1、2019-2020 学年吉林省吉林市朝鲜族四校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求一个是符合题目要求 1 （5 分）在数列 2，9，23，44，72，中，第 6 项是（ ） A82 B107 C100 D83 2 （5 分）如果 a、b、c、dR，则下列命题中正确的是（ ） A若 ab，cb，则 ac B若 ab，则 cac+b C若 ab，则 ac2bc2 D若 ab，cd，则 acbd 3 （5 分）设 xR，则“x1”是
2、“x3x”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）ABC 中，已知 b5，A60，SABC5，则 c 等于（ ） A4 B16 C21 D 5 （5 分）双曲线y21 的离心率为（ ） A B C D 6 （5 分）已知命题 p：xR，sinx0，则下列说法正确的是（ ） A非 p 是特称命题，且是真命题 B非 p 是全称命题，且是假命题 C非 p 是全称命题，且是真命题 D非 p 是特称命题，且是假命题 7 （5 分）不等式 2x2x10 的解集是（ ） A （，1） B （1，+） &n
3、bsp;C （，1）（2，+） D （，）（1，+） 8 （5 分）已知an为等差数列，a2+a812，则 a5等于（ ） A4 B5 C6 D7 9（5 分） 已知方程+1 （kR） 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则 k 的取值范围是 （ ） 第 2 页（共 16 页） Ak1 或 k3 B1k3 Ck1 Dk3 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a1，则 B（ ） A B C D 11 （5 分）如果抛物线 y2ax 的准线是直线 x1，那么它的焦点坐标为（ ） A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （1，0） 12 （5
4、分）平面内过点 A（2，0） ，且与直线 x2 相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） Ay 22x By 24x Cy 28x Dy 216x 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知变量 x、y 满足约束条件，则 z3x+y 的最大值为 14 （5 分）观察下列的图形中小正方形的个数，则第 n 个图中有 个小正方 形 15 （5 分）已知ABC 中，A60，最大边和最小边的长是方程 3x227x+320 的两根， 那么 BC 边长等于 16 （5 分）下列有关命题的
5、说法正确的有 （填写序号） 命题“若 x23x+20，则 xx1”的逆否命题为： “若 x1，则 x23x+20” “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 若 pq 为假命题，则 pq 均为假命题 对于命题 p：xR 使得 x2+x+10，则p：xR，均有 x2+x+10 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）求以椭圆 9x2+5y245 的焦点为焦点，且经过点 M（2，）的椭圆的标准方 程 18 （12 分）等差数列an的前 n 项和记为 S
6、n已知 a1030，a2050 （）求通项 an； （）若 Sn242，求 n 第 3 页（共 16 页） 19 （12 分）已知ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，3bcosAccosA+acosC （）求 cosA 的值； （）若ABC 的面积为 2，a3，求 b，c 的长 20 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2+2n （）求数列an的通项公式； （）求数列的前 n 项和 Tn 21 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinB+bcosA0 （1）求角 A 的大小； （2）若 a，b1，求ABC 的面积 22 （1
7、2 分）已知椭圆 C：的左焦点为 F（1，0） ，离心率为， 过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年吉林省吉林市朝鲜族四校联考高二（上）期末数学年吉林省吉林市朝鲜族四校联考高二（上）期末数 学试卷（理科）学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的
8、四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求一个是符合题目要求 1 （5 分）在数列 2，9，23，44，72，中，第 6 项是（ ） A82 B107 C100 D83 【分析】根据数列每一项之间的关系确定第 6 项即可 【解答】解：927， 2391427， 44232137， 72442847， 设第 6 项为 x， 则 x725735， x35+72107 故选：B 【点评】本题主要考查数列的概念和表示，利用后一项和前一项的差，得出相邻两项之 间的关系是解决本题的关键，比较基础 2 （5 分）如果 a、b、c、dR，则下列命题中正确的是（ ） A若 ab，cb
9、，则 ac B若 ab，则 cac+b C若 ab，则 ac2bc2 D若 ab，cd，则 acbd 【分析】对于 A，C，D 举反例即可判断，对于 B，根据不等式的性质即可判断 【解答】解：对于 A，例如 a1，b0，c2，则不满足，故 A 错误， 对于 B，若 ab，则ab，则 caa+b，成立，故 B 正确， 对于 C，若 c0，则不成立，故 C 错误， 对于 D，例如 a1，b0，c2，D3，则不满足，故 D 错误， 故选：B 【点评】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断 第 5 页（共 16 页） 3 （5 分）设 xR，则“x1”是“x3x”
10、的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先判断 pq 与 qp 的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命 题 q 的关系 【解答】解：因为 x3x，解得 x0，1，1， 显然条件的集合小， 结论表示的集合大， 由集合的包含关系， 我们不难得到“x1”是“x3x”的充分不必要条件 故选：A 【点评】判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命 题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题
11、，则命题 p 是命题 q 的必 要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断 命题 p 与命题 q 的关系 4 （5 分）ABC 中，已知 b5，A60，SABC5，则 c 等于（ ） A4 B16 C21 D 【分析】有题意和三角形面积公式求出边 c 的值，即可得解 【解答】解：由题意得，b5，A60，SABC5， 所以bcsinA5， 可得：5c5， 解得 c4， 故选：A 【
12、点评】本题考查三角形面积公式的应用，熟练掌握定理和公式是解题的关键 5 （5 分）双曲线y21 的离心率为（ ） 第 6 页（共 16 页） A B C D 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得 a、b 的值，进而由双曲线的几何性质可得 c 的值，由离心率计算公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：y21， 则其 a2，b1， 故 c， 则其离心率 e； 故选：D 【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出 a、b 的值 6 （5 分）已知命题 p：xR，sinx0，则下列说法正确的是（ ） A非 p 是特称命题，且是真命题 B非 p
13、是全称命题，且是假命题 C非 p 是全称命题，且是真命题 D非 p 是特称命题，且是假命题 【分析】直接利用特称命题和全称命题的应用求出结果 【解答】解：命题 p：xR，sinx0，该命题为假命题 非 p 是特称命题，且是真命题 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：特称命题和全称命题的应用，主要考查学生转换能力及 思维能力，属于基础题 7 （5 分）不等式 2x2x10 的解集是（ ） A （，1） B （1，+） C （，1）（2，+） D （，）（1，+） 【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出 解集 【解答】解：
14、原不等式同解于 （2x+1） （x1）0 第 7 页（共 16 页） x1 或 x 故选：D 【点评】本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根； 据二次不等式解集的形式写出解集 8 （5 分）已知an为等差数列，a2+a812，则 a5等于（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】将 a2+a8用 a1和 d 表示，再将 a5用 a1和 d 表示，从中寻找关系解决，或结合已 知，根据等差数列的性质 a2+a82a5求解 【解答】解：解法 1：an为等差数列，设首项为 a1，公差为 d， a2+a8a1+d+a1+7d2a1+8d12； a1+4d6； a5a1+4d6
15、解法 2：a2+a82a5，a2+a812， 2a512， a56， 故选：C 【点评】解法 1 用到了基本量 a1与 d，还用到了整体代入思想； 解法 2 应用了等差数列的性质：an为等差数列，当 m+np+q（m，n，p，qN+）时， am+anap+aq 特例：若 m+n2p（m，n，pN+） ，则 am+an2ap 9（5 分） 已知方程+1 （kR） 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak1 或 k3 B1k3 Ck1 Dk3 【分析】根据焦点在 x 轴上椭圆的形式，建立不等式 k+13k0，解之即得实数 k 的 取值范围 【解答】解：表示焦点在
16、 x 轴上的椭圆 k+13k0，解之得 1k3 故选：B 第 8 页（共 16 页） 【点评】本题给出焦点在 x 轴上的椭圆的方程，求参数 k 的取值范围，着重考查了椭圆 的标准方程和基本概念，属于基础题 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a1，则 B（ ） A B C D 【分析】根据余弦定理表示出 cosB，把 a，b 和 c 的值代入即可求出 cosB 的值，由 B 的 范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的值 【解答】解：根据余弦定理得： cosB， 由 B（0，） ，得到 B 故选：B 【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函
17、数值化简求值，是一道基础 题学生做题时注意 B 为三角形中的角这个隐含条件 11 （5 分）如果抛物线 y2ax 的准线是直线 x1，那么它的焦点坐标为（ ） A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （1，0） 【分析】由抛物线 y2ax 的准线是直线 x1，知抛物线 y2ax 的焦点坐标是（1，0） 【解答】解：抛物线 y2ax 的准线是直线 x1， 抛物线 y2ax 的焦点坐标是（1，0） ， 故选：A 【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 12 （5 分）平面内过点 A（2，0） ，且与直线 x2 相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）
18、 Ay 22x By 24x Cy 28x Dy 216x 【分析】设圆心为 O（x，y） ，由过点 A（2，0） ，且与直线 x2 相切，知 |x2|，即（x+2）2+y2（x2）2由此能求出圆心的轨迹方程 【解答】解：设圆心为 O（x，y） 过点 A（2，0） ，且与直线 x2 相切， 圆心 O（x，y）到点 A（2，0）和直线 x2 的距离相等 第 9 页（共 16 页） |x2|，即（x+2）2+y2（x2）2 整理，得 y28x， 所以圆心的轨迹方程为 y28x 故选：C 【点评】本题考查圆心的轨迹方程的求法，是中档题解题时要认真审题，仔细解答， 注意两点点距离公式的合理运
19、用 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知变量 x、y 满足约束条件，则 z3x+y 的最大值为 11 【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即 可得目标函数的最值 【解答】解：画出变量 x、y 满足约束条件的可行域如图阴影部分， 由解得 C（3，2） 目标函数 z3x+y 可看做斜率为3 的动直线，其纵截距越大，z 越大， 由图数形结合可得当动直线过点 C 时，z最大33+211 故答案为：11 【点评】本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区 域的
20、知识，数形结合的思想方法，属基础题 第 10 页（共 16 页） 14 （5 分）观察下列的图形中小正方形的个数，则第 n 个图中有 个小正 方形 【分析】 由题意可得， f （1） 2+1， f （2） 3+2+1， f （3） 4+3+2+1， f （4） 5+4+3+2+1， f（5）6+5+4+3+2+1，从而可得 f（n） ，结合等差数列的求和公式可得 【解答】解：由题意可得，f（1）2+1 f（2）3+2+1 f（3）4+3+2+1 f（4）5+4+3+2+1 f（5）6+5+4+3+2+1 f（n）（n+1）+n+（n1）+1 故答案为： 【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式
21、在实际问题中的应用，解题的关键是要根 据前几个图形的规律归纳出 f（n）的代数式，考查了归纳推理的能力 15 （5 分）已知ABC 中，A60，最大边和最小边的长是方程 3x227x+320 的两根， 那么 BC 边长等于 7 【分析】首先确定边长的大小关系，然后结合韦达定理和余弦定理整理计算即可求得最 终结果 【解答】解：题中所给的一元二次方程判别式不为零，则三角形 不可能是等边三角形， 由大边对大角可得边 BC 既不是最大边，也不是最小边， 设方程 3x227x+320 的两根为 x1，x2，则 ， 结合余弦定理可得： 故答案为：7 【点评】本题考查了余弦定理的应用，韦达定理的
22、应用等，重点考查学生对基础概念的 第 11 页（共 16 页） 理解和计算能力，属于中等题 16 （5 分）下列有关命题的说法正确的有 （填写序号） 命题“若 x23x+20，则 xx1”的逆否命题为： “若 x1，则 x23x+20” “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 若 pq 为假命题，则 pq 均为假命题 对于命题 p：xR 使得 x2+x+10，则p：xR，均有 x2+x+10 【分析】对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论 【解答】解：命题“若 x23x+20，则 x1”的逆否命题是： “若 x1，则 x23x+2 0” ，正确； 若 x1，则 x23x+213+20
23、成立，即充分性成立；若 x23x+20，则 x1 或 x2，此时 x1 不一定成立，即必要性不成立，故“x1”是“x23x+20”的充分不 必要条件，正确； 若 pq 为假命题，则 p、q 至少有一个为假命题，不正确 对于命题 p：xR 使得 x2+x+10，则p：xR，均有 x2+x+10，正确 故答案为： 【点评】此题注重对基础知识的考查，特别是四种命题之间的真假关系，复合命题的真 假关系，特称命题与全称命题的真假及否定，是学生易错点，属中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算
24、步骤 17 （10 分）求以椭圆 9x2+5y245 的焦点为焦点，且经过点 M（2，）的椭圆的标准方 程 【分析】直接利用椭圆的方程的应用求出结果 【解答】解：由 9x2+5y245，得 其焦点 F1（0，2） 、F2（0，2） 设所求椭圆方程为 所以 a2b24 又点在椭圆上， 第 12 页（共 16 页） 解得 a212，b28 故所求椭圆方程为 【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）等差数列an的前 n 项和记为 Sn已知 a1030，a2050 （）求通项 an； （）若 Sn242，求 n 【分析
25、】 （1）利用等差数列的通项公式，根据 a10和 a20的值建立方程组，求得 a1和 d， 则通项 an可得 （2）把等差数列的求和公式代入 Sn242 进而求得 n 【解答】解： （）由 ana1+（n1）d，a1030，a2050，得 方程组 解得 a112，d2所以 an2n+10 （）由得 方程 解得 n11 或 n22（舍去） 【点评】本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力 19 （12 分）已知ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，3bcosAccosA+acosC （）求 cosA 的值； （）若ABC 的面积为 2，a3，求 b，c 的长 【分析
26、】 （）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公 式变形，由 sinB 不为 0 求出 cosA 的值即可； （）由 cosA 的值求出 sinA 的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与 sinA 的值代入求出 bc6，再利用余弦定理列出关系式，把 a，cosA 的值代入，利用完全平方 公式变形，把 bc 的值代入求出 b+c5，联立求出 b 与 c 的值即可 【解答】解： （）由正弦定理化简 3bcosAccosA+acosC 化简得：3sinBcosA sinCcosA+sinAcosC， 第 13 页（共 16 页） 整理得：3sinBcosAsin（A
27、+C）sinB， sinB0， cosA； （）cosA，A 为三角形内角， sinA， SABCbcsinAbc2，即 bc6， 由余弦定理得：a2b2+c22bccosAb2+c2bc，即 9（b+c）22bcbc， 把 bc6 代入得：b+c5， 联立，解得：b2，c3 或 b3，c2 【点评】此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握 正弦定理是解本题的关键 20 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2+2n （）求数列an的通项公式； （）求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （）当 n1 时，可求得 a13；当 n2 时，anSnSn12n+1，
28、对 a13 仍成立，于是可得数列an的通项公式； （）利用裂项法可求得（） ，于是可求得数列的 前 n 项和 Tn 【解答】解： （）当 n1 时，a1S13； 当 n2 时，anSnSn1（n2+2n）（n1）2+2（n1）2n+1， 对 a13 仍成立， 数列an的通项公式：an2n+1； （）由（）知（） Tn（）+（）+（）+（） （） 第 14 页（共 16 页） 【点评】本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于 中档题 21 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinB+bcosA0 （1）求角 A 的大小； （
29、2）若 a，b1，求ABC 的面积 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据 sinB 不为 0 求出 sin（A+）的 值，即可确定出 A 的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，把 a，b，cosA 的值代入求出 c 的值，再由 b，sinA 的值， 利用三角形面积公式求出即可 【解答】解： （1）在ABC 中，由正弦定理化简 asinB+bcosA0，得 sinAsinB+sinBcosA 0，即 sinB（sinA+cosA）0， 又角 B 为三角形内角，sinB0， sinA+cosA0，即sin（A+）0， 又 A（0，） ， A； （2）在ABC 中，由余弦定理得：a
30、2b2+c22bccosA，则 51+c2+c， 即 c2+c40， 解得：c2（舍）或 c， 又 SbcsinA， S1 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解 本题的关键 22 （12 分）已知椭圆 C：的左焦点为 F（1，0） ，离心率为， 过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围 第 15 页（共 16 页） 【分析】 （）由题意可知：c1，a2b2c2，e，由此能够求出椭
31、圆的方程 （II）设直线 AB 的方程为 yk（x+1） （k0） ，由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2 20由直线 AB 过椭圆的左焦点 F，记 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的中点 N（x0， y0） ，x1+x2，x0，垂直平分线 NG 的方程为 yy0 ，由此能求出点 G 横坐标的取值范围 【解答】解： （）由题意可知：c1，a2b2c2，e（2 分） 解得：a，b1（3 分） 故椭圆的方程为：1（4 分） （II）设直线 AB 的方程为 yk（x+1） （k0） ， （5 分） 联立，得， 整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k220（7 分） 直线 AB 过椭圆的左焦点 F方程有两个不等实根 （8 分） 记 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的中点 N（x0，y0） 则 x1+x2（9 分） x0（10 分） 垂直平分线 NG 的方程为 yy0， （11 分） 令 y0，得 xGx0+ky0 （12 分） k0，0（13 分） 第 16 页（共 16 页） 点 G 横坐标的取值范围为（，0） （14 分） 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易 错点是知识体系不牢固本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解 题时要注意合理地进行等价转化
