1、2018-2019 学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（下）期末数学试卷 一.选择题（3 分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作民意调查，从 而最终决定买什么水果下列调查数据中最值得关注的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 2 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A2x+13 Bx2+y2 C3x2+2x4 D 3 （3 分）下面哪个点在函 y4x2 的图象上（ ） A （1，2） B （3，10） C （0.5，1） D （3，14） 4 （3 分）若平行四边形中两个内角的度数比为 1：5，则其中较小的内角是（ ） A20 B30 C45
2、D60 5 （3 分）一次函数 y3x+2 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6 （3 分）如图，ABC 中，AB6cm，BC4cm，AC5cm，E，F 分别是 AB 和 BC 的中 点，则 EF（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 7 （3 分）把二次函数 y3x2的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得到的图 象对应的二次函数表达式是（ ） Ay3（x2）2+1 By3（x+2）21 Cy3（x2）21 Dy3（x+2）2+1 8 （3 分）用配方法解方程 x26x80 时，配方结果正确的是（ ） A （x3）217 B （x3）
3、214 C （x6）244 D （x3）21 9 （3 分）已知一次函数 y（k2）x+2，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 22 页） Ak2 Bk2 Ck0 Dk0 10 （3 分）如图，二次函数 yx22x3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 则下列说法错误的是（ ） AAB4 BOCB45 C当 x3 时，y0 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 11 （3 分）关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 （ ） Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1 12 （3
4、分）抛物线 yax2+bx+c （a0） 的部分图象如图所示， 与 x 轴的一个交点坐标为 （4， 0） ，抛物线的对称轴是 x1下列结论中：abc0； 2a+b0； 方程 ax2+bx+c 2 有两个不相等的实数根； 4a2b+c0； 若点 A（m，n）在该抛物线上，则 am2+bm+ca+b+c，其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二二.填空题（本题共填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）一次函数 yx1 与 x 轴的交点坐标为 14 （3 分）从甲、乙两班分别任抽 10 名学生进行英语口语测验，其测试成
5、绩的方差是 s甲 2 13，s乙 226，则 班学生的成绩比较整齐 15 （3 分）函数 y2（x4）2+5 的顶点坐标为 第 3 页（共 22 页） 16 （3 分）如图是一次函数的 ykx+b 图象，则关于 x 的不等式 kx+b0 的解集为 17 （3 分）已知二次函数 yx22x+3 的图象上有两点 A（7，y1） ，B（8，y2） ，则 y1 y2 （用、填空） 18 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，过点 C 作 CEBC 交对角线 BD 于点 E，且 DECE， 则BEC 三三.解答题（本题共解答题（本题共 3 小题，共小题，共 20 分）分） 19 （6 分）解下列方程 （
6、1）3x227 （2）2x23x1 20 （6 分）如图，正比例函数 y2x 的图象与一次函数 yx+b 的图象交于点 A，一次函数 图象经过点 B（2，1） ，与 y 轴的交点为 C，与 x 轴的交点为 D （1）求一次函数解析式； （2）求 A 点的坐标； 21 （8 分）某校为灾区开展了“献出我们的爱”赈灾捐款活动，九年级（1）班 50 名同学 积极参加了这次赈灾捐款活动，因不慎，表中数据有一处被墨水污染，已无法看清，但 已知全班平均每人捐款 38 元 第 4 页（共 22 页） 捐款（元） 10 15 30 50 60 人数 3 6 11 11 13 6 （1）根据以上信息可知，被污染
7、处的数据为 （2）该班捐款金额的众数为 中位数为 （3）如果用九年级（1）班捐款情况作为一个样本，请估计全校 2000 人中捐款在 40 元 以上（包括 40 元）的人数是多少？ 四四.解答题（本题共解答题（本题共 3 小题，共小题，共 26 分）分） 22 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC 的平分线 BE 交 CD 于点 E，ADC 的 平分线 DF 交 AB 于点 F （1）若 AD4，AB6，求 BF 的长 （2）求证：四边形 DEBF 是平行四边形 23 （9 分）已知关于的一元二次方程 x2+（2m1）x+m210 （1）若该方程有两个实数根，求 m 的取值范围 （
8、2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且（x1x2）210m2，求 m 的值 24 （9 分）某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长） ，用 20m 长的篱笆围成一 个矩形 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边） ，设 ABxm （1）若花园的面积 96m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 11m 和 5m，要将这棵树围在花园内 （含边界，不考虑树的粗细） ，求花园面积 S 的最大值 五五.解答题（本题共解答题（本题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 第 5 页（共 22 页） 25 （10 分）我们可以用 f
9、（x）表示 x 为自变量的函数，如一次函数 y2x1，可表示 f（x） 2x1，f（1）2111，f（a）2a1，定义：若存在实数 x0，使 f（x0）x0 成立，则 x0为 f（x）的不动点例如 f（x）2x1，2x1x，x1，那么 f（x）的不 动点是 1 （1）已知函数 f（x）x2x，求 f（x）的不动点 （2）函数 f（x）mxn+1（m，n 是常数）的图象上存在不动点吗？若存在，请求出不 动点；若不存在，请说明理由； （3）已知函数 f（x）ax2+（b+1）x+（b1） （a0） ，当 0a3 时，若一次函数 y x 与二次函数 yf（x）的交点为 A、B，即 A、B 两点的横坐
10、标是函数 f（x）的不动点， 且 A、B 两点关于直线 yx+a1 对称，求 b 的取值范围 26 （10 分）如图，已知二次函数 yx2+bx+c（c0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，且 OBOC3，顶点为 M （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQm， 四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围； （3）探索：线段 BM 上是否存在点 N，使NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，
11、请说明理由 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（下）学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（下） 期末数学试卷期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题 意的选项本题共意的选项本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作民意调查，从 而最终决定买什么水果下列调查数据中最值得
12、关注的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择 【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差 是描述一组数据离散程度的统计量既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么 买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数 故选：C 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义 反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选 择和恰当的运用 2 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A2x+13 Bx2+y2 C3x2+2x4
13、D 【分析】一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0 【解答】解：A、该方程中未知数的最高次数是 1，不属于一元二次方程，故本选项错误； B、该方程中未知数的最高次数是 2 且含有 2 个未知数，不属于一元二次方程，故本选项 错误； C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、该方程是分式方程，不属于一元二次方程，故本选项错误； 故选：C 【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整 第 7 页（共 22 页） 式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c0（且 a0） 3 （3 分）下面哪个点
14、在函 y4x2 的图象上（ ） A （1，2） B （3，10） C （0.5，1） D （3，14） 【分析】分别计算出自变量为 1，3，0.5，3 所对应的函数值，然后根据一次函数图象 上点的坐标特征进行判断 【解答】解：函数 y4x2 当 x1 时，y2； 当 x3 时，y10； 当 x0.5 时，y0； 当 x3 时，y14； 点（3，10）在直线 y4x2 上，而点（1，2） 、 （0.5，1） 、 （3，14）不在直线 y4x2 上 故选：B 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 ykx+b（k0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线直线上任意一点的坐标都满足函数
15、关系式 ykx+b 4 （3 分）若平行四边形中两个内角的度数比为 1：5，则其中较小的内角是（ ） A20 B30 C45 D60 【分析】根据平行四边形的性质可得A+D180，再根据比值可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， A+D180， A：D1：5， A30， 故选：B 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行 5 （3 分）一次函数 y3x+2 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 第 8 页（共 22 页） 【分析】一次函数 ykx+b 的图象经过第几象限，取决于 k 和 b当 k0，b
16、O 时，图 象过 1，2，3 象限，据此作答 【解答】解：k30，b20， 直线 y3x+2 经过一、二、三象限，不经过第四象限 故选：D 【点评】本题考查一次函数的 k0，b0 的图象性质一次函数的图象经过第几象限， 取决于 x 的系数和常数项 6 （3 分）如图，ABC 中，AB6cm，BC4cm，AC5cm，E，F 分别是 AB 和 BC 的中 点，则 EF（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 【分析】根据三角形中位线定理解答 【解答】解：E，F 分别是 AB 和 BC 的中点， EFBC2cm， 故选：A 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，
17、且等于 第三边的一半是解题的关键 7 （3 分）把二次函数 y3x2的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得到的图 象对应的二次函数表达式是（ ） Ay3（x2）2+1 By3（x+2）21 Cy3（x2）21 Dy3（x+2）2+1 【分析】变化规律：左加右减，上加下减 【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y3x2的图象向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位得到 y3（x+2）2+1故选 D 【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质 8 （3 分）用配方法解方程 x26x80 时，配方结果正确的是（ ） 第 9 页（共 22 页） A （x3）217
18、 B （x3）214 C （x6）244 D （x3）21 【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果 【解答】解：用配方法解方程 x26x80 时，配方结果为（x3）217， 故选：A 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 9 （3 分）已知一次函数 y（k2）x+2，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 Ck0 Dk0 【分析】根据一次函数的增减性可得关于 k 的不等式，可求得 k 的取值范围 【解答】解：y（k2）x+2，且 y 随 x 的增大而减小， k20，解得 k2， 故选：B 【点评】本题主要考查一次函数的性
19、质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在 y kx+b 中，k0 时 y 随 x 的增大而增大，当 k0 时 y 随 x 的增大而减小 10 （3 分）如图，二次函数 yx22x3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 则下列说法错误的是（ ） AAB4 BOCB45 C当 x3 时，y0 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 【分析】通过解方程 x22x30 得 A（1，0） ，B（3，0） ，所以 AB4；利用函数图 象，当 x1 或 x3 时，y0；根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线 x1， 所以当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；求出 C 点坐标得
20、到 OBOC3，则OCB 为 等腰直角三角形，所以OCB45 【解答】解：当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23， 第 10 页（共 22 页） A（1，0） ，B（3，0） ， AB3（1）4， 当 x1 或 x3 时，y0， 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x0 时，yx22x33，则 C（0，3） ， OBOC3， OCB 为等腰直角三角形， OCB45 故选：D 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次
21、函数的性 质 11 （3 分）关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 （ ） Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+10 且（2） 24（k+1） 0，然后求出两个不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k+10 且（2）24（k+1）0， 解得 k0 且 k1 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的 实数根；当0 时，方程无实数根 12 （3
22、 分）抛物线 yax2+bx+c （a0） 的部分图象如图所示， 与 x 轴的一个交点坐标为 （4， 0） ，抛物线的对称轴是 x1下列结论中：abc0； 2a+b0； 方程 ax2+bx+c 2 有两个不相等的实数根； 4a2b+c0； 若点 A（m，n）在该抛物线上，则 am2+bm+ca+b+c，其中正确的个数有（ ） 第 11 页（共 22 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以 解答本题 【解答】解：由图象可得， a0，b0，c0， abc0，故错误， 1，则 b2a，故 2a+b0，故正确； 抛物线
23、与 x 轴有两个交点，故方程 ax2+bx+c2 有两个不相等的实数根，故正确； 抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（4，0） ，抛物线的对称轴是 x 1， 该抛物线与 x 轴的另一个交点为（2，0） ， 当 x2 时，y4a2b+c0，故正确； 当 x1 时，该函数取得最大值，此时 ya+b+c， 点 A（m，n）在该抛物线上，则 am2+bm+ca+b+c，故正确； 故选：D 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本 题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答 二二.填空题（本题共填空题（本题共 6 小题，每小题
24、小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）一次函数 yx1 与 x 轴的交点坐标为 （1，0） 【分析】利用函数解析式计算出当 y0 时 x 的值即可 【解答】解：当 y0 时，x1，则与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， 故答案为： （1，0） 【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数与 x 轴的交点坐标 特征，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式 第 12 页（共 22 页） 14 （3 分）从甲、乙两班分别任抽 10 名学生进行英语口语测验，其测试成绩的方差是 s甲 2 13，s乙 226，则 甲 班学生的成绩比较整齐 【分析】根据方差
25、的意义判断哪个班的成绩比较稳定 【解答】解：由于 S2甲1326S2乙，故乙的方差大，波动大成绩没有甲的整齐 故填甲 【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组 数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 15 （3 分）函数 y2（x4）2+5 的顶点坐标为 （4，5） 【分析】根据二次函数的顶点式直接求解 【解答】解：二次函数 y2（x4）2+5 的顶点坐标是（4，5） 故答案为： （4，5） 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数 yax2+bx+c（a0
26、）的图象为抛物线， 当 a0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为 ya（x）2+，对称轴为直 线 x，顶点坐标为（，） ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） 16（3分） 如图是一次函数的ykx+b图象， 则关于x的不等式kx+b0的解集为 x2 【分析】一次函数的 ykx+b 图象经过点（2，0） ，由函数表达式可得，kx+b0 其实 就是一次函数的函数值 y0，结合图象可以看出答案 【解答】解：由图可知：当 x2 时，y0，即 kx+b0； 因此 kx+b0 的解集为：x2 【点评】本题考查了数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一 元一次不等式与一次函数知识的具体应用
27、易错易混点：学生往往由于不理解不等式与 一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误 17 （3 分）已知二次函数 yx22x+3 的图象上有两点 A（7，y1） ，B（8，y2） ，则 y1 y2 （用、填空） 第 13 页（共 22 页） 【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点 A、B 的横坐标的大小即可判 断出 y1与 y2的大小关系 【解答】解：二次函数 yx22x+3 的对称轴是 x1，开口向下， 在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大， 点 A（7，y1） ，B（8，y2）是二次函数 yx22x+3 的图象上的两点， 78， y1y2 故答案为： 【点评】
28、本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函 数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键 18 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，过点 C 作 CEBC 交对角线 BD 于点 E，且 DECE， 则BEC 60 【分析】根据菱形的性质及 DECE，可知DBCBDCDCE，然后在BDC 中 利用三角形内角和 180可求DBC 度数，则BEC90DBC 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， BDCCBD 又 DECE， BDCDCE 所以设DBCx，则BDCx，BCD90+x， 所以 3x+90180，解得 x30 所以BEC903060 故答案为 60 【点评】本题
29、主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每一组对角 三三.解答题（本题共解答题（本题共 3 小题，共小题，共 20 分）分） 19 （6 分）解下列方程 （1）3x227 第 14 页（共 22 页） （2）2x23x1 【分析】 （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）直接利用配方法法解方程得出答案 【解答】解： （1）3x227 x29， 解得：x13，x23； （2）2x23x1 x2x （x）2， 解得：x11，x2 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键 20 （6 分）如图，正比例函数 y2x 的图象与一次函数 yx+b 的图象交于点
30、A，一次函数 图象经过点 B（2，1） ，与 y 轴的交点为 C，与 x 轴的交点为 D （1）求一次函数解析式； （2）求 A 点的坐标； 【分析】 （1）把 B（2，1）代入 yx+b，解方程即可得到结论； （2）解方程组即可得到结论 【解答】解： （1）一次函数图象经过点 B（2，1） ， 12+b， b3， 一次函数解析式为：yx+3； 第 15 页（共 22 页） （2）解方程组得， A 点的坐标为（3，6） 【点评】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，关键 是根据正比例函数解析式求得 m 的值 21 （8 分）某校为灾区开展了“献出我们的爱”赈灾捐款活动
31、，九年级（1）班 50 名同学 积极参加了这次赈灾捐款活动，因不慎，表中数据有一处被墨水污染，已无法看清，但 已知全班平均每人捐款 38 元 捐款（元） 10 15 30 50 60 人数 3 6 11 11 13 6 （1）根据以上信息可知，被污染处的数据为 40 （2）该班捐款金额的众数为 50 中位数为 40 （3）如果用九年级（1）班捐款情况作为一个样本，请估计全校 2000 人中捐款在 40 元 以上（包括 40 元）的人数是多少？ 【分析】 （1）利用总捐款数减去各种情况的捐款数再除以 11 可得被污染处的捐款数； （2）根据众数和中位数的定义可得答案； （3）用全校的总人数乘以捐
32、款在 40 元以上（包括 40 元）的人数所占的百分比即可得出 答案 【解答】解： （1）被污染处的数是：5038（103+156+3011+5013+606） 1140（元） ， 答：被污染处的数据为 40 元； 故答案为：40； （2）这组数据中 50 出现了 13 次，出现次数最多，则这组数据的众数是 50 元； 将这组数据从小到大依次排列，最中间的两数据是 40，40，所以中位数为（40+40）2 40 元； 故答案为：50，40； （3）根据题意得： 第 16 页（共 22 页） 20001200（人） ， 答：全校 2000 人中捐款在 40 元以上（包括 40 元）的人数是 12
33、00 人 【点评】此题主要考查了众数、中位数、加权平均数、以及利用样本估计总体，关键是 掌握各种数的概念和计算方法 四四.解答题（本题共解答题（本题共 3 小题，共小题，共 26 分）分） 22 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC 的平分线 BE 交 CD 于点 E，ADC 的 平分线 DF 交 AB 于点 F （1）若 AD4，AB6，求 BF 的长 （2）求证：四边形 DEBF 是平行四边形 【分析】 （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义即可得到结论； （2）由在ABCD 中，ABC 的平分线交 CD 于点 E，ADC 的平分线交 AB 于点 F，易 证得AFDCDE
34、ABE， 继而证得 DFBE， 则可证得四边形 DFBE 是平行四边形， 【解答】解： （1）在平行四边形 ABCD 中， ABCD， AFDCDF， ADC 的平分线 DF 交 AB 于点 F ADFCDF， ADFAFD， AFAD4， AB6， BF2； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，AC，ADCABC 又ADFADC，CBEABC， ADFCBE 第 17 页（共 22 页） ADFCBE（AAS） AFCE ABAFCDCE 即 DEFB 又DEBF， 四边形 EBFD 是平行四边形 【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，注意证得 DEFB 是
35、 关键 23 （9 分）已知关于的一元二次方程 x2+（2m1）x+m210 （1）若该方程有两个实数根，求 m 的取值范围 （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且（x1x2）210m2，求 m 的值 【分析】 （1）根据判别式即可求出 m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可求出答案 【解答】解： （1）由题意可知：（2m1）24（m21）0， 4m+50， m； （2）由题意可知：x1+x212m，x1x2m21， （x1x2）210m2， （x1+x2）24x1x210m2， （12m）24（m21）10m2， 解得：m； 【点评】本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数
36、的关系，本题属于中等题 型 24 （9 分）某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长） ，用 20m 长的篱笆围成一 个矩形 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边） ，设 ABxm （1）若花园的面积 96m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 11m 和 5m，要将这棵树围在花园内 （含边界，不考虑树的粗细） ，求花园面积 S 的最大值 第 18 页（共 22 页） 【分析】 （1）根据 ABx 米可知 BC（20x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结 论； （2）根据 P 处有一棵树与墙 CD、AD 的距离分别是 11 米和 5 米求出 x 的
37、取值范围，再 根据（1）中的函数关系式即可得出结论 【解答】解： （1）设 ABx 米，可知 BC（20x）米，根据题意得：x（20x）96 解这个方程得：x112，x28， 答：x 的值是 12m 或 8m （2）设花园的面积为 S， 则 Sx（20x）（x10）2+100 在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离是 11m 和 5 米， ， 5x9 当 x9 时，S最大（910）2+10099（平方米） 答：花园面积的最大值是 99 平方米 【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解 答此题的关键 五五.解答题（本题共解答题（本题共 2 小题，每小题小题
38、，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 25 （10 分）我们可以用 f（x）表示 x 为自变量的函数，如一次函数 y2x1，可表示 f（x） 2x1，f（1）2111，f（a）2a1，定义：若存在实数 x0，使 f（x0）x0 成立，则 x0为 f（x）的不动点例如 f（x）2x1，2x1x，x1，那么 f（x）的不 动点是 1 （1）已知函数 f（x）x2x，求 f（x）的不动点 （2）函数 f（x）mxn+1（m，n 是常数）的图象上存在不动点吗？若存在，请求出不 动点；若不存在，请说明理由； 第 19 页（共 22 页） （3）已知函数 f（x）ax2+（b+1）x+（b1） （
39、a0） ，当 0a3 时，若一次函数 y x 与二次函数 yf（x）的交点为 A、B，即 A、B 两点的横坐标是函数 f（x）的不动点， 且 A、B 两点关于直线 yx+a1 对称，求 b 的取值范围 【分析】 （1）根据不动点的概念得出 x2xx，解之可得 （2）分 m1、n1，m1、n1 及 m1 三种情况，利用平行线的性质结合不动点的 定义，即可找出结论； （3）根据 A、B 两点关于直线 yx+a1 对称可找出 xA+xBa1，由不动点的定义 结合根与系数的关系可得出 xA+xB，进而可得出 ba2+a，再利用二次函数的性 质即可求出 b 的取值范围 【解答】解： （1）令 f（x）x
40、，则 x2xx， 解得：x10，x22， f（x）的不动点是 0 和 2 （2）当 m1，n1 时，函数 f（x）mxn+1 的图象上所有点均为不动点； 当 m1，n1 时，函数 f（x）mxn+1 的图象上不存在不动点； 当 m1 时，令 mx0n+1x0， 解得 x0， 当 m1 时，函数 f（x）mxn+1 的图象上存在不动点，不动点为 x0 （3）点 A、B 在一次函数 yx 上，A、B 两点关于直线 yx+a1 对称， xA+xBa1， 令 ax02+（b+1）x0+（b1）x0，则 xA+xB， a1， ba2+a（a）2+ 10，0a3， 6b 【点评】本题是二次函数的综合问题，
41、考查了两直线相交或平行、根与系数的关系以及 第 20 页（共 22 页） 垂直平分线，解题的关键是利用垂直平分线的性质结合不动点的定义找出 ba2+a 26 （10 分）如图，已知二次函数 yx2+bx+c（c0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，且 OBOC3，顶点为 M （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQm， 四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围； （3）探索：线段 BM 上是否存在点 N，使NMC
42、 为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）可根据 OB、OC 的长得出 B、C 两点的坐标，然后用待定系数法即可求出 抛物线的解析式 （2）可将四边形 ACPQ 分成直角三角形 AOC 和直角梯形 CQPC 两部分来求解先根据 抛物线的解析式求出 A 点的坐标，即可得出三角形 AOC 直角边 OA 的长，据此可根据上 面得出的四边形的面积计算方法求出 S 与 m 的函数关系式 （3）先根据抛物线的解析式求出 M 的坐标，进而可得出直线 BM 的解析式，据此可设 出 N 点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出 CM、MN、CN 的长，然 后
43、分三种情况进行讨论：CMMN；CMCN；MNCN根据上述三种情况即 可得出符合条件的 N 点的坐标 【解答】解： （1）OBOC3， B（3，0） ，C（0，3） ， 解得1 分 二次函数的解析式为 yx2+2x+3； 第 21 页（共 22 页） （2）yx2+2x+3（x1）2+4，M（1，4） 设直线 MB 的解析式为 ykx+n， 则有 解得 直线 MB 的解析式为 y2x+6 PQx 轴，OQm， 点 P 的坐标为（m，2m+6） S四边形ACPQSAOC+S梯形PQOCAOCO+（PQ+CO） OQ（1m3） 13+（2m+6+3） mm2+m+； （3）线段 BM 上存在点 N（，） ， （2，2） ， （1+，4）使NMC 为等 腰三角形 CM，CN，MN 当 CMNC 时， 解得 x1，x21（舍去） 此时 N（，） 当 CMMN 时， 解得 x11+，x21（舍去） ， 此时 N（1+，4） 当 CNMN 时， 解得 x2，此时 N（2，2） 【点评】本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰 三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力考查学生分类讨论、数形结合 的数学思想方法
