北京市密云区2019-2020学年高三第一次（4月）阶段性测试数学试卷（含答案）

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1、高三数学试卷第页 (共页) 密云区学年第二学期第一次阶段性测试高三数学试卷考生须知 . 本试卷共页满分分考试时间分钟. . 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、考号. . 试题答案一律书写在答题卡上在试卷上作答无效. . 在答题卡上试题用黑色字迹签字笔作答. . 考试结束将答题纸交回. 一、选择题: 本大题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项 . 已知集合则 ) ( ) ( . 已知复数则设数列是等差数列 . 则这个数列的前项和等于已知平面向量 ( ) ( ) 则实数的值等于 . . . 已知

2、则 “ 若关于的方程 () 有且只有两个不相等的实数根则实数的取值范围是. 三、解答题: 本大题共小题共分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程 (本小题满分分) 在中分别是角的对边并且 . () 已知计算的面积请从这三个条件中任选两个将问题 () 补充完整并作答. 注意只需选择其中的一种情况作答即可如果选择多种情况作答以第一种情况的解答计分. () 求的最大值. (本小题满分分) 在考察疫情防控工作中某区卫生防控中心提出了 “要坚持开展爱国卫生运动从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展特别是要坚

3、决杜绝食用野生动物的陋习提倡文明健康、绿色环保的生活方式” 的要求. 某小组通过问卷调查随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据. 六类习惯是: () 卫生习惯状况类 () 垃圾处理状况类 () 体育锻炼状况类 () 心理健康状况类 () 膳食合理状况类 () 作息规律状况类. 经过数据整理得到下表: 卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数习惯良好频率假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一各类调查是否达到良好标准相互独立. () 从小组收集的有效答卷中随机选取份求这份试卷的调查结果是膳食合

4、理状况类中习惯良好者的概率 () 从该区任选一位居民试估计他在 “卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类” 三类习惯方面至少具备两类良好习惯的概率 () 利用上述六类习惯调查的排序用 “” 表示任选一位第类受访者是习惯良好者 “” 表示任选一位第类受访者不是习惯良好者 ( ). 写出方差的大小关系. 高三数学试卷第页 (共页) 第题图 (本小题满分分) 如图在四棱锥中底面是边长为的菱形为等边三角形平面平面分别是线段和的中点 () 求直线与平面所成角的正弦值 () 求二面角的余弦值 () 试判断直线与平面的位置关系并给出证

5、明. (本小题满分分) 已知函数 () () . () 求曲线 () 在点 () 处的切线方程 () 求函数 () 的单调区间 () 判断函数 () 的零点个数 (本小题满分分) 已知椭圆 : ()的离心率为且过点 ( ). () 求椭圆的标准方程 () 点是椭圆上异于短轴端点的任意一点过点作轴于线段的中点为 . 直线与直线交于点为线段的中点设为坐标原点试判断以为直径的圆与点的位置关系. (本小题满分分) 设等差数列的首项为公差为等差数列的首项为公差为 . 由数列和构造数表与数表 : 记数表中位于第行第列的元素为其中 ( ). 记

6、数表中位于第行第列的元素为其中 ( ). 如: . () 设请计算 () 设试求的表达式 (用表示) 并证明: 对于整数若不属于数表则属于数表 () 设对于整数不属于数表求的最大值. (考生务必将答案答在答题卡上在试卷上作答无效) 高三数学参考答案第 1 页（共 7 页） 20192020 学年度学年度高三年级四月份高三年级四月份测试题测试题数学数学 A 参考答案参考答案 2020.4 第一部分（选择题第一部分（选择题共共 40 分）分）一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，

7、选出符合题目要求的一项）分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）A （2）C （3）C （4）B （5）D （6）D （7）D （8）B （9）C （10）A 第二部分（非选择题第二部分（非选择题共共 110 分）分）二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分）（11）80 （12）4， 34 i 2525 （13） 1* 2() n n an N（答案不唯一）（14）21 （15）三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分。解答应写出文字说明、演算步骤

8、或证明过程）（16）（本小题 13 分）解：（）因为 ( )3sin22cos()cos() 424 f xxxx 3sin22sin()cos() 44 xxx 3sin2sin(2) 2 xx 3sin2cos2xx 31 2(sin2cos2 ) 22 xx 2sin(2) 6 x， 3 分（另解： ( )3sin22(cos cossin sin)(cos cossin sin) 4444 f xxxxxx 2222 3sin22(cossin )(cossin ) 2222 xxxxx 22 3sin2(cossin)3sin2cos2xxxxx 31 2(sin2cos2

9、 )2sin(2) 226 xxx， 3 分所以 22 2 T . 4 分由 2 22 , 262 kxkkZ，得 , 63 kxkkZ. 故( )f x的单调递增区间为： , 63 kkkZ. 6 分（）令2sin(2)1 6 x ，有 1 sin(2) 62 x , 即 22 , 66 xkkZ或 5 22 , 66 xkkZ，也即 , 6 xkkZ或 , 2 xkkZ. 高三数学参考答案第 2 页（共 7 页）因为0,x，所以 6 x 或 2 x . 9 分令 2sin(2)1 6 x ，得 1 sin(2) 62 x . 即 22 , 66 xkk Z或 5 22 ,

10、 66 xkk Z，也即,xkkZ或 , 3 xkk Z. 因为0,x，所以x 或 2 3 x . 11 分又因为( )f x的单调递增区间为： 0, 3 和 5 , 6 ， ( )f x的单调递减区间为： 5 (,) 36 , 12 分所以当( )( 1,1f x 时，x的取值范围为 2 (0,) 62 3 13 分（17）（本小题 14 分）解:（）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于39 C，记平均体温为x， 1 分 1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C 6 x 4 分所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C.

11、（）X的所有可能取值为0,1,2 5 分 30 32 3 5 1 (0) 10 C C P X C , 6 分 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C , 7 分 12 32 3 5 3 (2) 10 C C P X C 8 分则X的分布列为： 9 分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X 11 分（）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0C又回升 0.1C，“抗生素 C”使用期间持续降温共计 1.2C，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最

12、佳抗生素 B” 治疗期间平均体温 39.03C，方差约为0.0156； “抗生素 C” 平均体温 38C，方差约为0.1067， “抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳 14 分 “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由：（不说使用“抗生素不说使用“抗生素 B”治疗才开始持续降温扣”治疗才开始持续降温扣 1 分分）自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳 14 分（开放型（开放型问题问题，答案不唯一，但答答案不

13、唯一，但答“抗生素“抗生素 A”效果最好不得分效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）不用数据不得分）高三数学参考答案第 3 页（共 7 页） P C D AB M F y x z H （18）（本小题 15 分）解:（）因为平面ABCD 平面PCD， 1 分平面ABCD平面PCDCD, 2 分 AD平面ABCD, ADDC 3 分所以AD平面PCD， 4 分又因为PC平面PCD，所以ADPC 5 分（）选择评分细则：在平面PCD内过点D作DHDC，交PC于H. 由（）可知，AD 平面PDC，所以ADDH 故,AD CD DH两两垂直

14、如图，以D为原点，,DA DC DH所在直线分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)D，(0, 1, 3)P，(2,0,0)A，(2,1,0)B，(0,2,0)C 6 分因为DH 平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n 而(2,1,3)PA，(2,2,3)PB ，设平面PAB的一个法向量为( , , ) x y zm 则由 0 0 PA PB ，， m m 得 230, 2230, xyz xyz 取2z ，有( 3,0,2)m 8 分所以 22 cos,7 |77 n m n m |n m 10 分由题知，二面角PABC为锐角

15、，故二面角PABC的余弦值为 2 7 7 11 分选择得分要点（评分细则同）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则）平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n；平面PBD的一个法向量为(3,2 3,2) m；二面角PBD C为钝角；二面角PABC的余弦值为 2 19 19 . 选择得分要点（评分细则同）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则）平面ABCD的法向量(0,0,1)n；平面PBC的法向量(1,2,2 3)m；二面角PBCD为锐角；二面角PBCD的余弦值为 2 51 17 . （）假设棱BC上存在点F，MFPC设,0,1BFBC 12 分依题意，可知 13

16、 (1,) 22 M，( 2,1,0)BC ， ( 2 , ,0)BF ，(22 ,1,0)F， 13 分高三数学参考答案第 4 页（共 7 页） 33 (1 2 ,) 22 MF，(0,3,3)PC ， 14 分则 1 20, 3 3 , 2 3 3 , 2 而此方程组无解，故假设不成立，所以结论成立 15 分（19）（本小题 14 分）解：（）由题意得： 2 222 2 3, 1 , 2 , b a c a abc 1 分解得:2,3,1abc 2 分所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy . 3 分（）依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线:1(0)l xmy

17、m， 1122 ( ,), (,)A x yB x y 假设存在点P，设 0 (,0)P x，由题设， 0 1x ，且 01 xx， 02 xx. 设直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k，则 12 12 1020 , yy kk xxxx 4 分因为 1122 ( ,), (,)A x yB x y在1xmy上，故 1122 1,1xmyxmy 5 分而x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等等价于“PF平分APB”，所以等价于 12 0kk 6 分则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 () ()() x yx yxyy xxxx 120

18、12 1020 2(1)() 0 ()() my yxyy xxxx 8 分联立 22 1 43 1 xy xmy ，消去x，得： 22 (34)690mymy，有 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm 10 分则 00 12 22 10201020 1866246 0 (34)()()(34)()() mmmxmmx kk mxxxxmxxxx ，即 0 40mmx，又0m，故 0 4x 13 分当直线l的斜率为零时，(4,0)P也符合题意故存在点(4,0)P，使得x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等. 14 分高三数学参考答案第 5 页（共 7 页）

19、（20）（本小题 15 分）解：（）因为 2 ( )e() x f xax aR，故( )e2 x fxax 1 分依题意(1)e20fa ，即 e 2 a 2 分当 e 2 a 时， e (1)0 2 f，此时切线不与x轴重合，符合题意，因此 e 2 a 3 分（）由（）知，( )e2 x fxax, 当0a 时，因为0,1x,e0 x ,20ax，故( )0fx，即( )f x单调递增，因此 max ( )(1)ef xfa 依题意，当0a 时， max ( )=ee2f xa，所以0a 符合题意 5 分当0a 时，( )e2 x fxa，令( )0fx，有ln2x

20、a 6 分 ( )fx,( )fx变化如下： x (,ln2 )a ln2a (ln2 ,)a ( )fx 0 + ( )fx 极小值故 min ( )22 ln22 (1 ln2 )f xaaaaa 7 分当1 ln20a时，即 e 0 2 a时，( )0fx ，( )f x单调递增，因此 max ( )(1)ef xfa 依题意，令e2a，有0e2a 8 分当1 ln20a时，即 e 2 a 时，(1)e20fa ,(0)10 f ，故存在唯一 0 (0,1)x 使 0 ()0fx 9 分此时有 0 0 e20 x ax，即 0 0 e2 x ax，( )fx,( )f x变化

21、如下： 10 分 x 0 (0,)x 0 x 0 (,1)x ( )fx + 0 ( )f x 极大值所以 0 00 2 0 max00 e ( )()ee 2 x xx x f xf xax ， 0 (0,1)x 11 分依题意，令 e ( )e 2 x x x g x ，(0,1)x，则 (1)e ( )0 2 x x g x ，( )g x在(0,1)单调递增，所以 e ( )(1)2 2 g xg ，所以 max ( )2f x，此时不存在符合题意的a 综上所述，当(,e2a ，( )f x在0,1上的最大值不小于2，若(,e2a ，则( )f x在0,1上的最大值小于2，所

22、以a的取值范围为(,e2 12 分解法二：（）当0,1x时，( )f x最大值不小于 2，等价于 2 ( )e2 x f xax在0,1x上有解，显然0x 不是解, 即 2 e2 x a x 在(0,1x上有解， 4 分设 2 e2 ( ) x g x x ， (0,1x, 高三数学参考答案第 6 页（共 7 页）则3 e2e4 ( ) xx x g x x 5 分设( )e2e4 xx h xx ，(0,1x，则( )e (1)0 x h xx 所以( ) h x在(0,1单调递减， ( )(1)4 e0h xh ， 7 分所以 ( )0g x ，所以( )g x在(0,1单

23、调递增， 9 分所以 max ( )(1)e2g xg 10 分依题意需e2a , 所以a的取值范围为(,e2 12 分解法三: （）由（）知，( )e2 x fxax, （1）当 e 2 a 时，( )e2ee xx fxaxx, 设( )ee0,1 x h xx x，( )ee0 x h x , 所以( )h x在0,1单调递减，故( )(1)0h xh 5 分所以( )0fx，所以( )f x在0,1单调递增，因此 max ( )(1)ef xfa 7 分依题意，令e2a，得e2a 8 分（2）当 e 2 a 时， 22 e ( )ee 2 xx f xaxx, 设 2 e

24、 ( )e 2 x xx,0,1x , 则( )ee( )0 x xxh x , 所以( )x在0,1单调递增， 10 分故 max ee ( )(1)e2 22 x ，即( )2f x ，不符合题意 11 分综上所述，a的取值范围为(,e2 12 分（III）当0a 时，( )yf x有 0 个零点；当 2 e 0 4 a 时，( )yf x有 1 个零点当 2 e 4 a 时，( )yf x有 2 个零点；当 2 e 4 a 时，( )yf x有 3 个零点 15 分（写对一个给 1 分，写对三个给 2 分，全对给 3 分）（21）（本小题 14 分）解：（） (0, 0)

26、 7 页）（ii）证法 1：设 12 ( ,) n Aa aa， 12 ( ,) n Bb bb， 12 ( ,) n Cc cc n S， (,)d A Bk，( ,)d A Cl，( ,)d B Ch. 记(0,0,0) n OS，由（I）可知， ( , )(,)( ,)d A Bd AA BAd O BAk， ( , )(,)( ,)d A Cd AA CAd O CAl， (,)(,)d B Cd BA CAh，所以|(1,2, ) ii bain中 1 的个数为k，|(1,2, ) ii cain的 1 的个数为l 设t是使| | 1 iiii baca成立的i的个数，则2hlk

27、t 由此可知，, ,k l h三个数不可能都是奇数，即( , )d A B,( ,)d A C,( ,)d B C三个数中至少有一个是偶数证法 2：因为()()()0 iiiiii abbcca，且()()() iiiiii abbcca与| iiiiii abbcca奇偶性相同，所以| iiiiii abbcca为偶数，故( , )( ,)( ,)d A Bd B Cd A C为偶数8 分所以( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 9 分（）记 , ( , ) A B P d A B 为P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第i个位置的数字中共有 i t个 1， i mt个 0， 10 分则 ,1 ( , )() n ii A B Pi d A Bt mt 11 分因为m为奇数，所以 2 1 ()(1,2, ) 4 ii m t mtin ，且 1 2 i m t 或 1 2 m 时，取等号所以 2 , (1) ( , ) 4 A B P n m d A B 13 分所以 2 22 , 1(1)(1) ( , ) 42 P A B P mm n mmn dd A B CCm 14 分

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