1、2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共 12 题，每题题，每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节 的祝贺 比如下列图案分别表示 “福”“禄”“寿”“喜” ， 其中是轴对称图形的有几个 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （3 分）如果把分式中的 x，y 同时扩大为原来的 4 倍，现么该分式的值（ ） A不变 B扩大为原来的 4 倍 C缩小为原来的 D缩小为原来的 3 （3 分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为
2、 0.0000000052mm，数据 0.0000000052 用 科学记数法表示正确的是（ ） A5.2108 B5.2109 C5.210 9 D5.210 8 4 （3 分）下面命题的逆命题正确的是（ ） A对顶角相等 B邻补角互补 C矩形的对角线互相平分 D等腰三角形两腰相等 5 （3 分）已知 xy2，xy3，则 x2yxy2的值为（ ） A2 B6 C5 D3 6 （3 分）小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文 具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本若设他上
3、月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A1 B1 C1 D1 7 （3 分）若，则 a 与 4 的大小关系是（ ） 第 2 页（共 27 页） Aa4 Ba4 Ca4 Da4 8 （3 分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A1，2，3 B2，3，4 C4，5，6 D1，2 9 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，DE 垂直平分 AC，若BCD 的周长是 14，BC6， 则 AC 的长是（ ） A6 B8 C10 D14 10 （3 分）如图，O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 BC8，OB5， 则 OM 的
4、长为（ ） A1 B2 C3 D4 11 （3 分）下列调查适合抽样调查的是（ ） A审核书稿中的错别字 B企业招聘，对应聘人员进行面试 C了解八名同学的视力情况 D调查某批次汽车的抗撞击能力 12 （3 分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右， 向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1m其行走路线如图所示，第 1 次移 动到 A1，第 2 次移动到 A2，第 n 次移动到 An则OA6A2020的面积是（ ） A505m2 B504.5m2 C505.5m2 D1010m2 第 3 页（共 27 页） 二、填空
5、题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式 2m232 14 （3 分）若分式的值是 0，则 x 的值为 15 （3 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 应满足的条件是 16 （3 分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形， 若正方形 A、 B、 C、 E 的面积分别为 2， 5， 1， 10 则正方形 D 的面积是 17 （3 分）某中学为了解学生上学方式，现随机抽取部分学生进行调查，将结果绘成如图 所示
6、的条形图，由此可估计该校 2000 名学生有 名学生是骑车上学的 18 （ 3分 ） ABC与 DEF是 两 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 现将DEF 与ABC 按如图所示的方式叠放在一起， 使ABC 保持不动，DEF 运动，且满足点 E 在边 BC 上运动（不与 B，C 重合） ，边 DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于点 M在DEF 运动过程中，若AEM 能构成等腰三 角形，则 BE 的长为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （8 分）计算： 第 4 页（共 27 页） 20 （8 分）先化
7、简，再求值：（2+） ，其中 a2 21 （8 分）已知在平面直角坐标系中有三点 A（2，1） ，B（3，1） ，C（2，3） ，请解答下 列问题： （1）在坐标系内描出 A，B，C 的位置； （2）画出ABC 关于 x 轴对称的图形A1B1C1，并写出顶点 A1，B1，C1的坐标； （3）写出C 的度数 22 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，延长 CE 交 BA 的延长线于 点 F （1）求证：ABAF； （2）若 BC2AB，BCD100，求ABE 的度数 23 （8 分）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热 销，小明的
8、爸爸用 12000 元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获 利 2700 元，进价和售价如表： 品名 价格 甲型口罩 乙型口罩 进价（元/袋） 20 30 第 5 页（共 27 页） 售价（元/袋） 25 36 （1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ （2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购 进乙种型号口罩袋数是第一次的 2 倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩 打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于 2460 元， 每袋乙种型号的口罩最多打几折？ 24 （8 分）已知：如图，在矩形 A
9、BCD 中，AB6，BC8，E 为直线 BC 上一点 （1）如图 1，当 E 在线段 BC 上，且 DEAD 时，求 BE 的长； （2）如图 2，点 E 为 BC 延长长线上一点，若 BDBE，连接 DE，M 为 ED 的中点，连 接 AM，CM，求证：AMCM； （3）如图 3，在（2）条件下，P，Q 为 AD 边上的两个动点，且 PQ5，连接 PB、MQ、 BM，求四边形 PBMQ 的周长的最小值 25 （8 分）我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：npq（p，q 是正整数， 且 pq） ，在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是
10、 n 的最佳分解并规定：F（n） 例如 12 可以分解成 112，26 或 34，因为 1216243，所以 34 是 12 的 最佳分解，所以 F（12） （1）如果一个正整数 m 是另外一个正整数 n 的平方，我们称正整数 m 是完全平方数 求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）1； （2）如果一个两位正整数 t，t10x+y（1xy9，x，y 为自然数） ，交换其个位上的 数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我们称这个数 t 为“吉祥数” ，求所有“吉祥数” ； 第 6 页（共 27 页） （3）在（2）所得“吉祥数”中，求 F（t）的最大值 26
11、（10 分）在平面直角坐标中，四边形 OCNM 为矩形，如图 1，M 点坐标为（m，0） ，C 点坐标为（0，n） ，已知 m，n 满足 （1）求 m，n 的值； （2）如图 1，P，Q 分别为 OM，MN 上一点，若PCQ45，求证：PQOP+NQ； 如图 2，S，G，R，H 分别为 OC，OM，MN，NC 上一点，SR，HG 交于点 D若 SDG135，则 RS （3）如图 3，在矩形 OABC 中，OA5，OC3，点 F 在边 BC 上且 OFOA，连接 AF， 动点 P 在线段 OF 是（动点 P 与 O，F 不重合） ，动点 Q 在线段 OA 的
12、延长线上，且 AQ FP，连接 PQ 交 AF 于点 N，作 PMAF 于 M试问：当 P，Q 在移动过程中，线段 MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段 MN 的长度；若变化，请说明理由 第 7 页（共 27 页） 2019-2020 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年 级（上）期末数学试卷级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 题，每题题，每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节 的祝贺 比如
13、下列图案分别表示 “福”“禄”“寿”“喜” ， 其中是轴对称图形的有几个 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案 【解答】解：第一个图形不是轴对称图形， 第二、三、四个图形是轴对称图形， 共 3 个轴对称图形， 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念 2 （3 分）如果把分式中的 x，y 同时扩大为原来的 4 倍，现么该分式的值（ ） A不变 B扩大为原来的 4 倍 C缩小为原来的 D缩小为原
14、来的 【分析】根据题意可得，即可求解 【解答】解：x，y 同时扩大为原来的 4 倍， 则有， 该分式的值是原分式值的， 故选：D 第 8 页（共 27 页） 【点评】本题考查分式的基本性质；熟练掌握分式的基本性质，准确计算是解题的关键 3 （3 分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为 0.0000000052mm，数据 0.0000000052 用 科学记数法表示正确的是（ ） A5.2108 B5.2109 C5.210 9 D5.210 8 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由
15、原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000000525.210 9； 故选：C 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4 （3 分）下面命题的逆命题正确的是（ ） A对顶角相等 B邻补角互补 C矩形的对角线互相平分 D等腰三角形两腰相等 【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后利用对顶角的定义、邻补角的定义、矩形 的判断和等腰三角形的判定方法对各命题的真假进行判断 【解答】解：对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
16、 邻补角互补的逆命题为互补的角为邻补角，此逆命题为假命题； 矩形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形为矩形， 此逆命题为假命题； 等腰三角形两腰相等的逆命题为两边相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题 故选：D 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真” “假”是就命题的内容而言任何一个命 题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命 题，只需举出一个反例即可 5 （3 分）已知 xy2，xy3，则 x2yxy2的值为（ ） A2 B6 C5 D3 【分析】首先提公因式 xy，分解后，再代入求值即可 【解答】解：x2yxy2xy（xy）
17、3（2）6， 故选：B 【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式 第 9 页（共 27 页） 6 （3 分）小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文 具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】由设他上月买了 x 本笔记本，则这次买了（x+2）本，然后可求得两次每本笔记 本的价格，由等量关系：每本比上月便宜 1 元，即可得到方程 【解答】解：设他上月买了 x
18、本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：1， 即：1 故选：B 【点评】此题考查了分式方程的应用注意准确找到等量关系是关键 7 （3 分）若，则 a 与 4 的大小关系是（ ） Aa4 Ba4 Ca4 Da4 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案 【解答】解：由题意可知：a40， a4， 故选：D 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题 型 8 （3 分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A1，2，3 B2，3，4 C4，5，6 D1，2 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可 【解答】解：1+23，A 不能构成三角形； 22+32
19、42，B 不能构成直角三角形； 42+5262，C 不能构成直角三角形； 12+（）222，D 能构成直角三角形； 故选：D 第 10 页（共 27 页） 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三 边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形 9 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，DE 垂直平分 AC，若BCD 的周长是 14，BC6， 则 AC 的长是（ ） A6 B8 C10 D14 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 ADCD，进而根据等腰三角形的性质可得 出结论 【解答】解：DE 垂直平分 AC， ADCD BCD 的
20、周长是 14，BC6， ABBD+CD1468， ABAC， AC8 故选：B 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分 线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 10 （3 分）如图，O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 BC8，OB5， 则 OM 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】首先由 O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，可求得 AC 的长，然后由勾股定理 求得 AB 的长，即 CD 的长，又由 M 是 AD 的中点，可得 OM 是ACD 的中位线，继而 求得答案 第 11 页（共 27
21、页） 【解答】解：O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，OB5， AC2OB10， CDAB6， M 是 AD 的中点， OMCD3 故选：C 【点评】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质注意利 用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得 AC 的长是关键 11 （3 分）下列调查适合抽样调查的是（ ） A审核书稿中的错别字 B企业招聘，对应聘人员进行面试 C了解八名同学的视力情况 D调查某批次汽车的抗撞击能力 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调 查得到的调查结果比较近似解答 【解答】
22、解：审核书稿中的错别字适合全面调查； 企业招聘，对应聘人员进行面试适合全面调查； 了解八名同学的视力情况适合全面调查； 调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查， 故选：D 【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要 考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查 的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往 选用普查 12 （3 分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右， 向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1m其行走路线如图所示，第 1 次移 动到 A
23、1，第 2 次移动到 A2，第 n 次移动到 An则OA6A2020的面积是（ ） 第 12 页（共 27 页） A505m2 B504.5m2 C505.5m2 D1010m2 【分析】由题意知 OA4n2n，推出 OA20201010，再由 A6到 x 轴距离为 1，由此即可解 决问题 【解答】解：由题意知 OA4n2n， 20204505， OA2020202021010，A6到 x 轴距离为 1， 则OA6A2020的面积是10101505（m2） 故选：A 【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为 4 的倍 数时对应长度即为下标的一半，据此可得 二、填空
24、题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式 2m232 2（m+4） （m4） 【分析】原式提取 2，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式2（m216）2（m+4） （m4） ， 故答案为：2（m+4） （m4） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 14 （3 分）若分式的值是 0，则 x 的值为 3 【分析】直接利用分式的值为零的条件分析得出答案 【解答】解：分式的值是 0， |x|30，3+x0， 解得：x3 故答案为：3 【点评】此题主要考查了分式的值为零
25、的条件，正确把握分式的定义是解题关键 第 13 页（共 27 页） 15 （3 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 应满足的条件是 x 【分析】根据二次根式有意义的条件得：2x10，再解不等式即可 【解答】解：由题意得：2x10， 解得：x， 故答案为：x 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是 非负数 16 （3 分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形，若正方形 A、B、C、E 的面积分别为 2，5，1，10则正方形 D 的面积是 2 【分析】 分别设中间两个正方形和正方形 D 的面积为 x， y， z，
26、由勾股定理即可得到结论 【解答】解：设中间两个正方形的面积分别为 x、y，正方形 D 的面积为 z，则由勾股定 理得： x2+57； y1+z； 7+y7+1+z10； 即正方形 D 的面积为：z2 故答案为：2 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方 之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 17 （3 分）某中学为了解学生上学方式，现随机抽取部分学生进行调查，将结果绘成如图 所示的条形图，由此可估计该校 2000 名学生有 1240 名学生是骑车上学的 第 14 页（共 27 页） 【分析】根据条形统计图求出骑车上学的学生所占的百分比，再乘
27、以总人数即可 【解答】解：根据题意得： 20001240（名） ， 答：该校 2000 名学生有 1240 名学生是骑车上学的 故答案为：1240 【点评】此题考查了用样本估计总体和条形统计图，关键是根据条形统计图求出骑车上 学的学生所占的百分比 18 （ 3分 ） ABC与 DEF是 两 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 现将DEF 与ABC 按如图所示的方式叠放在一起， 使ABC 保持不动，DEF 运动，且满足点 E 在边 BC 上运动（不与 B，C 重合） ，边 DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于点 M在DEF 运动过程中，若AEM 能构成等腰三 角形，则 BE 的
28、长为 2或 【分析】分若 AEAM 则AMEAEM45、若 AEEM、若 MAME 则MAE AEM45三种情况分类讨论即可得到答案； 【解答】解：若 AEAM 则AMEAEM45 C45 AMEC 又AMEC 这种情况不成立； 第 15 页（共 27 页） 若 AEEM BAEM45 BAE+AEB135，MEC+AEB135 BAEMEC 在ABE 和ECM 中， ， ABEECM（AAS） ， CEAB， ACBCAB2， BE2； 若 MAME 则MAEAEM45 BAC90， BAE45 AE 平分BAC ABAC， BEBC 故答案为 2或 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，特别
29、是本题中渗透的分类讨论的数学思想，是 中考的重点 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （8 分）计算： 【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别代入得出 第 16 页（共 27 页） 答案 【解答】解：原式23+14+1 6+14+1 74 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （8 分）先化简，再求值：（2+） ，其中 a2 【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解：原式 ， 当 a2 时， 原式 +1 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式
30、的混合运算是解题关键 21 （8 分）已知在平面直角坐标系中有三点 A（2，1） ，B（3，1） ，C（2，3） ，请解答下 列问题： （1）在坐标系内描出 A，B，C 的位置； （2）画出ABC 关于 x 轴对称的图形A1B1C1，并写出顶点 A1，B1，C1的坐标； （3）写出C 的度数 【分析】 （1）根据坐标确定位置即可； 第 17 页（共 27 页） （2）首先确定 A，B，C 关于 x 轴对称的点的位置，再连结即可； （3）利用勾股定理和勾股定理逆定理进行计算即可 【解答】解： （1）如图所示： （2）如图所示： A1（2，1） ，B1（3，1） ，C1（2，3） （3）CB222
31、+125， AC242+2220， AB25225， CB2+AC2AB2， C90 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，以及勾股定理和勾股定理逆定理，画一 个图形的轴对称图形也就是先确定一些特殊的对称点，再连接 22 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，延长 CE 交 BA 的延长线于 点 F （1）求证：ABAF； （2）若 BC2AB，BCD100，求ABE 的度数 第 18 页（共 27 页） 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 为 AD 的中点，易证得DECAEF （AAS） ，继而可证得 DCAF，又由 DCAB，证得结论；
32、 （2）由（1）可知 BF2AB，EFEC，然后由BCD100求得 BE 平分CBF，继 而求得答案 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，CDAB， DCEF，FBC+BCD180， E 为 AD 的中点， DEAE 在DEC 和AEF 中， ， DECAEF（AAS） DCAF ABAF； （2）由（1）可知 BF2AB，EFEC， BCD100， FBC18010080， BC2AB， BFBC， BE 平分CBF， ABEFBC8040 【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性 质注意证得DECAEF 与BCF 是等腰三角
33、形是关键 23 （8 分）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热 销，小明的爸爸用 12000 元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获 利 2700 元，进价和售价如表： 品名 甲型口罩 乙型口罩 第 19 页（共 27 页） 价格 进价（元/袋） 20 30 售价（元/袋） 25 36 （1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ （2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购 进乙种型号口罩袋数是第一次的 2 倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩 打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二
34、次销售活动获利不少于 2460 元， 每袋乙种型号的口罩最多打几折？ 【分析】 （1）分别根据用 12000 元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利 2700 元，得出 等式组成方程求出即可； （2） 根据购进乙种型号口罩袋数是第一次的 2 倍， 要使第二次销售活动获利不少于 2460 元，得出不等式求出即可 【解答】解： （1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩 x 袋，乙种型号口罩 y 袋， 则， 解得：， 答：该商店购进甲种型号口罩 300 袋，乙种型号口罩 200 袋； （2）设每袋乙种型号的口罩打 m 折，则 3005+400（0.1m3630）2460， 解得：m9， 答：每袋乙种型号
35、的口罩最多打 9 折 【点评】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用及一元一次不等式解实际问题的 运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键 24 （8 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，E 为直线 BC 上一点 （1）如图 1，当 E 在线段 BC 上，且 DEAD 时，求 BE 的长； （2）如图 2，点 E 为 BC 延长长线上一点，若 BDBE，连接 DE，M 为 ED 的中点，连 接 AM，CM，求证：AMCM； （3）如图 3，在（2）条件下，P，Q 为 AD 边上的两个动点，且 PQ5，连接 PB、MQ、 第 20 页（共 27
36、页） BM，求四边形 PBMQ 的周长的最小值 【分析】 （1）先求出 DEAD4，最后用勾股定理即可得出结论； （2）先判断出BMD90，再判断出ADMBCM 得出AMDBMC，即可得 出结论； （3）由于 BM 和 PQ 是定值，只要 BP+QM 最小，利用对称确定出 MG'就是 BP+QM 的 最小值，最后利用勾股定理即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1 中，四边形 ABCD 是矩形， C90，CDAB6，ADBC8， DEAD8， 在 RtCDE 中，CE2， BEBCCE82； （2）如图 2，连接 BM， 点 M 是 DE 的中点， DMEM， BDBE， BMDE，
37、 BMD90， 点 M 是 RtCDE 的斜边的中点， DMCM， CDMDCM， ADMBCM 在ADM 和BCM 中， 第 21 页（共 27 页） ， ADMBCM（SAS） ， AMDBMC， AMCAMB+BMCAMB+AMDBMD90， AMCM； （3） 如图 3 中， 过点 Q 作 QGBP 交 BC 于 G， 作点 G 关于 AD 的对称点 G'， 连接 QG'， 当点 G'，Q，M 在同一条线上时，QM+BP 最小，而 PQ 和 BM 是定值， 此时，四边形 PBMQ 周长最小， QGPB，PQBG， 四边形 BPQG 是平行四边形， QGBP，BG
38、PQ5， CG3，如图 2，在 RtBCD 中，CD6，BC8， BD10， BE10， BGBEBG5，CEBEBC2， HM1+34，HGCD3， 在 RtMHG'中，HG'6+39，HM4， MG'， 在 RtCDE 中，DE2， ME， 在 RtBME 中，BM3， 四边形 PBMQ 周长最小值为 BP+PQ+MQ+BMQG+PQ+QM+BMMG'+PQ+PM +5+3， 第 22 页（共 27 页） 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定 和性质，等腰三角形的性质，对称性，确定出 BP+QM 的最小值是解本题的关键
39、 25 （8 分）我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：npq（p，q 是正整数， 且 pq） ，在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最佳分解并规定：F（n） 例如 12 可以分解成 112，26 或 34，因为 1216243，所以 34 是 12 的 最佳分解，所以 F（12） （1）如果一个正整数 m 是另外一个正整数 n 的平方，我们称正整数 m 是完全平方数 求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）1； （2）如果一个两位正整数 t，t10x+y（1xy9，x，y 为自然数） ，交换其个位上的 数与十位上的数得
40、到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我们称这个数 t 为“吉祥数” ，求所有“吉祥数” ； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求 F（t）的最大值 【分析】 （1）对任意一个完全平方数 m，设 mn2（n 为正整数） ，找出 m 的最佳分解， 确定出 F（m）的值即可； （2）设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为 t，则 t10y+x，根据“吉祥 第 23 页（共 27 页） 数”的定义确定出 x 与 y 的关系式，进而求出所求即可； （3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出 F（t）的最大值即可 【解答】解： （1）证明：对任意一个完全平方数 m，设 mn
41、2（n 为正整数） ， |nn|0， nn 是 m 的最佳分解， 对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）1； （2）设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为 t，则 t10y+x， t 是“吉祥数” ， tt（10y+x）（10x+y）9（yx）36， yx+4， 1xy9，x，y 为自然数， 满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59； （3）F（15），F（26），F（37），F（48），F（59）， ， 所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为 【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键 26 （10 分）在平面直角坐标中，四边形 OC
42、NM 为矩形，如图 1，M 点坐标为（m，0） ，C 点坐标为（0，n） ，已知 m，n 满足 （1）求 m，n 的值； （2）如图 1，P，Q 分别为 OM，MN 上一点，若PCQ45，求证：PQOP+NQ； 如图 2，S，G，R，H 分别为 OC，OM，MN，NC 上一点，SR，HG 交于点 D若 SDG135，则 RS （3）如图 3，在矩形 OABC 中，OA5，OC3，点 F 在边 BC 上且 OFOA，连接 AF， 动点 P 在线段 OF 是（动点 P 与 O，F 不重合） ，动点 Q 在线段 OA 的延长线上，且 AQ 第 24 页（共 27 页） FP，
43、连接 PQ 交 AF 于点 N，作 PMAF 于 M试问：当 P，Q 在移动过程中，线段 MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段 MN 的长度；若变化，请说明理由 【分析】 （1）利用非负数的性质即可解决问题 （2）作辅助线，构建两个三角形全等，证明COECNQ 和ECPQCP，由 PEPQOE+OP，得出结论； 作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，可得CSRE 和CFGH，则 CESR，CF GH，证明CENCEO 和ECFECF，得 EFEF，设 ENx，在 Rt MEF 中，根据勾股定理列方程求出 EN 的长，再利用勾股定理求 CE，则 SR 与 CE 相等， 所以 SR； （3）在
44、（1）的条件下，当 P、Q 在移动过程中线段 MN 的长度不会发生变化，求出 MN 的长即可；如图 4，过 P 作 PDOQ，证明PDF 是等腰三角形，由三线合一得：DM FD，证明PNDQNA，得 DNAD，则 MNAF，求出 AF 的长即可解决问 题 【解答】解： （1）， 又0，|5m|0， n50，5m0， m5 （2）如图 1 中，在 PO 的延长线上取一点 E，使 NQOE， CNOMOCMN，COM90， 四边形 OMNC 是正方形， COCN， EOCN90， COECNQ（SAS） ， 第 25 页（共 27 页） CQCE，ECOQCN， PCQ45， QCN+OCP904
45、545， ECPECO+OCP45， ECPPCQ， CPCP， ECPQCP（SAS） ， EPPQ， EPEO+OPNQ+OP， PQOP+NQ 如图 2 中，过 C 作 CESR，在 x 轴负半轴上取一点 E，使 OEEN，得CSRE， 且CENCEO，则 CESR， 过 C 作 CFGH 交 OM 于 F，连接 FE，得CFGH，则 CFGH， SDG135， SDH18013545， FCESDH45， NCE+OCF45， CENCEO， ECOECN，CECE， ECFECO+OCF45， ECFFCE， CFCF， ECFECF（SAS） ， EFEF 第 26 页（共 27
46、页） 在 RtCOF 中，OC5，FC， 由勾股定理得：OF， FM5， 设 ENx，则 EM5x，FEEFx+， 则（x+）2（）2+（5x）2， 解得：x， EN， 由勾股定理得：CE， SRCE 故答案为 （3）当 P、Q 在移动过程中线段 MN 的长度不会发生变化 理由：如图 3 中，过 P 作 PDOQ，交 AF 于 D OFOA， OFAOAFPDF， PFPD， PFAQ， PDAQ， PMAF， DMFD， PDOQ， 第 27 页（共 27 页） DPNPQA， PNDQNA， PNDQNA（AAS） ， DNAN， DNAD， MNDM+DNDF+ADAF， OFOA5，OC3， CF4， BFBCCF541， AF， MNAF， 当 P、Q 在移动过程中线段 MN 的长度不会发生变化，它的长度
