1、2019-2020 学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）数列的通项公式 an是（ ） A B C D 2 （5 分）已知数据 x1，x2，x10的均值为 2，那么数据 2x1+3，2x2+3，2x10+3 的均 值为（ ） A2 B5 C7 D4 3 （5 分）已知 a0，b0，那么下列不等式中一定成立的是（ ） Aba0 B|a|b| Ca2ab D 4 （5 分）某市的 A，B，C 三个
2、学校共有学生 3000 名，且这三个学校学生人数之比为 3：3： 4 如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取 1 个容量为 200 的样本， 那么学校 C 应抽取 的学生数为（ ） A60 B70 C80 D30 5 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2（an+1） ，则 a2的值为（ ） A4 B2 C6 D8 6 （5 分）已知各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664，则公比 q（ ） A4 B3 C2 D 7 （5 分）不等式 ax2+bx+20 的解集是，则 ab 的值为（ ） A14 B14 C10 D10 8 （5 分）设an是等比数列，有下列四个命题：
3、是等比数列；anan+1是等比数列；是等比数列；lg|an|是等比 数列 其中正确的命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 9 （5 分）已知数列an满足 an+1，若 a1，则 a2019（ ） A B C3 D2019 第 2 页（共 18 页） 10 （5 分）若 f（x）x3+1，g（x）x2+x，则 x1 时，f（x）与 g（x）的大小关系为 （ ） Af（x）g（x） Bf（x）g（x） Cf（x）g（x） D随 x 值变化而变化 11 （5 分）放射性物质的半衰期 T 定义为每经过时间 T，该物质的质量会衰退原来的一半， 铅制容器中有两种放射性物质 A， B， 开始记录是容器中
4、物质 A 的质量是物质 B 的质量的 2 倍，而 120 小时后两种物质的质量相等，已知物质 A 的半衰期为 7.5 个小时，则物质 B 的半衰期为（ ） A10 小时 B8 小时 C12 小时 D15 小时 12 （5 分）正数 a，b 满足 2a+b1，且恒成立，则实数 t 的取值 范围是（ ） A （， B，+） C， D，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若 200 辆汽车通过某一路段的时速频率分布直方图如图所示，则时速在区间50， 60）内的汽车大约有 辆 14（5 分） 已知数列an满足， 则数列
5、an的通项公式为 an 15 （5 分） 已知函数 f （x） ， 则不等式 f （x） f （1） 的解集是 16 （5 分）设正实数 a，b 满足，则 2a+b 的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤 17 （10 分）甲、乙两个同学分别抛掷 1 枚质地均匀的骰子 （1）求他们抛掷点数相同的概率； 第 3 页（共 18 页） （2）求他们抛掷骰子的点数之和是 3 的倍数的概率 18 （12 分）设等差数列an的
6、前 n 项和为 Sn，已知 a324，S110 （1）求 an； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 19 （12 分）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总 成本 y（单位：万元）与日产量 x（单位：吨）之间的函数关系式为 y2x2+（154k） x+120k+2，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用 为 k 万元，除尘后当日产量 x1 时，总成本 y253 （1）求 k 的值； （2）若每吨产品出厂价为 59 万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大， 最大利润为多少？ 20 （12 分）数列an中，a31，Snan+
7、1（n1，2，3） （1）求 a1，a2； （2）求数列an的前 n 项和 Sn； （3）设 bnlog2Sn，存在数列cn使得 cnbn+3bn+41，试求数列cn的前 n 项和 21 （12 分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进行测量，得到数据（单位均为 cm）作为一个样本如表所示 脚掌长（x） 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 身高（y） 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203 （1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标， “身高”为纵坐标，作出散点图后，发现 散点在一
8、条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程； （2）若某人的脚掌长为 26.5cm，试估计此人的身高； （3）在样本中，从身高 180cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人作进一步的分析，求所抽取的 2 人中至少有 1 人身高在 190cm 以上的概率 （ 参 考 公 式 及 数 据 ： 线 性 回 归 方 程中 ， b 第 4 页（共 18 页） ， a b ， 其中 ， 为样本平均数；（xi） （yi） 577.5， （xi）282.5） 22 （12 分）已知函数 f（x）x22x+a（aR）的值域为0，+） ，记函数 （1）求实数 a 的值； （2）存在 x1，1使得不等式
9、 g（2x）m2x+1成立，求实数 m 的取值范围； （3）若关于 x 的方程有 5 个不等的实数根，求实数 k 的取 值范围 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）数列的通项公式 an是（ ） A B C D 【分析】an的项为分数，可以分分子
10、分母分别归纳，即可得到数列an通项公式 【解答】解：依题意，数列an的前几项为：a1； a2； a3； 则其通项公式 an 故选：C 【点评】本题考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式，属于基础题 2 （5 分）已知数据 x1，x2，x10的均值为 2，那么数据 2x1+3，2x2+3，2x10+3 的均 值为（ ） A2 B5 C7 D4 【分析】根据数据 x1，x2，x10的均值为 ，数据 ax1+b，ax2+b，ax10+b 的均值 为 a +b，计算即可 【解答】解：由数据 x1，x2，x10的均值为 2， 则数据 2x1+3，2x2+3，2x10+3 的均值为 2 +322+37
11、 故选：C 【点评】本题考查了根据一组数据的平均数计算另一组数据的平均数问题，是基础题 3 （5 分）已知 a0，b0，那么下列不等式中一定成立的是（ ） Aba0 B|a|b| Ca2ab D 【分析】根据 a，b 飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可 第 6 页（共 18 页） 【解答】解：若 a0，b0，则a0， 则 ba0，故 A 错误， |a|b|不一定成立， a2ab，则 C 不成立， 0，0，则，成立，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较 基础 4 （5 分）某市的 A，B，C 三个学校共有学生 3000 名，
12、且这三个学校学生人数之比为 3：3： 4 如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取 1 个容量为 200 的样本， 那么学校 C 应抽取 的学生数为（ ） A60 B70 C80 D30 【分析】用样本容量乘以学校 C 中的学生占的比例，即得所求 【解答】解：学校 C 中的学生占的比例为 ， 故学校 C 应抽取的人数为 20080， 故选：C 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题 5 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2（an+1） ，则 a2的值为（ ） A4 B2 C6 D8 【分析】根据 Sn和 an的关系，求出 a1，再令 n2，将 a1代入即可得到 a
13、2的值 【解答】解：依题意，数列an的前 n 项和为 Sn， 当 n1 时，a1S12（a1+1） ，解得 a12， 当 n2 时，S22（a2+2）a1+a2， 解得 a24， 故选：A 【点评】本题考查了数列的前 n 项和与数列的通项公式之间的关系，考查了分析解决问 题的能力和推理能力，属于基础题 6 （5 分）已知各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664，则公比 q（ ） A4 B3 C2 D 第 7 页（共 18 页） 【分析】利用等比数列的通项公式列方程组，能求出公比 【解答】解：各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664， ，且 q0， 解得，q2， 公比 q2 故选
14、：C 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 7 （5 分）不等式 ax2+bx+20 的解集是，则 ab 的值为（ ） A14 B14 C10 D10 【分析】由不等式 ax2+bx+20 的解集是，可得，是一元二次 方程 ax2+bx+20 的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出 【解答】解：不等式 ax2+bx+20 的解集是，可得，是一元二 次方程 ax2+bx+20 的两个实数根， ， 解得 a12，b2， ab12（2）10， 故选：D 【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，考 查了计算
15、能力，属于基础题 8 （5 分）设an是等比数列，有下列四个命题： 是等比数列；anan+1是等比数列；是等比数列；lg|an|是等比 数列 其中正确的命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由an是等比数列可得，根据等比数列的判断方法，分别 第 8 页（共 18 页） 检验是否为常数进行判断 【解答】解：an是等比数列可得 ，故正确 ，故正确 为常数，故正确 ，故错误 故选：C 【点评】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判 断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数 9 （5 分）已知数列an满足 an+1，若 a1，则 a2019（
16、 ） A B C3 D2019 【分析】依题意，数列an具有周期，根据数列的前几项，推出数列an的周期，即可求 出 a2019的值 【解答】解：依题意，a1， 则 a2； a33； 第 9 页（共 18 页） a4； 所以数列an以 3 为周期的数列， 所以 a3k+1，a3k+2，a3k3， 所以 a2019a36733 故选：C 【点评】本题考查了数列的递推公式，数列的周期性，考查了分析问题解决问题的能力， 考查了推导能力属于基础题 10 （5 分）若 f（x）x3+1，g（x）x2+x，则 x1 时，f（x）与 g（x）的大小关系为 （ ） Af（x）g（x） Bf（x）g（x） Cf（
17、x）g（x） D随 x 值变化而变化 【分析】作差可得出 f（x）g（x）（x1）2（x+1） ，从而根据 x1 即可得出 f（x） 与 g（x）的大小关系 【解答】解：f（x）g（x）x3+1x2x（x1） （x21）（x1）2（x+1） ， x1， x+10，且（x1）20， （x1）2（x+1）0， f（x）g（x） 故选：A 【点评】本题考查了作差比较法的运用，考查了计算能力，属于基础题 11 （5 分）放射性物质的半衰期 T 定义为每经过时间 T，该物质的质量会衰退原来的一半， 铅制容器中有两种放射性物质 A， B， 开始记录是容器中物质 A 的质量是物质 B 的质量的 2 倍，而
18、120 小时后两种物质的质量相等，已知物质 A 的半衰期为 7.5 个小时，则物质 B 的半衰期为（ ） A10 小时 B8 小时 C12 小时 D15 小时 【分析】16 设 mB1 则 mA2 设物质 B 的半衰期为 t 由题意可得： 2 ，解得 t 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：16设 mB1则 mA2 设物质 B 的半衰期为 t 由题意可得：2，解得 t8 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （5 分）正数 a，b 满足 2a+b1，且恒成立，则实数 t 的取值 范围是（ ） A （， B，+） C， D，+） 【分析
19、】由 a0，b0，2a+b1 得，4a2+b214ab，于是问题转化为：t2+4ab 恒成立，令 f（a，b）2+4ab，求得 f（a，b）的最大值，只需 tf（a，b） max即可 【解答】解：a0，b0，2a+b1， 4a2+b214ab， 24a2b2t恒成立，转化为 t2+4ab恒成立， 令 f（a，b）2+4ab4（ab+）4， 又由 a0，b0，2a+b1 得：12a+b2， ab（当且仅当 a，b时取“” ） ； f（a，b）max4 t 故选：B 【点评】本题考查不等式的综合，关键在于构造函数 f（a，b）2+4ab，通过 配方与应用基本不等式解决，着重考查转化思想与综合分析与
20、应用的能力，属于难题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若 200 辆汽车通过某一路段的时速频率分布直方图如图所示，则时速在区间50， 60）内的汽车大约有 60 辆 第 11 页（共 18 页） 【分析】由已知中的频率分布直方图为 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布 直方图，我们可得到样本容量，再由图中分析出时速在50，60的频率，即可得到该组数 据的频数，进而得到答案 【解答】解：由已知可得样本容量为 200， 又数据落在区间的频率为 0.03100.3 时速在50，60的汽车大约有 2000.36
21、0 故答案为 60 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知中的频率分布直方图结合 频率矩形高组距计算各组的频率是解答此类问题的关键 14 （5 分）已知数列an满足，则数列an的通项公式为 an n 【分析】直接利用数列的递推关系式和叠乘法的应用求出结果 【解答】解：数列an满足， 则当 n2 时， 所有的式子相乘得，整理得 ann（首项符合通项） 故 ann 故答案为：n 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15 （5 分）已知函数 f（x），则不等式 f（x）f（1）的解集是 x|
22、x 1 或 x2 第 12 页（共 18 页） 【分析】先求出 f（1）的值，由 得 x 的范围，再由 求得 x 的 范围，再取并集即得所求 【解答】解：， f（1）4 由解得 x2 由 解得 x1 故不等式 f（x）f（1）的解集是x|x1 或 x2， 故答案为：x|x1 或 x2 【点评】本题主要考查指数不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的 数学思想，属于中档题 16 （5 分）设正实数 a，b 满足，则 2a+b 的最小值为 【分析】设 t2a+b，利用判别式法求出 t 的范围，再用基本不等式验证，得出答案 【解答】解：设 t2a+b（t0） ，所以 bt2a，带入1，
23、得1，化简得 6a2+（15t）a+t20， 方程有根，（15t）224t20， 化简 t210t+10，解得 t5+2或者 t52 由12，所以 a4，所以 2a+bt4 所以 t5+2 故答案为：5+2 【点评】本题利用判别式法，基本不等式法，中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤 17 （10 分）甲、乙两个同学分别抛掷 1 枚质地均匀的骰子 （1）求他们抛掷点数相同的概率； 第 13 页（共 18 页） （2）
24、求他们抛掷骰子的点数之和是 3 的倍数的概率 【分析】甲、乙两个同学分别抛掷 1 枚质地均匀的骰子，算出总的基本事件个数 （1）记“他们抛掷点数相同”为事件 A，算出 A 包含了基本事件个数，即可得到答案； （2）记“他们抛掷骰子的点数之和是 3 的倍数”为事件 B，数出 B 包含了基本事件个数， 即可得到答案 【解答】解： （1）甲、乙两个同学分别抛掷 1 枚质地均匀的骰子，基本事件：共有 36 个， 用（a，b）来表示两枚骰子向上的点数 记“他们抛掷点数相同”为事件 A，则 A 包含基本事件： （1，1） ； （2，2） ； （3，3） ； （4， 4） ； （5，5） ； （6，6） ，
25、共 6 种， 故 （2）记“他们抛掷骰子的点数之和是 3 的倍数”为事件 B，则 B 包含基本事件有： （1，2） ， （2，1） ， （1，5） ， （5，1） ， （2，4） ， （4，2） ， （3，3） ， （4，5） ， （5，4） ， （3，6） ， （6，3） ， （6，6）共 12 种 故 【点评】本题考查分步计数原理，考查用列举法得到事件数，考查古典概型的概率公式， 这是很好的一个题目，把解决古典概型概率的过程分析的层次分明属于基础题 18 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a324，S110 （1）求 an； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【分
26、析】 （1） 设等差数列an的首项为 a1， 公差为 d， 由已知列关于首项与公差的方程组， 求解首项与公差，则通项公式可求； （2）由（1）中求得的首项与公差，直接代入等差数列的前 n 项和公式即可求数列an 的前 n 项和 Sn 第 14 页（共 18 页） 【解答】解 （1）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 由 a324，S110，得，解得， ； （2）由 a140，d8， 得4n2+44n 【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，是基础题 19 （12 分）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总 成本 y（单位：万元）与日产量 x（单位
27、：吨）之间的函数关系式为 y2x2+（154k） x+120k+2，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用 为 k 万元，除尘后当日产量 x1 时，总成本 y253 （1）求 k 的值； （2）若每吨产品出厂价为 59 万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大， 最大利润为多少？ 【分析】 （1）把 x1 代入总成本公式列方程计算得出 k 的值； （2）得出每吨产品的利润关于产量 x 的函数，利用基本不等式得出答案 【解答】 解：（1） 由题意， 除尘后 y2x2+ （154k） x+120k+2+kx2x2+ （154k） x+120k+2， 当日产量
28、x1 时，总成本 y253， 故 2+153k+120k+2253， 解得 k2 （2）由（1）y2x2+9x+242， 总利润 L59x2x29x24250x2x2242， （x0） ， 每吨产品的利润， 当且仅当，即 x11 时取等号， 除尘后日产量为 11 吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为 6 万元 【点评】本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于基础题 20 （12 分）数列an中，a31，Snan+1（n1，2，3） （1）求 a1，a2； 第 15 页（共 18 页） （2）求数列an的前 n 项和 Sn； （3）设 bnlog2Sn，存在数列cn使得 cnbn+3bn+41
29、，试求数列cn的前 n 项和 【分析】 （1）通过已知的关系式直接求 a1，a2； （2）利用 an+1Sn+1Sn，与已知的关系式，推出数列Sn是等比数列，即可求数列an 的前 n 项和 Sn； （3） 设 bnlog2Sn， 求出 bn的表达式， 求出数列cn的通项公式， 通过裂项法求数列cn 的前 n 项和 【解答】解： （1）a1a2，a1+a2a3， 2a1a31， 2 分 （2）Snan+1Sn+1Sn， ，6 分 ，公比为 2 的等比数列 （nN*） 9 分 （3）bnlog2Sn，Sn2n 2， bnn2，bn+3n+1，bn+4n+2， 11 分 14 分 【点评】本题是中档
30、题，考查数列递推关系式的应用，数列通项公式的求法，前 n 项和 的求法，考查计算能力，逻辑推理能力 21 （12 分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进行测量，得到数据（单位均为 cm）作为一个样本如表所示 脚掌长（x） 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 身高（y） 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203 （1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标， “身高”为纵坐标，作出散点图后，发现 散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程； 第 16 页（共 18
31、页） （2）若某人的脚掌长为 26.5cm，试估计此人的身高； （3）在样本中，从身高 180cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人作进一步的分析，求所抽取的 2 人中至少有 1 人身高在 190cm 以上的概率 （ 参 考 公 式 及 数 据 ： 线 性 回 归 方 程中 ， b ， a b ， 其中 ， 为样本平均数；（xi） （yi） 577.5， （xi）282.5） 【分析】 （I）求出回归系数 、 ，写出线性回归方程； （）计算 x26.5 时 的值即可； （）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值 【解答】解： （I）由题意知， 7， 171.5724.50，2 y 关于 x
32、的线性回归方程为 7x；4 （）当 x26.5 时， 726.5185.5， 即脚长为 26.5cm 的人，身高约为 185.5cm；7 （）记身高在 180cm 以上的 4 人为 A，B，C，D，其中 C，D 为身高 190cm， 从这 4 人中随机抽取 2 人的情形有：AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种， 其中有 C 或 D 的有 5 种， 所求概率为 P12 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了列举法求古典概型的概 率问题 第 17 页（共 18 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）x22x+a（aR）的值域为0，+） ，记函数 （1）求实数 a 的
33、值； （2）存在 x1，1使得不等式 g（2x）m2x+1成立，求实数 m 的取值范围； （3）若关于 x 的方程有 5 个不等的实数根，求实数 k 的取 值范围 【分析】本题（1）利用解方程，求出 a； （2）利用转化思想，转化为求函数 h（t）的最小值问题 （3）利用分类讨论思想，对 x 的范围进行分情况讨论 【解答】解： （1）因为 f（x）x22x+a（x1）21+a， 即有 x1 时，f（1）0， 即 a10，解得 a1 （2）由已知可得 g（x）x+2， 由 g（2x）m2x+1可转化为，存在 x1，1，1+2m 成立， 令 t，2， 则问题转化为存在 t，2不等式 m成立， 记
34、h（t），则 h（t）minh（1）0，m0 （3）当 x0，2 时，f（x）10，所以 x0，2 不是方程的根； 当 x0，2 时，令 t|f（x）1|x22x|， 则当 x（，0）时，tx22x 单调递减，且 t（0，+） ， 当 x（0，1，tx22x 单调递增，且 t（0，1， 当 x（1，2）时，tx22x 单调递减，且 t（0，1） ， 当 x（2，+）时，tx22x 单调递增，且 t（0，+） ， 故原方程有 5 个不等实根可转化为 t2（k+2）t+（k+1）0 即为（t1）（t（k+1）0， 所以 t1 或 tk+1， 当 t1，方程有 3 个不等根， 故要使得原方程有 5 个不等实根，只要 tk+11，即 k0， 第 18 页（共 18 页） 所以 k 的取值范围是 k0 【点评】本题考查了分类讨论思想和转化思想，需要学生有较强的逻辑分析能力综合 性强，难度较大，属于中档题
