1、 限时训练（二十八）限时训练（二十八） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知复数z满足 13i2 3iz（i为虚数单位） ，则z在复平面内对应的点位于( ) . A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.设集合 sin, 3 n Mx xn Z，则满足条件 33 , 22 PM 的集合P的个数是( ) . A1 B3 C4 D8 3.已知,|8,0,0x yxyxy剠? ， ,|2,0,30Ax yxyxy剠? ,若向区域上 随机投1个点P,则点P落入区域A内的概率为 ( ) . A 1 4 B 7 16
2、 C 3 4 D 3 16 4.设锐角ABC的三内角, ,A B C所对边的边长分别为, ,a b c，且 1a ，2BA, 则b的取值范 围为 ( ) . A. 2, 3 B. 1, 3 C. 2,2 D.0,2 5.如图所示，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.如图所示，函数 sinf xAx（其中0A，0， 2 ）与坐标轴的三个交点P， Q，R满足2,0P， 4 PQR，M为QR的中点，2 5PM ， 则A的值为( ) . 侧（左）视图 俯视图 正（主）视图 2 13 11 A 8 3 3 B16 3 3
3、 C8 D16 7.已知函数 2 20 ln10 xxx f x xx ， ， ，若 fxax，则a的取值范围是（ ）. A. 0 , B. 1 , C. 2 1 , D. 2 0 , 8.如图所示，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长是1，点E是对角线 1 AC上一动点，记AEx 03x，过点E且平行于平面 1 ABD的截面将正方体分成两部分，其中点A所在的部分的体 积为 V x，则函数 yV x的图像大致为( ) . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中的横线上. 9.函数 3 lg 3 2 x f xx x 的定义域是_ 10.下图给出了一个程序框
4、图， 其作用是输入x的值， 输出相应的y值 若要使输入的x值与输出的y 值相等，则这样的x值有_个 M P Q R O x y 33 33 11 1 1 x O y O y x O y xO x y D.C. B.A. D1 C1 B1 A1 D C B A E 否 否 是 是 结束 输出y y=x2 y=2x-4 y= 1 x x5? x2? 输入x开始 11.设, x y均为正实数，且 111 223xy ，则xy的最小值为_ 12.已知直线0CByAx与圆2 22 yx相交于QP,两点， 其中 222 ,BCA成等差数列，O为 坐标原点，则PQOP=_. 13 已知抛物线 2 :2C y
5、x，过原点的动直线l交抛物线C于A，B两点，P是AB的中点，设动 点,P x y，则4xy的最大值是_. 14.已知函数 f x满足当1x时， 1 2f xf x ，1,3x当时， lnf xx， 若在区间 1 ,3 3 内，函数 g xf xax与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是_. 限时训练（二十八） 答案部分 一、一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D A B B D D 二、填空题 9. 2,3 10.3 11. 16 12. 3 13. 2 14. ln3 1 , 3e 解析部分 1. 解析 2 3i 13i 2 3i62 3i33 i 42213i 13i
6、 13i z ，所以z在复平面内对应的点位于 第一象限.故选 A. 2. 解析 集合 33 sin,0, 322 n Mx xn Z，所以满足 33 , 22 P 33 0, 22 的集合P有 0， 3 0, 2 ， 3 0, 2 ， 33 0, 22 ，共4个. 故选 C. 3. 解析 区域与区域A所表示的平面区域分别为OAB 和OCD. 由 3 8 yx xy ，解得 2 6 x y ，所以点D的坐标为2,6. 所以点P落入区域A内的概率 1 2 6 3 2 1 16 8 8 2 OCD OAB S P S .故 选 D. 4. 解析 因为 ABC为锐角三角形，所以 2 2 2 2 2 A
7、 BA CAA ，解得 64 A. 由正弦定理得 sinsin ab AB ，即 1 sinsin2 b AA ，所以 sin2 2cos sin A bA A ， 又 64 A，所以 23 cos 22 A，所以23b，即b的取值范围是 2, 3. 故选 A. 5. 解析 满足题图中的三视图的四棱锥如图所示.底面正方形ABCD的对角线长度为2， PA 底面ABCD， 2 13 23PA . 111 32 22 332 P ABCDABCD VPAS .故选 B. 6. 解析 设点,0Q x，由已知 4 PQR,且0x，可得OQOR,所以点0,Rx.由中点坐 标公式得, 22 xx M .因为
8、2 5PM ,2,0P,所以 22 2020 22 xx ，解得 1 8x ， A x=2 x+y=8 y=3x B D C O y x D C B A P 2 40x （舍去） ，所以826 2 T PQ, 12T .又 2 T ,所以 = 6 . 从图像可以看出 f x是由 sin 6 x yA向右平移2个单位得到的，即 sin2 6 fxAx . 又因为点0, 8R在图像上，所以 8sin2 6 A ，解得 16 3 3 A .故选 B. 7. 解析 由已知 2 2 ,0 ln1 ,0 xx x f x xx ，所以 2 2 ,0 ln1 ,0 xx x f x xx ，其图像如图所示.
9、 设 1 ln10fxxx， 2 2 20fxxx x， 3 fxax xR. 由图像可知当0a时， 0 0,x，使得 1030 fxfx，不满足题意；当0a时， 2 fx在 0,0处切线斜率 2 0 2 x kf x ， 观察图像可得 3 fxax的斜率2,0a 时， f xax 恒成立.所以a的取值范围是2,0.故选 D. 8. 分析 本题宜采用排除法求解. 解析 由题意可知 V x不是线性函数，所以排除 A，B；由正方体的对称性可知当 3 2 x 时，过点 E且平行于平面 1 ABD的平面平分正方体，当 3 0, 2 x 时，即点E从点A处移动到平分正方体 处时， V x逐渐增加，且增加
10、的速度越来越快，当 3 , 3 2 x 时，即点E从平分正方体处平移 到点 1 C处时， V x仍是逐渐增加， 但增加的速度越来越慢， 所以 V x的增加是先快后慢的过程， 排除 C. 故选 D. O y x 9.解析 函数 f x的定义域满足 20 30 x x ，解得23x，所以 f x的定义域为2,3. 10.解析 解法一: 程序框图表示的函数为 2, 2 24,25 1 ,5 xx yxx x x . 当2x时，令 2 xx，解得 12 0,1xx；当25x 时，令 24xx，解得4x； 当5x 时，令 1 x x ，解得 1 1x （舍去） ， 2 1x （舍去）. 所以满足条件的x
11、值为0,1,4，有3个. 解法二：程序框图表示的函数为 2, 2 24,25 1 ,5 xx yxx x x .此函数的图像与y x 的图像如图所示. 由图像可知，两图像有3个交点，即满足条件的x值有3个. 11.解析 解法一: 将 111 223xy 通分得 41 423 xy xyxy ，整理得8xyxy. 因为x，y均为正实数，所以2xyxy ，所以28xy xy， 即 2 28 0xyxy ，将不等式左边分解因式得 420xyxy， 又因为20xy ，所以4 0xy ，所以16xy，即xy最小值为16，当且仅当4xy时取 得等号，所以xy的最小值为16. 解法二: 令2,2xm yn，
12、则问题转化为 111 3mn 时，求22mn的最小值. 因为 111 3mn ，所以3mnmn，所以22244mnmnmnmn ，而 5421Ox y 33 44mnmn mn 333463 2416 nmn m mnm n ，当且仅当 6mn，即 4xy时，等号成立. 所以xy的最小值为16. 12.解析 由题可得 222 2CAB .如图所示，设PQ的中点为R，连接OR，则 222 2222 2 CC OPOQOR ABC ，所以 22 22OPOQOP OQ .又因为 2OPOQ，所以 1OP OQ ，所以 OP PQOPOQOP 2 OP OQOP 2 123 . 13.解析 依题意，
13、直线AB的斜率必存在，所以设直线AB方程为y kx，联立方程 2 2yx ykx ， 消去y， 整理得 2 20xkx， 所以 2 80k， 直线与抛物线恒有两个不同的交点. 设点A， B的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy.由韦达定理得 12 xxk，所以 2 1212 yyk xxk.又因 为点P为AB的中点，所以 12 2 12 22 22 xxk x yyk y ，所以 22 21 44222 2222 kkk xykk ，当2k 时，即1x ， 2y 时，4xy有最大 值，max44 1 22xy . 14.解析 1 ,1 3 x 时， 1 1,3 x ，所以 11 lnf
14、xx ，又 1 2,0,1ffxx x ， 所以 1 2lnlnf xx x ，即 11 ln ,1 23 f xx x . R Q P O y x 所以 11 ln , ,1 23 ln , 1,3 xx f x xx ，画出 f x的图像如图所示. 设过原点的直线与 f x相切的切点为 00 ,P x y，因为 0 1x ，所以 00 ,lnP xx. 由 0 ln x xOP x k ，所以 0 00 ln1x xx ，解得 0 ex ，所以 1 e OP k. 设 f x上横坐标为3的点为Q，则 ln3 3 OQ k.因为 g x与x轴有3个不同的交点， 即 f x与ax有3个不同交点， 观察图像可得直线y ax 的斜率a满足 OQOP kak ， 则实数a的 取值范围是 ln3 1 , 3e . Q P O x y 1 3 31
