）的最小值为【分析】运用指数函数的值域，以及二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到所求结论解：当 xa 时，f（x）ex（0，ea，当 xa 时，f（x）x2x+a（x）2+a，要使 f（x）取得最小值 a，即为 x处取得，从而 a，又当 xa 时，f（x）（0，ea，可得 a0，可得 a，故

16、选：D 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得 5 分，部分选对的程 3 分，有选错的得 0 分） 9已知空间中不同直线 m、n 和不同平面、，下列命题中是真命题的是（） A若 m、n 互为异面直线，m，n，m，n，则 B若 mn，m，n，则 C若 n，m，则 nm D若，m，nm，则 n 【分析】利用直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，判断选项的正误即可解：由 m，n 是不同的直线，是不同的平面，知：在中，若 m、n 互为异面直线，m，n，m，n，则，是真命题；

17、，m，n，则 m 与 n 平行或异面，故错误；在中，mn，m，n，则，或与相交或平行，故错误；在中 n，m，则 nm，故是真命题；在中，m，nm，则 n，也可能 n，故错误故选：AC 10如图所示，点 A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 P，若，+3，则（） AP 为线段 OC 的中点时， BP 为线段 OC 的中点时， C无论取何值，恒有 D存在 R，【分析】运用向量的加法表示；再应用平面向量基本定理得和解：+ + +（）（1） + ，因为与共线，所以，解得，故 C 正确，D 错误；当 P 为 OC 中点时，则，则 1，3

18、，解得，故 A 正确， B 错误；故选：AC 11设等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差为 d，且满足 a10，S11S18，则对 Sn描述正确的有（） AS14是唯一最大值 BS15是最大值 CS290 DS1是最小值【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差为 d，且满足 a10，S11S18， d0，11a1+55d18a1+d，化为：a1+14d0a15 S2929a150 S14，S15都是最大值故选：BC 12已知函数 f（x）sinx+cosx（0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x

19、轴向右平移个单位，得到函数 g（x）的图象关于函数 g（x），下列说法正确的是（） A在上是增函数 B其图象关于直线 x对称 C函数 g（x）是偶函数 D在区间上的值域为，2 【分析】由三角函数图象的平移得：g（x）2sin2（x）+2sin2x，由三角函数图象的性质得：yg（x）是在，为减函数，其图象关于直线 x （kZ）对称的奇函数，由三角函数的值域得：当 x时，2x，函数 g（x）值域为，2，得解解：f（x）sinx+cosx2sin（x+），由函数 f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期 T，即 2，即 f（x）2sin（2x+），把函数 f（x）的图象沿

20、x 轴向右平移个单位，得到函数 g（x）的图象，则 g（x）2sin2（x）+2sin2x，易得：yg（x）是在，为减函数，其图象关于直线 x （kZ）对称的奇函数，故选项 A，B，C 错误，当 x 时，2x，函数 g（x）的值域为，2，故选项 D 正确，故选：D 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若函数 f（x）xalnx 在点（1，1）处的切线方程为 y2x1，则实数 a 1 【分析】求出原函数的导函数，再由 f（1）2 列式求解 a 值解：函数 f（x）xalnx 的导数为 f（x）1，在点（1，1）处的切线斜率为 f（1）1a，又在

21、点（1，1）处的切线方程为 y2x1， 1a2，解得 a1，故答案为：1 14数列an满足 a13，an+1an+ln（1+），则 a10 3+ln10 【分析】通过数列的递推关系式，利用累积法，结合对数运算法则，转化求解即可解：数列an满足 a13，an+1an+ln（1+ ）， a2a1+ln（1+1）， a3a2+ln（1+）， a4a3+ln（1+）， a10a9+ln（1+），累积可得 a10a1+ln2+ln+ln+ln 3+ln10 故答案为：3+ln10 15已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为 1，高为 2 的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱

22、的底面边长为【分析】设正四棱柱的高为 h，结合过正四棱柱的圆锥的轴截面，根据三角形相似得到正四棱柱底面边长和高的关系，用 h 表示出正四棱柱的体积，求最值即可解：依题意，如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面，设正四棱柱的高为 h，底面边长为 a，则 O，O1分别为 AC，A1C1的中点，所以 A1C1，EF2，SA1C1AEF，所以，即，所以 a，（0h2）所以正四棱柱的体积 Va2h，令 V（h2）（3h2）0，得 h，或者 h2（舍）当时，V0，当时，V0，所以当时， V （h）单调递增，当时， V （h）单调递减，故当 h时， V 有最大值，此时 a 故填： 16

23、如图，矩形 ABCD 中，AB2，BC1，O 为 AB 的中点当点 P 在 BC 边上时，的值为 2 ；当点 P 沿着 BC，CD 与 DA 边运动时，的最小值为 2 【分析】利用斜率的数量积直接求解的值；利用，判断 P 所在的位置，求解最小值即可解：矩形 ABCD 中，AB2，BC1，O 为 AB 的中点当点 P 在 BC 边上时，|cosPOB212；当点 P 沿着 BC， CD 与 DA 边运动时，的最小值，|cosPOB， P 应该在线段 AD 上，此时|cosPOB2（1）2；故答案为：2；2 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程演算步

24、骤） 17在ABC 中，3sinA2sinB，（1）求 cos2C；（2）若 ACBC1，求ABC 的周长【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos2C的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解（2）由正弦定理可得：3a2b，结合 ba1，即可解得 a，b 的值，由（1）可得 cosC ，利用余弦定理可求 c 的值，即可得解ABC 的周长解：（1）， cos2 C ， cos2C2cos2C121 （2）3sinA2sinB，由正弦定理可得：3a2b，又ACBC1，即：ba1，解得：a2，b3，由（1）可得：cosC，由余弦定理可得：c， ABC 的周长

25、a+b+c5+ 18为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值 65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根据以下不等式进行评判（p 表示相应事件的频率）： p （X+） 0.6826 P （2X+2）0.9544P（3

26、X+3）0.9974评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备 M 的性能等级（2）将直径小于等于 2或直径大于 +2的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E （Y）；（ii）从样本中随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 Z 的数学期望 E（Z）【分析】（）利用条件，可得设备 M 的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（）易知样本中次品共 6 件，可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06 （）由题意可知 YB（2，

27、），于是 E（Y）2；（）确定 Z 的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数 Z 的数学期望 E（Z）解：（）P（X+）P（62.8X67.2）0.80.6826，P（2X +2）P（60.6X69.4）0.940.9544，P（3X+3）P（58.4X 71.6）0.980.9974，因为设备 M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（）易知样本中次品共 6 件，可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06 （）由题意可知 YB（2，），于是 E（Y）2；（）由题意可知 Z 的分布列为 Z 0 1 2 P 故 E（Z）0+1+2 19已知等差数列an的公差是 1，且 a1

28、，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前 n 项和 Tn 【分析】（1）因为an是公差为 1 的等差数列，且 a1， a3， a9成等比数列，可得，即，解得 a1利用通项公式即可得出（2）利用错位相减法即可得出解：（1）因为an是公差为 1 的等差数列，且 a1，a3，a9成等比数列，所以，即，解得 a11 所以 ana1+（n1）dn （2），两式相减得所以所以 20如图在直角ABC 中，B 为直角，AB2BC，E，F 分别为 AB，AC 的中点，将AEF 沿 EF 折起，使点 A 到达点 D 的位置，连接 BD，CD，M 为 CD 的中

29、点（）证明：MF面 BCD；（）若 DEBE，求二面角 EMFC 的余弦值【分析】（）取 DB 中点 N，连结 MN、 EN，四边形 EFMN 是平行四边形，由 EFBE， EFDE，得 EF平面 BDE，从而 EFEN，MFMN，求出 MFCD，由此能证明 MF 平面 BCD （）以 E 为原点，BE、EF、ED 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 EMFC 的余弦值【解答】证明：（）取 DB 中点 N，连结 MN、EN， MN，EF ，四边形 EFMN 是平行四边形， EFBE，EFDE，BEEFE， EF平面 BDE， EFE

30、N，MFMN，在DFC 中，DFFC，又M 为 CD 的中点，MFCD，又MFMNM，MF平面 BCD 解：（）DEBE，DEEF，BEEFE， DE平面 BEF，以 E 为原点，BE、EF、ED 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设 BC2，则 E（0，0，0），F（0，1，0），C（2，2，0），M（1，1，1），（0，1，0），（1，0，1），（2，1，0），设面 EMF 的法向量（x，y，z），则，取 x1，得（1，0，1），同理，得平面 CMF 的法向量（1，2，1），设二面角 EMFC 的平面角为，则 cos，二面角 EMFC 的余

31、弦值为 21如图，椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，设 A，B 分别为椭圆 C 的右顶点，下顶点，OAB 的面积为 1 （1）求椭圆 C 的方程；（2）已知不经过点 A 的直线 l：ykx+m（k0，mR）交椭圆于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点为 M，若|PQ|2|AM|，求证：直线 l 过定点【分析】（1）由离心率和三角形 OAB 的面积及 a，b，c 之间的距离求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程（2）设 P，Q 的坐标，因为线段 PQ 的中点为 M，若|PQ|2|AM|，可得以 PQ 为直径的圆过 A 点，即所以0，求得 k，m 的关系进而切线直线 l 的方程，可得过

32、的定点的坐标，将过的 A 点舍弃解：（1）有题意可得，1，c2a2b2，解得：a24，b21，所以椭圆的方程为：+y21；（2）证明：由（1）可得 A（2，0），设 P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与椭圆联立可得：，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m240， 0， x1+x2，x1x2，y1+y2k（x1+x2）+2m+2m，因为线段 PQ 的中点为 M，若|PQ|2|AM|，所以可得以 PQ 为直径的圆过 A 点所以0，（x12，y1）（x22，y2）0，可得 x1x22（x1+x 2）+4+y1y20，即 4（1+k 2）x 1x2+（km 2）（x1+

33、x2）+m2+40，可得 12k2+16km+5m20，解得：k ，km，所以直线为：ym（x2），或 y（x），所以直线 l 过定点（2，0）或（，0），而直线不过 A 点，所以直线 l 过（，0） 22已知函数 f（x）xex1a（x+lnx），aR （1）若 f（x）存在极小值，求实数 a 的取值范围；（2）设 x0是 f（x）的极小值点，且 f（x0）0，证明：f（x0）2（x02x03）【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为（0，+），可构造函数 g（x）xex1a，通过求导及分类讨论，即可求得 a 的取值范围（2）由（1）令a0，通过分离参数得 a，同时求对数

34、，根据函数 f（x0）0，可得 1x0lnx00构造函数 g（x）1xlnx 及 H（x）xlnx1，由导数即可判断 H（x）的单调情况，进而求得 H（x）的最小值，结合 f（x0）（1x0lnx0）即可证明不等式成立解：（1）函数 f（x）xex1a（x+lnx），aR 令 g（x）xex1a，则 g（x）（x+1）ex10， g（x）在（0，+）上是增函数又当 x0 时，g（x）a，当 x+时，g（x）+ 当 a0 时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）在区间（0，+）上是增函数，不存在极值点；当 a0 时，g（x）的值域为（a，+），必存在 x00，使 g（x0）0

35、当 x（0，x0）时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（x0，+）时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增； f（x）存在极小值点综上可知实数 a 的取值范围是（0，+）证明：（2）由（1）知a0，即 a lnalnx0+x01， f（x0）（1x0lnx0）由 f（x0）0，得 1x0lnx00 令 g（x）1xlnx，由题意 g（x）在区间（0，+）上单调递减又 g（1）0，由 f（x0）0，得 0x01，令 H（x）xlnx1，（x0），则 H（x）1，当 x1 时，H（x）0，函数 H（x）单调递增；当 0x1 时，H（x）0，函数 H（x）单调递减；当 x1 时，函数 H（x）取最小值 H（1）0， H（x）xlnx10，即 x1lnx，即 ex1x，，1x0lnx01x0（x01）2（1x0）0， f（x0）（1x0lnx0） 2（1x0）2（）， f（x0）2（x02x03）

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