1、2018-2019 学年湖南省湘东六校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题 5 分，共分，共 60 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的）分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1 （5 分）已知集合 Ax|lnx0，Bx|x1，则（ ） AAB BABR CBA DAB 2 （5 分）i 为虚数单位，若复数（1+mi） （1+i）是纯虚数，则实数 m（ ） A1 B0 C1 D0 或 1 3 （5 分） “m2”是“表示双曲线”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试
2、验中，得到 6 组数据（x1，y1） ， （x2， y2） ， （x3，y3） ， （x4，y4） ， （x5，y5） ， （x6，y6） 根据收集到的数据可知，由最小二 乘法求得回归直线方程为，则 y1+y2+y3+y4+y5+y6（ ） A50.5 B45.5 C100.2 D109.2 5 （5 分）已知向量 （4，2） ， （1，2） ，则 在 方向上的投影为（ ） A2 B3 C4 D5 6 （5 分）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，它在世界数学史上 具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家 们定理涉及的是数的整除问题，其数学
3、思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活 都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将 1 到 2019 这 2019 个整数中能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列， 构成 数列an，那么此数列的项数为（ ） A58 B59 C60 D61 7 （5 分）已知 f（x）2xsinx，x（3，3） ，若 f（1m）+f（1m2）0，则 m 的值 为（ ） A1 B2 C1 D2 或 1 8 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出四个命题： 若 m，n，nm，则 ；若 m，m，则 ； 若 m，n，mn，则 ；若
4、 m，n，mn，则 第 2 页（共 21 页） 其中正确命题的个数有（ ） A1 B2 C3 D4 9 （5 分）小球 A 在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出， 则一次投放小球，从“出口 3”落出的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）已知过点 A（a，0）作曲线 C：yxex的切线有且仅有 1 条，则实数 a 的取值 是（ ） A0 B4 C0 或4 D0 或 4 11 （5 分）设 F2是双曲线的右焦点，O 为坐标原点，过 F2 的直线交双曲线的右支于点 P，N，直线 PO 交双曲线 C 于另一点 M，若|MF2|3|PF2|， 且MF2N60，则双曲线
5、 C 的离心率为（ ） A3 B2 C D 12 （5 分）已知函数 f（x），g（x）x23x14，若存在实数 x，使 得 g（m）f（x）18 成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A （4，7） B4，7 C （，4）（7，+） D （，47，+） 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若的二项展开式的各项系数之和为 729，则该展开式中常数项的值 为 14 （5 分）已知不等式组，表示的平面区域的面积为 4，点 P（x，y）在所给平面 区域内，则 z2x+y 的最大值为 15 （5 分）三棱锥 PABC 中，ABAC，PA
6、平面 ABC，PA3，AB4，AC5，则三 第 3 页（共 21 页） 棱锥 PABC 外接球的表面积为 16 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，0）是 R 上的偶函数，其图象关 于点 M（，0）对称，且在区间0，上是单调函数，则 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且（a+b+c） （a+bc）3ab （）求角 C 的值； （）若 c2，且ABC 为锐角三角形，求 a+b 的取值范围 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面
7、ABCD 是边长为 2 的正方形，PBBC，PD CD，且 PA2，E 为 PD 中点 （1）求证：PA平面 ABCD； （2）求二面角 ABEC 的正弦值 19 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，anSn1+1（n2） （）求数列an的通项公式； （）设，求数列的前 n 项和 Tn 20 （12 分）已知点 F（1，0） ，直线 l：x1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线的垂线， 垂足为 Q，且 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点（1，0）的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，当|FA|3|FB|时，求直线 l 的方程 21 （12 分）在中国移动的
8、赞助下，某大学就业部从该大学 2018 年已就业的 A、B 两个专业 的大学本科毕业生中随机抽取了 200 人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的 月薪收入在 3000 元到 9000 元之间，具体统计数据如表： 月薪（百30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 第 4 页（共 21 页） 万） 人数 20 36 44 50 40 10 将月薪不低于 7000 元的毕业生视为“高薪收入群体” ，并将样本的频率视为总体的概率， 巳知该校 2018 届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为 3500 元 （1）请根据上述表格中的统计数据填写下
9、面的 22 列联表，并通过计算判断，是否能 在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关？ 非高薪收入群体 高薪收入群体 合计 A 专业 B 专业 20 110 合计 （2）经统计发现，该大学 2018 届的大学本科毕业生月薪 X（单位：百元）近似地服从 正态分布 N（，196） ，其中 近似为样本平均数 （每组数据取区间的中点值） 若 X 落在区间（2，+2）的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生， 学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导 试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生； 中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生
10、制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月 薪低于 的获赠两次随机话费，月薪不低于 的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞 Z 及对应的概率分别为： 赠送话费 Z （单位： 元） 60 120 180 概率 则李阳预期获得的话费为多少元？ 附：，其中，na+b+c+d 22 （12 分）已知函数（e 为自然对数的底数） （1）求函数 f（x）的值域； （2）若不等式 f（x）k（x1） （1sinx）对任意恒成立，求实数 k 的 取值范围； （3）证明： 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年湖南省湘东六校高二（下）期末数学试卷（理科）学年湖南省湘东六校高二（下）期末数学试卷（理科） 参考
11、答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 5 分，共分，共 60 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的）分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1 （5 分）已知集合 Ax|lnx0，Bx|x1，则（ ） AAB BABR CBA DAB 【分析】可求出集合 A，然后进行并集的运算即可 【解答】解：Ax|x1； ABR 故选：B 【点评】考查描述法的定义，以及对数函数的单调性，并集、交集的运算 2 （5 分）i 为虚数单位，若复数（1+mi） （1+i）是纯虚数，则实数 m（ ） A1 B0 C1 D0 或 1 【分析】直接利用复数代数形式的乘
12、除运算化简得答案 【解答】解：（1+mi） （1+i）（1m）+（1+m）i 是纯虚数， ，即 m1 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （5 分） “m2”是“表示双曲线”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用双曲线的定义和标准方程形式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行 判断即可 【解答】解：若：方程表示双曲线时，解得：m2 或 m0， 故“表示双曲线”推不出“m2” 第 6 页（共 21 页） 若： “m2”则： “中，2m0；表示焦点在 x 轴的双曲线； 故： “m2”能推出“
13、表示双曲线” ； 所以“m2”是“表示双曲线”的：充分不必要条件 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线的定义和标准方程形式，充分条件和必要条件的判断，根 据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键 4 （5 分）电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到 6 组数据（x1，y1） ， （x2， y2） ， （x3，y3） ， （x4，y4） ， （x5，y5） ， （x6，y6） 根据收集到的数据可知，由最小二 乘法求得回归直线方程为，则 y1+y2+y3+y4+y5+y6（ ） A50.5 B45.5 C100.2 D109.2 【分析】由题意 ，代入到回归直线方程 ，即可求 y1+y2
14、+y3+y4+y5+y6的值 【解答】解：由表中数据：知， 回归直线方程为， 1.310+5.218.2， 则 y1+y2+y3+y4+y5+y618.26109.2 故选：D 【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题 5 （5 分）已知向量 （4，2） ， （1，2） ，则 在 方向上的投影为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】求出 ，然后利用向量的数量积转化求解即可 【解答】解： （ ）（3，4） ， 在 方向上的投影为， 故选：C 【点评】本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查 6 （5 分）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，它在世界数学史上
15、 具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家 第 7 页（共 21 页） 们定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活 都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将 1 到 2019 这 2019 个整数中能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列， 构成 数列an，那么此数列的项数为（ ） A58 B59 C60 D61 【分析】由数能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被 35 整除余 2 的数，运用等差数列 通项公式，以及解不等式即可得到所求项数 【解答】解：由
16、数能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被 35 整除余 2 的数， 故 an2+（n1）3535n33 由 an35n332019 得 n58+，nN+， 故此数列的项数为：58 故选：A 【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考 查运算能力，属于基本知识的考查 7 （5 分）已知 f（x）2xsinx，x（3，3） ，若 f（1m）+f（1m2）0，则 m 的值 为（ ） A1 B2 C1 D2 或 1 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为奇函数且在区间（3，3）上为增函数，进而分 析可得 m211m，解可得 m 的值，验证即可得答案 【解
17、答】解：根据题意，f（x）2xsinx，x（3，3） ，有 f（x）2x+sinx （2xsinx）f（x） ，则 f（x）为奇函数， 又由 f（x）2cosx，有 f（x）0，则 f（x）在区间（3，3）上为增函数， 若 f（1m）+f（1m2）0，则 f（1m）f（1m2）f（m21） ， 则有 m211m，解得 m2 或 1， 当 m2，1m（3，3） ，舍去； 故 m1， 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数分（x）的奇偶性 第 8 页（共 21 页） 与单调性 8 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出四个命题： 若 m
18、，n，nm，则 ；若 m，m，则 ； 若 m，n，mn，则 ；若 m，n，mn，则 其中正确命题的个数有（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用平面与平面垂直与平行的判断定理，判断选项的正误即可 【解答】解：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况， 不正确； 垂直于同一条直线的两个平面平行，正确； 当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正 确； 当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确 故选：B 【点评】本题考查平面与平面平行与垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻 辑推理能力 9 （5 分）小球 A 在右
19、图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出， 则一次投放小球，从“出口 3”落出的概率为（ ） A B C D 【分析】我们把从 A 到 3 的路线图单独画出来：分析可得从 A 到 3 总共有 4 个岔口，每 一岔口走法的概率都是 ，而从 A 到 3 总共有 C426 种走法，计算可得答案 【解答】解：我们把从 A 到 3 的路线图单独画出来： 第 9 页（共 21 页） 分析可得，从 A 到 3 总共有 C426 种走法，每一种走法的概率都是 ， 珠子从出口 3 出来是 故选：D 【点评】 本题是二项分布的一个模型， 下面第 n 层第 i 个出口对应的概率是 ， i1，2，n
20、 10 （5 分）已知过点 A（a，0）作曲线 C：yxex的切线有且仅有 1 条，则实数 a 的取值 是（ ） A0 B4 C0 或4 D0 或 4 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程有两个相等的解， 推出结果即可 【解答】解：设切点为，y（x+1）ex， 则切线方程为：，切线过点 A（a，0）代入得： ， ，即方程有两个相等的解，则有a2+4a0a0 或 a 4 故选：C 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力 11 （5 分）设 F2是双曲线的右焦点，O 为坐标原点，过 F2 的直线交双曲线的右支于点 P，N，直线 PO 交双曲线 C 于另
21、一点 M，若|MF2|3|PF2|， 且MF2N60，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 B2 C D 第 10 页（共 21 页） 【分析】设双曲线的左焦点为 F1，则 MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得 MF1 a，在MF1F2中利用余弦定理得出 a，c 的关系即可求出离心率 【解答】解：设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线的对称性可知四边形 MF2PF1为平行四 边形 |MF1|PF2|，MF1PN 设|PF2|m，则|MF2|3m， 2a|MF2|MF1|2m，即|MF1|a，|MF2|3a MF2N60，F1MF260， 又|F1F2|2c， 在MF1F2中，由余弦定理可得
22、：4c2a2+9a22a3acos60， 即 4c27a2， 双曲线的离心率 e 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x），g（x）x23x14，若存在实数 x，使 得 g（m）f（x）18 成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A （4，7） B4，7 C （，4）（7，+） D （，47，+） 【分析】利用函数的公式判断导函数的符号，求出函数的最小值，转化列出不等式求解 即可 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：当 x0 时，f（x）|x+2|44，当且仅当 x2 时取“” 当 x0 时，所以函数 f（x）在区间（0，1）上
23、单 调递减， 在区间（1，+）上单调增，所以 f（x）f（1）0，综上知 f（x）4 因为存在实数 x，使得 g（m）f（x）18 成立，则 g（m）f（x）+184+1814， 所以 m23m1414，即 m23m280，解得 m7 或 m4，故实数 m 的取值范 围为（，47，+） 故选：D 【点评】本题考查函数与导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若的二项展开式的各项系数之和为 729，则该展开式中常数项的值为 160 【分析】令 x1，由题意可得：3n729，解得 n再利用二项式
24、定理的通项公式即可得 出 【解答】解：令 x1，由题意可得：3n729，解得 n6 展开式的通项公式为：Tr+12rC6rx6 2r， 令 62r0，解得 r3， 其展开式中常数项820160， 故答案为：160 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14 （5 分）已知不等式组，表示的平面区域的面积为 4，点 P（x，y）在所给平面 区域内，则 z2x+y 的最大值为 6 【分析】 先画出满足约束条件的平面区域， 利用平面区域的面积为4求出a2 然 后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 2x+y 中，求出 2x+y 的最大值 【解答】解：满足约束条件的平
25、面区域如图 第 12 页（共 21 页） 所以平面区域的面积 Sa2a4a2， 此时 A（2，2） ，B（2，2） 由图得当 z2x+y 过点 A（2，2）时，z2x+y 取最大值 6 故答案为 6 【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法” ，其步骤为：由约束条件画出 可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最 优解 15 （5 分）三棱锥 PABC 中，ABAC，PA平面 ABC，PA3，AB4，AC5，则三 棱锥 PABC 外接球的表面积为 50 【分析】由题意画出图形，把三棱锥放在长、宽、高为 3、4、5 的长方体中，求出长方 体的对角线长，进一步求得外接
26、球的半径，代入球的表面积公式求解 【解答】解：把三棱锥放在长、宽、高为 3、4、5 的长方体中， 三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径， 2R，R， 则三棱锥 PABC 外接球的表面积 S 故答案为：50 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法” ，是中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，0）是 R 上的偶函数，其图象关 于点 M（，0）对称，且在区间0，上是单调函数，则 或 2 【分析】根据正弦、余弦函数的奇偶性、对称性和单调性，进行求解即可 【解答】解：f（x）sin（x+）是 R 上
27、的偶函数，0， ， f（x）sin（x+）cosx； 又 f（x）图象关于点 M（，0）对称， f（）cos（）0， 即+k，kZ， 即 +k，kZ； 又 f（x）在区间0，上是单调函数， ，即， 解得 02； 当 k0 时， 当 k1 时，2， 的值为或 2 故答案为：或 2 【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，利用三角函数的单调性、 奇偶性和对称性是解题的关键 第 14 页（共 21 页） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且（a+
28、b+c） （a+bc）3ab （）求角 C 的值； （）若 c2，且ABC 为锐角三角形，求 a+b 的取值范围 【分析】 （）化简（a+b+c） （a+bc）3ab，利用余弦定理求得 C 的值； （）由正弦定理求出 a+b 的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出 A 的取值 范围，从而求出 a+b 的取值范围 【解答】解： （）ABC 中， （a+b+c） （a+bc）3ab， a2+b2c2ab， 由余弦定理得，cosC； 又C（0，） ， C； （）由 c2，C，根据正弦定理得， ， a+b（sinA+sinB） sinA+sin（A） 2sinA+2cosA 4sin（A+） ；
29、 又ABC 为锐角三角形， ， 解得A； A+， 24sin（A+）4， 综上，a+b 的取值范围是（2，4 第 15 页（共 21 页） 【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PBBC，PD CD，且 PA2，E 为 PD 中点 （1）求证：PA平面 ABCD； （2）求二面角 ABEC 的正弦值 【分析】 （1）推导出 BCAB，BCPB，从而 BC平面 PAB，进而 BCPA求出 CD PA，由此能证明 PA平面 ABCD （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为
30、 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 ABEC 的正弦值 【解答】证明： （1）底面 ABCD 为正方形，BCAB， 又 BCPB，ABPBB， BC平面 PAB，BCPA 同理 CDPA，BCCDC， PA平面 ABCD 解： （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，C（2，2，0） ，E（0，1，1） ，B（2，0，0） ， 设 （x，y，z）为平面 ABE 的一个法向量， 又（0，1，1） ，（2，0，0） ， 则，令 y1，得 （0，1，1） 设平面 BCE 的法
31、向量 （x，y，z） ， （0，2，0） ，（2，1，1） ， 第 16 页（共 21 页） 则，取 x1，得 （1，0，2） ， cos， 二面角 ABEC 的正弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转 化思想、数形结合思想，是中档题 19 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，anSn1+1（n2） （）求数列an的通项公式； （）设，求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （）由 anSn1+1（n2）可得 an+1Sn+1，两式相减可得 an+1an
32、an，即 an+12an（n2） ，说明数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求出通项公式； （）由（）可得，化简通项公式，利用裂项消项法 求解数列的和即可 【解答】解： （）由 anSn1+1（n2）可得 an+1Sn+1， 上述两式相减可得 an+1anan，即 an+12an（n2） ， 因为 a11，所以 a2S1+12，所以，所以， 所以数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 第 17 页（共 21 页） （）由（）可得， 所以， 所以 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算 能力 20 （12 分）已知点 F（1，0） ，直
33、线 l：x1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线的垂线， 垂足为 Q，且 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点（1，0）的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，当|FA|3|FB|时，求直线 l 的方程 【分析】 （1）设出动点 P 的坐标；结合即可得到轨迹 C 的方程 （2）过点（1，0）的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，联立方程组，利用韦达定理，转 化求解 k 求直线 l 的方程 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，则 Q（1，y） ， （x+1，0） （2，y）（x1，y） （2，y） ， 即 2（x+1）2（x1）+y2，即 y24x， 所以动点 P 的轨迹的方程
34、 y24x （2）易知直线 l 斜率必存在，设 l：yk（x+1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， |FA|3|FB|x1+13（x2+1） ， 联立得 k2（x+1）24x 即 k2x2+（2k24）x+k20， 由1616k20 得 k21，且，x1x21， 由得，即直线 【点评】本题可 V 字形与抛物线的位置关系的综合应用，向量的数量积的应用，考查转 化思想以及计算能力 21 （12 分）在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学 2018 年已就业的 A、B 两个专业 的大学本科毕业生中随机抽取了 200 人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的 第 18 页（共 21
35、页） 月薪收入在 3000 元到 9000 元之间，具体统计数据如表： 月薪（百 万） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 人数 20 36 44 50 40 10 将月薪不低于 7000 元的毕业生视为“高薪收入群体” ，并将样本的频率视为总体的概率， 巳知该校 2018 届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为 3500 元 （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 22 列联表，并通过计算判断，是否能 在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关？ 非高薪收入群体 高薪收入群体 合计 A 专业 B
36、专业 20 110 合计 （2）经统计发现，该大学 2018 届的大学本科毕业生月薪 X（单位：百元）近似地服从 正态分布 N（，196） ，其中 近似为样本平均数 （每组数据取区间的中点值） 若 X 落在区间（2，+2）的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生， 学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导 试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生； 中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月 薪低于 的获赠两次随机话费，月薪不低于 的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞 Z 及对应的概率分别为： 赠送话费 Z （单位： 元） 60
37、 120 180 概率 则李阳预期获得的话费为多少元？ 附：，其中，na+b+c+d 【分析】 （1）根据题意填写列联表，计算 K2，对照数表得出结论； （2）列月薪频率分布表，计算样本中的平均数 ，由 XN（，196）求出14， 计算 2的值，比较得出结论； 由知李阳的工资低于 ，可获赠两次随机话费，得出获得话费 Z 的取值， 第 19 页（共 21 页） 计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望 【解答】解： （1）根据题意填写列联表如下， 非高薪收入群体 高薪收入群体 合计 A 专业 60 30 90 B 专业 90 20 110 合计 150 50 200 计算 K26.0615.0
38、24， 所以能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关； （2）月薪频率分布表如下表； 月薪（百 万） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 人数 20 36 44 50 40 10 频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05 将样本中的频率视为总体的概率，该大学 2018 届的大学本科毕业生平均工资为 350.1+450.18+550.22+650.25+750.2+850.0559.2， 又月薪 XN（，196） ，2196，解得14， 259.22831.2， 2018 届大学本科毕业生李
39、阳的月薪为 3500 元35 百元231.2 百元， 李阳不属于“就业不理想”的学生； 由知 59.2 百元5920 元，所以李阳的工资为 3500 元，低于 ，可获赠两次随机 话费， 则所获得的话费 Z 的取值分别为 120、180、240、300 和 360； 计算 P（Z120），P（Z180）， P（Z240）+，P（Z300）， P（Z360）； 所以 Z 的分布列为： Z 120 180 240 300 360 第 20 页（共 21 页） P 则李阳预期获赠的话费为 E（Z）120+180+240+300+360200 （元） 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了概率
40、与离散型随机变量的分布列 学期望的计算问题，是中档题 22 （12 分）已知函数（e 为自然对数的底数） （1）求函数 f（x）的值域； （2）若不等式 f（x）k（x1） （1sinx）对任意恒成立，求实数 k 的 取值范围； （3）证明： 【分析】 （1）利用导数求函数的值域即可； （2）恒成立问题转化为最值即可； （3）构造 函数可解决此问题 【解答】 解：（1） f （x） exex（sinx+cosx） ex（1sinxcosx） ， ， ，所以 f（x）0， 故函数 f（x）在上单调递减，函数 f（x）的最大值为 f（0）e0e0sin01； f（x）的最小值为， 所以函数 f（x
41、）的值域为0，1 （2）原不等式可化为 ex（1sinx）k（x1） （1sinx）（*） ， 因为 1sinx0 恒成立，故（*）式可化为 exk（x1） 令 g（x）exkx+k，则 g（x）exk 当 k0 时，g（x）exk0，所以函数 g（x）在上单调递增，故 g（x） g（0）1+k0，所以1k0； 当 k0 时，令 g（x）exk0，得 xlnk，且当 x（0，lnk）时，g（x）exk0； 第 21 页（共 21 页） 当 x（lnk，+）时，g（x）exk0 所以当，即时，函数 g（x）ming（lnk）2kklnkk（2lnk） 0，成立； 当， 即时 ， 函 数g （ x ） 在上 单 调 递 减 ， ，解得 综上， （3）令，则 由， 故存在， 使得 h （x0） 0 即且当 x（，x0）时，h（x）0；当 x（x0，+）时，h （x）0故当 xx0时，函数 h（x）有极小值，且是唯一的极小值，故函数 ，因为 ，所以， 故， 【点评】本题考查函数的值域的求法，恒成立问题和存在性问题与函数最值的转化
