1、2019-2020 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）期中数学试卷级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （b2）3b6 C3a3a23a3 D （ab）2a2b2 3 （3 分） 某个新发现的恒星， 直径是 16600000000m， 此数据用科学记数法可表示为 （ ） A1.66109 B16.61010 C1.661010 D1.661011 4 （3 分）以下 4 组数据，能组成三角形的是（ ） A
2、2、2、6 B3、4、5 C3、5、9 D5、8、13 5 （3 分）估计的值（ ） A1 到 2 之间 B2 到 3 之间 C3 到 4 之间 D4 到 5 之间 6 （3 分）若一个 n 边形的内角和是 1620，则 n 的值为（ ） A9 B10 C11 D12 7 （3 分）若 x2+kx+9 是完全平方式，则 k 的值为（ ） A3 B3 C6 D6 8 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，AD、CE 是ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个 动点，则下列线段的长度等于 BP+EP 最小值的是（ ） ABC BCE CAD DAC 9 （3 分）下列判断错误的是（ ） 第 2
3、页（共 25 页） A当时，分式有意义 B当 ab 时，分式有意义 C当时，分式值为 0 D当 xy 时，分式有意义 10 （3 分）如果关于 x、y 的二元一次方程组的解 x、y 满足 x+y2，那么 k 的值是（ ） A2 B3 C3 D2 11 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，DE 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D， 交 BC 于点 E，BAE20，则C 的度数是（ ） A30 B35 C40 D50 12 （3 分）如图，RtACB 中，ACB90，ABC 的平分线 BE 和BAC 的外角平分 线 AD 相交于点 P，分别交 AC 和 BC 的延长线于 E，D
4、过 P 作 PFAD 交 AC 的延长 线于点 H， 交 BC 的延长线于点 F， 连接 AF 交 DH 于点 G 则下列结论： APB45； PFPA；BDAHAB；DGAP+GH其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题二、填空题（本大题共共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13 （3 分）因式分解：ax3yaxy3 14 （3 分）直角坐标系中，点 P（x，y）在第二象限，且 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为 4、5， 第 3 页（共 25 页） 则点 P 的坐标为 15 （3 分）分式的值为 0，那么 x 的值为 16 （3 分）若关于 x 的一元一次不等式组无解，
5、则 m 的取值范围为 17 （3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB2cm，点 E 在 BC 上，且 AECE若将纸片 沿 AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上的点 B1重合，则 AC cm 18 （3 分）已知 x2m+2，y4m 1+2m，用含 x 的代数式表示 y 为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （1）计算： （2）解不等式： 20先化简，再求值：，其中 x 21青竹湖湘一外国语学校举办运动会，全校有 3000 名同学报名参加校运会，为了解各类 运动昂赛事的分布情况， 从中随机抽取了部分同学进行统计： A 田径类， B 球
6、类， C 团 体类，D其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 （1）这次统计共抽取了 位同学，扇形统计图中的 m ， 的度数 是 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）估计全校共多少学生报名参加了球类运动 22如图，ABC 是等腰直角三角形，ACBC，ACB90，ADCE，BECE，垂足 为点 D、E 第 4 页（共 25 页） （1）证明：BCECAD； （2）若 AD16cm，BE7cm，求 DE 的长 23某园林部门决定利用现有的 349 盆甲种花卉和 295 盆乙种花卉搭配 A，B 两种园艺造型 共 50 个， 摆放在迎宾大道两侧， 已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉
7、 8 盆， 乙种花卉 4 盆； 搭配一个 B 种造型需甲种花卉 5 盆，乙种花卉 9 盆 （l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的 搭配方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若搭配一个 A 种造型的成本是 200 元，搭配一个 B 种造型的成本是 360 元，试说明 哪种方案成本最低，最低成本是多少元？ 24已知ABC 和DEF 为等腰三角形，ABAC，DEDF，BACEDF，点 E 在 AB 上，点 F 在射线 AC 上 （1）如图 1，若BAC60，点 F 与点 C 重合，求证：ADCBEC； （2）如图 1，若BAC60，点 F 与点 C 重合，求证
8、：ADBC； （3）如图 2，若 ADAB，已知 AF10，AE4，求 BC 的长 25材料一：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股 定理” ，如：RtABC 中，两条直角边分别为 3、4，斜边为 5，则有 32+4252成立； 材料二：平方差公式：a2b2（a+b） （ab） ，存在一个特殊的结论：当 a、b 为整数 时，a+b 和 ab 同时为偶数，或者同时为奇数，如：当 a2，b3 时，a+b5 为奇数， 会发现 ab1 也同时为奇数，而当 a2，b6 时，a+b8 为偶数，此时会发现 a b4 也同时为偶数，此结论称为平方差公式的同奇同偶性 第 5 页（
9、共 25 页） （1）直角三角形两直角边分别为 6、8，求此时斜边的长度，而如果直角三角形的其中有 两边的边长的长度为 6、8 同时，你能求出此时另一边的长度吗？ （2）直角三角形中两直角边的的平方分别为 y2、31，斜边的平方为 x2+4x，且 x、y 均为 正整数，请求出 x、y； （3）直角三角形三边均为正整数，直角边分别为 a、b（ab） ，斜边为 c，且周长为 70， 面积为 210，请求出 a、b、c 26在平面直角坐标系中，已知点 A 在第一象限，点 B 在 y 轴的正半轴上，BOa，AOb， ABc，且有 a2+c2+2b22ab2bc0 （1）请判断ABO 的形状，并说明理由
10、； （2）如图 1，AOAC，且 AOAC，点 D 为 OC 的中点，BC 和 AD 交于点 E，求证： BEAE+EC； （3）如图 2，P 点在点 B 的上方运动，以 AP 为边在第一象限内作一个等边APF，延 长 FB 交 x 轴于点 G，已知点，求此时 BG 的长度 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年 级（上）期中数学试卷级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列图
11、形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （b2）3b6 C3a3a23a3 D （ab）2a2b2 【分析】直接利用积的乘
12、方运算法则以及整式的混合运算法则分别判断得出答案 【解答】解：A、a2+a22a2，故此选项错误； B、 （b2）3b6，正确； C、3a3a29a3，故此选项错误； D、 （ab）2a22ab+b2，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 3 （3 分） 某个新发现的恒星， 直径是 16600000000m， 此数据用科学记数法可表示为 （ ） 第 7 页（共 25 页） A1.66109 B16.61010 C1.661010 D1.661011 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n
13、的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：16600000000 用科学记数法表示为：1.661010， 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）以下 4 组数据，能组成三角形的是（ ） A2、2、6 B3、4、5 C3、5、9 D5、8、13 【分析】两条较小的边的和大于最大的边即可构成三角形 【解答】解：A、2+246，不能组成
14、三角形； B、3+45，能组成三角形； C、3+589，不能组成三角形； D、5+813，不能组成三角形 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和 大于第三边，任意两边之差小于第三边 5 （3 分）估计的值（ ） A1 到 2 之间 B2 到 3 之间 C3 到 4 之间 D4 到 5 之间 【分析】首先得出的取值范围进而得出答案 【解答】解：， 1+3， 即， 的值在 4 到 5 之间 故选：D 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键 6 （3 分）若一个 n 边形的内角和是 1620，则 n 的值为（ ） A9 B
15、10 C11 D12 【分析】根据多边形的内角和公式（n2） 180列式进行计算即可求解 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：设多边形的边数是 n，则 （n2） 1801620， 解得 n11 故选：C 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键 7 （3 分）若 x2+kx+9 是完全平方式，则 k 的值为（ ） A3 B3 C6 D6 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出 k 的值 【解答】解：x2+kx+9 是完全平方式， k6， 故选：D 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 8 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，AD
16、、CE 是ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个 动点，则下列线段的长度等于 BP+EP 最小值的是（ ） ABC BCE CAD DAC 【分析】如图连接 PC，只要证明 PBPC，即可推出 PB+PEPC+PE，由 PE+PCCE， 推出 P、C、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为 CE 的长度 【解答】解：如图连接 PC， ABAC，BDCD， ADBC， 第 9 页（共 25 页） PBPC， PB+PEPC+PE， PE+PCCE， P、C、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为 CE 的长度， 故选：B 【点评】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分
17、线的性质等 知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 9 （3 分）下列判断错误的是（ ） A当时，分式有意义 B当 ab 时，分式有意义 C当时，分式值为 0 D当 xy 时，分式有意义 【分析】分式有意义时，分母不等于零；分式的值等于零时：分子等于零，且分母不等 于零 【解答】解：A、当分母 3x20，即当时，分式有意义故本选项正确； B、当分母 a2b20，即 ab 时，分式有意义故本选项错误； C、当分子 2x+10，即时，分式值为 0故本选项正确； D、当分母 yx0，即 xy 时，分式有意义故本选项正确； 故选：B 【点评】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为
18、零的条件从以下三个方面透彻理 解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零 10 （3 分）如果关于 x、y 的二元一次方程组的解 x、y 满足 x+y2，那么 k 第 10 页（共 25 页） 的值是（ ） A2 B3 C3 D2 【分析】解方程组，用含 k 的代数式表示出 x、y，由 x+y2，得关于 k 的一次方程，求 解即可 【解答】解：法一、 ，得 2x+3y1， 又x+y2， 解这个方程组得 把 x7，y5 代入，得 k3 故选：B 法二、解方程组 得 x+y2， 3k2+2k+12 k3 故选：B 【点评】本题考查
19、了二元一次方程组的解法解决本题亦可由题意得三元一次方程组， 求解即可 11 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，DE 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D， 交 BC 于点 E，BAE20，则C 的度数是（ ） A30 B35 C40 D50 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质可得 AEEC，根据等边对等角可得C EAC，设Cx，则EACx，根据三角形内角和公式可得方程 x+x+20+90180， 再解方程即可 第 11 页（共 25 页） 【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线， AEEC， CEAC， 设Cx，则EACx， ABC90，BAE20， x+x+20+90
20、180，解得：x35， C35， 故选：B 【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线，以及三角形内角和公式，关键是掌握：垂 直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 12 （3 分）如图，RtACB 中，ACB90，ABC 的平分线 BE 和BAC 的外角平分 线 AD 相交于点 P，分别交 AC 和 BC 的延长线于 E，D过 P 作 PFAD 交 AC 的延长 线于点 H， 交 BC 的延长线于点 F， 连接 AF 交 DH 于点 G 则下列结论： APB45； PFPA；BDAHAB；DGAP+GH其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
21、和与角平分线的定义表 示出CAP，再根据角平分线的定义ABPABC，然后利用三角形的内角和定理整 理即可得解； 先求出APBFPB，再利用“角边角”证明ABP 和FBP 全等，根据全等三角 形对应边相等得到 ABBF，APPF； 根据直角的关系求出AHPFDP， 然后利用 “角角边” 证明AHP 与FDP 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 DFAH； 求出ADGDAG45，再根据等角对等边可得 DGAG，再根据等腰直角三角 第 12 页（共 25 页） 形两腰相等可得 GHGF，然后求出 DGGH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF AP，从而得出本小题错误 【解答】解：ABC 的角平
22、分线 BE 和BAC 的外角平分线， ABPABC， CAP（90+ABC）45+ABC， 在ABP 中，APB180BAPABP， 180（45+ABC+90ABC）ABC， 18045ABC90+ABCABC， 45，故本小题正确； PFAD，APB45（已证） ， APBFPB45， PB 为ABC 的角平分线， ABPFBP， 在ABP 和FBP 中， ， ABPFBP（ASA） ， ABBF，APPF；故正确； ACB90，PFAD， FDP+HAP90，AHP+HAP90， AHPFDP， PFAD， APHFPD90， 在AHP 与FDP 中， ， AHPFDP（AAS） ， D
23、FAH， 第 13 页（共 25 页） BDDF+BF， BDAH+AB， BDAHAB，故小题正确； APPF，PFAD， PAF45， ADGDAG45， DGAG， PAF45，AGDH， ADG 与FGH 都是等腰直角三角形， DGAG，GHGF， DGGH+AF， AFAP， DGAP+GH 不成立，故本小题错误， 综上所述正确 故选：A 【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判 定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角 的关系与边的关系 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）
24、分） 13 （3 分）因式分解：ax3yaxy3 axy（x+y） （xy） 【分析】首先找出公因式，进而利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：ax3yaxy3 axy（x2y2） axy（x+y） （xy） 故答案为：axy（x+y） （xy） 【点评】此题主要考查了提公因式法以及公式法进行分解因式，正确找出公因式是解题 关键 14 （3 分）直角坐标系中，点 P（x，y）在第二象限，且 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为 4、5， 则点 P 的坐标为 （5，4） 【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标 第 14 页（共 25 页） 【解答】解：点 P 位于
25、第二象限， 点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 点距离 x 轴 4 个单位长度，距离 y 轴 5 个单位长度， 点的坐标为（5，4） 故答案为： （5，4） 【点评】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特 征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负 15 （3 分）分式的值为 0，那么 x 的值为 3 【分析】分式的值为 0 的条件是： （1）分子为 0； （2）分母不为 0两个条件需同时具备， 缺一不可据此可以解答本题 【解答】解：由题意可得：x290 且 x+30， 解得 x3 故答案为：3 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式
26、值为零的条件是分子等于 零且分母不等于零注意： “分母不为零”这个条件不能少 16 （3 分）若关于 x 的一元一次不等式组无解，则 m 的取值范围为 m0 【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组无解即可得到一个关于 m 的不等式，从 而求得 m 的范围 【解答】解：， 解得 x2， 解得 x2m， 根据题意得：22m， 解得：m0 故答案是：m0 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还 可以观察不等式的解，若 x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间 17 （3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB2cm，点 E 在 BC 上，且 AEC
27、E若将纸片 第 15 页（共 25 页） 沿 AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上的点 B1重合，则 AC 4 cm 【分析】根据题意推出 ABAB12，由 AECE 推出 AB1B1C，即 AC4 【解答】解：AB2cm，ABAB1 AB12cm， 四边形 ABCD 是矩形，AECE， ABEAB1E90 AECE， AB1B1C， AC4cm 故答案为：4 【点评】本题主要考查翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于 推出 ABAB1 18 （3 分）已知 x2m+2，y4m 1+2m，用含 x 的代数式表示 y 为： y x2+x 【分析】根据同底数幂的乘法和除法进行计算
28、即可求解 【解答】解：因为 x2m+22m22， 所以 2mx y4m 1+2m22m2+2m 22m4+2m （x）2+x x2+x 故答案为 yx2+x 【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是熟练运用同底数幂的乘法和除法 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （1）计算： 第 16 页（共 25 页） （2）解不等式： 【分析】 （1）先根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根进行计算，再求出即 可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解： （1）原式1+2+123 3； （2） 解不等式得：x2， 解
29、不等式得：x4， 不等式组的解集是4x2 【点评】本题考查了有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根，实数的运算和解一 元一次不等式组等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能根据不等式的解集 求出不等式组的解集是解（2）的关键 20先化简，再求值：，其中 x 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可 【解答】解：原式 ， 当 x时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键 21青竹湖湘一外国语学校举办运动会，全校有 3000 名同学报名参加校运会，为了解各类 运动昂赛事的分布情况， 从中随机抽取了部分同学进行统计： A 田径类， B 球
30、类， C 团 体类，D其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 （1）这次统计共抽取了 200 位同学，扇形统计图中的 m 40 ， 的度数是 36 ； 第 17 页（共 25 页） （2）请将条形统计图补充完整； （3）估计全校共多少学生报名参加了球类运动 【分析】 （1）根据 A 组的人数为 40，占 20%即可求得抽取的总人数，根据百分比的意义 求得 m 的值，利用 360乘以对应的百分比求得 ； （2）利用总数减去其它组的人数求得 B 组的人数，即可补全直方图； （3）利用总人数乘以对应的比例求解 【解答】解： （1）A 组的人数为 40，占 20%， 总人数为 4020%
31、200（人） C 组的人数为 80， m8020010040 D 组的人数为 20， 2020036036 故答案是：200，40，36； （2）B 组的人数20040802060（本） （3）3000900（人） 答：估计全校共 900 学生报名参加了球类运动 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到要的信息 是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 22如图，ABC 是等腰直角三角形，ACBC，ACB90，ADCE，BECE，垂足 为点 D、E 第 18 页（共 25 页） （1）证明：BCECAD； （2）若 AD16cm，BE7cm，求 DE 的
32、长 【分析】 （1）根据 AAS 即可证明BCECAD （2）利用全等三角形的性质即可解决问题 【解答】 （1）证明：ADCE，BECE， ADCE90， ACB90， ACD+BCE90，CBE90， ACDCBE， 在BCE 和CAD 中， ， BCECAD（AAS） ， （2）解：BCECAD， BECD7cm，ADEC16cm， DECECD1679cm 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的 条件 23某园林部门决定利用现有的 349 盆甲种花卉和 295 盆乙种花卉搭配 A，B 两种园艺造型 共 50 个， 摆放在迎宾大道两侧， 已知搭配一个
33、A 种造型需甲种花卉 8 盆， 乙种花卉 4 盆； 搭配一个 B 种造型需甲种花卉 5 盆，乙种花卉 9 盆 （l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的 搭配方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若搭配一个 A 种造型的成本是 200 元，搭配一个 B 种造型的成本是 360 元，试说明 哪种方案成本最低，最低成本是多少元？ 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）根据题意列出一元一次不等式组，直接解不等式组，然后取整数解即可得 出答案； （2）根据题意列出总成本关于 x 的一次函数，利用一次函数的性质求解可得 【解答】解： （1）设搭配 A 种造型
34、x 个，则 B 种造型为（50x）个， 依题意得 ， 解这个不等式组得：31x33， x 是整数， x 可取 31，32，33， 可设计三种搭配方案： A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个； A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个； A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个 （2）设总成本为 W 元， 则 W200x+360x（50x）160x+18000， k1600， W 随 x 的增大而减小， 则当 x33 时，总成本 W 取得最小值，最小值为 12720 元 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的实际应用，解题关键是弄清题 意，合适的等量
35、关系，列出不等式组，属于中档题 24已知ABC 和DEF 为等腰三角形，ABAC，DEDF，BACEDF，点 E 在 AB 上，点 F 在射线 AC 上 （1）如图 1，若BAC60，点 F 与点 C 重合，求证：ADCBEC； （2）如图 1，若BAC60，点 F 与点 C 重合，求证：ADBC； （3）如图 2，若 ADAB，已知 AF10，AE4，求 BC 的长 第 20 页（共 25 页） 【分析】 （1）由BACEDF60，推出ABC、DEF 为等边三角形，于是得到 BCE+ACEDCA+ECA60，推出BCEACD（SAS） ，根据全等三角形 的性质得到 ADBE，即可得到结论；
36、（2）由全等三角形的性质得出DACEBC60，得出DACACB，即可得出 ADBC； （3）在 FA 上截取 FMAE，连接 DM，推出AEDMFD（SAS） ，根据全等三角形 的性质得到 DADMABAC，ADEMDF，证得ADMEDFBAC，推出 ABCDAM（SAS） ，根据全等三角形的性质得到 AMBC，即可得到结论 【解答】证明： （1）BACEDF60，ABC 和DEF 为等腰三角形， ABC、DEF 为等边三角形， BCAC，CDCE，BACBDCE60， BCE+ACEACD+ACE60， ACDBCE， 在ADC 和BEC 中， ADCBEC（SAS） ； （2）证明：由（1
37、）得：ADCBEC， DACEBC60， DACACB， ADBC； （3）解：在 FA 上截取 FMAE，连接 DM，如图 2 所示： BACEDF， AEDMFD， 第 21 页（共 25 页） 在AED 和MFD 中， AEDMFD（SAS） ， DADMABAC，ADEMDF， ADE+EDMMDF+EDM， 即ADMEDFBAC， 在ABC 和DAM 中， ABCDAM（SAS） ， AMBC， AE+BCFM+AMAF BCAFAE1046 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， 等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质，
38、证明三角形全等 是解题的关键 25材料一：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股 定理” ，如：RtABC 中，两条直角边分别为 3、4，斜边为 5，则有 32+4252成立； 材料二：平方差公式：a2b2（a+b） （ab） ，存在一个特殊的结论：当 a、b 为整数 时，a+b 和 ab 同时为偶数，或者同时为奇数，如：当 a2，b3 时，a+b5 为奇数， 会发现 ab1 也同时为奇数，而当 a2，b6 时，a+b8 为偶数，此时会发现 a b4 也同时为偶数，此结论称为平方差公式的同奇同偶性 （1）直角三角形两直角边分别为 6、8，求此时斜边的长度，而如果直
39、角三角形的其中有 两边的边长的长度为 6、8 同时，你能求出此时另一边的长度吗？ （2）直角三角形中两直角边的的平方分别为 y2、31，斜边的平方为 x2+4x，且 x、y 均为 第 22 页（共 25 页） 正整数，请求出 x、y； （3）直角三角形三边均为正整数，直角边分别为 a、b（ab） ，斜边为 c，且周长为 70， 面积为 210，请求出 a、b、c 【分析】 （1）第一种情形直接利用勾股定理计算即可第二种情形，分两种情形 讨论求 解即可 （2）由题意：y2+31x2+4x，推出（x+2）2y235，推出（x+2+y） （x+2y）57 135，由题意可知：或，解方程组即可解决问题
40、 （3）构建方程组即可解决问题 【解答】解： （1）直角三角形两直角边分别为 6、8，则斜边的长度10 当 6、8 是直角边时，斜边10，当 8 是斜边时，另一条直角边2， 综上所述，另一条边为 10 或 2 （2）由题意：y2+31x2+4x， （x+2）2y235， （x+2+y） （x+2y）57135， 由题意可知：或， 解得或 （3）由题意：， +4得到： （a+b）2c2840， （a+b+c） （a+bc）840， a+bc12 ， +得到 a+b41 ， ab，由可得， 把 a21，b20 代入可得 c29， 第 23 页（共 25 页） a21，b20，c29 【点评】本题属
41、于三角形综合题，考查了勾股定理，平方差公式等知识，解题的关键是 学会构建方程组解决问题，灵活运用公式是解题的关键 26在平面直角坐标系中，已知点 A 在第一象限，点 B 在 y 轴的正半轴上，BOa，AOb， ABc，且有 a2+c2+2b22ab2bc0 （1）请判断ABO 的形状，并说明理由； （2）如图 1，AOAC，且 AOAC，点 D 为 OC 的中点，BC 和 AD 交于点 E，求证： BEAE+EC； （3）如图 2，P 点在点 B 的上方运动，以 AP 为边在第一象限内作一个等边APF，延 长 FB 交 x 轴于点 G，已知点，求此时 BG 的长度 【分析】 （1）利用非负数的
42、性质即可解决问题 （2）如图 1 中，连接 OE，在 EB 上截取 EM，使得 EMEA，连接 AM证明AEM 是 等边三角形，BAMOAE（ASA）即可解决问题 （3）如图 2 中，设 AP 交 BF 于 J证明OAPBAF（SAS） ，推出APOAFB， 由BJPAJF， 推出ABJFPJ60， 可得OBG180606060， 在 RtOBG 中，解直角三角形即可解决问题 【解答】解： （1）a2+c2+2b22ab2bc0， （ab）2+（cb）20， （ab）20， （cb）20， abc， ABO 是等边三角形 （2）如图 1 中，连接 OE，在 EB 上截取 EM，使得 EMEA，
43、连接 AM 第 24 页（共 25 页） AOAC，OAC90，ODDC， ADOC，AODACDDACDAO45 EOEC， BAO60， BAC90+60150， ABAC， ABCACB15， AEBEAC+ACE60， EMEA， AEM 是等边三角形， MAEBAO60，AMAE， BAMOAE， ABAO， BAMOAE（ASA） ， BMOEEC， BEEM+BMAE+EC （3）如图 2 中，设 AP 交 BF 于 J 第 25 页（共 25 页） AOB，APF 都是等边三角形， ABAO，APAF，OABPAF60， OAPBAF， OAPBAF（SAS） ， APOAFB， BJPAJF， ABJFPJ60， ABO60， OBG180606060， A（，1） ， OBOA2， 在 RtGOB 中，BGO30，GOB90，OB2， BG2OB4 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定 和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题， 属于中考压轴题
