1、2018-2019 学年湖南省名校联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，Bx|x25，则 AB（ ） A1 B （1，2 C1，2，3 D （1，2，3，4 2 （5 分）设 z（3i） （4+i） ，为虚数单位，则 z 的虚部为（ ） A1 Bi C1 Di 3 （5 分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各六名学生在一次数学检测中的成绩（单位： 分） ，则甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分
2、别为（ ） A62，56.5 B63，56.5 C62.5，55.6 D62.5，56.5 4 （5 分）已知函数 f（x）ex2x2+3x4，则函数 f（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切 线方程为（ ） A4x+y+30 B4x+y30 C4xy+30 D4xy30 5 （5 分）已知向量 （6，1） ， （7，2） ，且（ +m ）（3 ） ，则 m（ ） A B C D 6 （5 分）已知 sin（+）3cos（）0，则 （ ） A3 B3 C D0 7 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为 2，直线与双曲线 C 的过 二、四象限的渐近线垂直且在 y 轴上的截距为 3
3、，则直线 l 的方程为（ ） Ax+3y+90 Bx+3y90 Cx3y+90 Dx3y90 8 （5 分）一个圆柱的体积为 16，AB 为底面圆的直径，BM 为母线，直线 AM 与底面所成 第 2 页（共 22 页） 的角为 45，则该圆柱的侧面积为（ ） A4 B8 C16 D32 9 （5 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（m，2） ， 若2，则 m 的值为（ ） A6 B6 C D 10（5 分） 执行如图所示的程序框图， 若输出 S 的值为， 则判断框中可以填入的是 （ ） Ak2？ Bk3？ Ck4？ Dk5？ 11 （5 分）已知三棱锥 AB
4、CD 中，ABACBDCD，ABAC，BDCD，且三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 32，则当平面 ABC平面 BCD 时，三棱锥 ABCD 的表 面积等于（ ） A16+8 B32+16 C8+8 D16+16 12 （5 分）已知函数 f（x）则 f（4x2）f（3|x|）的解集为（ ） A （0，1） B0，1） C （1，1） D （2，1） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 第 3 页（共 22 页） 13 （5 分）若点 P（4，）在幂函数 f（x）的图象上，则 f（2） 14 （5 分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体
5、600 名学生中抽取 40 名学生做 血压检查，现将 600 名学生从 1 到 600 进行编号，已知从 4660 这 15 个数中抽取的数 是 52，则在 7690 中抽到的数是 15 （5 分）已知在 x，y 轴上截距分别为 3，4 的直线与 x，y 轴分别交于 M，N 两点，动 点P在圆C （x+1） 2+ （y1）21上， 则MNP的面积取得最小值时， 点P的坐标是 16 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2acsin2B，cosAcosC ，a2，c4，则 b 三、解答题：解谷应写出文宇说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解谷应写出文宇说明、证
6、明过程或演算步骤 17 （12 分）已知等差数列an满足 a513，a1+a38 （1）求an的通项公式 （2）设 Sn是等比数列bn的前 n 项和若 b1a1，b3a41，求 S6 18 （12 分）如图所示，三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，ACBC，C1MCC1 ，A1NA1B11 （1）求证；C1N平面 A1BM； （2）若 C1N平面 ABB1A1，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 19 （12 分）某教育部门为了了解某地区高中学生每周的课外羽毛球训练的情况，随机抽取 了该地区 50 名学生进行调查，其中男生 25 人，将每周课外训练时间不低于 8 小时的学 生称为“训练
7、迷” ，低于 8 小时的学生称为“非训练迷” ，已知”训练迷”中有 15 名男生， 根据调查结果绘制的学生每周课外训练时间的频率分布直方图（时间单位为小时）如图 所示 第 4 页（共 22 页） （1）根据图中数据估计该地区高中学生每周课外训练的平均时间（说明：同一组中的数 据用该组区间的中间值作代表） ； （2）根据已知条件完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为“训练迷” 与性别有关？ 非训练迷 训练迷 合计 男 女 合计 （3） 将每周课外训练时间为 46 小时的称为 “业余球迷” ， 已知调查样本中， 有 3 名 “业 余球迷”是男生，若从“业余球迷”中任意选取 2
8、 人，求至少有 1 名男生的概率 附：K2 P（K2k0） 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的实轴长为 4，焦距为 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线经过点 P（2，1）且与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（异于椭圆的左顶点） 设点 Q 是 x 轴上的一个动点，直线 QM，QN 的斜率分别为 k1，k2，试问：是否存在点 Q， 使得为定值？若存在，求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由， 21 （12 分）已知函数 f（x）2ax（lnx1） （aR） （1）
9、判断函数 f（x）的单调性； 第 5 页（共 22 页） （2）若对任意 x1，+）时都有 f（x）ln2x2，求实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为， （t 为参数） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程是 cossin， 曲线 C2的极坐标方程是 6cos+4sin （1）求直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程曲
10、线 C1的普通方程； （2）若直线 l 与曲线 C1和曲线 C2在第一象限的交点分别为 P，Q，求|OP|+OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|，g（x）f（x）2|x| （1）求 g（x）的最大值 m； （2）若 a0，b0，且m，求证：f（a+3）+f（b+1）4 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年湖南省名校联考高二（下）期末数学试卷（文科）学年湖南省名校联考高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选
11、项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，Bx|x25，则 AB（ ） A1 B （1，2 C1，2，3 D （1，2，3，4 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：，A1，2，3，4； AB1，2 故选：B 【点评】考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 2 （5 分）设 z（3i） （4+i） ，为虚数单位，则 z 的虚部为（ ） A1 Bi C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（3i） （4+i）12+3i4ii2
12、13i， z 的虚部为1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各六名学生在一次数学检测中的成绩（单位： 分） ，则甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别为（ ） A62，56.5 B63，56.5 C62.5，55.6 D62.5，56.5 【分析】由一组数据的中位数和平均数的定义，计算可得所求 【解答】解：甲组：45，55，60，65，70，75，可得中位数为 62.5； 乙组：45，50，50，60，60，74，平均数为56.5 第 7 页（共 22 页） 故选：D 【点评】本题考查数据的中位数和平均数
13、的求法，考查运算能力，属于基础题 4 （5 分）已知函数 f（x）ex2x2+3x4，则函数 f（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切 线方程为（ ） A4x+y+30 B4x+y30 C4xy+30 D4xy30 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求方程 【解答】解：f（x）ex2x2+3x4 的导数为 f（x）ex4x+3， 可得函数 f（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线斜率为 10+34， 切点为（0，3） ，可得切线方程为 y4x3 故选：D 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，是基础题 5 （5 分）已知向量 （6
14、，1） ， （7，2） ，且（ +m ）（3 ） ，则 m（ ） A B C D 【分析】利用向量坐标运算法则分别求出 +m ，3 ，再由（ +m ）（3 ） ， 能求出 m 的值 【解答】解：向量 （6，1） ， （7，2） ， +m （6+7m，12m） ， 3 （25，5） ， （ +m ）（3 ） ， ， 解得 m 故选：B 【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）已知 sin（+）3cos（）0，则 （ ） 第 8 页（共 22 页） A3 B3 C D0 【分析】利用诱导公式化简已知条件，化简所求
15、的表达式，转化求解即可 【解答】解：sin（+）3cos（）0， 可得cos3sin0，tan 则3 故选：A 【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查 7 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为 2，直线与双曲线 C 的过 二、四象限的渐近线垂直且在 y 轴上的截距为 3，则直线 l 的方程为（ ） Ax+3y+90 Bx+3y90 Cx3y+90 Dx3y90 【分析】运用离心率公式和渐近线方程可得直线 l 的斜率，再由斜截式方程可得所求直 线方程 【解答】解：由题意可得 e2， 双曲线在二、四象限的渐近线为 yx， 由题意可得直线 l 的斜率为， 由
16、 c2a，即为 ba， 由题意可得直线 l 的方程为 yx+3 即x3y+90 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率、渐近线方程，考查两直线垂直 的条件，以及直线方程的求法，考查运算能力，是基础题 8 （5 分）一个圆柱的体积为 16，AB 为底面圆的直径，BM 为母线，直线 AM 与底面所成 的角为 45，则该圆柱的侧面积为（ ） A4 B8 C16 D32 第 9 页（共 22 页） 【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径及母线长，则圆柱的侧面积可求 【解答】解：如图， 设圆柱的底面半径为 r，则母线长为 2r， 圆柱的体积 Vr22r2r316，得 r2 圆柱的
17、侧面积 S2r2r4r216 故选：C 【点评】本题考查旋转体的体积与侧面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基 础题 9 （5 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（m，2） ， 若2，则 m 的值为（ ） A6 B6 C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得 m 的值 【解答】解：角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（m， 2） ， tan， 若2，则 m6， 故选：A 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题 10（5 分） 执行如图所示的程序框图， 若输出 S
18、 的值为， 则判断框中可以填入的是 （ ） 第 10 页（共 22 页） Ak2？ Bk3？ Ck4？ Dk5？ 【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k0，S0， 执行循环体，S4，k1 此时，不满足判断框内的条件，执行循环体，S，k2 此时，不满足判断框内的条件，执行循环体，S，k3 由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为， 所以，判断框内的条件为 k3？ 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 11 （5 分）已知三棱锥 ABCD
19、 中，ABACBDCD，ABAC，BDCD，且三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 32，则当平面 ABC平面 BCD 时，三棱锥 ABCD 的表 面积等于（ ） 第 11 页（共 22 页） A16+8 B32+16 C8+8 D16+16 【分析】由题意画出图形，求出三棱锥 ABCD 的外接球的半径，进一步得到各棱长， 则三棱锥 ABCD 的表面积可求 【解答】解：如图， 取 BC 中点 O，连接 OA，OD， 由 ABACBDCD，ABAC，BDCD， 可得 OAOBOCOD，即 O 为三棱锥 ABCD 的外接球的球心， 半径为 OA 由三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为 4OA23
20、2，得 OA 则当平面 ABC平面 BCD 时，； 三棱锥 ABCD 的表面积 S 故选：A 【点评】本题考查多面体及其外接球的表面积，考查数形结合的解题思想方法，是中档 题 12 （5 分）已知函数 f（x）则 f（4x2）f（3|x|）的解集为（ ） A （0，1） B0，1） C （1，1） D （2，1） 【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，据此分析可得 f（x）在 R 上 为增函数，据此可得原不等式 f（4x2）f（3|x|）等价于 4x23|x|，解可得 x 的取值 范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x） 当 x0 时，f（x）ex1，易得 f（x）
21、在（0，+）为增函数，且 f（x）0， 第 12 页（共 22 页） 当 x0 时，f（x）x33x2，其导数 f（x）3x26x3x（x2） ，在（，0上 有 f（x）0 恒成立， 则有 f（x）在（，0为增函数，且 f（x）f（0）0， 综合可得：f（x）在 R 上为增函数， 若 f（4x2）f（3|x|） ，则有 4x23|x|，变形可得 x2+3|x|40， 解可得：1x1，即不等式的解集为（1，1） ； 故选：C 【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及不等式的解法，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）若点 P（4，
22、）在幂函数 f（x）的图象上，则 f（2） 【分析】设幂函数 f（x）x，把已知点的坐标代入求得 ，得到函数解析式，则 f（2） 可求 【解答】解：设幂函数 f（x）x， 由点 P（4，）在幂函数 f（x）的图象上， 得，3，即幂函数为 yx 3 f（2） 故答案为： 【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数值的求法，是基础题 14 （5 分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 600 名学生中抽取 40 名学生做 血压检查，现将 600 名学生从 1 到 600 进行编号，已知从 4660 这 15 个数中抽取的数 是 52，则在 7690 中抽到的数是 82 【分析】先
23、求出抽样间隔 f15，再根据从 4660 这 15 个数中抽取的数是 52， 能求出在 7690 中抽到的数 【解答】解：某中学采用系统抽样方法， 从该校高一年级全体 600 名学生中抽取 40 名学生做血压检查， 抽样间隔 f15， 现将 600 名学生从 1 到 600 进行编号， 第 13 页（共 22 页） 从 4660 这 15 个数中抽取的数是 52， 在 7690 中抽到的数是：76+（5246）82 故答案为：82 【点评】本题考查样本编号的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 15 （5 分）已知在 x，y 轴上截距分别为 3，4 的直线与 x，y 轴分
24、别交于 M，N 两点，动 点 P 在圆 C（x+1）2+（y1）21 上，则MNP 的面积取得最小值时，点 P 的坐标是 （，） 【分析】通过三角形的面积的最小值，得到直线方程，然后求解点 P 的坐标 【解答】解：圆 C（x+1）2+（y1）21 的圆心（1，1） ， 在 x，y 轴上截距分别为 3，4 的直线与 x，y 轴分别交于 M，N 两点， 动点 P 在圆 C（x+1）2+（y1）21 上，则MNP 的面积取得最小值时， P 在与直线 4x3y120 垂直并且经过圆的圆心的直线上， 所以 P 所在的直线方程为：y1（x+1） ，即 3x+4y10，与直线 4x3y120 平行的直线与圆
25、相切的直线为：4x3y+20， 联立，可得 P（，） 故答案为： （，） 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，切线方程以及点到直线的距离的求法，考查 转化思想以及计算能力 16 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2acsin2B，cosAcosC ，a2，c4，则 b 2 【分析】由，b2acsin2B， 可得 sinAsinC， 即可得 cos （A+C） osAcosCsinAsinC A+C. 即 可求 b 【解答】解：，b2acsin2B， sinAsinC 第 14 页（共 22 页） cos（A+C）osAcosCsinAsinC A+C.
26、 故答案为：2 【点评】本题考查了解三角形，属于中档题 三、解答题：解谷应写出文宇说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解谷应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知等差数列an满足 a513，a1+a38 （1）求an的通项公式 （2）设 Sn是等比数列bn的前 n 项和若 b1a1，b3a41，求 S6 【分析】 （1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a11，d3，由此能求出 an （2）设等比数列bn的公比为 q，由等比数列bn中，b1a11，b3a419，解得 q 3，由此能求出 S6 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d， 等差数列an满足 a513，a
27、1+a38 ， 解得 a11，d3， an1+3（n1）3n2 （2）设等比数列bn的公比为 q， 等比数列bn中，b1a11，b3a419， q29，解得 q3， 当 q3 时，S6182； 当 q3 时，S6364 【点评】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的第 6 项的求法，考查等差数列、等 比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 18 （12 分）如图所示，三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，ACBC，C1MCC1 第 15 页（共 22 页） ，A1NA1B11 （1）求证；C1N平面 A1BM； （2）若 C1N平面 ABB1A1，求三棱柱 ABCA1B1C1
28、的体积 【分析】 （1）在线段 A1B 上取一点 P，满足 A1PA1B，连结 NP，MP，推导出四边形 NPMC1是平行四边形，从而 C1NPM，由此能证明 C1N平面 A1BM （2）推导出 C1NA1B1，ACBC，A1C1B1C1，由题意得A1NC1C1NB，由此能 求出三棱柱 ABCA1B1C1的体积 【解答】证明： （1）在线段 A1B 上取一点 P，满足 A1PA1B，连结 NP，MP， ， NPBB1，NPBB1， C1MBB1，C1M， NPC1M，NPC1M， 四边形 NPMC1是平行四边形，C1NPM， C1N平面 A1BM，PM平面 A1BM， C1N平面 A1BM 解
29、： （2）C1N平面 ABB1A1，则 C1NA1B1， ACBC，A1C1B1C1， 由题意得A1NC1C1NB， A1N1，NB12，NC1， 第 16 页（共 22 页） CC13，三棱柱 ABCA1B1C1的体积： V9 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）某教育部门为了了解某地区高中学生每周的课外羽毛球训练的情况，随机抽取 了该地区 50 名学生进行调查，其中男生 25 人，将每周课外训练时间不低于 8 小时的学 生称为“训练迷” ，低于 8 小时的学生称为“非训练迷
30、” ，已知”训练迷”中有 15 名男生， 根据调查结果绘制的学生每周课外训练时间的频率分布直方图（时间单位为小时）如图 所示 （1）根据图中数据估计该地区高中学生每周课外训练的平均时间（说明：同一组中的数 据用该组区间的中间值作代表） ； （2）根据已知条件完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为“训练迷” 与性别有关？ 非训练迷 训练迷 合计 男 女 合计 （3） 将每周课外训练时间为 46 小时的称为 “业余球迷” ， 已知调查样本中， 有 3 名 “业 余球迷”是男生，若从“业余球迷”中任意选取 2 人，求至少有 1 名男生的概率 第 17 页（共 22 页） 附：K
31、2 P（K2k0） 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）由每个小矩形中点的横坐标乘以频率得答案； （2）列出 22 列联表，求得 K2d 的观测值 k，结合临界值表得结论； （3）利用枚举法求古典概型的概率 【解答】解： （1）设该地区高中学生每周课外训练的平均时间为 ， 则+8.50.24+9.50.167.62（小 时） ； （2）每周课外训练时间不低于 8 小时的概率为 P0.24+0.160.4 “训练迷”的学生人数为 500.420 故根据已知条件完成 22 列联表： 非训练迷 训练迷 合计 男 10
32、 15 25 女 20 5 25 合计 30 20 50 根据公式可得，K2的观测值 k8.3337.879 故有 99.5%的把握认为“训练迷”与性别有关； （3）由频率分布直方图可知， “业余球迷”有（0.04+0.06）505 人， 其中男生 3 人，记作 a，b，c，女生 2 人记作 x，y， 因此，所有可能的基本事件为（a，b） ， （a，c） ， （a，x） ， （a，y） ， （b，c） ， 第 18 页（共 22 页） （b，x） ， （b，y） ， （c，x） ， （c，y） ， （x，y）共 10 种 由 M 表示事件：从“业余球迷”中任意选取 2 人，至少有 1 名男生
33、显然事件 M 的基本事件为（a，b） ， （a，c） ， （a，x） ， （a，y） ， （b，c） ， （b，x） ， （b，y） ， （c，x） ， （c，y）共 10 种 由古典概型的概率公式可得，P（M） 【点评】本题考查独立性检验，考查利用枚举法求古典概型的概率，考查计算能力，是 中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的实轴长为 4，焦距为 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线经过点 P（2，1）且与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（异于椭圆的左顶点） 设点 Q 是 x 轴上的一个动点，直线 QM，QN 的斜率分别为 k1，k2，试问：是否存在点 Q， 使得为
34、定值？若存在，求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由， 【分析】 （1）可得 2a4，2c2，又 a2b2+c2得 a，b 即可 （2）假设存在满足条件的点 Q（t，0） 当直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交 点，不符合题意 当过点 P（2，1）的直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk（x2）1，联立方程， 结合韦达定理可得： ， 即 可 得 当 且 仅 当 ，即 t2 时，为定值4 【解答】解： （1）椭圆 C：（ab0）的实轴长为 4，焦距为 2 2a4，2c2，又 a2b2+c2 解得 a2，b1，c 椭圆 C 的标准方程：； 第 19 页（共 22 页） （2）假
35、设存在满足条件的点 Q（t，0） 当过点 P（2，1）直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不符合题意 当过点 P（2，1）直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk（x2）1， 联立（1+4k2）x2（16k2+8k）x+16k2+160 0，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 ， 当且仅当，即 t2 时，为定值4 所以存在 Q（2，0） ，使得为定值4 【点评】不本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系；考查了计算能力，属于中 档题 21 （12 分）已知函数 f（x）2ax（lnx1） （aR） （1）判断函数 f（x）的单调性； （2）若对任意 x1，+）时都有
36、 f（x）ln2x2，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类（a0，a0，a0）讨 论函数的单调性即可； （2）将原问题进行等价转化，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数 a 的取值范围 即可 【解答】解： （1）数 f（x）2ax（lnx1） （aR）的定义域为（0，+） 第 20 页（共 22 页） f（x）2alnx a0 时，x1 时，f（x）0，0x1 时，f（x）0 故 f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增 a0 时，函数 f（x）为常函数，无单调性 a0 时，x1 时，f（x）0，0x1 时，f（x）0 故 f（x）在（0，1）
37、递增，在（1，+）递减 （2）由 f（x）ln2x22ax（lnx1）ln2x2 2axlnxln2x2ax+20 令 g（x）2axlnxln2x2ax+2，g（x） 对任意 x1，+）时都有 f（x）ln2x2， 一定有 g（1）2a+20，即可 a1 a0 时，g（x）0 在（1，+）恒成立，即 g（x）在1，+）单调递减，而 g （e2）2ae220，不符合题意 0a1 时，1时，g（x）0，x时，g（x）0 g（x）在（1，）递减，在（）递增 g（x）ming（）（2+lna）lna0 ae 2 综上，实数 a 的取值范围为，1 【点评】本题主要考查导函数研究函数的单调性，分类讨论的
38、数学思想，等价转化的数 学思想等知识，属于中档题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为， （t 为参数） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程是 cossin， 曲线 C2的极坐标方程是 6cos+4sin （1）求直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程曲线 C1的普通方程； 第 21 页（共 22 页） （2）若直线 l 与曲线 C1和曲
39、线 C2在第一象限的交点分别为 P，Q，求|OP|+OQ|的值 【分析】 （1）由已知直线 l 和曲线 C2的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式可 得直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程，把曲线 C1的参数方程中的参数消去，可得曲线 C1 的普通方程； （2）写出直线 l 与曲线 C1的极坐标方程，分别求出|OP|，|OQ|，则|OP|+OQ|的值可求 【解答】解： （1）由 cossin，得 cossin， 则直线 l 的直角坐标方程为 xy0 由 6cos+4sin，得 26cos+4sin， 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y26x4y0 由， （t 为参数） ， 消去参数 t，
40、可得曲线 C1的普通方程为； （2）直线 l 的极坐标方程为 （R） 曲线 C1的极坐标方程为 曲线 C2的极坐标方程是 6cos+4sin P，Q 在第一象限， |OP|，|OQ| |OP|+|OQ| 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力， 是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|，g（x）f（x）2|x| （1）求 g（x）的最大值 m； （2）若 a0，b0，且m，求证：f（a+3）+f（b+1）4 【分析】 （1）g（x）f（x）2|x|x2|2|x|去绝对值后判断 f（x）的单调性，然后求 出最大值可得 m； 第 22 页（共 22 页） （2）由（1）知 m2，可得，然后由 f（a+3）+f（b+1）a+b 可利用“1“的 代换转化为利用用基本不等式求最值问题 【解答】解： （1）g（x）f（x）2|x|x2|2|x|， g（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减， mg（x）maxg（0）2； （2）由（1）知m2， f（a+3）+f（b+1）a+b，a0，b0， a+b2+， 当且仅当 ab2 时取等号， f（a+3）+f（b+1）a+b4 【点评】本题考查了绝对值不等式单调性的判断和利用基本不等式求最值，考查了转化 思想和运算能力，属中档题
