1、文科数学试卷第 1 页 共 8 页 绝密绝密启用前启用前 赤峰市高三 416 模拟考试试题 文科数学2020.4 本试卷共 23 题，共 150 分，共 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区 域内. . 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，笔迹清楚. . 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效. . 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑. . 5保持卡面清
2、洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. . 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合02 2 xxxA ，xyxB1，则BA= A.2 ,B.1 ,C.1 , 1D.2 , 1 2. 设复数z在复平面上的对应点为 1, 1 ，z为z的共轭复数，则 A.zz是纯虚数B.zz是实数C.z z是纯虚数D. z z 是纯虚数 3. “0xy”是“lg( +1)lg(1)xy”成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 文科数学试卷第 2 页 共
3、8 页 4. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全年的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结 构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比 例，得到了如下折线图: 则下列结论中正确的是 A.该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半 B.该家庭 2019 年教育医疗的消费额是 2015 年教育医疗的消费额的 1.5 倍 C.该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的六倍 D.该家庭 2019 年生活用品的消费额与 2015 年生活
4、用品的消费额相当 5已知 1 2 2a ， 1 5 5b ， 3 log 2c ，则a，b，c的大小关系为 A.abcB.cbaC.cabD.bac 6. 设双曲线C: 2 2 1 x y m 的一条渐近线方程为320xy，则m的值为 A. 4 9 B. 9 4 C. 3 2 D. 2 3 7 孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一， 2013 年华人数学家张益唐 证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得 +2p是素数，素数对+2pp（ ，）称为孪生素数对.问：如果从 30 以内的素数组成的孪 生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不
5、超过 20 的概率是 A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 文科数学试卷第 3 页 共 8 页 8设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1a ，且 234 ,2,4aa a成等差数列，则 8= S A.510B.255C.512D.256 9. 将函数 2 1 sin coscos 2 yxxx的图像向右平移 8 个单位长度得到函数( )g x的 图像，下列结论正确的是 A.( )g x是最小正周期为2的偶函数B.( )g x是最小正周期为4的奇函数 C.( )g x 在 ,2 上单调递减 D.( )g x在0, 2 上的最大值为 2 2 10已知椭圆C:1 9 2
6、 2 2 2 a y a x ， 21 FF、是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P， 都有0 21 PFPF恒成立，则实数a的取值范围为 A.3 0(0,3)（， ）B.3,00,3 C.(, 3)(3,) D.(, 33,) 11. 已知三棱锥PABC中， 3PAPBPC ， 当三棱锥PABC体积最大值时， 三棱锥PABC的外接球的体积为 A. 9 2 B.36C. 32 71 D. 2 9 12. 已知函数 e e xxy, 1 ln21的图象上存在点M，函数axy 2 的图象上 存在点N，且点NM,关于原点对称，则实数a的取值范围是 A. 2 1 1 , 0 e B.30 2 e，C.
7、 3 1 1 2 2 e e ，D. , 1 1 2 e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 设)(xf在R上是奇函数,且(1)(1)fxfx,当(0,1)x时, 3 )(xxf=,则 =) 2 7 (f. 文科数学试卷第 4 页 共 8 页 14. 已知非零向量, a b 满足=2ba ， 且 baa ， 则a 与b 的夹角为. 15 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广 三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓， 宽 3 丈，长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛已知 1 斛粟的体积为 2.7
8、 立方尺，1 丈为 10 尺，则该粮仓的高是_尺若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内,若使这个圆柱 形粮仓的表面积(含上下两底)最小,那么它的底面半径是_ 尺. 16设数列 n a的前n项和为 n S，且满足21 nn aS，则使 2221 12 5 +2 3 n n aaa 成立 的n的最大值为. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答，第考题，每个试题考生都必须作答，第 22222323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作
9、答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17（12 分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD=45ADC ， / /ADBC，22ADAB，ADP为等边三角形，平面PAD 底面ABCD，E为 AD的中点. （1）求证：平面PBC 平面PCE； （2）点F在线段CD上，且 3 = 2 CF FD ， 求三棱锥FABP的体积. 文科数学试卷第 5 页 共 8 页 18（12 分） 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是cba,，且 cos3 sinbcaBaB （1）求角A； （2）若2 3a ，求ABC的面积的最大值. 文科数学试卷第 6 页 共 8
10、 页 19（12 分） 3 月 3 日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台 SSRN 上发布了一项研究： 在新冠肺 炎病例的统计数据中， 男性患者往往比女性患者多。 研究者分析了 1 月 1 日29 日的 6013 份病例数据， 发现 55.9%的患者为男性； 进入重症监护病房的患者中， 则有 58.8% 为男性。随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据。他们按照症状程度的不同进行 分析，结果发现，男性患者有 11.8%为危重，而女性患者危重情况的为 7%。也就是说， 男性的发病情况似乎普遍更严重。研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着 重要的角色。” 那么，病毒真的偏爱男性吗？ 有一个中
11、学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女 患者各 50 个数据，统计如下： 轻-中度感染重度（包括危重） 总计 男性患者20 女性患者30 总计5050100 （1）求2 2列联表中的数据, , ,m n x y的值； （2）能否有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？（3）该学生实验小 组打算从“轻-中度感染”的患者中按男女比例再抽取 5 人，追踪某种中药制剂 的效果。然后从这 5 人中随机抽取 3 人进行每日的健康记录，求至少抽到 2 名 女性患者的概率. 附表及公式：附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac b
12、d ，nabcd. 2 0 ()P Kk0.050.0250.0100.0050.001 0 k3.8415.0246.6357.87910.828 文科数学试卷第 7 页 共 8 页 20.（12 分） 已知曲线C上的任意一点M到点) 1 , 0(F的距离比到直线2:yl的距离少 1，动 点P在直线1:ys上，过点P作曲线C的两条切线,PA PB，其中,A B为切点 （1）求曲线C的方程； （2）判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由. 21（12 分） 已知函数 xxax a xfln1 2 2 （1）当0a时，求函数 xf的极值； （2）当0a时，求函数 xf在
13、1 4 1， 上的最小值. 文科数学试卷第 8 页 共 8 页 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22. （10 分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2xat yt （t为参数），以坐标原 点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3sin . （1）若2a ，求曲线C与l的交点坐标； （2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45o的直线，交l于点A，且PA的最大值
14、 为10，求a的值. 23.（10 分）选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数( )12f xxx. （1）解不等式1)(xf； （2）记函数)(xf的最大值为s，若( , ,0)a b cs a b c ， 证明： 222222 3a bb cc aabc. 文科数学答案 第 1 页 共 1 页 赤峰市高三 4 41616 模拟考试试题 文科数学参考答案 2020.4 说明：说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三、只给整
15、数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分 1.1. C C； 2 2. .D D； 3 3. . A A ； 4 4. . C C ； 5 5. . B B； 6 6. . A A； 7 7. . C C； 8 8. .B B ； 9 9. . D D ； 1010. . C C； 1111. .A A ； 1212. .B B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13 1 8 ；14. 3 （或写成60
16、）；15. 20， 3 30 2 （或写成 3 13500 ）；163. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(12 分) （1）证明：PAD为等边三角形，E为AD的中点， PEAD 平面PAD 底面ABCD，平面PAD底面=ABCD AD PE 底面ABCD，BC 平面ABCD，PEBC3 分 由又题意可知ABCE为正方形，CEBC ，又PEECE， BC 平面PCE 5 分 BC 平面PBC，平面PBC 平面PCE 6 分 （2）解：过 F作FGAB，垂足为G8 分 11 11 184 3
17、13 33 23 2515 FABPP ABFABF VVSPEAB FG PE 12 分 文科数学答案 第 2 页 共 2 页 18.(12 分) 解：（1） 由题设及正弦定理得 sinsinsincos3sinsinBCABAB ABCsinsin()CAB sinsin()sincos3sinsinBABABAB2 分 化简得 sin( 3sincos1)0BAA 4 分 sin0B ，3sincos1AA， 1 sin 62 A 0A， 3 A 6 分 （2）由已知2 3a （1），根据余弦定理得 22 12 cos 2 bc A bc ，即 22 112 22 bc bc ， 22
18、=12bc bc 8 分 22 2,12bcbcbc （当且仅当=b c时取号） 10 分 11313 sin123 3 22222 ABC SbcAbc 12 分 （当且仅当=b c时取号） 19. (12 分) 解：（1） =30=20, =50, =50mnxy, 3 分 （2） 2 2 50 100(20203030) 50 =410 50 .828 50 K ， 没有99.9%把握认为新冠肺炎的 感染程度和性别有关. 7 分 文科数学答案 第 3 页 共 3 页 （3）由于在“轻-中度感染”的患者中，按男女比例为2:3，设抽取的 5 人中 3 名 女性患者用, ,a b c表示，2
19、名男性患者用,D E表示，则所有组合为( , , ) D E a， ( , , )D E b，( , , )D E c，( , , )D a b，( , , )D a c，( , , )D b c，( , , )E a b，( , , )E a c，( , , )E b c， ( , , )a b c，可能的情况共有 10 种.其中至少抽到 2 名女性患者的情况有 7 种，设 至少抽到 2 名女性患者的事件为A，则 7 ( ) 10 P A =.12 分 20.(12 分) 解：（1）由已知得动点M到点) 1 , 0(F的距离与到直线1:yl的距离相等2 分 又由抛物线的定义可知，曲线 C 为
20、抛物线，焦点为) 1 , 0(F，准线为1:yl 曲线C的方程为 2 4xy 5 分 （2）设点 11 ( ,)A xy, 22 (,)B xy，) 1,( tP 6 分 由 2 4xy,即 2 1 4 yx ,得y 1 2 x 抛物线C在点A处的切线PA的方程为)( 2 1 1 1 xx x yy 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 8 分 2 11 4 1 xy ， 1 1 2 yx x y，点) 1,( tP在切线PA上, 1 1 2 1yt x ，同理 2 2 2 1yt x 10 分 综合、得，点 1122 ( ,), (,)A x yB x y的坐标都满足方程 yt x
21、2 1 即直线:AB1 2 x t y恒过抛物线焦点 F) 1 , 0( 12 分 文科数学答案 第 4 页 共 4 页 21.（12 分） 解：（1）函数( )f x的定义域为(0 + )，. 1(1)(1) ( )(1)= xax fxaxa xx 2 分 0,0ax，0 12 x ax ， 100 xxf，函数 xf在(0,1)上为减函数； 10 xxf，函数 xf在(1,)上为增函数 所以， 2 11 a fxf 极小值 ，无极大值 5 分 （2）由（1）可得 0 11 x x xax xf 0a ，由 0 xf，可得1, 1 21 x a x 6 分 当1 1 - a ，即01-a时
22、， 0 xf在 1 , 4 1 x成立， xf在此区间 1 , 4 1 上 为减函数，所以， 2 11 min a fxf 7 分 当1 1 - 4 1 a ，即14a时， 0,1 , 1 ; 0, 1 , 4 1 xf a xxf a x 所以， xf在 a 1 , 4 1 为减函数，在 1 , 1 a 为增函数 所以， aaa fxf 1 ln 2 1 1 1 min 9 分 当 4 11 -0 a ，即4a时， 0,1 , 4 1 xfx， xf在 1 , 4 1 x为增 函数 2ln2 32 7 4 1 4 1 min afxf11 分 文科数学答案 第 5 页 共 5 页 综上所述，
23、 01, 2 1 14, 1 ln 2 1 1 4, 2ln2 32 7 - 4 1 min a a a aa aa xf12 分 22.（10 分）选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：（1） 2222 2 12 ,3sin12. 3sin 由 cos sin x y 得 22 3412,xy曲线C的直角坐标方程为 22 1 43 xy . 当2a 时，直线l的普通方程为220xy3 分 由 22 220 1 43 xy xy 解得 2 0 x y 或 1 3 2 x y . 从而C与l的交点坐标为 3 2,0 , 1, 2 .5分 （2）由题意知直线l的普通方程为
24、20xya， C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数） 故C上任意一点 2cos , 3sinP到l的距离为 4sin 2cos2 3sin 6 55 a a d 8 分 则 2 4sin 6 2 sin455 a d PAd . 文科数学答案 第 6 页 共 6 页 当0a时，PA的最大值为 24 10 5 a ，所以1a ； 当0a时，PA的最大值为 2 4 10 5 a ，所以1a . 综上所述，1a 或1a 10 分 23.（10 分）选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 （1）解： 3,1 ( )21, 12 3,2 x f xxx x 3 分 当1x时，3
25、1 恒成立，所1x； 当12x 时，21 1x 即1x，所11x ； 当2x时，3 1显然不成立，所以不合题意； 综上所述，不等式的解集为(,15 分 （2）证明：由(1)知 max ( )3f xs，于是 3abc 由基本不等式可得 22222422 22a bb ca b cab c （当且仅当a c 时取等号） 22222242 22b cc aa b cabc （当且仅当b a时取等号） 22224222 22c aa ba b ca bc （当且仅当c b时取等号）8 分 上述三式相加可得 222222 2()2()a bb cc aabc abc （当且仅当abc 时取等号） 3abc ， 222222 3a bb cc aabc，故得证10 分
