1、2019-2020 学年湖南省长沙市岳麓区名校八年级（上）开学数学试卷一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分 ）分 ） 1 （3 分）下列实数中，是无理数的为（ ） A B C D 2 （3 分）若 ab，则下列不等式变形正确的是（ ） Aa+5b+5 B C4a4b D3a3b 3 （3 分）下列调查中，适合用普查方式的是（ ） A了解某班学生“50 米跑” B了解一批灯泡的使用寿命 C了解一批炮弹的杀伤半径 D调查长江流域的水污染情况 4 （3 分）下列图形中，线段 AD 的长表示点 A 到直线 BC 距离的是（ ） A B C D 5 （3 分）点 P
2、（3，4）到 x 轴的距离是（ ） A3 B3 C4 D5 6 （3 分）已知 ykx+b，当 x0 时，y1；当 x时，y2，那么当 x时，y 的 值为（ ） A2 B3 C4 D2 7 （3 分）一个多边形的每一个外角都是 72，这个多边形的内角和为（ ） A360 B540 C720 D900 8 （3 分）三角形两条边的长分别是 4 和 10，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为 第 2 页（共 24 页） （ ） A5 B6 C11 D16 9 （3 分）已知点 P（2a4，a3）在第四象限，化简|a+2|+|8a|的结果（ ） A10 B10 C2a6 D62a 10 （3 分
3、）如图，在矩形 ABCD 中放入 6 个全等的小矩形，所标尺寸如图所示，设小矩形 的长为 a，宽为 b，则可得方程组（ ） A B C D 11 （3 分）如图，已知140，A+B140，则C+D 的度数为（ ） A40 B60 C80 D100 12 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BD，CE 交于点 H，BE、AH 交 于点 G，则下列结论：ABEDCE；AGBE；SBHESCHD；AHB EHD其中正确的是（ ） A B C D 二二.填空題填空題共共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，请把答案填在答题卡的相应位置）分，请把答案填
4、在答题卡的相应位置） 13 （3 分）16 的算术平方根是 14 （3 分）如图，已知ABCDCB，添加下列条件中的一个：AD，AC 第 3 页（共 24 页） DB，ABDC，其中不能确定ABCDCB 的是 （只填序号） 15 （3 分）如图，ABC 中，B30，ACB110，AD 是角平分线，AE 是高，则 DAE 16 （3 分）如图，三角形 ABC 中，BAC70，点 D 是射线 BC 上一点（不与点 B、C 重合） ，DEAB 交直线 AC 于 E，DFAC 交直线 AB 于 F，则FDE 的度数为 17 （3 分）已知不等式组的整数解为 1，2，3，则 a 的取值范围是 18 （3
5、 分）某地突发地震，为了紧急安置 30 名地震灾民，需要搭建可容纳 3 人或 2 人的帐 篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这 30 名灾民，则不同的搭建方案有 种 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，小题，19-20 每题每题 6 分，分，21-22 每题每题 8 分，分，23-24 每题每题 9 分，分，25-26 每题每题 10 分，共分，共 66 分）分） 19 （6 分）计算：+|2| 20 （6 分）解不等式组： 21 （8 分）为了丰富学生课余生活，某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂为了了解 学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样
6、调查， 并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图（信息不完整） ，请根据图中提供的信息，解答 下面的问题： 第 4 页（共 24 页） （1）此次共调查了多少名同学？ （2）将条形图补充完整，并计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数 （3）如果该区七年级共有 2000 名学生参加这 4 个课外兴趣小组，而每名教师最多只能 辅导本组的 20 名学生，则绘画兴趣小组至少需要准备多少名教师？ 22 （8 分）如图，在ABC 中，ADBC，AE 平分BAC （1）若C70，B30求DAE 的度数； （2）若CB20，则DAE 23 （9 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，点 E、F 分别在 AD、
7、BC 上，AECF，过 点 A、C 分别作 EF 的垂线，垂足为 G、H （1）求证：AGECHF； （2）连接 AF、CE，线段 AF 与 CE 是否相等？请说明理由 24 （9 分）某家电超市经营甲、乙两种品牌的洗衣机经投标发现，1 台甲品牌洗衣机进价比 1 台乙品牌洗衣机进价贵 500 元； 购进 2 台甲品牌洗衣机和 3 台乙品牌洗衣机共需进货款 13500 元 （1）购进 1 台甲品牌洗衣机和 1 台乙品牌洗衣机进价各需要多少元？ （2）超市根据经营实际情况，需购进甲、乙两种品牌的洗衣机总数为 50 台，购进甲、 第 5 页（共 24 页） 乙两种品牌的洗衣机的总费用不超过 1452
8、50 元 请问甲品牌洗衣机最多购进多少台？ 超市从经营实际需要出发，其中甲品牌洗衣机购进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的 3 倍，则该超市共有几种购进方案？试写出所有的购进方案 25 （10 分）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两 个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合” ，其结果中最小的整数称 为 “最小算术平方根” ， 最大的整数称为 “最大算术平方根” 例： 1， 4， 9 这三个数， 2，3，6，其结果分别为 2，3，6，都是整数，所以 1，4，9 三个数 称为“和谐组合” ，其中最小算术平方根是 2，最大算术平方根是 6 （1）请证明
9、2，18，8 这三个数是“和谐组合” ，并求出最小算术平方根和最大算术平方 根 （2）已知 9，a，25 三个数是“和谐组合” ，且最大算术平方根是最小算术平方根的 3 倍， 求 a 的值 26 （10 分）已知 AMBN，AE 平分BAM，BE 平分ABN， （1）求AEB 的度数 （2）如图 2，过点 E 的直线交射线线 AM 于点 C，交射线 BN 于点 D，求证：AC+BD AB； （3）如图 3，过点 E 的直线交射线线 AM 的反向延长线于点 C，交射线 BN 于点 D，AB 5，AC3，SABESACE2，求BDE 的面积 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖南
10、省长沙市岳麓区名校八年级（上）开学年湖南省长沙市岳麓区名校八年级（上）开 学数学试卷学数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分 ）分 ） 1 （3 分）下列实数中，是无理数的为（ ） A B C D 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 【解答】解：A、2 是有理数，故 A 错误； B、2 是有理数，故 B 错误； C、 是无理数，故 C 正确； D、是有
11、理数，故 D 错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 2 （3 分）若 ab，则下列不等式变形正确的是（ ） Aa+5b+5 B C4a4b D3a3b 【分析】根据不等式的性质，可得答案 【解答】解：A、两边都加 5，不等号的方向不变，故 A 错误； B、两边都除以 3，不等号的方向不变，故 B 错误； C、两边都乘4，不等号的方向改变，故 C 错误； D、两边都乘 3，不等号的方向不变，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关
12、键，注意不等式的两边 乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 3 （3 分）下列调查中，适合用普查方式的是（ ） 第 7 页（共 24 页） A了解某班学生“50 米跑” B了解一批灯泡的使用寿命 C了解一批炮弹的杀伤半径 D调查长江流域的水污染情况 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查 得到的调查结果比较近似 【解答】解：A、工作量小，没有破坏性，适合普查 B、D、范围广，工作量大，不宜采用普查，只能采用抽样调查； C、调查具有破坏性，适宜抽样调查； 故选：A 【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择调查方式的选择需要将普查的局限性和 抽样调查的必要
13、性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难 度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被 调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就 应选择抽样调查 4 （3 分）下列图形中，线段 AD 的长表示点 A 到直线 BC 距离的是（ ） A B C D 【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度 【解答】解：线段 AD 的长表示点 A 到直线 BC 距离的是图 D， 故选：D 【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段 5 （3 分）点 P（3，4）到 x 轴的距离是（ ） 第 8 页（共
14、 24 页） A3 B3 C4 D5 【分析】纵坐标的绝对值就是点到 x 轴的距离 【解答】解：|4|4， 点 P（3，4）到 x 轴距离为 4 故选：C 【点评】本题考查了点的坐标的几何意义：点到 x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离为点的横坐标的绝对值 6 （3 分）已知 ykx+b，当 x0 时，y1；当 x时，y2，那么当 x时，y 的 值为（ ） A2 B3 C4 D2 【分析】把 x 与 y 的值代入 ykx+b 中计算，求出 k 与 b 的值，确定出 y 与 x 关系式，再 将 x 的值代入计算即可求出 y 的值 【解答】解：根据题意得：， 解得：， y6x1， 当
15、 x时，y314， 故选：C 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 7 （3 分）一个多边形的每一个外角都是 72，这个多边形的内角和为（ ） A360 B540 C720 D900 【分析】由一个多边形的每一个外角都是 72，可求得其边数，然后由多边形内角和定 理，求得这个多边形的内角和 【解答】解：一个多边形的每一个外角都是 72，多边形的外角和等于 360， 这个多边形的边数为：360725， 这个多边形的内角和为： （52）180540 故选：B 【点评】 此题考查了多边形的内角和与外角和 注意多边形的内角和为：（n2） 180； 多边形的外角和等于 36
16、0 第 9 页（共 24 页） 8 （3 分）三角形两条边的长分别是 4 和 10，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为 （ ） A5 B6 C11 D16 【分析】设此三角形第三边的长为 x，根据三角形的三边关系求出 x 的取值范围，找出符 合条件的 x 的值即可 【解答】解：设此三角形第三边的长为 x，则 104x10+4，即 6x14，四个选项 中只有 11 符合条件 故选：C 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边 9 （3 分）已知点 P（2a4，a3）在第四象限，化简|a+2|+|8a|的结果（ ） A10 B10 C2a6 D
17、62a 【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出 a 的取值范围，进而化简得出答案 【解答】解：点 P（2a4，a3）在第四象限， 2a40，a30， 解得：3a2 |a+2|+|8a| a+2+8a 10 故选：A 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出 a 的取值范围是解题关键 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中放入 6 个全等的小矩形，所标尺寸如图所示，设小矩形 的长为 a，宽为 b，则可得方程组（ ） A B C D 第 10 页（共 24 页） 【分析】设小矩形的长为 a，宽为 b，根据矩形的性质列出方程组即可 【解答】解：设小矩形的长为 a，宽为 b，则可得方程组 故选
18、：A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元 一次方程组是解题的关键 11 （3 分）如图，已知140，A+B140，则C+D 的度数为（ ） A40 B60 C80 D100 【分析】根据三角形内角和定理和多边形内角和公式解答即可 【解答】解：连接 CD，如图： 140，1+2+3180， 2+318040140， A+B+ADC+BCD360，A+B140， ADC+BCD360140220， BCE+ADE（ADC+BCD）（2+3）22014080， 故选：C 【点评】本题主要考查三角形内角和定理和多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握 三角形内角
19、和定理和多边形内角和公式 12 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BD，CE 交于点 H，BE、AH 交 于点 G，则下列结论：ABEDCE；AGBE；SBHESCHD；AHB EHD其中正确的是（ ） 第 11 页（共 24 页） A B C D 【分析】根据正方形的性质证得BAECDE，推出ABEDCE，可知正确； 利用正方形性质证ADHCDH，求得HADHCD，推出ABEHAD；求出 ABE+BAG90；最后在AGE 中根据三角形的内角和是 180求得AGE90 即可得到正确根据 ADBC，求出 SBDESCDE，推出 SBDESDEHSCDES DEH，
20、即；SBHESCHD，故正确；由AHDCHD，得到邻补角和对顶角相等得 到AHBEHD，故正确； 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，E 是 AD 边上的中点， AEDE，ABCD，BADCDA90， BAECDE（SAS） ， ABEDCE， 故正确； 四边形 ABCD 是正方形， ADDC，ADBCDB45，DHDH， ADHCDH（SAS） ， HADHCD， ABEDCE ABEHAD， BADBAH+DAH90， ABE+BAH90， AGB1809090， AGBE， 故正确； ADBC， SBDESCDE， 第 12 页（共 24 页） SBDESDEHSCDESDEH， 即
21、；SBHESCHD， 故正确； ADHCDH， AHDCHD， AHBCHB， BHCDHE， AHBEHD， 故正确； 故选：B 【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式， 解答本题要充分利用正方形的特殊性质：四边相等，两两垂直； 四个内角相等， 都是 90 度； 对角线相等，相互垂直，且平分一组对角 二二.填空題填空題共共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，请把答案填在答题卡的相应位置）分，请把答案填在答题卡的相应位置） 13 （3 分）16 的算术平方根是 4 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解：4216， 4
22、 故答案为：4 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义一个正数的算术平方根就是其正的平方根 14 （3 分）如图，已知ABCDCB，添加下列条件中的一个：AD，AC DB，ABDC，其中不能确定ABCDCB 的是 （只填序号） 【分析】一般三角形全等的判定方法有 SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：已知ABCDCB，且 BCCB 若添加AD，则可由 AAS 判定ABCDCB； 若添加ACDB，则属于边边角的顺序，不能判定ABCDCB； 若添加ABDC，则属于边角边的顺序，可以判定ABCDCB 故答案为： 【点评】本题考查全等三角形的几种
23、基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不 难判断 15 （3 分）如图，ABC 中，B30，ACB110，AD 是角平分线，AE 是高，则 DAE 40 【分析】根据三角形的内角和等于 180列式求出BAC，再根据角平分线的定义求出 BAD， 根据直角三角形两锐角互余求出BAE， 然后根据DAEBAEBAD 计算即 可得解 【解答】解：B30，ACB110， BAC1803011040， AD 平分BAC， BADBAC4020， B30，AE 是 BC 边上高线， BAE903060， DAEBAEBAD602040 故答案为：40 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念
24、并准确识图，理清图中各 角度之间的关系是解题的关键 16 （3 分）如图，三角形 ABC 中，BAC70，点 D 是射线 BC 上一点（不与点 B、C 重合） ，DEAB 交直线 AC 于 E，DFAC 交直线 AB 于 F，则FDE 的度数为 70或 110 第 14 页（共 24 页） 【分析】根据题意画出图形，分点 D 在 B、C 之间与点 C 外两种情况进行讨论 【解答】解：如图 1 所示，当点 D 在 B、C 之间时， DEAB 交直线 AC 于 E，DFAC 交直线 AB 于 F， 四边形 AFDE 是平行四边形， FDEA70； 如图 2 所示，当点 D 在点 C 外时， BAC
25、70， CAF18070110 DEAB 交直线 AC 于 E，DFAC 交直线 AB 于 F， 四边形 ACDF 是平行四边形， FDECAF110 综上所述，FDE 的度数为 70或 110 故答案为：70或 110 【点评】本题考查的是平行线的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论 17 （3 分）已知不等式组的整数解为 1，2，3，则 a 的取值范围是 3a4 【分析】根据不等式组的整数解可得答案 【解答】解：不等式组的整数解为 1，2，3， 3a4， 故答案为：3a4 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
26、大小小找不到”的原则是解答此题的关键 第 15 页（共 24 页） 18 （3 分）某地突发地震，为了紧急安置 30 名地震灾民，需要搭建可容纳 3 人或 2 人的帐 篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这 30 名灾民，则不同的搭建方案有 6 种 【分析】可设 3 人的帐篷有 x 顶，2 人的帐篷有 y 顶根据两种帐篷容纳的总人数为 30 人，可列出关于 x、y 的二元一次方程，根据 x、y 均为非负整数，求出 x、y 的取值根 据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案 【解答】解：设 3 人的帐篷有 x 顶，2 人的帐篷有 y 顶， 依题意，有：3x+2y30，整理得 y151.5x
27、， 因为 x、y 均为非负整数，所以 151.5x0， 解得：0x10， 从 0 到 10 的偶数共有 6 个， 所以 x 的取值共有 6 种可能 故答案是：6 【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是找到人数的等量关系， 及帐篷数的不等关系 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，小题，19-20 每题每题 6 分，分，21-22 每题每题 8 分，分，23-24 每题每题 9 分，分，25-26 每题每题 10 分，共分，共 66 分）分） 19 （6 分）计算：+|2| 【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式2+3（2） 3 【点
28、评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （6 分）解不等式组： 【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：小小取小确 定不等式组的解集即可 【解答】解：， 由得：x1， 第 16 页（共 24 页） 由得：x4， 不等式组的解集为 x1 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 21 （8 分）为了丰富学生课余生活，某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂为了了解 学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样调查， 并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图（
29、信息不完整） ，请根据图中提供的信息，解答 下面的问题： （1）此次共调查了多少名同学？ （2）将条形图补充完整，并计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数 （3）如果该区七年级共有 2000 名学生参加这 4 个课外兴趣小组，而每名教师最多只能 辅导本组的 20 名学生，则绘画兴趣小组至少需要准备多少名教师？ 【分析】 （1）根据球类人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各组人数之和等于总人数求得音乐人数，据此可补全条形图，再用 360乘以 音乐人数所占比例可得； （3）总人数乘以样本中绘画人数所占比例，再除以 20 即可得 【解答】解： （1）此次调查的学生人数为 12040%300（名
30、） ； （2）音乐的人数为 300（60+120+40）80（名） ， 补全条形图如下： 第 17 页（共 24 页） 扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数为 36096； （3）6030020002020 需准备 20 名教师辅导 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 22 （8 分）如图，在ABC 中，ADBC，AE 平分BAC （1）若C70，B30求DAE 的度数； （2）若CB20，则DAE 10 【分析】 （1）先根据三角形
31、内角和定理求出BAC 的度数，再根据角平分线的定义求出 BAE 的度数即可；根据 ADBC 及三角形内角和定理可求出BAD 的度数，再由（1） 中求出的BAE 的度数即可求出DAE 的度数； （2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用B、C 表示出BAE 的度数，再 根据直角三角形的性质用B 表示出BAD 的度数，DAEBADBAE，化简即 可求出DAE 的度数 【解答】解： （1）如图，在ABC 中C70，B30， BAC180CB180703080， AE 平分BAC， CAEBAC8040； 第 18 页（共 24 页） ADBC，C70， CAD90C907020， CAE40，
32、DAECAECAD402020； （2）如图，AE 平分BAC， CAE（180CB） ， ADBC， CAD90C， DAECADCAE（90C） （180CB） （CB） 10 故答案为：10 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质，涉及面 较广，难度适中 23 （9 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，点 E、F 分别在 AD、BC 上，AECF，过 点 A、C 分别作 EF 的垂线，垂足为 G、H （1）求证：AGECHF； （2）连接 AF、CE，线段 AF 与 CE 是否相等？请说明理由 【分析】 （1）由垂线的性质得出GH90，AGCH，根据平
33、行线的性质和对顶 角相等得出AEGCFH，由 AAS 即可证明AGECHF； （2）连接 AF、CE，由全等三角形的性质得出 AECF，证出四边形 AECF 是平行四边 第 19 页（共 24 页） 形，即可得出结论 【解答】 （1）证明：AGEF，CHEF， GH90，AGCH， ADBC， DEFBFE， AEGDEF，CFHBFE， AEGCFH， 在AGE 和CHF 中， ， AGECHF（AAS） ； （2）解：线段 AF 与 CE 相等，理由如下： 连接 AF、CE，如图所示： 由（1）得：AGECHF， AECF， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形， CEAF 【点评】
34、本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性 质；解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定与性质 24 （9 分）某家电超市经营甲、乙两种品牌的洗衣机经投标发现，1 台甲品牌洗衣机进价比 1 台乙品牌洗衣机进价贵 500 元； 购进 2 台甲品牌洗衣机和 3 台乙品牌洗衣机共需进货款 13500 元 （1）购进 1 台甲品牌洗衣机和 1 台乙品牌洗衣机进价各需要多少元？ （2）超市根据经营实际情况，需购进甲、乙两种品牌的洗衣机总数为 50 台，购进甲、 第 20 页（共 24 页） 乙两种品牌的洗衣机的总费用不超过 145250 元 请问甲品牌
35、洗衣机最多购进多少台？ 超市从经营实际需要出发，其中甲品牌洗衣机购进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的 3 倍，则该超市共有几种购进方案？试写出所有的购进方案 【分析】 （1）设购买 1 台甲品牌洗衣机需要 x 元，购买 1 台乙品牌洗衣机需要 y 元，根 据“购买 1 台甲品牌洗衣机比购买 1 台乙品牌洗衣机贵 500 元；购买 2 台甲品牌洗衣机 和 3 台乙品牌洗衣机共需 13500 元” ，得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组得到 答案； （2）设购买甲品牌洗衣机 m 台，则购买乙品牌洗衣机（50m）台，根据总价单价 数量结合购买甲、 乙两种品牌洗衣机的总费用不超过 145250
36、元， 即可得出关于 m 的一 元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论； 设购买甲品牌洗衣机 m 台，则购买乙品牌洗衣机（50m）台，根据甲品牌洗衣机购 进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的 3 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即 可得出 m 的取值范围，结合的结论即可找出各购买方案 【解答】解： （1）设购买 1 台甲品牌洗衣机需要 x 元，购买 1 台乙品牌洗衣机需要 y 元， 根据题意得：， 解得：， 答：购买 1 台甲品牌洗衣机需要 3000 元，购买 1 台乙品牌洗衣机需要 2500 元； （2）设购买甲品牌洗衣机 m 台，则购买品牌洗衣机（50m）台， 根据题意得：3
37、000m+2500（50m）145250， 解得：m40.5， m 为整数， m40 答：甲品牌洗衣机最多购买 40 台； 设购买甲品牌洗衣机 m 台，则购买乙品牌洗衣机（50m）台， 根据题意得：m3（50m） ， 解得：m37.5， m 为整数， m38， 第 21 页（共 24 页） 则 38m40.5， 有 3 种购买方案，方案一：购买甲品牌洗衣机 38 台，乙品牌洗衣机 12 台；方案二： 购买甲品牌洗衣机 39 台，乙品牌洗衣机 11 台；方案三：购买甲品牌洗衣机 40 台，乙品 牌洗衣机 10 台 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （
38、1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量间的关系，正确列出一 元一次不等式 25 （10 分）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两 个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合” ，其结果中最小的整数称 为 “最小算术平方根” ， 最大的整数称为 “最大算术平方根” 例： 1， 4， 9 这三个数， 2，3，6，其结果分别为 2，3，6，都是整数，所以 1，4，9 三个数 称为“和谐组合” ，其中最小算术平方根是 2，最大算术平方根是 6 （1）请证明 2，18，8 这三个数是“和谐组合” ，并求出最小算术平方根和最大算术平方 根
39、（2）已知 9，a，25 三个数是“和谐组合” ，且最大算术平方根是最小算术平方根的 3 倍， 求 a 的值 【分析】 （1）对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这 三个数为“和谐组合” ，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根” ，最大的整数称为 “最大算术平方根” ； （2）分三种情况讨论：当 9a25 时，当 a925 时，当 925a 时，分别 依据“和谐组合”的定义进行计算即可 【解答】解： （1）6，4，12， 2，18，8 这三个数是“和谐组合” ， 最小算术平方根是 4，最大算术平方根是 12 （2）分三种情况讨论： 当 9a25 时，3， 解得 a0
40、（不合题意） ； 当 a925 时，3， 解得 a（不合题意） ； 第 22 页（共 24 页） 当 925a 时，3， 解得 a81， 综上所述，a 的值为 81 【点评】本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2a， 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 26 （10 分）已知 AMBN，AE 平分BAM，BE 平分ABN， （1）求AEB 的度数 （2）如图 2，过点 E 的直线交射线线 AM 于点 C，交射线 BN 于点 D，求证：AC+BD AB； （3）如图 3，过点 E 的直线交射线线 AM 的反向延长线于点 C，交射线 BN 于点 D，AB
41、 5，AC3，SABESACE2，求BDE 的面积 【分析】 （1）根据平行线的性质得到BAM+ABN180，根据角平分线的定义得到 BAEBAM，ABEABN，于是得到结论； （2）在 AB 上截取 AFAC，连接 EF，根据全等三角形的性质得到AECAEF，BF BD，等量代换即可得到结论； （3）延长 AE 交 BD 于 F，根据等腰三角形的性质得到 ABBF5，AEEF，根据全等 三角形的性质得到 DFAC3，设 SBEFSABE5x，SDEFSACE3x，根据 SABE SACE2，即可得到结论 【解答】解： （1）AMBN， BAM+ABN180， AE 平分BAM，BE 平分AB
42、N， BAEBAM，ABEABN， BAE+ABE（BAM+ABN）90， AEB90； （2）在 AB 上截取 AFAC，连接 EF， 第 23 页（共 24 页） 在ACE 与AFE 中， ， ACEAFE， AECAEF， AEB90， AEF+BEFAEC+BED90， FEBDEB， 在BFE 与BDE 中， ， BFEBDE， BFBD， ABAF+BF， AC+BDAB； （3）延长 AE 交 BD 于 F， AEB90， BECD， BE 平分ABN， ABBF5，AEEF， AMBN， CEDF， 在ACE 与FDE 中， ， ACEFDE， DFAC3， BF5， 设 SBEFSABE5x，SDEFSACE3x， 第 24 页（共 24 页） SABESACE2， 5x3x2， x1， BDE 的面积8 【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等 腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键
