1、2018-2019 学年湖南省常德市市直学校八年级（下）期中数学试卷一选出唯一（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3 分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是（ ） A75 B60 C45 D30 2 （3 分）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD12，ACB30， 则 AB（ ） A9 B6 C12 D24 4 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，过点 A 作 BD 的平行线交 CD
2、 的延长线于点 E，则 下列式子不成立的是（ ） ADADE BBDCE CEAC90 DABC2E 5 （3 分）如图，BAC90，ADBC，则图中互余的角有（ ） 第 2 页（共 25 页） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，已知 BC8，AC6，则 斜边 AB 上的高是（ ） A10 B5 C D 7 （3 分）在长，宽，高分别为 12cm，4cm，3cm 的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒 的最大长度为（ ） A5cm B12cm C13cm Dcm 8 （3 分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的
3、红莲，它高出水面 30cm突 然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平 距离为 60cm，则水深是（ ）cm A35 B40 C50 D45 二填上最爱（本大题二填上最爱（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 9 （3 分）七边形的内角和等于 度 10 （3 分）点 P（3，1）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是 11 （3 分）直角三角形两条边长分别为 6cm、8cm，则第三边长为 12 （3 分）如图，将线段 AB 平移，使 B 点到 C 点，则平移后 A 点的坐标为 &
4、nbsp; 第 3 页（共 25 页） 13 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC8，BD6，则菱 形 ABCD 的高 DH 14 （3 分） 如图， ABC 中， D、 E 分别为 AB、 AC 边上的中点， 若 DE6， 则 BC 15 （3 分）如图，一棵大树在离地 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这 棵树折断之前的高度是 米 16 （3 分）如图，已知正方形 ABCD，顶点 A（1，3） 、B（1，1） 、C（3，1） ，规定“把正 方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，
5、 再向左平移 1 个单位” 为一次交换， 如此这样， 连续经过 2020 次变换后，正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为 三倾诉所想（本大题三倾诉所想（本大题 10 个小题，满分个小题，满分 72 分）分） 17 （5 分）已知，RtABC 中，ACB90，AB6cm，D 为 AB 中点，DEAC 于 E， 第 4 页（共 25 页） A30，求 BC，CD 和 AC 的长 18 （5 分）已知：如图BE90，ACDF，FBEC，求证：ABDE 19 （6 分）如图，在ABCD 中，AEBD 于 E，CFBD 于 F，连接 AF，CE求证：AF CE 20（6 分） 如
6、图， 矩形 ABCD 的两条对角线 AC、 BD 相交于点 O， AOD120， AB2 求 矩形边 BC 的长和矩形 ABCD 的面积 21 （7 分）如图，已知某船于上午 8 点在 A 处观测小岛 C 在北偏东 60方向上该船以每 小时 30 海里的速度向东航行到 B 处，此时测得小岛 C 在北偏东 30方向上船以原速 度再继续向东航行1.5小时到达小岛C的正南方D点 求船从A到D一共走了多少海里？ 22 （7 分）已知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAC，DFAB，垂足分别是 E、F，且 BFCE （1）求证：ABC 是等腰三角形； 第 5 页（共 25 页） （2）当A
7、90时，试判断四边形 AFDE 是怎样的四边形，证明你的结论 23 （8 分）如图，BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 旋转 60而得，且 ABBC，BE CE，连接 DE （1）求证：BDEBCE； （2）试判断四边形 ABED 的形状，并说明理由 24 （8 分）如图，在长方形 ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置，CE 与 AD 交于 点 F （1）试说明：AFFC； （2）如果 AB12，BC16，求 AF 的长 25 （10 分）如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD24cm，BC26cm， 动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm
8、/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动点 P、Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到 达端点时，另一点随之停止运动 （1）经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？ （2）经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？ （3）经过多长时间，当 PQ 不平行于 CD 时，有 PQCD 第 6 页（共 25 页） 26 （10 分）如图 1，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ADE 和 DCF，连接 AF， BE （1）请判断：AF 与 BE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，若
9、将条件“两个等边三角形 ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形 ADE 和 DCF，且 EAEDFDFC” ，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说 明； （3）若三角形 ADE 和 DCF 为一般三角形，且 AEDF，EDFC，第（1）问中的结论 都能成立吗？请直接写出你的判断 第 7 页（共 25 页） 2018-2019 学年湖南省常德市市直学校八年级（下）期中数学试学年湖南省常德市市直学校八年级（下）期中数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选出唯一（本大题一选出唯一（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3
10、 分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是（ ） A75 B60 C45 D30 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解 【解答】解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60， 另一个锐角的度数是 906030 故选：D 【点评】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的 关键 2 （3 分）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】逐一分析四个选项中的图形，可那个图形既是轴对称图形又是中心对称图形， 由此即可得出结论 【解答】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形； B、既
11、不是轴对称图形又不是中心对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称图形； D、是轴对称图形不是中心对称图形 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，解题的关键是牢记中心对称图形及 轴对称图形的特点本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，对折（或旋转） 图形验证其是否为轴对称（或中心对称）图形是关键 第 8 页（共 25 页） 3 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD12，ACB30， 则 AB（ ） A9 B6 C12 D24 【分析】由矩形的性质得出 ACBD12，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于 斜边的一半即可得出结果 【
12、解答】解：在矩形 ABCD 中，ABC90，ACBD12， ACB30， ABAC6， 故选：B 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性 质，熟记各性质是解题的关键 4 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，过点 A 作 BD 的平行线交 CD 的延长线于点 E，则 下列式子不成立的是（ ） ADADE BBDCE CEAC90 DABC2E 【分析】依题意推出OAD+ODA90，四边形 ABDE 是平行四边形，然后基于推论 得出 ABDADE，EABD，EAD+ODA90，则EAC90，ABC2 E 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形 ABCE，
13、ABDADCBC，ABC2ABD，BDAC 第 9 页（共 25 页） OAD+ODA90 又BDAE，四边形 ABDE 是平行四边形，EADOAD ABDADE，EABD EAD+ODA90 即EAC90，ABC2E，故不成立的是 B 故选：B 【点评】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直 平分，且每一条对角线平分一组对角 5 （3 分）如图，BAC90，ADBC，则图中互余的角有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于 90的性质即可顺利解决 【解答】解：BAC90 B+C90； BAD+CAD90； 又A
14、DBC， BDACDA90， B+BAD90； C+CAD90 故共 4 对 故选：C 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到和为 90的两个角即 可 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，已知 BC8，AC6，则 斜边 AB 上的高是（ ） 第 10 页（共 25 页） A10 B5 C D 【分析】根据勾股定理求得 AB 的长，再根据三角形的面积公式求得 CD 即可 【解答】解：BC8，AC6， AB10， SABC6810CD， CD， 故选：C 【点评】此题运用了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用 7 （3 分）在长，宽
15、，高分别为 12cm，4cm，3cm 的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒 的最大长度为（ ） A5cm B12cm C13cm Dcm 【分析】要判断能否放进去，关键是求得该木箱中的最长线段的长度，即 AD 的长，通 过比较它们的大小作出判断 【解答】解：如图，连接 AC、AD 在 RtABC 中，有 AC2AB2+BC2160， 在 RtACD 中，有 AD2AC2+CD2169， AD（cm） ， 能放进去的木棒的最大长度为 13cm 故选：C 第 11 页（共 25 页） 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度 8 （3 分）如图，在波平如镜的湖面上
16、，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 30cm突 然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平 距离为 60cm，则水深是（ ）cm A35 B40 C50 D45 【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度 构成一直角三角形，解此直角三角形即可 【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即 AC 为红莲的长 设水深 h 尺，由题意得： RtABC 中，ABh，ACh+30，BC60， 由勾股定理得：AC2AB2+BC2， 即（h+30）2h2+602， 解得：h45 故选：D 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查正
17、确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程 的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出 准确的示意图领会数形结合的思想的应用 二填上最爱（本大题二填上最爱（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 9 （3 分）七边形的内角和等于 900 度 【分析】n 边形的内角和是（n2） 180，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的 内角和 【解答】解： （72） 180900 度，则七边形的内角和等于 900 度 【点评】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容 10 （3 分）点 P（3，1
18、）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是 （3，1） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于 y 轴的对称点的坐标是（x， y）即可得出答案 【解答】解：点 P（3，1）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是（3，1） 故答案为： （3，1） 【点评】 本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系， 是需要熟记的内容，比较简单 11 （3 分）直角三角形两条边长分别为 6cm、8cm，则第三边长为 10 或 2 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求 第三边的长必须分类讨论，即 8 是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股
19、定理求解 【解答】解：设第三边为 x （1）若 8 是直角边，则第三边 x 是斜边，由勾股定理得，62+82x2解得：x10 （2）若 8 是斜边，则第三边 x 为直角边，由勾股定理得，62+x282，解得 x2 所以第三边长为 10 或 2 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜 边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解 12 （3 分）如图，将线段 AB 平移，使 B 点到 C 点，则平移后 A 点的坐标为 （1，1） 第 13 页（共 25 页） 【分析】首先根据图形可以得到 B、C 两点的坐标，然后比较点 B 与点 C 的坐标
20、，观察 坐标变化规律，得出规律，从而确定平移后 A 点的坐标 【解答】解：由图可知 A 点的坐标为（0，1） ，B 点的坐标为（1，2） ，C 点的坐标为 （0，2） ， 由 B 到 C，图形向左平移 1 个单位长度， 点 A（0，1）平移后的点的坐标为（1，1） 故答案填： （1，1） 【点评】此题主要考查图形平移的性质，在图形平移过程中发现平移规律，图形的平移 与图形上某点的平移相同 13 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC8，BD6，则菱 形 ABCD 的高 DH 4.8 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出 OA、OB，再根据勾股定理
21、列式求出 AB， 然后利用菱形的面积列式计算即可得解 【解答】解：在菱形 ABCD 中，ACBD， AC8，BD6， OAAC84，OBBD63， 在 RtAOB 中，AB5， DHAB， 菱形 ABCD 的面积ACBDABDH， 即685DH， 解得 DH4.8， 第 14 页（共 25 页） 故答案为：4.8 【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的 两种表示方法列出方程是解题的关键 14 （3 分） 如图， ABC 中， D、E 分别为 AB、 AC 边上的中点，若 DE6， 则 BC 12 【分析】由于 D、E 分别为 AB、AC 边上的
22、中点，那么 DE 是ABC 的中位线，根据三 角形中位线定理可求 BC 【解答】解：如图所示， D、E 分别为 AB、AC 边上的中点， DE 是ABC 的中位线， DEBC， BC12 故答案是 12 【点评】本题考查了三角形中位线定理三角形的中位线等于第三边的一半 15 （3 分）如图，一棵大树在离地 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这 棵树折断之前的高度是 8 米 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求 出斜边 【解答】解：AC4 米，BC3 米，ACB90， 折断的部分长为5（m） ， 折断前高度为 5+38（米） 故答案为：8
23、 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，训练了学生对勾股定理在实际生活中的运用 第 15 页（共 25 页） 能力 16 （3 分）如图，已知正方形 ABCD，顶点 A（1，3） 、B（1，1） 、C（3，1） ，规定“把正 方形 ABCD 先沿 x 轴翻折， 再向左平移 1 个单位” 为一次交换， 如此这样， 连续经过 2020 次变换后，正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为 （2018，2） 【分析】 由正方形的性质可得点 M 坐标， 由折叠性质和平移性质可得点 M 坐标变化的规 律，即可求解 【解答】解：正方形 ABCD，顶点 A（1，3） 、B（1，1） 、C（3，1） ，
24、正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标（2，2） 把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位为一次交换 第一次变换后点 M 坐标（1，2） ，第二次变换后点 M 坐标（0，2） ，第三次变换后点 M 坐标为（1，2） ，第四次变换后点 M 坐标为（2，2） 可以发现第 n 次后，当 n 为偶数，点 M 坐标（2n，2） ，n 是奇数，点 M 坐标为（2n， 2） 连续经过 2020 次变换后，点 M 坐标为（2018，2） 故答案为： （2018，2） 【点评】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化对称和平移，找到点 M 坐标变化规律 是本题的关键 三倾诉所想（本大题三倾诉所
25、想（本大题 10 个小题，满分个小题，满分 72 分）分） 17 （5 分）已知，RtABC 中，ACB90，AB6cm，D 为 AB 中点，DEAC 于 E， A30，求 BC，CD 和 AC 的长 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出 CD，根据含 30角的直角三角形的性 质求出 BC，再根据勾股定理求出 AC 即可 第 16 页（共 25 页） 【解答】解：RtABC 中，ACB90，AB6cm，D 为 AB 中点， CDAB3cm， A30， BCAB6cm3cm； 由勾股定理得：AC3（cm） 【点评】本题考查了角三角形斜边上的中线性质和含 30角的直角三角形的性质、勾股 定理
26、等知识点，能根据性质得出 CDAB 和 BCAB 是解此题的关键 18 （5 分）已知：如图BE90，ACDF，FBEC，求证：ABDE 【分析】首先得出 BCEF，进而利用 HL 证明 RtABCRtDEF，即可得出答案 【解答】证明：FBEC， BF+FCFC+CE， BCEF， 在 RtABC 和 RtDEF 中 RtABCRtDEF（HL） ， ABDE 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定利用“HL”定 理得出是解题关键 19 （6 分）如图，在ABCD 中，AEBD 于 E，CFBD 于 F，连接 AF，CE求证：AF CE 【分析】首先证明 AECF，
27、ABECDF，再根据全等三角形的性质可得 AECF， 然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形， 第 17 页（共 25 页） 根据平行四边形的性质可得 AFCE 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， ABECDF 又AEBD，CFBD， AEBCFD90，AECF， 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（AAS） AECF， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形， AFCE 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且 相等 20（6 分） 如图， 矩形 ABCD 的两条对角线
28、AC、 BD 相交于点 O， AOD120， AB2 求 矩形边 BC 的长和矩形 ABCD 的面积 【分析】由矩形的性质得出ABC90，ACBD，OAOCAC，OBODBD， 证出AOB 是等边三角形，得出 OAOBAB2，AC2OA4，BDAC4由勾股 定理求出 BC2，即可得出矩形的面积 【解答】解：AOD120， AOB18012060， 四边形 ABCD 是矩形， ABC90，ACBD，OAOCAC，OBODBD， 第 18 页（共 25 页） OAOB， AOB60， AOB 是等边三角形， OAOBAB2， AC2OA4，BDAC4 在直角ABC 中，BC2， 则矩形的面积是：A
29、BBC224 【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌 握矩形的性质，证明AOB 是等边三角形是解题的关键 21 （7 分）如图，已知某船于上午 8 点在 A 处观测小岛 C 在北偏东 60方向上该船以每 小时 30 海里的速度向东航行到 B 处，此时测得小岛 C 在北偏东 30方向上船以原速 度再继续向东航行1.5小时到达小岛C的正南方D点 求船从A到D一共走了多少海里？ 【分析】根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半，先求出 BC 的长度，再 根据两个方位角可以证明 ABBC，然后 AB 与 BD 相加即可得解 【解答】解：由题意知CAD30，
30、CBD60， ACB30 在BCD 中，CBD60， BCD30， ABBC2BD 船从 B 到 D 走了 1.5 小时，船速为每小时 30 海里， BD45 海里 ABBC90 海里 AD90+45135（海里） 因此船从 A 到 D 一共走了 135 海里 【点评】本题主要考查了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角 第 19 页（共 25 页） 对等边的性质，解答本题的关键正确的识别图形 22 （7 分）已知：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAC，DFAB，垂足分别是 E、F，且 BFCE （1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）当A90时，试判断四边形
31、 AFDE 是怎样的四边形，证明你的结论 【分析】先利用 HL 判定 RtBDFRtCDE，从而得到BC，即ABC 是等腰三 角形； 由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形 AFDE 是正方形 【解答】 （1）证明：DEAC，DFAB， BFDCED90， 又， RtBDFRtCDE（HL） ， BC ABC 是等腰三角形； （2）解：四边形 AFDE 是正方形 证明：A90，DEAC，DFAB， 四边形 AFDE 是矩形， 又RtBDFRtCDE， DFDE， 四边形 AFDE 是正方形 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情 况判别一个四
32、边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角 第 20 页（共 25 页） 23 （8 分）如图，BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 旋转 60而得，且 ABBC，BE CE，连接 DE （1）求证：BDEBCE； （2）试判断四边形 ABED 的形状，并说明理由 【分析】 （1）根据旋转的性质可得 DBCB，ABDEBC，ABE60，然后根据 垂直可得出DBECBE30，继而可根据 SAS 证明BDEBCE； （2）根据（1）以及旋转的性质可得，BDEBCEBDA，继而得出四条棱相等， 证得四边形 ABED
33、为菱形 【解答】 （1）证明：BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 旋转 60而得， DBCB，ABDEBC，ABE60， ABBC， ABC90， DBECBE30， 在BDE 和BCE 中， ， BDEBCE（SAS） ； （2）四边形 ABED 为菱形； 由（1）得BDEBCE， BAD 是由BEC 旋转而得， BADBEC， BABE，ADECED， 又BECE， 四边形 ABED 为菱形 【点评】本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及 菱形的判定，涉及知识点较多，难度较大 第 21 页（共 25 页） 24 （8 分）如图，在长方形 ABCD 中，将AB
34、C 沿 AC 对折至AEC 位置，CE 与 AD 交于 点 F （1）试说明：AFFC； （2）如果 AB12，BC16，求 AF 的长 【分析】 （1）由矩形的性质可得 ADBC，可得DACACB，由折叠的性质可得 DACACBACE，可得结论； （2）由勾股定理可求 AF 的长 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形 ADBC DACACB， 将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置 ACBACE ACEDAC AFFC （2）四边形 ABCD 是矩形 ABCD12，BCAD16 CF2FD2+CD2，且 AFFC， AF2（ADAF）2+CD2， AF12.5 【点评】本题考查了翻折
35、变换，矩形的性质，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的 关键 25 （10 分）如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD24cm，BC26cm， 动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动点 P、Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到 达端点时，另一点随之停止运动 第 22 页（共 25 页） （1）经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？ （2）经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？ （3）经过多长时间，当 PQ 不平行于 CD 时，有 PQCD 【
36、分析】 （1）设经过 ts 时，四边形 PQCD 是平行四边形，根据 DPCQ，代入后求出即 可； （2）设经过 ts 时，四边形 PQBA 是矩形，根据 APBQ，代入后求出即可； （3）设经过 t（s） ，四边形 PQCD 是等腰梯形，利用 EP2 列出有关 t 的方程求解即可 【解答】解： （1）设经过 x（s） ，四边形 PQCD 为平行四边形 即 PDCQ 所以 24x3x， 解得：x6 （2）设经过 y（s） ，四边形 PQBA 为矩形， 即 APBQ， 所以 y263y， 解得：y （3）设经过 t（s） ，四边形 PQCD 是等腰梯形 过 Q 点作 QEAD，过 D
37、 点作 DFBC， QEPDFC90 四边形 PQCD 是等腰梯形， PQDC 又ADBC，B90， ABQEDF 在 RtEQP 和 RtFDC 中， 第 23 页（共 25 页） ， RtEQPRtFDC（HL） FCEPBCAD26242 又AEBQ263t， EPAPAEt（263t）2 得：t7 经过 7s，PQCD 【点评】此题主要考查平行四边形、矩形及等腰梯形的判定掌握情况，本题解题关键是 找出等量关系即可得解 26 （10 分）如图 1，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ADE 和 DCF，连接 AF， BE （1）请判断：AF 与 BE 的数量关系是 相等 ，位置
38、关系是 互相垂直 ； （2）如图 2，若将条件“两个等边三角形 ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形 ADE 和 DCF，且 EAEDFDFC” ，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说 明； （3）若三角形 ADE 和 DCF 为一般三角形，且 AEDF，EDFC，第（1）问中的结论 都能成立吗？请直接写出你的判断 【分析】 （1）易证ADEDCF，即可证明 AF 与 BE 的数量关系是：AFBE，位置 关系是：AFBE （2）证明ADEDCF，然后证明ABEADF 即可证得 BEAF，然后根据三角 形内角和定理证明AMB90，从而求证； （3）与（2）的解法完全相同 【解答
39、】解： （1）AF 与 BE 的数量关系是：AFBE，位置关系是：AFBE 第 24 页（共 25 页） 答案是：相等，互相垂直； （2）结论仍然成立 理由是：正方形 ABCD 中，ABADCD， 在ADE 和DCF 中， ADEDCF， DAECDF， 又正方形 ABCD 中，BADADC90， BAEADF， 在ABE 和ADF 中， ABEADF， BEAF，ABMDAF， 又DAF+BAM90， ABM+BAM90， 在ABM 中，AMB180（ABM+BAM）90， BEAF； （3）第（1）问中的结论都能成立 理由是：正方形 ABCD 中，ABADCD， 在ADE 和DCF 中， ADEDCF， DAECDF， 又正方形 ABCD 中，BADADC90， BAEADF， 在ABE 和ADF 中， ABEADF， BEAF，ABMDAF， 又DAF+BAM90， 第 25 页（共 25 页） ABM+BAM90， 在ABM 中，AMB180（ABM+BAM）90， BEAF 【点评】本题考查了正方形和等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明 BAEADF 是解题的关键
