1、2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合 U1，2，3，4，5，A2，4，B1，2，3，则图中阴影部分所表 示的集合是（ ） A4 B2，4 C4，5 D1，3，4 2 （5 分）已知双曲线 C 与椭圆 E：1 有共同的焦点，它们的离心率之和为， 则双曲线 C 的标准方程为（ ） A1 B1 C1 D1 3 （5 分）在复平面内，与复数对应的点位于（ ） A第
2、一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4 （5 分）已知点 F 为抛物线 C：y24x 的焦点若过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两 点，交该抛物线的准线于点 P，且1，2，则 1+2（ ） A2 B1 C0 D 5 （5 分）已知（1+ax） （1+x）5的展开式中 x2的系数为 5，则 a（ ） A4 B3 C2 D1 6 （5 分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”其中的“筹”原意是指孙子 算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上 进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表示一个多位数时，像阿拉伯 计数一样，把
3、各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位， 百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 6613 用算 第 2 页（共 26 页） 筹表示就是，则用算筹可表示为（ ） A B C D 7 （5 分）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把 图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，则所得的图象的解析式为（ ） A B C D 8 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值 为（ ） 第 3 页（共 26 页） A B2 C D1 10 （5 分
4、）已知函数，若 f（x）只有一个极值点，则实数 k 的取值范 围是（ ） A （e，+） B （，e） C （，e D 11 （5 分）已知高为 H 的正三棱锥 PABC 的每个顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，若 二面角 PABC 的正切值为 4，则（ ） A B C D 12 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，若不等式（1a）x2+2xy+（42a） y20 恒成立，则实数 a 的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上）分把答案填在答题卡中的横线上） 13 （
5、5 分）已知向量，若，则 14 （5 分）设 a0.23，b30.2，clog0.32，则 a，b，c 的大小关系用“”连接为 15 （5 分）某细胞集团，每小时有 2 个死亡，余下的各个分裂成 2 个，经过 8 小时后该细 胞集团共有 772 个细胞，则最初有细胞 个 16 （5 分）如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命 题中正确的有 （写出全部正确命题的序号） 平面 ABC平面 ABD； 平面 ABD平面 BCD； 平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE； 平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE 第 4 页（共 2
6、6 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一） 必考题：必考题：60 分分 17 （12 分）已知在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 2sin2A+3cos（B+C） 0 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积 S，求 sinB+sinC 的值 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，APD 90，且 ADPB （l）求证：平面 PAD平面 ABCD； （2）若 ADPB，求二面角
7、DPBC 的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 E：（ab0）的离心率 e，过椭圆的上顶点 A 和 右顶点 B 的直线与原点 O 的距离为， （1）求椭圆 E 的方程； （2）是否存在直线 l 经过椭圆左焦点与椭圆 E 交于 M，N 两点，使得以线段 MN 为直径 的圆恰好经过坐标原点 O？若存在，求出直线 l 方程；若不存在，请说明理由 20 （12 分）已知函数 （1）若 g（x）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 8x2y30，求 a，b 的值； （2）若 ba+1，x1，x2是函数 g（x）的两个极值点，试比较4 与 g（x1）+g（x2）的 大小 第 5 页（共 26 页） 21
8、（12 分）某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率 低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产如果年库存积压率高于千 分之一，则说明需要调整生产计划现公司 20132018 年的某款饮料生产，年销售利润 及年库存积压相关数据如表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产件数 x（千万件） 3 5 6 8 9 11 年销售利润 y（千万元） 22 40 48 68 82 100 年库存积压件数（千件） 29 58 30 90 75 80 注： （1）从公司 20132018 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款
9、饮料这 2 年中至 少有 1 年畅销的概率 （2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为 9.90x9.30 现公司计划 2019 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2019 年可获利 108 千万元但销售 部门发现，若用预计的 2019 年的数据与 20132018 年中畅销年份的数据重新建立回归 方程，再通过两个线性回归方程计算出来的 2019 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该 款饮料的年库存积压率可低于千分之一如果你是决策者，你认为 2019 年的生产和销售 计划是否需要调整？请说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、
10、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程是（ 为参数） ， 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1 （）分别写出 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程； （）若射线 l 的极坐标方程 （0） ，且 l 分别交曲线 C1、C2于 A、B 两点，求 |AB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x|+|x6| （）求不等式 f（x）10
11、 的解集； 第 6 页（共 26 页） （） 记 f （x） 的最小值为 m， 若正实数 a， b， c 满足 a+b+cm， 求证： 第 7 页（共 26 页） 2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二（下）期末数学试卷（理科）学年湖南省衡阳八中高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合 U1，2，3，4，5，A2，4，B1，2，3，则
12、图中阴影部分所表 示的集合是（ ） A4 B2，4 C4，5 D1，3，4 【分析】图中阴影部分所表示了在集合 A 中但不在集合 B 中的元素构成的集合 【解答】解：图中阴影部分所表示了在集合 A 中但不在集合 B 中的元素构成的集合， 故图中阴影部分所表示的集合是4， 故选：A 【点评】本题考查了集合的图示运算，属于基础题 2 （5 分）已知双曲线 C 与椭圆 E：1 有共同的焦点，它们的离心率之和为， 则双曲线 C 的标准方程为（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双 曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件
13、求得双曲线的虚半轴长得 答案 【解答】解：由椭圆+1，得 a225，b29， 则 c2a2b216， 双曲线与椭圆的焦点坐标为 F1（0，4） ，F2（0，4） ， 第 8 页（共 26 页） 椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为 设双曲线的实半轴长为 m，则，得 m2， 则虚半轴长 n， 双曲线的方程是 故选：C 【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题 3 （5 分）在复平面内，与复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据两个复数代数形式的除法法则，虚数单位 i 的幂运算性质，把复数化为 ，它在复平面内对应的点的坐标为
14、（，） ，由此得出结论 【解答】解：复数，复数在复平面内对应的点的坐 标为（，） ， 故选：D 【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系， 属于基础题 4 （5 分）已知点 F 为抛物线 C：y24x 的焦点若过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两 点，交该抛物线的准线于点 P，且1，2，则 1+2（ ） A2 B1 C0 D 【分析】 分别过A， B 向准线作垂线， 垂足分别为A， B， 故PA1AA， PB2BB， 从而得出 1+2的值 【解答】解：分别过 A，B 向准线作垂线，垂足分别为 A，B， 由抛物线定义可知 AAAF，BBBF， 不妨
15、设 A 在 P，F 之间，1，2， 10，20，且 PA1AA，PB2BB， 1，2， 第 9 页（共 26 页） 1+20 故选：C 【点评】本题考查了抛物线的简单性质，属于中档题 5 （5 分）已知（1+ax） （1+x）5的展开式中 x2的系数为 5，则 a（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中 x2的系数为+a5，由 此解得 a 的值 【解答】解：已知（1+ax） （1+x）5（1+ax） （1+x+x2+x3+x4+x5） 展开式中 x2的系数为+a5，解得 a1， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求
16、展开式中某项 的系数，属于中档题 6 （5 分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”其中的“筹”原意是指孙子 算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上 进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表示一个多位数时，像阿拉伯 计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位， 百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 6613 用算 筹表示就是，则用算筹可表示为（ ） 第 10 页（共 26 页） A B C D 【分析】由8771，利用算筹能求出结果 【解答】解：8771， 用算筹可表示为
17、故选：C 【点评】本题考查算筹的表示，考查简单的合情推理等基本性质，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 7 （5 分）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把 图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，则所得的图象的解析式为（ ） A B C D 【分析】利用函数左加右减的原则，求出平移后的函数解析式，然后通过伸缩变换求出 函数的解析式即可 【解答】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到函数， 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到函数 故选：B 【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩 第 11 页（共 26 页）
18、 时，初相不变化，考查计算能力 8 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】判断 f（x）的奇偶性，及 f（x）的函数值的符号即可得出答案 【解答】解：f（x）f（x） ， f（x）是奇函数， 故 f（x）的图象关于原点对称， 当 x0 时，f（x）， 当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0， 故选：A 【点评】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判 断，属于中档题 9 （5 分）某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值 为（ ） A B2 C D1 【分析】判断几何体的形状，然后求解几何体的
19、体积，判断选项即可 【解答】解：几何体可能是圆锥，底面半径为，高为 3， 第 12 页（共 26 页） 几何体的体积为：3， 几何体如果是正四棱锥，底面是正方形边长为 1，高为 3，几何体的体积为： ； 几何体如果是三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为 1，三角形的高为 1，三棱锥的高为 3， 几何体的体积为：113 几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积的最小值为： 故选：C 【点评】本题考查简单几何体的三视图，求解几何体的体积，考查空间想象能力，是中 档题 10 （5 分）已知函数，若 f（x）只有一个极值点，则实数 k 的取值范 围是（ ） A （e，+） B （
20、，e） C （，e D 【分析】求出函数的导数，令 f（x）0，解得 x1，或 k，令 g（x），根 据函数的单调性求出 k 的范围即可 【解答】解：函数 f（x）k（xlnx）（kR） ， f（x），x（0，+） ； 令 f（x）0，解得 x1，或 k， 令 g（x），可得 g（x）； 可得 x1 时函数 g（x）取得极小值，g（1）e； 可得 ke 时，令 f（x）0， 解得 x1，此时函数 f（x）只有一个极值点 1； ke 时，此时函数 f（x）也只有一个极值点 1，满足题意； ke 时不满足条件，舍去； 第 13 页（共 26 页） 综上所述：实数 k 的取值范围是（，e 故选：C
21、【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是综合题 11 （5 分）已知高为 H 的正三棱锥 PABC 的每个顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，若 二面角 PABC 的正切值为 4，则（ ） A B C D 【分析】设棱锥底面边长为 a，由已知把 a 用含有 H 的代数式表示，再由球的性质利用 勾股定理求得 【解答】解：设 P 在底面 ABC 的射影为 E，D 为 AB 的中点，连结 PD， 设正三角形 ABC 的边长为 a， 则 CDa，EDa，ECa， 由二面角 PABC 的正切值为 4，得4， 解得 aHEC， OPOCR，OEHR， OC2OE2+CE2， R2（HR
22、）2+（）2， 解得 故选：D 【点评】本题考查正三棱柱外接球半径与高的比值的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 第 14 页（共 26 页） 12 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，若不等式（1a）x2+2xy+（42a） y20 恒成立，则实数 a 的最大值为（ ） A B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用不等式恒成立转化为最值问题，利用斜率 的几何意义以及对勾函数的性质进行转化求解即可 【解答】解：作出不等式组表示的可行域， 由，求得 A（2，3） ， 可得表示原点与（x，y）的斜率， 即有1， 由不等式（1a）x
23、2+2xy+（42a）y20 恒成立， 可得 a的最小值， 由 f（x，y） 2+， 可设 t21，即， 可得 f（x，y）2+， 由1，可得 t1，2， 则 t+在1，）递减，在（，2递增， 又 t1 时，t+在1，2取得最大值 4， 第 15 页（共 26 页） 则 f（x，y）的最小值为 2+， 可得 a 的最大值为， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及不等式恒成立， 利用参数分离法转化求求函数的最值是解决本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上）分把答案
24、填在答题卡中的横线上） 13 （5 分）已知向量，若，则 【分析】可求出，根据即可得 出（+2）2（2）2+4，解出 即可 【解答】解：； ； ； （+2）2（2）2+4； 解得 故答案为： 【点评】考查向量坐标的加法和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法 14 （5 分）设 a0.23，b30.2，clog0.32，则 a，b，c 的大小关系用“”连接为 ca b 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【解答】解：0a0.230.201， 第 16 页（共 26 页） b30.2301， clog0.32log0.310， 则 a，b，c 的大小关系用“”连接为 cab 故答
25、案为：cab 【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 15 （5 分）某细胞集团，每小时有 2 个死亡，余下的各个分裂成 2 个，经过 8 小时后该细 胞集团共有 772 个细胞，则最初有细胞 7 个 【分析】设原来有 a 个细胞，n 小时后细胞数为 an，则 an+12an4，所以， 即an是以 2a4 为首项，以 2 为公比的等比数列，求解即可 【解答】解：依题意，设 n 小时后细胞数为 an，则 an+12an4，所以，即 an是以 2a4 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以 7724（2a4）28 1，解得 a7
26、， 故填：7 【点评】本题考查了等比数列的定义，等比数列的通项公式，构造等比数列，属于中档 题 16 （5 分）如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命 题中正确的有 （写出全部正确命题的序号） 平面 ABC平面 ABD； 平面 ABD平面 BCD； 平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE； 平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE 【分析】证明平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE，即可得出结论 【解答】解：因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC， 第 17 页（共 26 页） 同理有 DE
27、AC，于是 AC平面 BDE因为 AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC平面 BDE 又由于 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE， 故答案为 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一） 必考题：必考题：60 分分 17 （12 分）已知在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 2sin2A+3cos（B+C） 0 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的
28、面积 S，求 sinB+sinC 的值 【分析】 （1）由题意可得 cosA 的方程，解得 cosA，A； （2） 由三角形的面积公式可得b和c的值， 由余弦定理可得a， 整体代入sinB+sinC （b+c） ，计算可得 【解答】解： （1）在ABC 中 2sin2A+3cos（B+C）0， 2（1cos2A）3cosA0，解得 cosA，或 cosA2（舍去） ， 0A，角 A； （2）ABC 的面积 SbcsinAbc5，bc20， 再由 c4 可得 b5，故 b+c9，由余弦定理可得： a2b2+c22bccosA（b+c）23bc21，a， sinB+sinC+（b+c）9 【点评】
29、本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和整体代入的思想，属 中档题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，APD 90，且 ADPB （l）求证：平面 PAD平面 ABCD； （2）若 ADPB，求二面角 DPBC 的余弦值 第 18 页（共 26 页） 【分析】 （1）取 AD 中点 O，连结 OP，OB，BD，推导出 OBAD，OPOB，从而 OB 平面 PAD，由此能证明平面 PAD平面 ABCD （2）法 1：推导出 AD平面 POBPOADPOOB，ADOB，以 O 为坐标原点， 分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x 轴，
30、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能 求出二面角 DPBC 的余弦值 法 2：推导出 AD平面 POB从而 POAD，过点 D 作 DHPB，H 为垂足，过点 H 作 HGBC，交 PC 于点 G，连接 DG，则DHG 为二面角 DPBC 的平面角，由此 能求出二面角 DPBC 的余弦值 【解答】证明： （1）取 AD 中点 O，连结 OP，OB，BD， 因为底面 ABCD 为菱形，BAD60， 所以 ADABBD 因为 O 为 AD 的中点， 所以 OBAD（1 分） 在APD 中，APD90，O 为 AD 的中点， 所以 设 ADPB2a，则，POOAa， 因为 PO2+OB2a
31、2+3a24a2PB2，所以 OPOB （2 分） 因为 OPADO，OP平面 PAD，AD平面 PAD， 所以OB平面 PAD（3 分） 因为OB平面ABCD，所以平面PAD平面 ABCD（4 分） 解： （2）解法 1：因为 ADPB，ADOB，OBPBB， PB平面 POB，OB平面 POB，所以 AD平面 POB所以 POAD 第 19 页（共 26 页） 由（1）得 POOB，ADOB， 所以 OA，OB，OP 所在的直线两两互相垂直（5 分） 以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系（6 分） 设 AD2， 则
32、A （1， 0， 0） ， D （1， 0， 0） ， B （0， 0） ， P （0， 0， 1） ， （7 分） 所以 （1 ，0，1 ） ，（ 0， 1） ， （2， 0， 0） ，（8 分） 设平面 PBD 的法向量为 （x，y，z） ， 则，令y1，得（ ） （9 分） 设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ， 则，令y1，则（0，1， ） （10 分） 设二面角 DPBC 为 ，由于 为锐角， 所以cos|cos| ，（11 分） 所以二面角DPBC的余弦值为 （12 分） 解法 2：因为 ADPB，ADOB，OBPBB，PB平面 POB，OB平面 POB， 所以 AD平面
33、POB所以 POAD（5 分） 所以 POa，PD 过点 D 作 DHPB，H 为垂足，过点 H 作 HGBC，交 PC 于点 G，连接 DG，（6 分） 第 20 页（共 26 页） 因为 ADPB，BCAD，所以 BCPB，即 HGPB 所以DHG 为二面角 DPBC 的平面角（7 分） 在等腰BDP 中，BDBP2a，PD， 根据等面积法可以求得DH a（8 分） 进而可以求得PHa，所以HG，PG （9 分） 在PDC 中，PD，DC2a，PC2a， 所以 cosDPC 在PDG 中，PD，PGa，cosDPC， 所以 DG2PD2+PG22PDPGcosDPGa2， 即 DGa （1
34、0 分） 在DHG 中，DH，HG，DGa， 所以cosDHG ，（11 分） 所以二面角DPBC的余弦值为 （12 分） 第 21 页（共 26 页） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角和余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）已知椭圆 E：（ab0）的离心率 e，过椭圆的上顶点 A 和 右顶点 B 的直线与原点 O 的距离为， （1）求椭圆 E 的方程； （2）是否存在直线 l 经过椭圆左焦点与椭圆 E 交于 M，N 两点，使得以线段 MN 为直径 的圆恰好经过坐标原点 O？若存在，求出直线 l 方程；若不存在
35、，请说明理由 【分析】 （1）根据椭圆的离心率以及点到直线的距离公式建立方程关系进行求解即可 （2）联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程根与系数之间的关系，利用设而不求思 想进行转化求解即可 【解答】解： （1）由已知得，e， 因为过椭圆的上顶点 A 和右顶点 B 的直线+1 与原点的距离为， 所以，解得 a2，b1，c， 故所求椭圆 E 的方程：+y21 （5 分） （2）椭圆 E 左焦点（，0） ， 第 22 页（共 26 页） 当直线 l 斜率不存在时，直线 l 与椭圆 E 交于（，） （，）两点，显 然不存在满足条件的直线 当直线 l 斜率存在时，设直线 l：ykx+k 代入+y21
36、，消 y 得， （1+4k2） x2+8k2x+12k240， 由于直线 l 经过椭圆 E 左焦点，所以直线 l 必定与椭圆 E 有两个交点， 则0 恒成立 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x2，x1x2， 若以 MN 为直径的圆过 O 点，则0，即 x1x2+y1y20 （*） 而 y1y2（kx1+k） （kx2+k）k2x1x2+k2（x1+x2）+3k2，代入（*）式得， （1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+3k20， 即（1+k2） k2+3k20，解得 k2， 即 k或 k 所以存在 k或 k使得以线段 MN 为直径的圆过原点 O 故所求的直线方程为 2
37、xy+20，或 2x+y+20（12 分） 【点评】本题主要考查直线和椭圆位置关系的应用，利用设而不求思想转化为一元二次 方程是解决本题的关键考查学生的综合运算能力 20 （12 分）已知函数 （1）若 g（x）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 8x2y30，求 a，b 的值； （2）若 ba+1，x1，x2是函数 g（x）的两个极值点，试比较4 与 g（x1）+g（x2）的 大小 【分析】 （1）求出函数的导数，得到关于 a，b 的方程组，解出即可； （2） 求出 a4， 且 x1+x2a， x1x2a， 令， 则 f （x） lnx+1 x1lnxx，根据函数的单调性判断即可 【解答】
38、 （1）根据题意可求得切点，由题意可得， 第 23 页（共 26 页） ，即，解得 a1，b1（3 分） （2）证明：ba+1，则 根据题意可得 x2ax+a0 在（0，+）上有两个不同的根 x1，x2 即，解得 a4，且 x1+x2a，x1x2a（5 分） （6 分） 令，则 f（x）lnx+1x1lnxx， 令 h（x）lnxx，则当 x4 时， h（x）在（4，+）上为减函数，即 h（x）h（4）ln440，f（x）0， f（x）在（4，+）上为减函数，即 f（x）f（4）8lnx12， g（x1）+g（x2）8ln212，（10 分） 又， ，即， g（x1）+g（x2）4（12 分）
39、 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以 及代数式的大小比较，是一道综合题 21 （12 分）某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率 低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产如果年库存积压率高于千 分之一，则说明需要调整生产计划现公司 20132018 年的某款饮料生产，年销售利润 及年库存积压相关数据如表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产件数 x（千万件） 3 5 6 8 9 11 年销售利润 y（千万元） 22 40 48 68 82 100 第 24 页（共 26
40、 页） 年库存积压件数（千件） 29 58 30 90 75 80 注： （1）从公司 20132018 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款饮料这 2 年中至 少有 1 年畅销的概率 （2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为 9.90x9.30 现公司计划 2019 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2019 年可获利 108 千万元但销售 部门发现，若用预计的 2019 年的数据与 20132018 年中畅销年份的数据重新建立回归 方程，再通过两个线性回归方程计算出来的 2019 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该 款饮料的年库存积压率可低于千分之一如
41、果你是决策者，你认为 2019 年的生产和销售 计划是否需要调整？请说明理由 【分析】 （1）计算每年的库存积压率，得出畅销的年份，根据组合数公式计算概率； （2）重新求出回归方程，计算两次 2019 年的预测值得出结论 【解答】 解： （1） 20132018 年的年库存积压率分别为， ， 故这 6 年中，有 4 年畅销，有 2 年不畅销 于是从这 6 年中任意选取 2 年的数据，该款饮料在这 2 年中至少有 1 年畅销的概率为： （2）2019 年数据与 2013，1015，2017，2018 年数据重组如下： 年份 2013 2015 2017 2018 2019 年生产件数x （千万件
42、） 3 6 9 11 11 年销售利润y （千万元） 22 48 82 100 108 （3+6+9+11+11）8， （22+48+82+100+108）72， xiyi3380，xi2368， 第 25 页（共 26 页） 10.42， 7210.42811.36 回归方程为： 10.42x11.36 把 x11 代入上式可得 10.421111.36103.26， 把 x11 代入 9.90x9.30 可得 9.90119.3099.6 103.2699.63.664， 故 2019 年的生产和销售计划不需要调整 【点评】本题考查了线性回归方程的求解，数值估算，概率计算，属于中档题 （二
43、）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则题中任选一题作答，如果多做，则按所做的按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程是（ 为参数） ， 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1 （）分别写出 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程； （）若射线 l 的极坐标方程 （0） ，且 l 分别交曲线 C1、C2于 A、B 两点，求 |AB| 【分析】 （） 将 C1的参数方程化为普
44、通方程为（x1）2+y23，即 x2+y22x20， 利用互化公式可得：C1的极坐标方程同理利用互化公式将 C2的极坐标方程 1 化为 直角坐标方程 （）将（0） ，代入 C1：22cos20整理得 220，解得：1， 可得|OA|1 把射线 （0）代入 C2的方程， 解得 21， 即|OB|2 可得|BA| |12| 【解答】解： （） 将 C1的参数方程化为普通方程为（x1）2+y23，即 x2+y22x2 0， C1的极坐标方程为 22cos20 将 C2的极坐标方程 1 化为直角坐标方程为 x2+y21 （）将（0） ，代入 C1：22cos20整理得 220， 第 26 页（共 26 页） 解得：12，即|OA|2 曲线 C2是圆心在原点，半径为 1 的圆， 射线 （0）与 C2相交，则 21，即|OB|1 故|BA|12|21
