1、2018-2019 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（下）期末数学试卷一.选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）2019 的倒数是（ ） A2019 B2019 C D 2 （3 分）如图，从几何图形的角度看，下列这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的 是（ ） A B C D 3 （3 分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约 11700000 人，将数据 11700000 用科学记数法表示为（ ） A1.17107 B11.7106 C0.117107 D1.171
2、08 4 （3 分）九年级（1）班“环保小组”的 5 位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别 为：4，6，8，16，16 这组数据的中位数、众数分别为（ ） A8，16 B16，16 C8，8 D10，16 5 （3 分）如图，A，B，C 是O 上三点，140，那么A 等于（ ） A70 B110 C140 D220 6 （3 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到点 E，使 AEAC，则BCE 的度数 是（ ） 第 2 页（共 26 页） A22.5 B25 C23 D20 7 （3 分）如图，将半径为 4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A B C D
3、 8 （3 分）使式子有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 且 x2 Cx2 Dx1 且 x2 9 （3 分）对于二次函数 y（x1）2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A对称轴是直线 x1，最大值是 2 B对称轴是直线 x1，最小值是 2 C对称轴是直线 x1，最大值是 2 D对称轴是直线 x1，最小值是 2 10 （3 分）设方程 x2+x20 的两个根为 ，那么（2） （2）的值等于（ ） A4 B0 C4 D2 11 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 1
4、2 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，下列结论： ab0；b24ac；a+b+c0；3a+c0其中正确的是（ ） A B C D 第 3 页（共 26 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：a24b2 14 （3 分）不等式组的解集为 15 （3 分）已知关于 x 的方程 x2+3x+k20 的一个根是1，则 k 16 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，ACO45，则B 的度数为 17 （3 分）如图，含有 30的直角三角板ABC，BAC90
5、，C30，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转，得到AMN，使得点 B 落在 BC 边上的点 M 处，过点 N 的直线 l BC，则1 18 （3 分）已知四边形 ABCD，ABC45，CD90，含 30角（P30） 的直角三角板 PMN（如图）在图中平移，直角边 MNBC，顶点 M、N 分别在边 AD、 BC 上，延长 NM 到点 Q，使 QMPB若 BC10，CD3，则当点 M 从点 A 平移到点 D 的过程中，点 Q 的运动路径长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19计算：（2019）0+2 1 20先化简，再求值：（1+） ，其中 x+1
6、21如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且 第 4 页（共 26 页） DCDE （1）求证：AAEB； （2）连接 OE，交 CD 于点 F，OECD，求证：ABE 是等边三角形 22 近几年购物的支付方式日益增多， 某数学兴趣小组就此进行了抽样调查， 调查结果显示， 支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他该小组对某超市一天内购买者的支付 方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了 名购买者： （2）请补全条形统计图：在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角
7、为 度； （3）若该超市这一周内有 1600 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者 共有多少名？ 23某商场销售 A，B 两款书包，已知 A，B 两款书包的进货价格分别为每个 30 元，50 元， 商场用 3600 元的资金购进 A，B 两款书包共 100 个 （1）求 A，B 两款书包分别购进多少个 （2）市场调查发现，B 款书包每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：y x+90（60x90） 设 B 款书包每天的销售利润为 w 元，当 B 款书包的销售单价为 多少元时，商场每天 B 款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24在 RtABC 中，BAC
8、90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F （1）求证：AEFDEB； 第 5 页（共 26 页） （2）证明四边形 ADCF 是菱形； （3）若 AC4，AB5，求菱形 ADCF 的面积 25在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在抛物线 yx2+bx+c（b0）上，且 A（1，1） ， （1）若 bc4，求 b，c 的值； （2）若该抛物线与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 C，试求出 OB，OC 的数量关 系； （3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，1） ，点 A 的对应点 A1（1m，2b 1） ，当
9、m时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标 26定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直 线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点 （1）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，以点 A（0，3）为圆心，5 为半 径作圆 A，交 x 轴的负半轴于点 B，求过点 B 的圆 A 的切线的解析式； （2）若抛物线 yax2（a0）与直线 ykx+b（k0）相切于点（2，2） ，求直线的解析 式； （3）若函数 yx2+（nk1）x+m+k2 的图象与直线 yx 相切，且当1n2 时，m 的最小值为 k，求 k 的值 第 6 页
10、（共 26 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年 级（下）期末数学试卷级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）2019 的倒数是（ ） A2019 B2019 C D 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 【解答】解：2019 的倒数是： 故选：C 【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键 2 （3 分）如图，从几何图形的角度看，下列这些图案既是中心对称图形又是
11、轴对称图形的 是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图 形与轴对称图形的概念，属于基础题 3 （3 分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约 第 7 页（共 26 页） 11700000 人，将数据 11700000 用科学记数法
12、表示为（ ） A1.17107 B11.7106 C0.117107 D1.17108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【解答】解：117000001.17107 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）九年级（1）班“环保小组”的 5
13、 位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别 为：4，6，8，16，16 这组数据的中位数、众数分别为（ ） A8，16 B16，16 C8，8 D10，16 【分析】根据中位数和众数的定义求解 【解答】解：这组数据的中位数为：8， 众数为：16 故选：A 【点评】本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义，属于 基础题 5 （3 分）如图，A，B，C 是O 上三点，140，那么A 等于（ ） A70 B110 C140 D220 【分析】根据周角可以计算 360220，再根据圆周角定理，得A2202 110 【解答】解：1360220， A12202110 故选：B 第 8
14、 页（共 26 页） 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 6 （3 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到点 E，使 AEAC，则BCE 的度数 是（ ） A22.5 B25 C23 D20 【分析】根据正方形的性质，易知CAEACB45；等腰CAE 中，根据三角形 内角和定理可求得ACE 的度数， 进而可由BCEACEACB 得出BCE 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， CABBCA45； ACE 中，ACAE，则： ACEAEC（180CAE）67.5； BCEACEACB22.5 故选：
15、A 【点评】此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质此题难度不大，解题的关键是 注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质 7 （3 分）如图，将半径为 4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A B C D 【分析】连接 AO，过 O 作 ODAB，交于点 D，交弦 AB 于点 E，根据折叠的性质可 第 9 页（共 26 页） 知 OEDE，再根据垂径定理可知 AEBE，在 RtAOE 中利用勾股定理即可求出 AE 的长，进而可求出 AB 的长 【解答】解：如图所示， 连接 AO，过 O 作 ODAB，交于点 D，交弦 AB 于点 E， 折叠后恰好经过圆心， OEDE， O
16、 的半径为 4， OEOD42， ODAB， AEAB， 在 RtAOE 中， AE2 AB2AE4 故选：A 【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用及翻折变换的性质，根据题意画出 图形，作出辅助线利用数形结合解答 8 （3 分）使式子有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 且 x2 Cx2 Dx1 且 x2 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，1x0 且 2+x0， 解得 x1 且 x2 故选：B 【点评】 本题考查的知识点为： 分式有意义， 分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数 9 （3 分）对于二次函数 y（x
17、1）2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ） 第 10 页（共 26 页） A对称轴是直线 x1，最大值是 2 B对称轴是直线 x1，最小值是 2 C对称轴是直线 x1，最大值是 2 D对称轴是直线 x1，最小值是 2 【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断 【解答】解：由抛物线的解析式：y（x1）2+2， 可知：对称轴 x1， 开口方向向下，所以有最大值 y2， 故选：A 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题 属于基础题型 10 （3 分）设方程 x2+x20 的两个根为 ，那么（2） （2）的值等于（ ） A4 B0 C4 D2 【分析】根据方程
18、的系数利用根与系数的关系找出 +1、2，将（2） （ 2）展开后代入数据即可得出结论 【解答】解：方程 x2+x20 的两个根为 ， +1，2， （2） （2）2（+）+422（1）+44 故选：C 【点评】 本题考查了根与系数的关系， 解题的关键是根据根与系数的关系找出 +1、 2本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与 系数的关系找出两根之和与两根之积是关键 11 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 【分析】方程有实数根，则根的判别式0，且二次项系数不为零
19、 【解答】解：b24ac224k（1）0， 解上式得，k1， 二次项系数 k0， k1 且 k0 故选：D 第 11 页（共 26 页） 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次 项系数不为零这一隐含条件 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，下列结论： ab0；b24ac；a+b+c0；3a+c0其中正确的是（ ） A B C D 【分析】由抛物线开口方向得到 a0，然后利用抛物线的对称轴得到 b 的符号，则可对 进行判断；利用判别式的意义和抛物线与 x 轴有 2 个交点可对进行判断；利用 x1 时，y0 可
20、对进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到 b2a，加上 x1 时，y 0，即 ab+c0，则可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， ab0，所以正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以正确； x1 时，y0， a+b+c0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a， 而 x1 时，y0，即 ab+c0， a+2a+c0，所以错误 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ， 第 12 页（共 26 页） 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向当 a0 时，抛物线向
21、上开口；当 a0 时，抛物 线向下开口； 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置： 当 a 与 b 同号时 （即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决 定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数由决定： b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个 交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分
22、解因式：a24b2 （a+2b） （a2b） 【分析】直接用平方差公式进行分解平方差公式：a2b2（a+b） （ab） 【解答】解：a24b2（a+2b） （a2b） 故答案为： （a+2b） （a2b） 【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键 14 （3 分）不等式组的解集为 2x3 【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解：， 解不等式，得 x2 解不等式，得 x3， 故不等式组的解集为 2x3 故答案为 2x3 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中 间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关
23、键 15 （3 分）已知关于 x 的方程 x2+3x+k20 的一个根是1，则 k 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未 知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立把 x1 代入原方程即可得 k 的 值 【解答】 解： 把 x1 代入方程 x2+3x+k20 可得 13+k20， 解得 k22， k 故本题答案为 k 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义此题要注意，k22，k ，漏掉一个 k 的值是易错点 第 13 页（共 26 页） 16 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，ACO45，则B 的度数为 45 【分析】先根据 OAO
24、C，ACO45可得出OAC45，故可得出AOC 的度数， 再由圆周角定理即可得出结论 【解答】解：连接 OA，如图， ACO45，OAOC， ACOCAO45， AOC90， B45 故答案为：45 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 17 （3 分）如图，含有 30的直角三角板ABC，BAC90，C30，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转，得到AMN，使得点 B 落在 BC 边上的点 M 处，过点 N 的直线 l BC，则1 30 【分析】首先根据直角的性质求出B60，利用旋转的性质求出ABM 是等边
25、三角 形， 进而求出NMC60， 再利用平行线的性质得到1+ANMNMC， 结合ANM C30，即可求出1 的度数 第 14 页（共 26 页） 【解答】解：BAC 中，BAC90，C30， B903060， ABC 绕着点 A 逆时针旋转，得到AMN， ABAM， ABM 是等边三角形， AMB60， AMN60， CMN180606060， lBC， 1+ANMNMC， ANMC30， 1+3060， 130 故答案为：30 【点评】本题主要考查了旋转的性质的知识，解答本题的关键是求出NMC60，利 用平行线的性质即可解题，此题难度不大 18 （3 分）已知四边形 ABCD，ABC45，C
26、D90，含 30角（P30） 的直角三角板 PMN（如图）在图中平移，直角边 MNBC，顶点 M、N 分别在边 AD、 BC 上，延长 NM 到点 Q，使 QMPB若 BC10，CD3，则当点 M 从点 A 平移到点 D 的过程中，点 Q 的运动路径长为 7 【分析】当点 P 与 B 重合时，AMAQ33，DMDQ103，易知点 Q 的运动路径是 QMQ，AMQ，MDQ都是等腰直角三角形，由此即可解 决问题 【解答】解：当点 P 与 B 重合时，AMAQ33，DMDQ103， 易知点 Q 的运动路径是 QMQ，AMQ，MDQ都是等腰直角三角形， 第 15 页（共 26 页） QM+MQ（33）
27、+（103）7 点 Q 的运动路径长点 P 的运动路径长 7， 故答案为 7 【点评】本题考查平移变换、运动轨迹、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意， 学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19计算：（2019）0+2 1 【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简 3 个考点在计算时，需要针对 每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式41+ 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决 此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂
28、、二次根式、绝对值等考点的运算 20先化简，再求值：（1+） ，其中 x+1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 当 x+1 时， 原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础 题型 21如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且 第 16 页（共 26 页） DCDE （1）求证：AAEB； （2）连接 OE，交 CD 于点 F，OECD，求证：ABE 是等边三角形 【分析】 （1）根据圆内接四边形的性质可得A+BCD180，根据邻补角互补可得 DCE+BCD180， 进而得到ADCE
29、， 然后利用等边对等角可得DCEAEB， 进而可得AAEB； （2）首先证明DCE 是等边三角形，进而可得AEB60，再根据AAEB，可 得ABE 是等腰三角形，进而可得ABE 是等边三角形 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是O 的内接四边形， A+BCD180， DCE+BCD180， ADCE， DCDE， DCEAEB， AAEB； （2）AAEB， ABE 是等腰三角形， EOCD， CFDF， EO 是 CD 的垂直平分线， EDEC， DCDE， DCDEEC， DCE 是等边三角形， AEB60， 第 17 页（共 26 页） ABE 是等边三角形 【点评】此题主要考查了
30、等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是 掌握圆内接四边形对角互补 22 近几年购物的支付方式日益增多， 某数学兴趣小组就此进行了抽样调查， 调查结果显示， 支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他该小组对某超市一天内购买者的支付 方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了 200 名购买者： （2）请补全条形统计图：在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 108 度； （3）若该超市这一周内有 1600 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者 共有多少名？ 【分析】 （1）根
31、据 B 的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得选择 A 和 D 的人数，从而可以将条形统计图补充完 整，求得在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以计算出使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名 【解答】解： （1）5628%200， 即本次一共调查了 200 名购买者； 故答案为：200； （2）D 方式支付的有：20020%40（人） ， A 方式支付的有：20056444060（人） ， 补全的条形统计图如右图所示， 第 18 页（共 26 页） 在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角
32、为：360108， 故答案为：108； （3）1600928（名） ， 答：使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有 928 名 【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，利用数形结合的思想解答 23某商场销售 A，B 两款书包，已知 A，B 两款书包的进货价格分别为每个 30 元，50 元， 商场用 3600 元的资金购进 A，B 两款书包共 100 个 （1）求 A，B 两款书包分别购进多少个 （2）市场调查发现，B 款书包每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：y x+90（60x90） 设 B 款书包每天的销售利润为 w 元，当
33、 B 款书包的销售单价为 多少元时，商场每天 B 款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】 （1）设购进 A 款书包 x 个，则 B 款为 100x 个，由题意得：30x+50（100x） 3600，即可求解； （2）由题意得：wy（x50）（x50） （x90） ，即可求解 【解答】解： （1）设购进 A 款书包 x 个，则 B 款为 100x 个， 由题意得：30x+50（100x）3600， 解得：x70， 即：A，B 两款书包分别购进 70 和 30 个； （2）由题意得：wy（x50）（x50） （x90） ， 10，故 w 有最大值， 函数的对称轴为：x70，而 60x9
34、0， 故：当 x70 时，w 有最大值为 400， 第 19 页（共 26 页） 即：B 款书包的销售单价为 70 元时 B 款书包的销售利润最大，最大利润是 400 元 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函 数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选 择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值） ，也就是说二 次函数的最值不一定在 x时取得 24在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F （1）求证：AEFDEB； （
35、2）证明四边形 ADCF 是菱形； （3）若 AC4，AB5，求菱形 ADCF 的面积 【分析】 （1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用 AAS 证得结论； （2）由（1）可得 AFBD，结合条件可求得 AFDC，则可证明四边形 ADCF 为平行 四边形，再利用直角三角形的性质可证得 ADCD，可证得四边形 ADCF 为菱形； （3）连接 DF，可证得四边形 ABDF 为平行四边形，则可求得 DF 的长，利用菱形的面 积公式可求得答案 【解答】 （1）证明：AFBC， AFEDBE， E 是 AD 的中点， AEDE， 在AFE 和DBE 中， AFEDBE（AAS） ； （2）证明：由（
36、1）知，AFEDBE，则 AFDB AD 为 BC 边上的中线 DBDC， 第 20 页（共 26 页） AFCD AFBC， 四边形 ADCF 是平行四边形， BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点， ADDCBC， 四边形 ADCF 是菱形； （3）连接 DF， AFBD，AFBD， 四边形 ABDF 是平行四边形， DFAB5， 四边形 ADCF 是菱形， S菱形ADCFACDF4510 【点评】本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得 AFCD 是解题 的关键，注意菱形面积公式的应用 25在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在抛物线 yx2+bx+c
37、（b0）上，且 A（1，1） ， （1）若 bc4，求 b，c 的值； （2）若该抛物线与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 C，试求出 OB，OC 的数量关 系； （3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，1） ，点 A 的对应点 A1（1m，2b 1） ，当 m时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标 【分析】 （1）把（1，1）代入 yx2+bx+c 得 b+c2，与 bc4 构成方程组，解方 程组即可求得； （2）求得 B（0，2b） ，C（，0） ，即可得到 OC，OB2+b，即可求得 OB 2（OC+1） ； 第 21 页（共 26 页） （3）把 yx2+b
38、x+c 化成顶点式，得到 y（x+）22b，根据平移的规律得到 y（x+m）22+b，把（1，1）代入，进一步得到（1+m）2（1） 2，即 1+ +m（1） ，分类求得 mb，由 m，得到 b，即 0b， 从而得到平移后的解析式为 y（x）22+b，得到顶点为（，2+b） ， 设 p2+b，即 p（b2）21，即可得到 p 取最大值为，从而得到 最高点的坐标 【解答】解： （1）把（1，1）代入 yx2+bx+c，可得 b+c2， 解，可得 b1，c3； （2）由 b+c2，得 c2b 对于 yx2+bx+c， 当 x0 时，yc2b 抛物线的对称轴为直线 x 所以 B（0，2b） ，C（，
39、0） 因为 b0， 所以 OC，OB2+b， OB2（OC+1） ； （3）由平移前的抛物线 yx2+bx+c，可得 y（x+）2+c，即 y（x+）22b 因为平移后 A（1，1）的对应点为 A1（1m，2b1） 可知，抛物线向左平移 m 个单位长度，向上平移 2b 个单位长度 则平移后的抛物线解析式为 y（x+m）22b+2b， 即 y（x+m）22+b 把（1，1）代入，得（1+m）22+b1 （1+m）2b+1 第 22 页（共 26 页） （1+m）2（1）2， 所以 1+m（1） 当 1+m1 时，m2（不合题意，舍去） ； 当 1+m（1）时，mb， 因为 m，所以 b 所以 0
40、b， 所以平移后的抛物线解析式为 y（x）22+b 即顶点为（，2+b） ， 设 p2+b，即 p（b2）21 因为0，所以当 b2 时，p 随 b 的增大而增大 因为 0b， 所以当 b时，p 取最大值为， 此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，） 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数的 点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质 26定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直 线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点 （1）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标
41、原点，以点 A（0，3）为圆心，5 为半 径作圆 A，交 x 轴的负半轴于点 B，求过点 B 的圆 A 的切线的解析式； （2）若抛物线 yax2（a0）与直线 ykx+b（k0）相切于点（2，2） ，求直线的解析 式； （3）若函数 yx2+（nk1）x+m+k2 的图象与直线 yx 相切，且当1n2 时，m 的最小值为 k，求 k 的值 第 23 页（共 26 页） 【分析】 （1）连接 AB，由 OA3、AB5 可求 OB4，即 B（4，0） 因为 AB过点 B 的A 切线，故有ABEAOB90，再加公共角OAB，可证OABBAE， 由对应边成比例可求 AE 的长，进而得点 E 坐标，即
42、可求直线 BE 解析式 （2）分别把点（2，2）代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为 yx2，直线 解析式可消去 b 得 ykx+22k由于直线与抛物线相切（只有一个交点） ，故联立解析 式得到关于 x 的方程有两个相等的实数根，即0，即求得 k 的值 （3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于 x 的 方程有两个相等是实数根，即0，整理得式子 m（nk）2k+2，可看作 m 关于 n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线 xk分类讨论对称轴在1n2 左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：当对称轴在1 左侧即 k1 时，由图象 可知1n2 时 m
43、随 n 的增大而增大，所以 n1 时 m 取得最小值，把 n1、m k 代入得到关于 k 的方程，方程无解；当对称轴在1n2 范围内时，nk 时即 取得最小值 k，得方程k+2k，解得：k1；当对称轴在 2 的右侧即 k2 时，由图 象可知1n2 时 m 随 n 的增大而减小，所以 n2 时 m 取得最小值，把 n2、mk 代入即求得 k 的值 【解答】解： （1）如图 1，连接 AB，记过点 B 的A 切线交 y 轴于点 E AB5，ABE90 A（0，3） ，AOB90 OA3 OB4 B（4，0） OABBAE，AOBABE90 OABBAE 第 24 页（共 26 页） AE OEAE
44、OA E（0，） 设直线 BE 解析式为：ykx+ 4k+0，解得：k 过点 B 的A 的切线的解析式为 yx+ （2）抛物线 yax2经过点（2，2） 4a2，解得：a 抛物线解析式：yx2 直线 ykx+b 经过点（2，2） 2k+b2，可得：b22k 直线解析式为：ykx+22k 直线与抛物线相切 关于 x 的方程x2kx+22k 有两个相等的实数根 方程整理得：x22kx+4k40 （2k）24（4k4）0 解得：k1k22 直线解析式为 y2x2 （3）函数 yx2+（nk1）x+m+k2 的图象与直线 yx 相切 关于 x 的方程x2+（nk1）x+m+k2x 有两个相等的实数根 方程整理得：x2+（nk）x+m+k20 （nk）24（m+k2）0 整理得：m（nk）2k+2，可看作 m 关于 n 的二次函数， 第
