1、 高三数学试卷 第 1 页（共 17 页 高三年级四月份测高三年级四月份测数学试卷数学试卷 A （考试时间 120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知命题p：x R，e1 x ，那么命题p的否定为 （A） 0 Rx， 0 e1 x （B）Rx ，e1 x （C） 0 Rx， 0 e1 x （D）Rx ，e
2、1 x （2）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是 （A） 3 ( )2f xx（B） 1 2 ( )log |f xx（C） 3 ( )3f xxx（D）( )sinf xx （3）设集合 2 340AxxxZ|， 2 |e1 x Bx ，则以下集合P中，满足()PAB R 的是 （A） 1,0,1,2 （B）1,2（C）1（D）2 （4）已知 3 log2a， 0.2 log0.3b， 11 tan 3 c ，则a，b，c的大小关系是 （A）bac（B）cba（C）cab（D）bca （5）若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为 m n ，如图是某四面体
3、的三视图，则这 个四面体的直度为 （A） 1 4 （B） 1 2 （C） 3 4 （D）1 （6）已知向量(2,2 3)a，若(3 )aba，则b在a上的投影是 高三数学试卷 第 2 页（共 17 页 （A） 3 4 （B） 3 4 （C） 4 3 （D） 4 3 （7）已知ABC，则“sincosAB”是“ABC是直角三角形”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就， 它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨 辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 n a为图中虚线上的数1, 3,
4、6,10, 构成的数列 n a的第n项， 则 100 a的值为 （A）5049 （B）5050 （C）5051 （D）5101 （9）已知双曲线 2 2 1 2 y x的渐近线与抛物线 2 :2(0)M ypx p交于点(2, )Aa，直线AB过抛物线M 的焦点，交抛物线M于另一点B，则AB等于 （A） 3.5（B）4（C）4.5（D）5 （10）关于函数 2 ( )(1)exf xxax，有以下三个结论： 函数恒有两个零点，且两个零点之积为1； 函数的极值点不可能是1； 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有 （A）3 个 （B）2 个（C）1 个（D）0 个 第二部分（非选择题共 110
5、分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 高三数学试卷 第 3 页（共 17 页 （11）在 5 2 ()x x 的二项展开式中， 2 x的系数为_ （用数字作答） （12）设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足| | 5z ，6zz，则z的虚部为， 1 z （13）设无穷等比数列 n a 的各项为整数，公比为q，且 1q ， 231 2aaa，写出数列 n a 的一个 通项公式_ （14）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A，(1,1)B，P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记 为Q，则线段BQ的长度的最大值是_ （15）关于曲线 22 :4C xxyy
6、，给出下列四个结论： 曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称； 曲线C恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线C上任意一点都不在圆 22 3xy的内部； 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2 其中，正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 分，不选或有错选得分，其他得3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 已知 ( )2 3sin cos2cos()cos() 44 f xxxxx （）求( )f x的最小正周期和单调递增区间； （）当0, x时，若(
7、)( 1,1f x ，求x的取值范围 （17） （本小题 14 分） 体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均在36 C37 C之间 0 高三数学试卷 第 4 页（共 17 页 即为正常体温， 超过37.1 C即为发热 发热状态下， 不同体温可分成以下三种发热类型： 低热：37.138T； 高热：3840T；超高热（有生命危险） ：40T. 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化，从 14 日开始，以 3 天为一个 疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午 8:00 服药，护士每天下 午 16:
8、00 为患者测量腋下体温记录如下： 抗生素使用 情况 没有使用 使用“抗生素抗生素 A”治疗 使用“抗生素抗生素 B”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温（C） 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用 情况 使用“抗生素抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温（C） 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 （）请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值； （） 在19日23
9、日期间， 医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目 “项目” 的检查，记X为高热体温下做“项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望； （）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果. 假设三种抗生素治疗效果相互独立， 请依据表中数据， 判断哪种抗生素治疗效果最佳， 并说明理由 （18） （本小题 15 分） 在四棱锥PABCD中， 平面ABCD平面PCD， 底面ABCD为梯形，/ /ABCD，ADDC， 且1AB， 高三数学试卷 第 5 页（共 17 页 2ADDCDP，120PDC. （）求证：ADPC； （）求二面角_的
10、余弦值； 从PABC，PBDC，PBCD这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F， MF与PC都不平行. （19） （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两 点，当直线l与x轴垂直时，| 3AB . （）求椭圆C的标准方程； （） 当直线l与x轴不垂直时， 在x轴上是否存在一点P（异于点F） ， 使x轴上任意点到直线PA,PB 的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由.
11、 （20） （本小题 15 分） 已知函数 2 ( )e() x f xaxaR （）若曲线 ( )yf x 在(1, (1)f 处的切线与x轴平行，求a； 高三数学试卷 第 6 页（共 17 页 （）已知 ( )f x在0,1上的最大值不小于2，求a的取值范围； （）写出 ( )f x所有可能的零点个数及相应的a的取值范围 （请直接写出结论） （21） （本小题 14 分） 已知集合 12 |( ,),0,1,1,2, (2) nni SX Xx xxxin n，对于 12 ( ,) n Aa aa n S， 12 ( ,) nn Bb bbS，定义A与B的差为 1122 (|,|,|) n
12、n ABababab；A与B之间的距 离为 1122 ( , )=|+| nn d A Bababab （）若(0,1)AB，试写出所有可能的,A B； （）, , n A B CS，证明：（i）(,)( ,)d AC BCd A B； （ii）( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数； （）设, n PSP中有(2m m ，且为奇数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 P d， 证明： (1) 2 P n m m d 高三数学试卷 第 7 页（共 17 页 20192020 学年度学年度高三年级四月份高三年级四月份测试题测试题 数学数
13、学 A 参考答案参考答案2020.4 第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）A（2）C（3）C（4）B（5）D （6）D（7）D（8）B（9）C（10）A 第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） （11）80（12）4， 34 i 2525 （13） 1* 2() n
14、 n an N（答案不唯一） （14）2 1（15） 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16） （本小题 13 分） 解： （）因为 ( )3sin22cos()cos() 424 f xxxx 3sin22sin()cos() 44 xxx 3sin2sin(2) 2 xx 3sin2cos2xx 31 2(sin2cos2 ) 22 xx 2sin(2) 6 x， 3 分 （另解： ( )3sin22(cos cossin sin)(cos cossin sin) 4444
15、f xxxxxx 高三数学试卷 第 8 页（共 17 页 2222 3sin22(cossin )(cossin ) 2222 xxxxx 22 3sin2(cossin)3sin2cos2xxxxx 31 2(sin2cos2 )2sin(2) 226 xxx， 3 分 所以 22 2 T . 4 分 由 2 22 , 262 kxkkZ，得 , 63 kxkkZ. 故( )f x的单调递增区间为： , 63 kkkZ. 6 分 （）令2sin(2)1 6 x ，有 1 sin(2) 62 x , 即 22 , 66 xkkZ或 5 22 , 66 xkkZ， 也即 , 6 xkkZ或 ,
16、2 xkkZ. 因为0,x， 所以 6 x 或 2 x . 9 分 令 2sin(2)1 6 x ，得 1 sin(2) 62 x . 即 22 , 66 xkk Z或 5 22 , 66 xkk Z， 也即,xkkZ或 , 3 xkk Z. 因为0,x，所以x或 2 3 x . 11 分 又因为( )f x的单调递增区间为： 0, 3 和 5 , 6 ， ( )f x的单调递减区间为： 5 (,) 36 , 12 分 高三数学试卷 第 9 页（共 17 页 所以当( )( 1,1f x 时，x的取值范围为 2 (0,) 62 3 13 分 （17） （本小题 14 分） 解:（）由表可知，该
17、患者共 6 天的体温不低于39 C，记平均体温为x， 1 分 1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C 6 x 4 分 所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C. （）X的所有可能取值为0,1,2 5 分 30 32 3 5 1 (0) 10 C C P X C , 6 分 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C , 7 分 12 32 3 5 3 (2) 10 C C P X C 8 分 则X的分布列为： 9 分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X 11
18、分 （） “抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0C又回升 0.1C， “抗生素 C”使用期间持续降 温共计 1.2C，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳 抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03C，方差约为0.0156； “抗生素 C”平均体温 38C， 方差约为0.1067， “抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效 高三数学试卷 第 10 页（共 17 页 果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳 14 分 “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由： （不说使用“抗生素不说使用“抗生素 B”治疗才开始持
19、续降温扣”治疗才开始持续降温扣 1 分分） 自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天 共降温 0.7C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳 14 分 （开放型（开放型问题问题，答案不唯一，但答答案不唯一，但答“抗生素“抗生素 A”效果最好不得分效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）不用数据不得分） （18） （本小题 15 分） 解:（）因为平面ABCD平面PCD， 1 分 平面ABCD平面PCDCD, 2 分 AD平面ABCD,ADDC 3 分 所以AD平面PCD， 4 分 又因为PC平面PC
20、D， 所以ADPC 5 分 （）选择评分细则： 在平面PCD内过点D作DHDC，交PC于H. 由（）可知，AD 平面PDC， 所以ADDH 故,AD CD DH两两垂直 如图，以D为原点，,DA DC DH所在直线分别 为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则(0,0,0)D，(0, 1, 3)P，(2,0,0)A，(2,1,0)B，(0,2,0)C 6 分 因为DH 平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n 而(2,1,3)PA，(2,2,3)PB ， 设平面PAB的一个法向量为( , , ) x y zm 高三数学试卷 第 11 页（共 17 页 则由 0
21、 0 PA PB ， ， m m 得 230, 2230, xyz xyz 取2z ，有( 3,0,2)m 8 分 所以 22 cos,7 |77 n m n m |n m 10 分 由题知，二面角PAB C为锐角， 故二面角PAB C的余弦值为 2 7 7 11 分 选择得分要点（评分细则同） ： （下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则） 平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n ；平面PBD的一个法向量为(3,2 3,2) m； 二面角PBD C为钝角；二面角PAB C的余弦值为 2 19 19 . 选择得分要点（评分细则同） ： （下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则） 平
22、面ABCD的法向量(0,0,1)n；平面PBC的法向量(1,2,2 3)m； 二面角PBCD为锐角；二面角PBCD的余弦值为 2 51 17 . （）假设棱BC上存在点F，MFPC设,0,1BFBC 12 分 依题意，可知 13 (1,) 22 M，( 2,1,0)BC ， ( 2 , ,0)BF ，(22 ,1,0)F， 13 分 33 (1 2 ,) 22 MF，(0,3,3)PC ， 14 分 高三数学试卷 第 12 页（共 17 页 则 1 20, 3 3 , 2 3 3 , 2 而此方程组无解，故假设不成立，所以结论成立 15 分 （19） （本小题 14 分） 解： （）由题意得：
23、 2 222 2 3, 1 , 2 , b a c a abc 1 分 解得:2,3,1abc 2 分 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy . 3 分 （）依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线:1(0)l xmym， 1122 ( ,), (,)A x yB x y 假设存在点P，设 0 (,0)P x，由题设， 0 1x ，且 01 xx， 02 xx. 设直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k， 则 12 12 1020 , yy kk xxxx 4 分 因为 1122 ( ,), (,)A x yB x y在1xmy上， 故 1122 1,1xmyxmy 5 分 而x轴
24、上任意点到直线,PA PB距离均相等等价于“PF平分APB” ， 所以等价于 12 0kk 6 分 则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 () ()() x yx yxyy xxxx 12012 1020 2(1)() 0 ()() my yxyy xxxx 8 分 高三数学试卷 第 13 页（共 17 页 联立 22 1 43 1 xy xmy ，消去x，得： 22 (34)690mymy， 有 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm 10 分 则 00 12 22 10201020 1866246 0 (34)()()(34)()()
25、mmmxmmx kk mxxxxmxxxx ， 即 0 40mmx，又0m，故 0 4x 13 分 当直线l的斜率为零时，(4,0)P也符合题意 故存在点(4,0)P，使得x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等.14 分 （20） （本小题 15 分） 解： （）因为 2 ( )e() x f xax aR， 故( )e2 x fxax1 分 依题意(1)e20fa，即 e 2 a 2 分 当 e 2 a 时， e (1)0 2 f，此时切线不与x轴重合，符合题意，因此 e 2 a 3 分 （）由（）知，( )e2 x fxax, 当0a时，因为0,1x,e0 x ,20ax， 故( )0f
26、x，即( )f x单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa 依题意，当0a时， max ( )=ee2f xa，所以0a符合题意 5 分 当0a 时，( )e2 x fxa，令( )0fx，有ln2xa 6 分 ( )fx,( )fx变化如下： x (,ln2 )a ln2a (ln2 ,)a ( )fx 0 + ( )fx 极 高三数学试卷 第 14 页（共 17 页 小值 故 min ( )22 ln22 (1 ln2 )fxaaaaa 7 分 当1 ln20a时，即 e 0 2 a时，( )0fx ，( )f x单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa 依题意，令e2
27、a，有0e2a 8 分 当1 ln20a时，即 e 2 a 时，(1)e20fa ,(0)10 f ， 故存在唯一 0 (0,1)x 使 0 ()0f x 9 分 此时有 0 0 e20 x ax，即 0 0 e2 x ax，( )fx,( )f x变化如下： 10 分 x 0 (0,)x 0 x 0 (,1)x ( )fx + 0 ( )f x 极 大值 所以 0 00 2 0 max00 e ( )()ee 2 x xx x f xf xax ， 0 (0,1)x 11 分 依题意，令 e ( )e 2 x x x g x ，(0,1)x，则 (1)e ( )0 2 x x g x ，(
28、)g x在(0,1)单调递增， 所以 e ( )(1)2 2 g xg ，所以 max ( )2f x，此时不存在符合题意的a 综上所述，当(,e2a ，( )f x在0,1上的最大值不小于2， 若(,e2a ，则( )f x在0,1上的最大值小于2， 所以a的取值范围为(,e212 分 解法二： （）当0,1x时，( )f x最大值不小于 2，等价于 2 ( )e2 x f xax在0,1x上有解，显然0x 不是解, 即 2 e2 x a x 在(0,1x上有解，4 分 设 2 e2 ( ) x g x x ， (0,1x, 高三数学试卷 第 15 页（共 17 页 则3 e2e4 ( )
29、xx x g x x 5 分 设( )e2e4 xx h xx，(0,1x， 则( )e (1)0 x h xx 所以( ) h x在(0,1单调递减，( )(1)4e0h xh ，7 分 所以 ( )0g x ，所以( )g x在(0,1单调递增，9 分 所以 max ( )(1)e2g xg 10 分 依题意需e2a , 所以a的取值范围为(,e212 分 解法三: （）由（）知，( )e2 x fxax, （1）当 e 2 a 时，( )e2ee xx fxaxx, 设( )ee0,1 x h xx x，( )ee0 x h x , 所以( )h x在0,1单调递减，故( )(1)0h
30、xh5 分 所以( )0fx ，所以( )f x在0,1单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa 7 分 依题意，令e2a，得e2a 8 分 （2）当 e 2 a 时， 22 e ( )ee 2 xx f xaxx, 设 2 e ( )e 2 x xx,0,1x , 则( )ee( )0 x xxh x , 所以( )x在0,1单调递增，10 分 高三数学试卷 第 16 页（共 17 页 故 max ee ( )(1)e2 22 x，即( )2f x ，不符合题意11 分 综上所述，a的取值范围为(,e2 12 分 （III）当0a时，( )yf x有 0 个零点；当 2 e 0 4
31、 a 时，( )yf x有 1 个零点 当 2 e 4 a 时，( )yf x有 2 个零点；当 2 e 4 a 时，( )yf x有 3 个零点 15 分 （写对一个给 1 分，写对三个给 2 分，全对给 3 分） （21） （本小题 14 分） 解： （）(0, 0),(0,1)AB； (0,1),(0, 0)AB；1 分 (1, 0),(1,1)AB；2 分 (1,1),(1, 0)AB.3 分 （）令 121212 ( ,),( ,),( ,) nnn Aa aaBb bbCc cc， （i）对1,2,in， 当0 i c 时，有| | iiiiii acbcab；4 分 当1 i c
32、 时，有| |1(1)| | iiiiiiii acbcabab5 分 所以 11222222 (,)|+|+| nnnn d A C BCacbcacbcacbc 1122 |( , ) nn abababd A B6 分 （ii）证法 1：设 12 ( ,) n Aa aa， 12 ( ,) n Bb bb， 12 ( ,) n Cc cc n S， ( , )d A Bk，( ,)d A Cl，( ,)d B Ch. 记(0,0,0) n OS，由（I）可知， ( , )(,)( ,)d A Bd AA BAd O BAk， 高三数学试卷 第 17 页（共 17 页 ( ,)(,)( ,
33、)d A Cd AA CAd O CAl， ( ,)(,)d B Cd BA CAh， 所以|(1,2, ) ii bain中 1 的个数为k，|(1,2, ) ii cain的 1 的个数为l 设t是使| | 1 iiii baca成立的i的个数，则2hlkt 由此可知，, ,k l h三个数不可能都是奇数， 即( ,)d A B,( ,)d A C,( ,)d B C三个数中至少有一个是偶数 证法 2：因为()()()0 iiiiii abbcca， 且()()() iiiiii abbcca与| iiiiii abbcca奇偶性相同， 所以| iiiiii abbcca为偶数，故( ,
34、)( ,)( ,)d A Bd B Cd A C为偶数8 分 所以( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数9 分 （）记 , ( ,) A B P d A B 为P中所有两个元素间距离的总和， 设P中所有元素的第i个位置的数字中共有 i t个 1， i mt个 0，10 分 则 ,1 ( , )() n ii A B Pi d A Bt mt 11 分 因为m为奇数，所以 2 1 ()(1,2, ) 4 ii m t mtin ，且 1 2 i m t 或 1 2 m 时，取等号 所以 2 , (1) ( , ) 4 A B P n m d A B 13 分 所以 2 22 , 1(1)(1) ( , ) 42 P A B P mm n mmn dd A B CCm 14 分
