1、2019-2020 学年湖南省长沙一中岳麓中学八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）下图是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列数：1，0，3.14156，0.1010010001（每两个 1 之间多一 个 0）其中有理数有（ ） A3 B4 C5 D6 3 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（3，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （3，4） B （4，3） C （3，4） D （3，4） 4 （3 分）爸爸有一袋一元硬币， 小红想估计硬币的数量，
2、想到如下办法： 先从袋中拿出 100 枚硬币作好标记，再放回袋中摇均匀，然后再从袋中随机拿出 100 枚硬币，发现其中有 5 枚是作了标记，据此可估计袋中共有硬币（ ） A500 枚 B1000 枚 C1500 枚 D2000 枚 5 （3 分）若方程组的解满足 m+n3，则 a 的取值是（ ） Aa17 Ba17 Ca20 Da 不能确定 6 （3 分）下列条件不能得到等边三角形的是（ ） A有两个内角是 60的三角形 B有一个角是 60的等腰三角形 C腰和底相等的等腰三角形 D有两个角相等的等腰三角形 7 （3 分）如图，直线 L 是一条河，P，Q 是两个村庄欲在 L 上的某处修建一个水泵
3、站， 向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最 第 2 页（共 30 页） 短的是（ ） A B C D 8 （3 分） 已知： 如图， P、 Q 是ABC 的边 BC 上的两点， 并且 PBPQQCAPAQ 则 BAQ（ ） A90 B40 C60 D70 9 （3 分）如图，在ABC 中，分别以点 A 和 B 为圆心，大于和长为半径画弧，两弧 相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，若ABC 的周长为 17，AB7， 则ADC 的周长是（ ） A7 B10 C15 D17 10 （3 分）如图，在ABC 中，点 D、E、F 分
4、别是 BC、AB、AC 上的点，若 ABAC，BE CD，BDCF，则EDF 的度数为（ ） 第 3 页（共 30 页） A2A B902A C D90A 11 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC8cm，D 是 BC 上的一点，DEAC 于点 E，DF AB 于点 F，已知 DE+DF6cm，则ABC 的面积是（ ） A12cm2 B48cm2 C24cm2 D64cm2 12 （3 分）已知：如图，ABC、CDE 都是等腰三角形，且 CACB，CDCE，ACB DCE，AD、BE 相交于点 O，点 M、N 分别是线段 AD、BE 的中点以下 4 个结 论：ADBE；DOB180；CMN
5、是等边三角形；连 OC，则 OC 平 分AOE正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分） 13 （3 分）一个多边形的内角和等于 1080，这个多边形是 边形 14 （3 分）已知点 M（3a9，1a）在第三象限，则 a 的取值范围是 15 （3 分）若等腰三角形中有一个内角等于 50，则这个等腰三角形的顶角的度数为 度 16 （3 分）如图，在ABC 中，ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD6，过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，若AED 的周长为 16，则边 AB 的长为 第 4 页
6、（共 30 页） 17 （3 分）如图，已知在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 平分ABC，交 CD 于点 E， BC5，DE2，则BCE 的面积等于 18 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CAB30，在坐标轴上取点 M，使 得MAB 为等腰三角形，符合条件的点 M 有 个 三、解答题（共三、解答题（共 66 分）分） 19 （6 分）计算： 20 （6 分）先化简，再求值：2（a2+2a1）3（a22a3） ，其中 a210a50 21 （8 分）在如图所示的方格纸中，ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互 相垂直的两边所在直线建立直角坐标系 （1）作出A
7、BC 关于 y 轴对称的A1B1C1，其中点 A，B，C 分别和点 A1，B1，C1对应； （2）平移ABC，使得点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，平移后的三角形记为A2B2C2， 作出平移后的A2B2C2，其中点 A，B，C 分别和点 A2，B2，C2对应； （3）直接写出ABC 的面积 第 5 页（共 30 页） 22 （8 分）如图，ABC 是等边三角形，BD 是角平分线，过点 D 作 DEAB 于 E，交 BC 边的延长线于点 F，AE2 （1）求证：DCF 是等腰三角形； （2）求 BF 的长 23 （9 分）某工厂计划生产 A，B 两种产品共 10 件，其生产成本和销售价
8、如下表所示： 产品 A 种产品 B 种产品 成本（万元/件） 3 5 售价（万元/件） 4 7 （1）若工厂计划获利 14 万元则应分别生产 A，B 两种产品多少件？ （2）若工厂投入资金不多于 44 万元，且获利不少于 14 万元，则工厂有哪些生产方案？ （3）在第（2）的条件下，哪种方案获利最大；最大利润是多少？ 24 （9 分）如图，等腰ABC 中，ABAC，BAC120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线一点，点 O 是线段 AD 上一点，OPOC （1）已知APO18，求DCO 的度数； （2）求证：OPC 是等边三角形； （3）求证：ACAO+AP 第 6 页（共 30
9、页） 25 （10 分）我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” 请 解答下列问题： （1） “梯形、长方形、正方形”中“等邻角四边形”是 ； （2）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上，且 CDCA，点 E、F 分别为 BC、 AD 的中点，连接 EF 并延长交 AB 于点 G求证：四边形 AGEC 是“等邻角四边形” ； （3）已知：在“等邻角四边形”ABCD 中，A90，C60，AB6，BC10， 请画出相应图形，并直接写出 CD 的长 26 （10 分）已知：在直角坐标系中，A 为 x 轴负半轴上的点，B 为 y 轴负半轴上的 点 （1）如图 1
10、，以 A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC，若 OA2，OB4， 试求 C 点的坐标 （2）如图 2，若点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（0，m） ，点 D 的纵坐标 为 n，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰 RtABD试问：当 B 点沿 y 轴负半轴向下运动且其 他条件都不变时，整式 2m+2n5的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值； 若发生变化，请说明理由 （3）如图 3，E 为 x 轴负半轴上的一点，且 OBOE，OFEB 于点 F，以 OB 为边作等 第 7 页（共 30 页） 边OBM，连接 EM 交 OF 于点 N，试探索：在线段 EF、EN 和
11、 MN 中，哪条线段等于 EM 与 ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明 第 8 页（共 30 页） 2019-2020 学年湖南省长沙一中岳麓中学八年级（上）第一次月学年湖南省长沙一中岳麓中学八年级（上）第一次月 考数学试卷考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）下图是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称
12、图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 2 （3 分）下列数：1，0，3.14156，0.1010010001（每两个 1 之间多一 个 0）其中有理数有（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据有限小数或无限循环小数是有理数，可得答案 【解答】解：1，0，3.14156，0.1010010001（每两个 1 之间多一个 0） ，其中有理数有：1，0，3.14156，其中有理数有 4 个 故选：B 第 9 页（共 30 页） 【点
13、评】本题考查了实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无理数是无限不循环小 数 3 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（3，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （3，4） B （4，3） C （3，4） D （3，4） 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案 【解答】解：点 P（3，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（3，4） ， 故选：D 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律 4 （3 分）爸爸有一袋一元硬币， 小红想估计硬币的数量， 想到如下办法： 先从袋中拿出 100 枚硬币作好标记，再放回袋中摇均匀，
14、然后再从袋中随机拿出 100 枚硬币，发现其中有 5 枚是作了标记，据此可估计袋中共有硬币（ ） A500 枚 B1000 枚 C1500 枚 D2000 枚 【分析】先求出样本中有标记的硬币出现的频率，再利用用样本估计总体的方法进行计 算即可解答 【解答】解：先从袋中拿出 100 枚硬币作好标记，再放回袋中摇均匀，然后再从袋中 随机拿出 100 枚硬币，发现其中有 5 枚是作了标记， 有标记的硬币出现的频率为， 袋中共有硬币 1002000（枚） 故选：D 【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，总体频率约等于样本频率 5 （3 分）若方程组的解满足 m+n3，则 a 的取值是（ ） Aa1
15、7 Ba17 Ca20 Da 不能确定 【分析】方程组两方程相加表示出 m+n，代入已知等式计算即可求出 a 的值 【解答】解：， +得：7（m+n）a+4，即 m+n， 代入 m+n3 得：3， 解得：a17， 故选：B 第 10 页（共 30 页） 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立 的未知数的值 6 （3 分）下列条件不能得到等边三角形的是（ ） A有两个内角是 60的三角形 B有一个角是 60的等腰三角形 C腰和底相等的等腰三角形 D有两个角相等的等腰三角形 【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为 60且两边相等或有 两个内
16、角为 60中任意一个条件的三角形都是等边三角形 【解答】解：A、有两个内角是 60的三角形是等边三角形，不符合题意； B、有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形，不符合题意； C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意； D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判 定定理 7 （3 分）如图，直线 L 是一条河，P，Q 是两个村庄欲在 L 上的某处修建一个水泵站， 向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最 短的是（ ） A B C D 【分析
17、】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离 【解答】解：作点 P 关于直线 L 的对称点 P，连接 QP交直线 L 于 M 根据两点之间，线段最短，可知选项 D 铺设的管道，则所需管道最短 故选：D 【点评】本题考查了最短路径的数学问题这类问题的解答依据是“两点之间，线段最 第 11 页（共 30 页） 短” 由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别 8 （3 分） 已知： 如图， P、 Q 是ABC 的边 BC 上的两点， 并且 PBPQQCAPAQ 则 BAQ（ ） A90 B40 C60 D70 【分析】先判断出APQ 为等边三角形，得出PAQAPQ60
18、，进而利用三角形 的外角的性质得出BAPAPQ30，即可得出结论 【解答】解：PQAPAQ， APQ 为等边三角形， PAQAPQ60， BPAP， BAPAPQ30 BAQBAP+PAQ30+6090， 故选：A 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质的理解和掌 握，此题的关键是判定出APQ 为等边三角形，然后利用外角的性质即可求解的 9 （3 分）如图，在ABC 中，分别以点 A 和 B 为圆心，大于和长为半径画弧，两弧 相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，若ABC 的周长为 17，AB7， 则ADC 的周长是（ ） A7 B10 C
19、15 D17 【分析】先根据题意得出 MN 是线段 AB 的垂直平分线，故可得出 ADBD，据此可得出 结论 第 12 页（共 30 页） 【解答】解：根据题意得出 MN 是线段 AB 的垂直平分线， ADBD， AD+CDBC ABC 的周长为 17，AB7， ADC 的周长AC+BCABC 的周长AB17710 故选：B 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键 10 （3 分）如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别是 BC、AB、AC 上的点，若 ABAC，BE CD，BDCF，则EDF 的度数为（ ） A2A B902A C D90A 【分析】由条件
20、 ABAC 可以得出BC，就可以得出BDECFD，就可以得出 BEDCDF，BDECFD，由三角形外角的性质就可以得出EDFB，进而 即可求解 【解答】解：ABAC， BC， 在BDE 和CFD 中， BECD，BC，BDCF， BDECFD（SAS） ， BEDCDF，BDECFD， BED+BDECDF+CFD， BED+BCDEEDF+CDF， BEDF， BC（180A）90A， 故选：C 第 13 页（共 30 页） 【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角 形内角和定理的运用，三角形外角的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键 11 （3 分）如
21、图，在ABC 中，ABAC8cm，D 是 BC 上的一点，DEAC 于点 E，DF AB 于点 F，已知 DE+DF6cm，则ABC 的面积是（ ） A12cm2 B48cm2 C24cm2 D64cm2 【分析】连接 AD，由 SABCSABD+SACD，可求解 【解答】解：如图，连接 AD， SABCSABD+SACD， SABC8（DE+DF）24cm2， 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决问题是本题的关键 12 （3 分）已知：如图，ABC、CDE 都是等腰三角形，且 CACB，CDCE，ACB DCE，AD、BE 相交于点 O，点 M、N 分别是线段 AD、
22、BE 的中点以下 4 个结 论：ADBE；DOB180；CMN 是等边三角形；连 OC，则 OC 平 分AOE正确的是（ ） 第 14 页（共 30 页） A B C D 【分析】根据全等三角形的判定定理得到ACDBCE（SAS） ，由全等三角形的性 质得到 ADBE；故正确； 设 CD 与 BE 交于 F，根据全等三角形的性质得到ADCBEC，得到DOE DCE，根据平角的定义得到BOD180DOE180，故正确； 根据全等三角形的性质得到CADCBE，ADBE，ACBC 根据线段的中点的定 义得到 AMBN，根据全等三角形的性质得到 CMCN，ACMBCN，得到MCN ，推出MNC 不一定
23、是等边三角形，故不符合题意； 过 C 作 CGBE 于 G，CHAD 于 H，根据全等三角形的性质得到 CHCG，根据角 平分线的判定定理即可得到 OC 平分AOE，故正确 【解答】解：CACB，CDCE，ACBDCE， ACB+BCDDCE+BCD， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ACDBCE（SAS） ， ADBE；故正确； 设 CD 与 BE 交于 F， ACDBCE， ADCBEC， CFEDFO， DOEDCE， BOD180DOE180，故正确； 第 15 页（共 30 页） ACDBCE， CADCBE，ADBE，ACBC 又点 M、N 分别是线段 AD、BE 的中点
24、， AMAD，BNBE， AMBN， 在ACM 和BCN 中， ACMBCN（SAS） ， CMCN，ACMBCN， 又ACB， ACM+MCB， BCN+MCB， MCN， MNC 不一定是等边三角形，故不符合题意； 过 C 作 CGBE 于 G，CHAD 于 H， CHDECG90，CEGCDH，CECD， CGECHD（AAS） ， CHCG， OC 平分AOE，故正确， 故选：B 【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形 的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强， 有一定的代表性 第 16 页（共 30 页） 二、
25、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）一个多边形的内角和等于 1080，这个多边形是 8 边形 【分析】多边形的内角和可以表示成（n2） 180，依此列方程可求解 【解答】解：设所求正 n 边形边数为 n， 则 1080（n2） 180，解得 n8 故答案为：8 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式 进行正确运算、变形和数据处理 14 （3 分）已知点 M（3a9，1a）在第三象限，则 a 的取值范围是 1a3 【分析】根据第三象限点的符号特点列出不等式组，解之可得 【解
26、答】解：根据题意知， 解得 1a3， 故答案为 1a3 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 15 （3 分）若等腰三角形中有一个内角等于 50，则这个等腰三角形的顶角的度数为 50 或 80 度 【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底 角，因此要分类讨论 【解答】 解： （1） 若等腰三角形一个底角为 50， 顶角为 180505080； （2） 等腰三角形的顶角为 50 因此这个等腰三角形的顶角的度数为 50或 80 故答案为：50 或
27、 80 【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理在解答此类题目的关键是 要注意分类讨论，不要漏解 16 （3 分）如图，在ABC 中，ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD6，过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，若AED 的周长为 16，则边 AB 的长为 10 第 17 页（共 30 页） 【分析】根据角平分线的定义得到EBDCBD，根据平行线的性质得到EDB CBD，等量代换得到EBDEDB，求得 BEDE，于是得到结论 【解答】解：BD 平分ABC， EBDCBD， DEBC， EDBCBD， EBDEDB， BEDE， AED 的周长为 16， AB+AD16，
28、AD6， AB10， 故答案为：10 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练 掌握各定理是解题的关键 17 （3 分）如图，已知在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 平分ABC，交 CD 于点 E， BC5，DE2，则BCE 的面积等于 5 【分析】过 E 作 EFBC 于点 F，由角平分线的性质可求得 EFDE，则可求得BCE 的面积 【解答】解： 过 E 作 EFBC 于点 F， CD 是 AB 边上的高，BE 平分ABC， BEDE5， 第 18 页（共 30 页） SBCEBCEF515， 故答案为：5 【点评】本题主要考查角平分线的性质，
29、掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解 题的关键 18 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CAB30，在坐标轴上取点 M，使 得MAB 为等腰三角形，符合条件的点 M 有 6 个 【分析】根据等腰三角形的判定， “在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角 形（简称：在同一三角形中，等边对等角） ”分三种情况解答即可 【解答】解：如图， 以 A 为圆心，AB 为半径画圆，与坐标轴交于 M1，M4，M5，以 B 为圆心，BA 为半 径画圆，与坐标轴交于 M2，M4，M3，AB 的垂直平分线与坐标轴交于 M6，M4， 符合条件的点有 6 个 故答案为：6 第 19 页（共 30
30、 页） 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作 出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏 三、解答题（共三、解答题（共 66 分）分） 19 （6 分）计算： 【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+43+3 1+23+3 5 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （6 分）先化简，再求值：2（a2+2a1）3（a22a3） ，其中 a210a50 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值 【解答】解：原式2a2+4a23a2+6a+9a2+10a+7（a210a）
31、+7， 由 a210a50，得到 a210a5， 则原式5+72 【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 21 （8 分）在如图所示的方格纸中，ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互 相垂直的两边所在直线建立直角坐标系 （1）作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1，其中点 A，B，C 分别和点 A1，B1，C1对应； （2）平移ABC，使得点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，平移后的三角形记为A2B2C2， 作出平移后的A2B2C2，其中点 A，B，C 分别和点 A2，B2，C2对应； （3）直接写出ABC 的面积 第 20 页（共 30 页
32、） 【分析】 （1）分别作出三个顶点关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）将三个顶点分别向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位可得； （3）利用割补法求解可得 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求 （2）如图所示，A2B2C2即为所求 （3）ABC 的面积为 33131223 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键 22 （8 分）如图，ABC 是等边三角形，BD 是角平分线，过点 D 作 DEAB 于 E，交 BC 边的延长线于点 F，AE2 （1）求证：DCF 是等腰三角形； 第 21 页（共 30 页） （2）求 BF 的长
33、 【分析】 （1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可； （2）根据等边三角形的性质和中线的性质解答即可 【解答】证明： （1）ABC 是等边三角形，BD 是中线， AACB60，ACBC，ADCDAC， DEAB 于 E， ADE90A30， CDAD2AE4， CDFADE30， FACBCDF30， CDFF， DCCF， DCF 是等腰三角形， （2）DCCF， BFBC+CF2AD+AD12 【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一性质解答 23 （9 分）某工厂计划生产 A，B 两种产品共 10 件，其生产成本和销售价如下表所示： 产品 A 种产品
34、 B 种产品 成本（万元/件） 3 5 售价（万元/件） 4 7 （1）若工厂计划获利 14 万元则应分别生产 A，B 两种产品多少件？ （2）若工厂投入资金不多于 44 万元，且获利不少于 14 万元，则工厂有哪些生产方案？ （3）在第（2）的条件下，哪种方案获利最大；最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得工厂计划获利 14 第 22 页（共 30 页） 万元则应分别生产 A，B 两种产品多少件； （2）根据题意和表格中的数据可以列出相应的不等组，从而可以求得工厂有哪些生产方 案； （3）根据题意可以求得利润和生产 A 种商品的函数关系，再根据（
35、2）中的结果即可解 答本题 【解答】解： （1）设生产 A，B 两种产品分别为 x 件，y 件， ， 解得， 答：工厂计划获利 14 万元则应分别生产 A，B 两种产品 6 件，4 件； （2）设生产 A 种产品 a 件，则生产 B 种产品（10a）件， ， 解得，3a6， a 为整数， a3，4，5，6， 该工厂共有 4 种生产方案， 方案一：生产 A 种产品 3 件，生产 B 种产品 7 件； 方案二：生产 A 种产品 4 件，生产 B 种产品 6 件； 方案三：生产 A 种产品 5 件，生产 B 种产品 5 件； 方案四：生产 A 种产品 6 件，生产 B 种产品 4 件； （3）设利润
36、为 w 元， w（43）a+（75） （10a）a+20， a3，4，5，6， 当 a3 时，w 取得最大值，此时 w17，10a7， 答：在第（2）的条件下，方案一：生产 A 种产品 3 件，生产 B 种产品 7 件获利最大；最 大利润是 17 万元 【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键 是明确题意，利用不等式的性质和方程的知识解答 24 （9 分）如图，等腰ABC 中，ABAC，BAC120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线一点，点 O 是线段 AD 上一点，OPOC 第 23 页（共 30 页） （1）已知APO18，求DCO 的度数；
37、 （2）求证：OPC 是等边三角形； （3）求证：ACAO+AP 【分析】 （1） 利用等边对等角， 即可证得： APOABO， DCODBO， 则APO+ DCOABO+DBOABD，据此即可求解； （2）证明POC60且 OPOC，即可证得OPC 是等边三角形； （3）首先证明OPACPE，则 AOCE，ACAE+CEAO+AP 【解答】 （1）解：如图 1，连接 OB， ABAC，ADBC， BDCD，BADBAC12060， OBOC，ABC90BAD30 OPOC， OBOCOP， APOABO，DCODBO， APO+DCOABO+DBOABD30； DCO30APO301812；
38、 （2）证明：APC+DCP+PBC180， APC+DCP150， APO+DCO30， OPC+OCP120， POC180（OPC+OCP）60， OPOC， OPC 是等边三角形； （3）证明：如图 2，在 AC 上截取 AEPA， PAE180BAC60， APE 是等边三角形， 第 24 页（共 30 页） PEAAPE60，PEPA， APO+OPE60， OPE+CPECPO60， APOCPE， OPCP， 在OPA 和CPE 中， OPACPE（SAS） ， AOCE， ACAE+CEAO+AP 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等
39、三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 25 （10 分）我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” 请 解答下列问题： （1） “梯形、长方形、正方形”中“等邻角四边形”是 长方形、正方形 ； （2）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上，且 CDCA，点 E、F 分别为 BC、 AD 的中点，连接 EF 并延长交 AB 于点 G求证：四边形 AGEC 是“等邻角四边形” ； （3）已知：在“等邻角四边形”ABCD 中，A90，C60，AB6，BC10， 请画出相应图形，并直接写出 CD 的长 【分析】 （1）邻角相等的四边形有很多，矩形、正方
40、形或者等腰梯形都至少有一组邻角 第 25 页（共 30 页） 相等 （2）解本题有两种方法：运用中位线的性质，找出对应相等的角；用待定系数法， 设出 x，写出关于 x 的代数式，化简即可找出对应相等的角 （3）分四种情况画图计算即可 【解答】解： （1） “梯形、长方形、正方形”中“等邻角四边形”是长方形、正方形， 故答案为：长方形、正方形； （2）连接 AE， 设B 的度数为 x， ABAC，CDCA， CBx，190， F 是 AD 的中点， AFEFAD 2190， AGEB+2x+90， 90+， GEC180（90）90+， AGEGEC； 四边形 AGEC 是等邻角四边形； （3）
41、DA90， 如图， 作 BEDC， DABED90， 四边形 ADEB 是矩形， DEAB6 第 26 页（共 30 页） 在 RtBEC 中，BC10，C60， CE5， CDDE+CE11， 如图，AB90 作 CEAD， ABAEC90， 四边形 ABCE 是矩形， AEBC10，CEAB6， 在 RtCED 中，DCEBCEBCD30， CD4， BC60 如图，延长 AD，BC 交于 E 在 RtABE 中，B60，AB6， BE2AB12，E30 CEBEBC12102， BCD60， CDECED30， CDCE2， DC60， 如图，延长 DA，CB 交于 E， 第 27 页（
42、共 30 页） DC60， E60，CDCE， 在 RtABE 中，E60，AB6， BE4， CDBC+BE10+4 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性 质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是作出图形，也是本 题的难点 26 （10 分）已知：在直角坐标系中，A 为 x 轴负半轴上的点，B 为 y 轴负半轴上的 点 （1）如图 1，以 A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC，若 OA2，OB4， 试求 C 点的坐标 （2）如图 2，若点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（0，m） ，点 D 的纵坐标 为
43、n，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰 RtABD试问：当 B 点沿 y 轴负半轴向下运动且其 第 28 页（共 30 页） 他条件都不变时，整式 2m+2n5的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值； 若发生变化，请说明理由 （3）如图 3，E 为 x 轴负半轴上的一点，且 OBOE，OFEB 于点 F，以 OB 为边作等 边OBM，连接 EM 交 OF 于点 N，试探索：在线段 EF、EN 和 MN 中，哪条线段等于 EM 与 ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明 【分析】 （1）作 CQOA 于点 Q，可以证明AQCBOA，由 QCAO，AQBO， 再由条件就可以求出 C
44、的坐标 （2）作 DPOB 于点 P，可以证明AOBBPD，则有 AOBPOBPOm（ n）m+n 为定值，从而可以得出结论 2m+2n5的值不变为 （3）作 BHEB 于 B，由条件可以得出130，23EMO15，EOF BMG45，EOBM，可以证明ENOBGM，则 GMON，就有 EMON EMGMEG，最后由平行线分线段成比例定理就可以得出 ENEMON 的一半 【解答】解： （1）如图（1）作 CQOA 于点 Q， AQC90 ABC 等腰 Rt， ACAB，CAB90， ACQBAO AQCBOA， CQAO，AQBO OA2，OB4， CQ2，AQ4， OQ6， C（6，2） （2）如图（2）作 DPOB 于点 P， BPD90， ABD 等腰 Rt， ABBD，ABDABO+OBD90， ABOBDP， AOBBPD， AOBP， 第 29 页（共 30 页） BPOB
