1、2018-2019 学年吉林省长春市宽城区八年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市宽城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）若分式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （a3）2a6 B2a2+3a26a2 C2a2a32a6 D 3 （3 分）将多项式 xx3因式分解正确的是（ ） Ax（1x2） Bx（x21） Cx（1+x） （1x） Dx（x+1） （x1） 4（3 分） 对于命题 “在同一
2、平面内， 若 ab， ac， 则 bc” ， 用反证法证明， 应假设 （ ） Aac Bbc Ca 与 c 相交 Db 与 c 相交 5（3 分） 如图， 在ABC 中， 边 AC 的垂直平分线交边 AB 于点 D， 连结 CD 若A50， 则BDC 的大小为（ ） A90 B100 C120 D130 6 （3 分）如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 ABAC， 现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（ ） ABC BADAE CBDCE DBECD 7 （3 分）如图，AD，CE 分别是ABC 的中线和角平分线若 ABAC，CAD20，
3、则ACE 的度数是（ ） A20 B35 C40 D70 8 （3 分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如 图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9 B6 C4 D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算：24a3b23ab 10 （3 分）若分式的值为 0，则 x 的值为 11 （3 分）某班 50 名学生在 2018
4、 年适应性考试中，数学成绩在 100110 分这个分数段的 频率为 0.2，则该班在这个分数段的学生为 人 12 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于点 D，连结 BD若A32，则CDB 的大小为 度 13 （3 分）如图，在ABC 中，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，AFBC 于点 F，BE、AF 交 于点 P，若 AB9，PF3，则ABP 的面积是 14 （3 分） 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折 竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问 题
5、是：如图所示，ABC 中，ACB90，AC+AB10，BC3，求 AC 的长，如果设 ACx，则可列方程为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）计算： （3x+2） （3x2）（2x1）2 16 （6 分）化简： 17 （6 分）图、图是 44 的正方形网格，在图、图中各画一个顶点在格点，以 AB 为一边的等腰三角形，且所画的两个三角形不全等 18 （7 分）先化简，再求值： （x2+），其中 x 19 （7 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的三个顶点分别 在正方形网格的格点上 （1）计算边 AB、BC
6、、AC 的长 （2）判断ABC 的形状，并说明理由 20 （7 分）某中学初二年级抽取部分学生进行跳绳测试，并规定：每分钟跳 90 次以下的为 不及格； 每分钟跳跳 9099 次的为及格； 每分钟跳 100109 次的为中等； 每分钟跳 110 119 次的为良好； 每分钟跳 120 次及以上的为优秀 测试结果整理绘制成如下两幅不完整 的统计图请根据图中信息，解答下列各题： （1）参加这次跳绳测试的共有 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中， “中等”部分所对应的圆心角的度数 21 （8 分）在ABC 中，ABAC，D 为 AC 的中点，DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，且
7、 DEDF （1）求证：ADECDF； （2）求证：ABC 是等边三角形 22 （9 分）已知 a、b、c 分别是ABC 的三边 （1）分别将多项式 a2c2b2c2，a4b4进行因式分解， （2）若 a2c2b2c2a4b4，试判断ABC 的形状，并说明理由 23 （10 分）问题原型：如图，在锐角ABC 中，ABC45，ADBC 于 D，在 AD 上取点 E，使 DECD，连结 BE，求证：BEAC 问题拓展：如图，在问题原型的条件下，F 为 BC 的中点，连结 EF 并延长至点 M，使 FMEF，连结 CM （1）判断线段 AC 与 CM 的大小关系，并说明理由 （2）若 AC4，直接写
8、出 A、M 两点之间的距离 24 （12 分）如图，在ABC 中，ACB90，AB10，AC6，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB 于点 E （1）求证：AD 垂直平分 CE； （2）求 CD 的长； （3）求 CE 的长 2018-2019 学年吉林省长春市宽城区八年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市宽城区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）若分式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【
9、分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案 【解答】解：代数式在实数范围内有意义， x+20， 解得：x2 故选：D 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （a3）2a6 B2a2+3a26a2 C2a2a32a6 D 【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算 即可判断 【解答】解：A、 （a3）2a6，此选项错误； B、2a2+3a25a2，此选项错误； C、2a2a32a5，此选项错误； D、，此选项正确； 故选：D 【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法
10、则、同 底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则 3 （3 分）将多项式 xx3因式分解正确的是（ ） Ax（1x2） Bx（x21） Cx（1+x） （1x） Dx（x+1） （x1） 【分析】直接提取公因式 x，再利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：xx3x（1x2） x（1x） （1+x） 故选：C 【点评】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式， 正确运用公式是解题关键 4（3 分） 对于命题 “在同一平面内， 若 ab， ac， 则 bc” ， 用反证法证明， 应假设 （ ） Aac Bbc Ca 与 c 相交 Db 与 c 相交 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立
11、，反面成立，可据此进行判断 【解答】解：c 与 b 的位置关系有 cb 和 c 与 b 相交两种，因此用反证法证明“cb” 时，应先假设 c 与 b 相交 故选：D 【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步 骤在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么 否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定 5（3 分） 如图， 在ABC 中， 边 AC 的垂直平分线交边 AB 于点 D， 连结 CD 若A50， 则BDC 的大小为（ ） A90 B100 C120 D130 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 ADDC，推出AACD
12、50，根据三角 形外角的性质得出即可 【解答】解：ABC 的边 AC 的垂直平分线 DE 交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E， ADDC， AACD， A50， ACD50， BDCA+ACD50+50100， 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质等 知识点，能根据线段垂直平分线的性质得出 ADDC 是解此题的关键 6 （3 分）如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 ABAC， 现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（ ） ABC BADAE CBDCE DBECD 【分析】欲使ABEAC
13、D，已知 ABAC，可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、 ASA 添加条件，逐一证明即可 【解答】解：ABAC，A 为公共角， A、如添加BC，利用 ASA 即可证明ABEACD； B、如添 ADAE，利用 SAS 即可证明ABEACD； C、如添 BDCE，等量关系可得 ADAE，利用 SAS 即可证明ABEACD； D、如添 BECD，因为 SSA，不能证明ABEACD，所以此选项不能作为添加的条 件 故选：D 【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要 求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理 7 （3 分）如图，AD，CE 分别是ABC 的中线和角平
14、分线若 ABAC，CAD20， 则ACE 的度数是（ ） A20 B35 C40 D70 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出CAB2CAD40， BACB （180CAB）70再利用角平分线定义即可得出ACE ACB35 【解答】解：AD 是ABC 的中线，ABAC，CAD20， CAB2CAD40，BACB（180CAB）70 CE 是ABC 的角平分线， ACEACB35 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出 ACB70是解题的关键 8 （3
15、分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如 图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9 B6 C4 D3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已 知数据即可求出小正方形的边长 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab， 每一个直角三角形的面积为：ab84， 4ab+（ab）225， （ab）225169， ab3， 故选：D 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟
16、练运用勾股定理以及完全平方公式，本题 属于基础题型 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算：24a3b23ab 8a2b 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【解答】解：24a3b23ab8a2b 故答案为：8a2b 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 10 （3 分）若分式的值为 0，则 x 的值为 3 【分析】分式的值为 0 的条件是： （1）分子0； （2）分母0两个条件需同时具备， 缺一不可据此可以解答本题 【解答】解：因为分式的值为 0，所以0， 化简得
17、 x290，即 x29 解得 x3 因为 x30，即 x3 所以 x3 故答案为3 【点评】本题主要考查分式的值为 0 的条件，注意分母不为 0 11 （3 分）某班 50 名学生在 2018 年适应性考试中，数学成绩在 100110 分这个分数段的 频率为 0.2，则该班在这个分数段的学生为 10 人 【分析】频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比） ，即频率频数 数据总数，进而得出即可 【解答】解：频数总数频率， 可得此分数段的人数为：500.210 故答案为：10 【点评】此题主要考查了频数与频率，利用频率求法得出是解题关键 12 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC以点
18、 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于点 D，连结 BD若A32，则CDB 的大小为 37 度 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在ABC 中可求得ACB ABC74，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在BCD 中可求得CDB CBDACB37 【解答】解：ABAC，A32， ABCACB74， 又BCDC， CDBCBDACB37 故答案为：37 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题 的关键，注意三角形内角和定理的应用 13 （3 分）如图，在ABC 中，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，AFBC 于点 F
19、，BE、AF 交 于点 P，若 AB9，PF3，则ABP 的面积是 【分析】 如图， 作 PHAB 于 H 利用角平分线的性质定理证明 PHPF 即可解决问题 【解答】解：如图，作 PHAB 于 H BE 平分ABC，PHAB，PFBC， PHPF3， SABPABPH， 故答案为 【点评】本题考查三角形的面积，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，属于中考常考题型 14 （3 分） 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折 竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问 题是：如图所示，ABC 中，ACB90
20、，AC+AB10，BC3，求 AC 的长，如果设 ACx，则可列方程为 x2+32（10x）2 【分析】设 ACx，可知 AB10x，再根据勾股定理即可得出结论 【解答】解：设 ACx， AC+AB10， AB10x 在 RtABC 中，ACB90， AC2+BC2AB2，即 x2+32（10x）2 故答案为：x2+32（10x）2 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方 程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画 出准确的示意图领会数形结合的思想的应用 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 7
21、8 分）分） 15 （6 分）计算： （3x+2） （3x2）（2x1）2 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项即可求解 【解答】解： （3x+2） （3x2）（2x1）2 9x24（4x24x+1） 9x244x2+4x1 5x2+4x5 【点评】考查了平方差公式、完全平方公式，平方差公式：两个数的和与这两个数的差 相乘，等于这两个数的平方差完全平方公式： （ab）2a22ab+b2可巧记为： “首 平方，末平方，首末两倍中间放” 16 （6 分）化简： 【分析】原式变形后，约分即可得到结果 【解答】解：原式 【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，
22、约分的关键是找出分子 分母的公因式 17 （6 分）图、图是 44 的正方形网格，在图、图中各画一个顶点在格点，以 AB 为一边的等腰三角形，且所画的两个三角形不全等 【分析】以 AB 为腰，分别以点 B、点 A 为等腰三角形顶角顶点作三角形即可 【解答】解：如图，ABC 即为所求作三角形 【点评】 本题主要考查作图应用设计作图， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 18 （7 分）先化简，再求值： （x2+），其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式（+） 2（x+2） 2x+4， 当 x时， 原式2（）+4 1+4 3 【
23、点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化 简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 19 （7 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的三个顶点分别 在正方形网格的格点上 （1）计算边 AB、BC、AC 的长 （2）判断ABC 的形状，并说明理由 【分析】 （1）先利用勾股定理分别计算三边的长即可； （2）利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，且 ABBC，所以ABC 是等腰 直角三角形 【解答】解： （1）每个小正方形的边长都是 1， AB，BC，AC； （2）ABC 是等腰直角三角形， 理由是：A
24、B2+BC213+1326， AC226， AB2+BC2AC2， ABBC， ABC 是等腰直角三角形 【点评】 此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理， 熟练掌握勾股定理是解本题的关键 20 （7 分）某中学初二年级抽取部分学生进行跳绳测试，并规定：每分钟跳 90 次以下的为 不及格； 每分钟跳跳 9099 次的为及格； 每分钟跳 100109 次的为中等； 每分钟跳 110 119 次的为良好； 每分钟跳 120 次及以上的为优秀 测试结果整理绘制成如下两幅不完整 的统计图请根据图中信息，解答下列各题： （1）参加这次跳绳测试的共有 50 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中
25、， “中等”部分所对应的圆心角的度数 【分析】 （1）根据良好的人数和所占的百分比即可求出参加这次跳绳测试的总人数； （2）用总人数减去其它等级的人数求出优秀的人数，从而补全统计图； （3）用 360乘以“中等”所占的百分比，即可得出答案 【解答】解： （1）参加这次跳绳测试的共有：50（人） ； 故答案为：50； （2）由（1）的优秀的人数为：5037102010（人） ， 补图如下： （3）“中等”部分所对应的人数是 10 人， 36072， “中等”部分所对应的圆心角的度数为 72 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信 息是解决问题的关键条形统计图能
26、清楚地表示出每个项目的数据 21 （8 分）在ABC 中，ABAC，D 为 AC 的中点，DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，且 DEDF （1）求证：ADECDF； （2）求证：ABC 是等边三角形 【分析】 （1）根据 HL 即可证明； （2）想办法证明ABC 即可； 【解答】证明： （1）DEAB 于点 E，DFBC 于点 F， AEDDFC90， ADDC，DEDF， RtADERtCDF（HL） （2）ADECDF， AC， 又 ABAC， BC， ABC， ABC 是等边三角形 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定等知 识，解题的关键是熟练掌
27、握基本知识，属于中考常考题型 22 （9 分）已知 a、b、c 分别是ABC 的三边 （1）分别将多项式 a2c2b2c2，a4b4进行因式分解， （2）若 a2c2b2c2a4b4，试判断ABC 的形状，并说明理由 【分析】 （1）利用平方差公式分解因式； （2）利用（1）中分解的结果得到 c2（a+b） （ab）（ab） （a+b） （a2+b2）0，再 提公因式得到（a+b） （ab） （c2a2b2）0，于是 ab0 或 c2a2b20，然后 判断三角形的形状 【解答】解： （1）a2c2b2c2c2（a2b2）c2（a+b） （ab） ； a4b4（a2b2） （a2+b2）（ab）
28、 （a+b） （a2+b2） ； （2）a2c2b2c2a4b4， c2（a+b） （ab）（ab） （a+b） （a2+b2） ； c2（a+b） （ab）（ab） （a+b） （a2+b2）0； （a+b） （ab） （c2a2b2）0， a、b、c 分别是ABC 的三边 ab0 或 c2a2b20， ab 或 c2a2+b2， ABC 为等腰三角形或直角三角形 【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决证明问题用因式分解的方法 将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分 23 （10 分）问题原型：如图，在锐角ABC 中，ABC45，ADBC 于 D
29、，在 AD 上取点 E，使 DECD，连结 BE，求证：BEAC 问题拓展：如图，在问题原型的条件下，F 为 BC 的中点，连结 EF 并延长至点 M，使 FMEF，连结 CM （1）判断线段 AC 与 CM 的大小关系，并说明理由 （2）若 AC4，直接写出 A、M 两点之间的距离 【分析】问题原型： 由 ADBC 可得ADBADC90，又ABC45易得ABC BAD，可得 ADBD，由 SAS 定理可得BDEADC； 问题拓展： （1）利用 SAS 判断出BEFCMF，得出 BECM，即可得出结论； （2） 借助问题原型与问题延伸的结论判断出ACM 是等腰直角三角形， 即可得出结论 【解答
30、】问题原型：证明：ADBC， ADBADC90， ABC45， BAD45， ABCBAD， ADBD， 在BDE 和ADC 中， ， BDEADC（SAS） ， BEAC， 问题拓展： （1）解：ACCM，理由： 点 F 是 BC 中点， BFCF， 在BEF 和CMF 中， ， BEFCMF（SAS） ， BECM， 由（1）知，BEAC， ACCM； （2） ：解：如图， 连接 AM，由（1）知，BDEADC， BEDACD， 由（2）知，BEFCMF， EBFBCM， ACMACD+BCMBED+EBF90， ACCM， AMAC4 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三
31、角形的判定和性质，中点的 性质，勾股定理，判断出两对三角形全等是解本题的关键 24 （12 分）如图，在ABC 中，ACB90，AB10，AC6，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB 于点 E （1）求证：AD 垂直平分 CE； （2）求 CD 的长； （3）求 CE 的长 【分析】 （1）证AEDACD 得出 AEAC，DEDC，由等腰三角形的性质即可得出 结论； （2）由勾股定理得出 BC8，设 DEDCx，则 BD8x，求出 BE ABAE4，在 RtBDE 中，由勾股定理得出方程，求出 CD3； （3）在 RtACD 中，由勾股定理得出 AD3，由三角形面积得出 CE 2即可
32、 【解答】 （1）证明：DEAB， AED90， ACB90， AEDACB， AD 平分BAC， BADCAD， 在AED 和ACD 中， AEDACD（AAS） ， AEAC，DEDC，AD 平分BAC， AD 垂直平分 CE； （2）解：在ABC 中，ACB90，AB10，AC6， BC8， 设 DEDCx，则 BD8x， AEAC6， BEABAE4， 在 RtBDE 中，由勾股定理得：x2+42（8x）2， 解得：x3， CD3； （3）解：在 RtACD 中，AD3， CE22 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识； 熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键
