1、 1 一、考点分析：一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题 2.特殊 三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运 用要求比较高。 一解决此类题目的基本步骤与思路 1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标 2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式 3. 根据二次函数性质求出最大值. 4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边 为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。 注意事项
2、注意事项： 1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示 2.复杂的利用复杂的利用“补补”的方法构造矩形的方法构造矩形 或者大三角形，整体减去部分的思想或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用利用“割割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂 线。线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。 5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理计算
3、复杂的情况下，灵活的构在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构 造造 K 字形相似去处理。字形相似去处理。 二、二次函数问题中三角形面积最值问题二、二次函数问题中三角形面积最值问题 （一）例题演示 1. 如图，已知抛物线(2)(4)ya xx(a 为常数，且 a0)与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 3 3 yxb 与抛物线的另一交点为 D，且点 D 的横坐标为5 (1)求抛物线的函数表达式； (2)P 为直线 BD 下方的抛物线上的一点，连接 PD、PB, 求PBD 面积的最大值 y 2 解答：(1)抛物线(2)(4)ya xx令 y0，解得 x2
4、 或 x4， A(2，0)，B(4，0) 直线 3 - 3 yxb经过点 B(4，0)， 3 -4=0 3 b，解得 4 3 = 3 b， 直线 BD 解析式为： 34 3 - 33 yx 当 x5 时，y33，D(5，33) 点 D(5，3 3)在抛物线(2)(4)ya xx上， (-52)(-54)=3 3a， 3 9 a 抛物线的函数表达式为： 2 332 38 3 (2)(4)= 9999 yxxxx (2)设 P(m, 2 32 38 3 999 mm) 2 13432 38 3 9 (3)() 233999 BPD Smmm 2 33 =+10 3 22 mm 2 3181 =()
5、 +3 228 m BPD 面积的最大值为 81 3 8 【试题精炼】【试题精炼】 3 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 23yaxaxa（0a）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左 侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且4CDAC （1）直接写出点 A 的坐标，并用含 a 的式子表示直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）. （2）点 E 为直线 l 下方抛物线上一点，当ADE 的面积的最大值为 4 25 时，求抛物线的函数表达式； 解答：1）A（1，0） CD4AC，点 D 的横坐标为 4 ay
6、D5，)5 , 4 aD（. 直线 l 的函数表达式为 yaxa （2）过点 E 作 EHy 轴，交直线 l 于点 H 设 E（x，ax 22ax3a） ，则 H（x，axa）. aaxaxaaxaxaaxHE43)32()( 22 axaaaxaxSSS DEHAEHADE 8 125 ) 2 3 ( 2 5 )43( 2 5 22 . y x l B C D AO EF H 4 ADE 的面积的最大值为a 8 125 ， 4 25 8 125 a，解得 5 2 a. 抛物线的函数表达式为 5 6 5 4 5 2 2 xxy. 【中考链接】【中考链接】 3.如图，直线 l：y=3x+3 与
7、x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 y=ax22ax+a+4（a 0）经过点 B （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM，设点 M 的横坐标为 m，ABM 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值； 解答： （1）令 x=0 代入 y=3x+3，y=3，B（0，3） ， 把 B（0，3）代入 y=ax22ax+a+4，3=a+4， a=1，二次函数解析式为：y=x2+2x+3； （2）令 y=0 代入 y=x2+2x+3， 0=x2+2x+3，x=1 或 3， 抛物线与 x 轴的交点
8、横坐标为1 和 3， 5 S=DMBE+DMOE= DM（BE+OE）=DMOB=3= =（m） 2+ 0m3， 当 m=时， S 有最大值，最大值为； 二、二次函数问题中直角三角形问题二、二次函数问题中直角三角形问题 （一）例题演示 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，且抛物线经过 A（1，0） ，C（0，3）两点， 与 x 轴交于点 B （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 6 解答： （1）依题意得： 1 2 0
9、3 b a abc c ，解得 1 2 3 a b c ，抛物线解析式为 2 23yxx . 把 B（3，0） 、C（0，3）分别代入直线 y=mx+n，得 30 3 mn n ，解得 1 3 m n ， 直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3； （2）设 P（1，t） ， 又B（3，0） ，C（0，3） ， BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10， 若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t26t+10 解得：t=2； 若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2=PB2即：18+t26t+10=4+t2解
10、得：t=4， 若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2即：4+t2+t26t+10=18 解得： 1 317 2 t ， 2 317 2 t .综上所述 P 的坐标为（1，2）或（1，4）或（1， 317 2 ） 或（1， 317 2 ） 【试题精炼】【试题精炼】 7 如图，二次函数 y=a（x22mx3m2） （其中 a，m 是常数，且 a0，m0）的图象与 x 轴分别交于点 A、B （点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C（0，3） ，点 D 在二次函数的图象上，CDAB，连接 AD，过点 A 作射线 AE 交二次函数的图象于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的
11、代数式表示 a； （2）设该二次函数图象的顶点为 F，探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 GF，以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在， 只要找出一个满足要求的点 G 即可， 并用含 m 的代 数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 【解析】 ： （1）由 C 在二次函数 y=a（x22mx3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到 a 与 c 的关系式 （2）要使线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中= ，则可考虑若 GF 使得 AD：GF：AE=3：4：5 即可由 AD、AE、F 点都易固定，且 G
12、在 x 轴的负半轴上，则易得 G 点大致位置，可连接 CF 并延长，证明上述比例 AD：GF：AE=3：4：5 即可 解答： （1）解：将 C（0，3）代入二次函数 y=a（x22mx3m2） ， 则3=a（003m2） ， 解得 a= （2）解：如图 2，记二次函数图象顶点为 F，则 F 的坐标为（m，4） ，过点 F 作 FHx 轴于点 H 连接 FC 并延长，与 x 轴负半轴交于一点，此点即为所求的点 G 8 以线段 GF，AD，AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时 G 点的横坐标为3m 【中考链接】【中考链接】 如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 ABC 斜靠
13、在两坐标轴上放在第二象限，点 C 的坐 标为（1，0） B 点在抛物线 y 1 2 x2 1 2 x2 的图像上，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，且 B 点的横 坐标为3 (1)求 BC 所在直线的函数关系式 (2)抛物线的对称轴上是否存在点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 9 解答：（1）C 点坐标为（-1,0）， BD=CO=1 B 点的横坐标为-3， B 点坐标为（-3,1） 设 BC 所在直线的函数关系式为 y=kx+b， 则有，解得 BC 所在直线的函数关系式为 y=x （2）若以为 AC 直角边，点 C 为直
14、角顶点，如图所示，作 CP1AC，因为 BCAC，所以点 P1为直线 BC 与对称轴直线的交点，即点 P1的横坐标为- 。又因为直线 BC 的解析式为 y=x，所以将代入可得 点 P1的坐标为(- , - )。 若以为 AC 直角边，点 A 为直角顶点， 对称轴上有一点 P2， 使 AP2AC， 如图所示，过点 A 作 AP2BC， 因为 BC 的解析式为 y=x，设直线 AP2的解析式为 y=x+d。直线交对称轴直线于点 P2，即点 P2的 横坐标为- 。因为 OD=3，OC=1，所以 OA=CD=2，所以 A 点的坐标为(0,2)。将点 A 的坐标代入直线 AP2， 所以直线的解析式为2y
15、=x+2，所以点 P2的坐标为(- , )。 综上所述，点的坐标为 P1 (- , - )、P2(- , )。 10 三、二次函数问题中等腰等边三角形问题三、二次函数问题中等腰等边三角形问题 1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y=- 1 2 x2+bx 的图像过点 A(4,0),顶点为 B，连接 AB、BO. (1)求二次函数的表达式； (2)若 C 是 BO 的中点，点 Q 在线段 AB 上，设点 B 关于直线 CP 的对称点为 B，当OCB为等边三角形时， 求 BQ 的长度； (3)若点 D 在线段 BO 上，OD=2BD，点 E、F 在OAB 的边上，且满足DOF 与
16、DEF 全等，求点 E 的坐 标. 解答：(1)将 A(4,0)代入 y=- 1 2 x2+bx 得，- 1 2 42+b 4=0,解得 b=2, 所以二次函数的表达式为 y=- 1 2 x2+2x； 11 (3) 当点 F 在 OB 上时，如图，当且仅当 DEOA，即点 E 与点 A 重合时DOFFED，此时点 E 的坐 标为 E(4,0)； 点 F 在 OA 时，如图 DFOA，当 OF=EF 时DOFDEF，由于 OD=2BD，所以点 D 坐标为( 4 3 ，4 3 )， 点 F 坐标为( 4 3 ，0)，点 E 坐标为( 8 3 ，0)； 12 综上满足条件的点 E 的坐标为(4,0)
17、、( 8 3 ，0)、(2+ 2 3 3，2- 2 3 3) 2.如图 1，已知ABC的三顶点坐标分别为( 1, 1)A ，(3, 1)B，(0, 4)C，二次函数 y = ax2 + bx+c 恰好经过 A、B、C 三点 (1)求二次函数的解析式； (2)如图 1，若点 P 是ABC边 AB 上的一个动点，过点 P 作 PQAC，交BC于点 Q，连接 CP，当CPQ 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)如图 2，点M是直线yx上的一个动点，点 N 是二次函数图像上的一动点，若 CMN构成以CN为 斜边的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点 N 的横坐标 13 解答： (1) 2 24yxx 3 分 (2)设点(t, 1)P(13t )，则 AP=t+1，BP=3t，三角形ABC的面积为 6 /PQ AC，BPQBAC 22 3 ()() 4 BPQ BAC S BPt SBA ， 22 33 ()(3) 48 BPQBAC t SSt 5 分 又 13 3(3) 22 PCB SBPt 22 33933 (1) 84882 PCQPBCPBQ SSSttt 8 分 t=1 时， PCQ S最大，此时点(1, 1)P 9 分 (3) 所有满足条件的点 N 的横坐标为4,15,15 12 分
