1、2018-2019 学年湖南省湘潭市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）命题“若 x1，则 2x11”的逆命题为（ ） A若 x1，则 2x11 B若 2x11，则 x1 C若 x1，则 2x11 D若 2x11，则 x1 2 （5 分）设函数 f（x）ax3+1，若 f（1）3，则 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D4 3 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标是（ ） A （0
2、，2） B （0，1） C （2，0） D （1，0） 4 （5 分）在等差数列an中，已知 a2+a618，则 a4（ ） A9 B8 C81 D63 5 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若 a3，b4，C60， 则 c（ ） A5 B11 C D 6 （5 分）已知 x0则+x 的最小值为（ ） A6 B5 C4 D3 7 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若 sinA，a10，c20， 则锐角 C 的大小是（ ） A60 B30 C75 D45 8 （5 分）已知等比数列an的公比为 q，a44，a7，则 q（ ） A
3、2 B2 C D 9 （5 分）已知 ab0，cd0，则下列结论一定成立的是（ ） Aa+cb+d Bacbd Cacbd Dcdab 10 （5 分）已知直线 l 过点（0，1） ，椭圆 C：1，则直线 l 与椭圆 C 的交点个 数为（ ） A1 B1 或 2 C2 D0 第 2 页（共 14 页） 11 （5 分）若不等式 4x2+ax+40 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A （16，0） B （16，0 C （，0） D （8，8） 12 （5 分）已知函数 f（x）x2sinx+ex，则满足 f（x2）+f（x）0 的 x 的取值 范围是（ ） A （，1） B （，1
4、） C （1，+） D （1，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）在数列an中，a11，an+2，则 a2 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件则 z2x+y 的最小值是 15 （5 分）函数 f（x）5x2lnx 的单调递减区间是 16 （5 分）已知 F1、F2分别是双曲线1 的左右焦点，P 是双曲线上任意一点， 的最小值为 8a，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知集合 Px|x24x+30） ，Qx|a3xa+3，若“xP”是“xQ” 的充分条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知 a，b，c 分别为锐角ABC 内角 A，B，C 的对边，2asinBb （1）求角 A； （2）若 b4，ABC 的面积是 5，求 a 的值 19 （12 分）已知数列an是公差为 1 的等差数列，其前 8 项的和 S836 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 20 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx 在 x1 处有极值 2 （1）求 a，b 的值；
6、 （2）求函数 f（x）在区间2，上的最大值 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，P 是 C 上一点，F1， 第 3 页（共 14 页） F2，是 C 的两个焦点，且|PF1|+|PF2|4 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 yx+n 交椭圆 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值 22 （12 分）设函数 f（x）（2x24mx）lnx，mR （1）当 m0 时，求曲线 yf（x）在点（e，f（e） ）处的切线方程； （2）若x1，+） ，f（x）+x2m0 恒成立，求 m 的取值范围 第 4 页（共 14 页） 2018-201
7、9 学年湖南省湘潭市高二（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省湘潭市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）命题“若 x1，则 2x11”的逆命题为（ ） A若 x1，则 2x11 B若 2x11，则 x1 C若 x1，则 2x11 D若 2x11，则 x1 【分析】根据命题“若 p，则 q”的逆命题为“若 q，则 p” ，写出即可
8、【解答】解：命题“若 x1，则 2x11” ， 它的逆命题为“若 2x11，则 x1” 故选：D 【点评】本题考查了命题与它的逆命题的应用问题，是基础题 2 （5 分）设函数 f（x）ax3+1，若 f（1）3，则 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D4 【分析】先求导，再代值计算即可 【解答】解：函数 f（x）ax3+1， f（x）3ax2， f（1）3， 3a3， 即 a1， 故选：B 【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题 3 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （0，1） C （2，0） D （1，0） 【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可
9、得答案 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点坐标是（1，0） ， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题 第 5 页（共 14 页） 4 （5 分）在等差数列an中，已知 a2+a618，则 a4（ ） A9 B8 C81 D63 【分析】根据等差数列的性质，利用若 m+mk+p 得 am+anap+aq进行计算即可 【解答】解：由等差数列的性质得若 a2+a62a4， a2+a618， 2a418， 得 a49， 故选：A 【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，根据若 m+mk+p 得 am+anap+aq的性 质是解决本题的关键 5 （5 分）已知
10、a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若 a3，b4，C60， 则 c（ ） A5 B11 C D 【分析】由已知利用余弦定理可求 c 的值 【解答】解：a3，b4，C60， 由余弦定理 c2a2+b22abcosC，可得：c232+42234cos6013 解得：c 故选：C 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 6 （5 分）已知 x0则+x 的最小值为（ ） A6 B5 C4 D3 【分析】直接利用基本不等式+x即可求 【解答】解：x0， 则+x6， 当且仅当 x即 x3 时取得最小值 6 故选：A 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于
11、基础试题 7 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若 sinA，a10，c20， 第 6 页（共 14 页） 则锐角 C 的大小是（ ） A60 B30 C75 D45 【分析】根据正弦定理建立方程关系进行求解即可 【解答】解：sinA，a10，c20， 由正弦定理得， 得 sinC， 则锐角 C30， 故选：B 【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键比较基础 8 （5 分）已知等比数列an的公比为 q，a44，a7，则 q（ ） A2 B2 C D 【分析】利用等比数列通项公式列出方程，能求出公比 【解答】解：等比数列an的公比为 q
12、，a44，a7， ， q 故选：C 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 9 （5 分）已知 ab0，cd0，则下列结论一定成立的是（ ） Aa+cb+d Bacbd Cacbd Dcdab 【分析】根据不等式的性质进行判断即可 【解答】解：若 ab0，cd0， ab0，cd0， 则 acbc0，即 B 成立， 故选：B 【点评】本题主要考查不等式的性质和关系，结合不等式同向可加性是解决本题的关键 第 7 页（共 14 页） 10 （5 分）已知直线 l 过点（0，1） ，椭圆 C：1，则直线 l 与椭圆 C 的交点个 数
13、为（ ） A1 B1 或 2 C2 D0 【分析】由点（0，1）在椭圆 C：1 的内部，可得直线与椭圆相交，则答案 可求 【解答】解：点（0，1）在椭圆 C：1 的内部， 而直线 l 过点（0，1） ， 直线与椭圆相交，交点个数为 2 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的判定，是基础题 11 （5 分）若不等式 4x2+ax+40 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A （16，0） B （16，0 C （，0） D （8，8） 【分析】根据一元二次不等式的解集为 R，0，列不等式求出 a 的取值范围 【解答】解：不等式 4x2+ax+40 的解集为 R
14、， a24440， 解得8a8， 实数 a 的取值范围是（8，8） 故选：D 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题 12 （5 分）已知函数 f（x）x2sinx+ex，则满足 f（x2）+f（x）0 的 x 的取值 范围是（ ） A （，1） B （，1） C （1，+） D （1，+） 【分析】根据函数的单调性和奇偶性得到关于得到 x 的不等式，解出即可 【解答】解：f（x）的定义域是 R， f（x）x+2sinx+ex（x2sinx+ex）f（x） ， 故 f（x）是奇函数， 第 8 页（共 14 页） 又 f（x）12cosx+ex+12+20， 故 f（x）在
15、R 递增， 若 f（x2）+f（x）0， 则 f（x2）f（x）f（x） ， 故 x2x，解得：x1， 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，是一道常规题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）在数列an中，a11，an+2，则 a2 3 【分析】直接利用数列的递推关系式和赋值法求出结果 【解答】解：在数列an中，a11，an+2， 当 n2 时，则3， 故答案为：3 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型 14 （5 分
16、）已知实数 x，y 满足约束条件则 z2x+y 的最小值是 10 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论 【解答】解：作出实数 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图： 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 A 时，直线的截距最小， 此时 z 最小， 由，解得 A（5，0） ，此时 z25+010， 故答案为：10 第 9 页（共 14 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 15 （5 分）函数 f（x）5x2lnx 的单调递减区间是 （0，） 【分析】求出函数的导数，解
17、关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+） ， f（x）5， 令 f（x）0，解得：0x， 故 f（x）在（0，）递减， 故答案为： （0，） 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题 16 （5 分）已知 F1、F2分别是双曲线1 的左右焦点，P 是双曲线上任意一点， 的最小值为 8a，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是 （1，3 【分析】由定义知：|PF1|PF2|2a，|PF1|2a+|PF2|，+4a+|PF2| 8a，当且仅当|PF2|，即|PF2|2a 时取得等号再由焦半径公式得双曲线的 离心率 e1 的取值范围
18、【解答】解：由定义知：|PF1|PF2|2a，|PF1|2a+|PF2|， 第 10 页（共 14 页） +4a+|PF2|8a， 当且仅当|PF2|，即|PF2|2a 时取得等号 设 P（x0，y0） （x0a） 由焦半径公式得：|PF2|ex0a2a，ex03a e3 又双曲线的离心率 e1 e（1，3 故答案为： （1，3 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运 用 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知集合 Px|x24x+30） ，Qx|
19、a3xa+3，若“xP”是“xQ” 的充分条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 求出 P 的等价条件， 结合充分条件和必要条件定义转化为 PQ， 进行求解即可 【解答】解：由 x24x+30 得（x1） （x3）0 得 1x3，即 P（1，3） ， 若“xP”是“xQ”的充分条件， 则 PQ， 即得，即 0a4， 即实数 a 的取值范围是0，4 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件转化为集 合关系是解决本题的关键 18 （12 分）已知 a，b，c 分别为锐角ABC 内角 A，B，C 的对边，2asinBb （1）求角 A； （2）若 b4，ABC
20、 的面积是 5，求 a 的值 【分析】 （1）根据正弦定理进行化简求解即可 （2）先根据面积公式求出 c 的值，结合余弦定理求出 a 的值即可 【解答】解： （1）由正弦定理得 2sinAsinBsinB， 第 11 页（共 14 页） 在三角形中，sinB0， 2sinA，sinA， 三角形是锐角三角形， A （2）若 b4，ABC 的面积是 5， 则 Sbcsin4c5， 得 c5， 则 a2b2+c22bccos16+2524521， 即 a 【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公 式进行求解是解决本题的关键 19 （12 分）已知数列an是公差为
21、1 的等差数列，其前 8 项的和 S836 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用等差数列的求和公式，解方程可得首项，即可得到所求通项公式； （2）求得，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和 【解答】解： （1）由题意可得公差 d1，S836， 即有 8a1+87136，解得 a11， 则 an1+n1n； （2）， 则前 n 项和 Tn1+ 1 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和， 化简整理的运算能力，属于基础题 20 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx 在 x1 处有极值 2 （1）
22、求 a，b 的值； 第 12 页（共 14 页） （2）求函数 f（x）在区间2，上的最大值 【分析】 （1）根据极值的定义得到关于 a，b 的方程组，求出 a，b 的值，从而求出 f（x） 的表达式； （2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最值即可 【解答】解： （1）函数 f（x）ax3+bx 在 x1 处取得极值 2， ，解得， （2）由（1）得：f（x）x3+3x， f（x3x2+33（x+1） （x1） ， 令 f（x）0，解得：1x1， 令 f（x）0，解得：x1 或 x1， 故 f（x）在2，1）递减，在（1，递增， 故 f（x）的最大值是 f（2）或 f（） ，
23、 而 f（2）2f（）， 故函数 f（x）的最大值是 2 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道 常规题 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，P 是 C 上一点，F1， F2，是 C 的两个焦点，且|PF1|+|PF2|4 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 yx+n 交椭圆 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值 【分析】 （1）利用椭圆的离心率椭圆的定义，解得 a，b，即可求出椭圆方程 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，将代入 C 方程整理得，通过0，以及韦达定理， 结合弦长公
24、式，求解三角形的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可 【解答】解： （1）|PF1|+|PF2|4， 2a4，即 a2， e， c， 第 13 页（共 14 页） b2a2c22， 即椭圆方程为+1 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，将代入 C 方程整理得 5x2+4nx+2n240， 32n220（2n24）0，n210， x1+x2，x1x2， |AB|， 点 O 到直线 AB 的距离 d， SOAB|AB|d （10 n2+n2）， 当且仅当 10n2n2即 n25 时取等号， OAB 面积的最大值为 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关
25、系的综合 应用，属于中档题 22 （12 分）设函数 f（x）（2x24mx）lnx，mR （1）当 m0 时，求曲线 yf（x）在点（e，f（e） ）处的切线方程； （2）若x1，+） ，f（x）+x2m0 恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程； （2）由于 y4xlnx+1 在 x1 递增，可得 y10，可得 m在 x1 恒成 立，设 g（x），x1，求得导数和单调性，可得最小值，即可得到 m 的 范围 【解答】解： （1）f（x）2x2lnx，导数为 f（x）2（2xlnx+x） ， 可得曲线 yf（
26、x）在点（e，f（e） ）处的切线斜率为 6e， 切点为（e，2e2） ， 则曲线 yf（x）在点（e，f（e） ）处的切线方程为 y2e26e（xe） ， 即为 y6ex4e2； （2）若x1，+） ，f（x）+x2m0 恒成立， 由于 y4xlnx+1 在 x1 递增，可得 y10， 第 14 页（共 14 页） 即为 m在 x1 恒成立， 设 g（x），x1， 则 g（x）， 由 y2xlnx+1x 的导数为 y2（1+lnx）11+2lnx10， 可得 2xlnx+1x0， 又 lnx+10，可得 g（x）0，即 g（x）在 x1 递增， 可得 g（x）的最小值为 g（1）1， 则 m1 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，考查转化思想和运算能力， 属于中档题
