1、2019-2020 学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.） 1 （5 分）已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1+a3+a53，则 S5（ ） A5 B7 C9 D11 2 （5 分）若 ab0，则下列不等式中成立的是（ ） A B C|a|b| Da2b2 3 （5 分）等比数列 an中，a12，q2，Sn126，则 n（ ） A9 B8 C7 D6 4 （5 分）不等式2 的解集为（ ） A1，0） B1，+） C （，1 D （，1（0，+） 5 （5 分） “4k10”是“方
2、程+1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）不等式 ax2+bx+10 的解集是，则 a+b 的值是（ ） A5 B5 C7 D7 7 （5 分）椭圆的焦距为，则 m 的值为（ ） A9 B23 C9 或 23 D 8 （5 分）已知 Sn是数列an的前项和，若 Sn2an4（nN*） ，则 an（ ） A2n+1 B2n C2n 1 D2n 2 9 （5 分）已知 x0，y0，若恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） Am4 或 m2 Bm2 或 m4 C2m4 D4m2 10 （
3、5 分）已知椭圆 C：，直线 l：yx2 过 C 的一个焦点，则 C 的 离心率为（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 11 （5 分）已知数列an满足 a133，an+1an2n，则的最小值为（ A21 B C D 12 （5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， a115， 且满足+1， 已知 n， mN， nm，则 SnSm的最小值为（ ） A B C14 D28 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）命题“x1，使得 x22”的否定是 14 （5 分）如果椭圆+1 上一点
4、P 到焦点 F1的距离等于 10，那么点 P 到另一个 焦点 F2的距离是 15 （5 分） 已知数列 1， a1， a2， a3， 9 是等比数列， 数列 1， b1， b2， 9 是等差数列， 则 16 （5 分）已知 a，bR，a+b4，则的最大值为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 题，第题，第 17 题题 10 分，第分，第 1822 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分，解答应写出分，解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分） （1）m 为何实数时，关于 x 的方程
5、 x2+（2m4）x+m0 有两个不等实根？ （2）设实数 x 满足 x1，求的最小值，并求对应的 x 的值 18 （12 分）已知 p：x27x+100，q：x24mx+3m20，其中 m0 （1）若 m3，p 和 q 都是真命题，求 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 19 （12 分）等差数列an的各项均为正数，a11，前 n 项和为 Sn等比数列bn中，b1 1，且 b2S26，b2+S38 （1）求数列an与bn的通项公式； （2）求 20 （12 分）为迎接省运会，某市体育馆需要重新铺设塑胶跑道已知每毫米厚的跑道的铺 第 3 页（共 1
6、6 页） 设成本为 10 万元，跑道平均每年的维护费 C（单位：万元）与跑道厚度 x（单位：毫米） 的关系为若跑道厚度为 10 毫米，则平均每年的维护费需 要 9 万元设总费用 f（x）为跑道铺设费用与 10 年维护费之和 （1）求 k 的值与总费用 f（x）的表达式； （2）塑胶跑道铺设多厚时，总费用 f（x）最小，并求最小值 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心为坐标原点，左焦点为 F1（1，0） ， 离心率 （1）求椭圆 G 的标准方程； （2）已知直线 l1：ykx+m1与椭圆 G 交于 A，B 两点，直线 l2：ykx+m2（m1m2）与 椭圆 G 交于
7、C，D 两点，且|AB|CD|，如图所示 证明：m1+m20； 求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值 22 （12 分）数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2an3n（nN*） （1）证明数列an+3是等比数列，求出数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn； （3）数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的 项；若不存在，说明理由 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题
8、共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.） 1 （5 分）已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1+a3+a53，则 S5（ ） A5 B7 C9 D11 【分析】由等差数列an的性质，a1+a3+a533a3，解得 a3再利用等差数列的前 n 项 和公式即可得出 【解答】解：由等差数列an的性质，a1+a3+a533a3，解得 a31 则 S55a35 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前 n 项和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 2 （5 分）若 ab0，则下列不等式中成立的是（ ） A B C|a|b| Da2b2 【分
9、析】不妨取 a2，b1，然后一一验证即可判断 【解答】解：不妨取 a2，b1，则 ，A 不正确； ，B 不正确； |a|2，|b|1，|a|b|，C 正确 a24，b21，a2b2，D 不正确 故选：C 【点评】本题的考点是不等关系与不等式，解题的关键是赋值，一一验证 3 （5 分）等比数列 an中，a12，q2，Sn126，则 n（ ） A9 B8 C7 D6 【分析】由首项和公比的值，根据等比数列的前 n 项和公式表示出 Sn，让其等于 126 列 出关于 n 的方程，求出方程的解即可得到 n 的值 第 5 页（共 16 页） 【解答】解：由 a12，q2，得到 Sn126， 化简得：2n
10、64，解得：n6 故选：D 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前 n 项和公式化简求值，是一道基础题 4 （5 分）不等式2 的解集为（ ） A1，0） B1，+） C （，1 D （，1（0，+） 【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法 【解答】解：1x0 故选：A 【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题在解题中，要注意等号 5 （5 分） “4k10”是“方程+1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可 【解答
11、】解：方程+1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， ，解得：7k10， 故“4k10”是“方程+1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查了椭圆的定义，考查充分必要条件，是一道基础题 6 （5 分）不等式 ax2+bx+10 的解集是，则 a+b 的值是（ ） A5 B5 C7 D7 第 6 页（共 16 页） 【分析】由题意可得，解得即可 【解答】解：一元二次不等式 ax2+bx+10 的解集是， ，解得， a+b7 故选：C 【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法与相应的一元二次方程的根与系数的关系是解 题的关键 7 （5 分）椭圆的焦距为，则 m
12、的值为（ ） A9 B23 C9 或 23 D 【分析】利用椭圆方程求出焦距，得到方程求解即可 【解答】解：椭圆的焦距为， 可得：22，或 2，解得：m9 或 23 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标所在的轴，是易错题 8 （5 分）已知 Sn是数列an的前项和，若 Sn2an4（nN*） ，则 an（ ） A2n+1 B2n C2n 1 D2n 2 【分析】分 n1 时与 n2 时讨论，从而解得 【解答】解：当 n1 时，a12a14， 解得，a14； 当 n2 时，Sn2an4，Sn12an14， 故 an2an2an1， 故 an2an1， 故数列an是以
13、 4 为首项，2 为公比的等比数列； 第 7 页（共 16 页） 故 an2n+1， 故选：A 【点评】本题考查了数列的通项与前 n 项间的关系应用，及分类讨论的思想应用 9 （5 分）已知 x0，y0，若恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） Am4 或 m2 Bm2 或 m4 C2m4 D4m2 【分析】先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立， 求得 m2+2m8，进而求得 m 的范围 【解答】解：28 若恒成立，则使 8m2+2m 恒成立， m2+2m8，求得4m2 故选：D 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决 问题的能力，属于基
14、础题 10 （5 分）已知椭圆 C：，直线 l：yx2 过 C 的一个焦点，则 C 的 离心率为（ ） A B C D 【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的性质求出 a，然后求解离心率即可 【解答】解：椭圆 C：，直线 l：yx2 过 C 的一个焦点，可得 c 2，则 a， 所以椭圆的离心率为：e 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 11 （5 分）已知数列an满足 a133，an+1an2n，则的最小值为（ A21 B C D 第 8 页（共 16 页） 【分析】由迭代法可得 an，进而可得，结合函数的单调性可得 【解答】解：由题意可得 an（anan1）+（
15、an1an2）+（a2a1）+a1 2（n1）+2（n2）+2+33 +33n2n+33， 故1 由于函数 y在（0，）单调递减，在（，+）单调递增， 故当1 在 n5，或 n6 时取最小值， 当 n5 时1，当 n6 时，1 故的最小值为 故选：B 【点评】本题考查迭代法求数列的通项公式，涉及数列的最值，误用基本不等式是本题 的易错点，属中档题 12 （5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， a115， 且满足+1， 已知 n， mN， nm，则 SnSm的最小值为（ ） A B C14 D28 【分析】由+1，即1，5利用等差数列的通项公 式可得：an（2n5） （n6） ，当且仅
16、当 3n5 时，an0即可得出结论 【解答】解：由+1，即1，5 数列为等差数列，首项为5，公差为 1 5+n1，可得：an（2n5） （n6） ， 当且仅当 3n5 时，an0 已知 n，mN，nm， 则 SnSm的最小值为 a3+a4+a536514 故选：C 【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性， 第 9 页（共 16 页） 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）命题“x1，使得 x22”的否定是 x1，使得 x22 【分析】根据特称
17、命题的否定是全称命题进行求解即可 【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是” ，x1，使得 x22” ， 故答案为：x1，使得 x22 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决 本题的关键比较基础 14 （5 分）如果椭圆+1 上一点 P 到焦点 F1的距离等于 10，那么点 P 到另一个 焦点 F2的距离是 14 【分析】利用椭圆方程，求出长半轴的长，通过椭圆的定义求解点 P 到另一个焦点 F2 的距离 【解答】解：椭圆+1，可得 a12，由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|2a24， 椭圆+1 上一点 P 到焦点 F1的距离等于 10，
18、那么点 P 到另一个焦点 F2的距离 是：241014 故答案为：14 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力 15 （5 分） 已知数列 1， a1， a2， a3， 9 是等比数列， 数列 1， b1， b2， 9 是等差数列， 则 【分析】由等比数列的中项性质和奇数项的符号相同，可得 a23，再由等差数列的中项 性质可得 b1+b2，进而得到所求值 【解答】解：数列 1，a1，a2，a3，9 是等比数列，可得 a2219， 解得 a23， 由于 1，a2，9 均为奇数项，可得 a20，即 a23， 数列 1，b1，b2，9 是等差数列，可得 b1+b21+910
19、， 第 10 页（共 16 页） 则 故答案为： 【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查化简运算能力，属于基础题 16 （5 分）已知 a，bR，a+b4，则的最大值为 【分析】由题意可得+，设 ab1t，构造函数 f（t） ，利用导数求出函数的最值 【解答】解：a+b4， +， ， ， ， 设 ab1t， a+b4， tab1a（4a）1a2+4a1（a2）2+33， 令 f（t）， f（t）， 令 f（t）0，解得 t84，t8+4（舍去） ， 当 f（t）0 时，即 t84，函数 f（t）单调递增， 当 f（t）0 时，即 84t3，函数 f（t）单调递减， f（
20、t）maxf（84）， 故则+的最大值为， 第 11 页（共 16 页） 故答案为： 【点评】本题考查了导数在函数最值中的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档 题 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 题，第题，第 17 题题 10 分，第分，第 1822 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分，解答应写出分，解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分） （1）m 为何实数时，关于 x 的方程 x2+（2m4）x+m0 有两个不等实根？ （2）设实数 x 满足 x1，求的最小值，并求对应的 x 的值 【分析】 （1）根据根的判别式即可
21、求出， （2）利用基本不等式即可求出 【解答】解： （1）由0，即（2m4）24m0，解得 m4 或 m1， （2）， 当且仅当，即 x0 时，最小值为 1 【点评】本题考查了根的判别式和基本不等式，属于基础题 18 （12 分）已知 p：x27x+100，q：x24mx+3m20，其中 m0 （1）若 m3，p 和 q 都是真命题，求 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）分别求解一元二次不等式化简 p 与 q，结合 p 和 q 都是真命题，取交集求 x 的取值范围； （2）由 p 是 q 的充分不必要条件，可得关于 m 的不等式组
22、，求解得答案 【解答】解： （1）由 x27x+100，得 2x5，p：2x5； 由 x24mx+3m20，得 mx3m，q：mx3m 当 m3 时，q：3x9 p，q 都为真，3x5； （2）p：2x5，q：mx3m p 是 q 的充分不必要条件，解得 第 12 页（共 16 页） 实数 m 的取值范围是，2 【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查复合命题的真假判断，是基础题 19 （12 分）等差数列an的各项均为正数，a11，前 n 项和为 Sn等比数列bn中，b1 1，且 b2S26，b2+S38 （1）求数列an与bn的通项公式； （2）求 【分析】 （1）由题意要求数列an与bn
23、的通项公式只需求公差，公比因此可将公差公比 分别设为 d，q 然后根据等差数列的前项和公式代入 b2S26，b2+S38 求出 d，q 即可写 出数列an与bn的通项公式 （2） 由 （1） 可得即而要求故 结合的特征可变形为代入化简即可 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，d0，bn的等比为 q 则 an1+（n1）d，bnqn 1 依题意有，解得或（舍去） 故 ann，bn2n 1 （2）由（1）可得 【点评】本题第一问主要考查了求数列的通项公式较简单只要能写出 sn的表达式然后代 入题中的条件正确计算即可得解但要注意 d0第二问考查了求数列的前 n 项和，关键 是要分析数列通
24、项的特征将等价变形为然后代入计算， 这也是求数列前 n 项和的一种常用方法裂项相消法！ 20 （12 分）为迎接省运会，某市体育馆需要重新铺设塑胶跑道已知每毫米厚的跑道的铺 设成本为 10 万元，跑道平均每年的维护费 C（单位：万元）与跑道厚度 x（单位：毫米） 第 13 页（共 16 页） 的关系为若跑道厚度为 10 毫米，则平均每年的维护费需 要 9 万元设总费用 f（x）为跑道铺设费用与 10 年维护费之和 （1）求 k 的值与总费用 f（x）的表达式； （2）塑胶跑道铺设多厚时，总费用 f（x）最小，并求最小值 【分析】 （1）依题意，x10 时，C（10），求得 k 值，得到 C（x
25、）， 则 f（x）的解析式可求； （2）由（）得 f（x）10x+，变形后利用基本不等式求最值 【解答】解： （1）依题意，x10 时，C（10），解得 k36， C（x），则 f（x）10x+10x+，x10，15； （2）由（）得 f（x）10x+10x60+， 10（x6）+， 当且仅当 10（x6），即 x12 时取最小值， 答：当 x12 毫米时，总费用 f（x）最小，最小值为 180 万元 【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心为坐标原点，左焦点为 F1（1，0） ，
26、 离心率 （1）求椭圆 G 的标准方程； （2）已知直线 l1：ykx+m1与椭圆 G 交于 A，B 两点，直线 l2：ykx+m2（m1m2）与 椭圆 G 交于 C，D 两点，且|AB|CD|，如图所示 证明：m1+m20； 求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值 【分析】 （1）由焦点坐标及离心率可求得 a、b、c 即可 第 14 页（共 16 页） （2）利用弦长公式及韦达定理，表示出由|AB|、|CD|，由|AB|CD|得到 m1+m20， 边形 ABCD 是平行四边形，设 AB，CD 间的距离 d 由m1+m2 0得s |AB| d 2 即可 【解答】解： （1）设椭圆 G 的方程
27、为（ab0） 左焦点为 F1（1，0） ，离心率 ec1，a， b2a2c21 椭圆 G 的标准方程为： （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） 证明：由消去 y 得（1+2k2）x2+4km1x+2m1220 ， x1+x2，x1x2； |AB|2； 同理|CD|2， 由|AB|CD|得 22， m1m2，m1+m20 四边形 ABCD 是平行四边形，设 AB，CD 间的距离 d 第 15 页（共 16 页） m1+m20， s|AB|d2 . 所以当 2k2+12m12时，四边形 ABCD 的面积 S 的最大值为 2 【点评】本题考查了椭圆的
28、方程，弦长公式、韦达定理、运算能力，属于中档题 22 （12 分）数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2an3n（nN*） （1）证明数列an+3是等比数列，求出数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn； （3）数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的 项；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由已知数列递推式可得数列an+3是等比数列，结合等比数列的通项公式 求得数列an的通项公式； （2）把数列an的通项公式代入 bnan，然后利用错位相减法求数列bn的前 n 项和 Tn； （3）设存在 s、p、rN*，且 spr，使得 as、ap、ar
29、成等差数列，则 2apas+ar，得 2 （32p3）32s3+32r3，结合 2p s+1 为偶数，1+2r s 为奇数，可知 2p+12s+2r 不成立，故不存在满足条件的三项 【解答】 （1）证明：Sn2an3n，Sn+12an+13（n+1） ， 则 an+12an+12an3，an+12an+3， 即， 数列an+3是等比数列， a1S13，a1+36，则， ； 第 16 页（共 16 页） （2）解：， ， 令， ， 得， ， ； （3）解：设存在 s、p、rN*，且 spr，使得 as、ap、ar成等差数列，则 2apas+ar， 即 2（32p3）32s3+32r3， 即 2p+12s+2r，2p s+11+2rs， 2p s+1 为偶数，1+2r s 为奇数， 2p+12s+2r不成立，故不存在满足条件的三项 【点评】本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，考查数列的函数特性， 训练了学生的逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题
