1、2018-2019 学年吉林省吉林市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）已知集合 A1，2，3，Bx|x29，则 AB（ ） A2，1，0，1，2，3 B2，1，0，1，2 C1，2，3 D1，2 2 （3 分）i（2+3i）（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3 （3 分）设 xR，则“2x0”是“|x1|1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （3 分）设 alog37，b21.1，c0.83.1，则（
2、） Abac Bcab Ccba Dacb 5 （3 分）在ABC 中，已知 a5，c10，A30，则 B 等于（ ） A105 B60 C15 D105或 15 6 （3 分）已知 x，y 满足约束条件则 zx+2y 的最大值是（ ） A3 B1 C1 D3 7 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，（1，2） ， （2，1）则（ ） A5 B4 C3 D2 8 （3 分）要得到函数 ysin（4x）的图象，只需要将函数 ysin4x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 9 （3 分）已知 F
3、1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF2，且PF2F1 60，则 C 的离心率为（ ） A1 B2 C D1 10 （3 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） 第 2 页（共 17 页） Aycosx Bysinx Cylnx Dyx2+1 11 （3 分）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2） ，则它的离心 率为（ ） A B C D 12 （3 分）若函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A （，2 B （，1 C2，+） D1，+） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小
4、题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） 13 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB2，ABC60，以该菱形的 4 个顶点为圆心的 扇形的半径都为 1若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是 14 （3 分）垂直于直线 yx+1 且与圆 x2+y21 相切于第一象限的直线方程是 15 （3 分）设 m、n 是两条不重合的直线，、 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn；若 ，m，则 m； 若 m，n 则 mn；若 ，则 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）
5、16 （3 分）更相减损术是出自九章算术的一种算法如图所示的程序框图是根据更相 减损术写出的，若输入 a91，b39，则输出的值为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 0 分）分） 17记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315 （1）求an的通项公式； 第 3 页（共 17 页） （2）求 Sn，并求 Sn的最小值 18 某种植园在芒果临近成熟时， 随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果， 其质量分别在100， 150） ，150，200） ，200，250） ，250，300） ，300，350） ，350，400） （单位：克）中， 经
6、统计得频率分布直方图如图所示 （1）经计算估计这组数据的中位数； （2）现按分层抽样从质量为250，300） ，300，350）的芒果中随机抽取 6 个，再从这 6 个中随机抽取 3 个，求这 3 个芒果中恰有 1 个在300，350）内的概率 19如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA12，AC2AB4，BAC60 （1）证明：B1C平面 ABC1； （2）求三棱锥 C1ABB1的体积 20已知直线 l 过抛物线 C：x22py（p0）的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物 线两交点间的距离为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若点 P（2，2） ，过点（2，4）的直线与抛物
7、线 C 相交于 A，B 两点，设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1和 k2求证：k1k2为定值，并求出此定值 21已知函数 f（x）x3+（1a）x2a（a+2）x+b（a，bR） （1）若函数 f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求 a，b 的值； 第 4 页（共 17 页） （2）若曲线 yf（x）存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围 22在极坐标系中，已知圆 C 的圆心（5，） ，半径 r3，Q 点在圆 C 上运动 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）若 P 点在线段 OQ 上，且|OP|：|PQ|2：3，求动点 P 的轨迹方程 第 5 页（共 17 页）
8、 2018-2019 学年吉林省吉林市高二（下）期末数学试卷（文科）学年吉林省吉林市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）已知集合 A1，2，3，Bx|x29，则 AB（ ） A2，1，0，1，2，3 B2，1，0，1，2 C1，2，3 D1，2 【分析】先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 AB 的值 【解答】解：集合 A1，2，3，Bx|x29x|3x3， AB1，2 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时
9、要认真审题，注意交集定义的合理运 用 2 （3 分）i（2+3i）（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解 【解答】解：i（2+3i）2i+3i23+2i 故选：D 【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 3 （3 分）设 xR，则“2x0”是“|x1|1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：由 2x0 得 x
10、2， 由|x1|1 得1x11， 得 0x2 则“2x0”是“|x1|1”的必要不充分条件， 故选：B 第 6 页（共 17 页） 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以 及不等式的性质是解决本题的关键 4 （3 分）设 alog37，b21.1，c0.83.1，则（ ） Abac Bcab Ccba Dacb 【分析】分别讨论 a，b，c 的取值范围，即可比较大小 【解答】解：1log372，b21.12，c0.83.11， 则 cab， 故选：B 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论 5 （3 分）在ABC 中，已知
11、a5，c10，A30，则 B 等于（ ） A105 B60 C15 D105或 15 【分析】根据正弦定理 知，将题中数据代入即可求出角 C 的正弦值，然后 根据三角形的内角和，进而求出答案 【解答】解：知 a5，c10，A30 根据正弦定理可知 sinC C45或 135 B105 或 15 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理常用来运用 a：b：csinA：sinB： sinC 解决角之间的转换关系属于基础题 6 （3 分）已知 x，y 满足约束条件则 zx+2y 的最大值是（ ） A3 B1 C1 D3 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 【解答
12、】解：x，y 满足约束条件的可行域如图：目标函数 zx+2y 经过可 行域的 A 时，目标函数取得最大值， 第 7 页（共 17 页） 由：解得 A（1，2） ， 目标函数的最大值为：1+223 故选：D 【点评】本题考查线性规划的简单应用，确定目标函数的最优解是解题的关键，考查计 算能力 7 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，（1，2） ， （2，1）则（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】由向量加法的平行四边形法则可求的坐标，然后代入向量数量积的 坐标表示可求 【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，（3，1） 32+（1）15 故选：A 【
13、点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基 础试题 8 （3 分）要得到函数 ysin（4x）的图象，只需要将函数 ysin4x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果 【解答】解：要得到函数 ysin（4x）的图象，只需要将函数 ysin4x 的图象向右 第 8 页（共 17 页） 平移个单位， 即：ysin4（x）sin（4x） 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函 数图象的变换能力，属于基础题型
14、 9 （3 分）已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF2，且PF2F1 60，则 C 的离心率为（ ） A1 B2 C D1 【分析】利用已知条件求出 P 的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可 【解答】解：F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF2，且PF2F1 60，可得椭圆的焦点坐标 F2（c，0） ， 所以 P（c，c） 可得：，可得，可得 e48e2+4 0，e（0，1） ， 解得 e 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 10 （3 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A
15、ycosx Bysinx Cylnx Dyx2+1 【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择 【解答】解：对于 A，定义域为 R，并且 cos（x）cosx，是偶函数并且有无数个零点； 第 9 页（共 17 页） 对于 B，sin（x）sinx，是奇函数，由无数个零点； 对于 C，定义域为（0，+） ，所以是非奇非偶的函数，有一个零点； 对于 D，定义域为 R，为偶函数，没有零点； 故选：A 【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断求函数的定义域；如果定义域关 于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断 f（x）与 f（x） 的关系；
16、相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与 x 轴的交点以及与对 应方程的解的个数是一致的 11 （3 分）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2） ，则它的离心 率为（ ） A B C D 【分析】先求渐近线斜率，再用 c2a2+b2求离心率 【解答】解：渐近线的方程是 yx， 24，a2b， ca，e， 即它的离心率为 故选：D 【点评】本题考查双曲线的几何性质 12 （3 分）若函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A （，2 B （，1 C2，+） D1，+） 【分析】求出导函数 f（x） ，由于函数
17、 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增， 可得 f（x）0 在区间（1，+）上恒成立解出即可 【解答】解：f（x）k， 函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增， f（x）0 在区间（1，+）上恒成立 k， 而 y在区间（1，+）上单调递减， 第 10 页（共 17 页） k1 k 的取值范围是：1，+） 故选：D 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中 档题 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） 13 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB2，ABC60，以该菱形的 4 个
18、顶点为圆心的 扇形的半径都为 1若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是 【分析】由已知求出菱形的面积，再由扇形的面积公式求出菱形内空白部分的面积，由 面积比得答案 【解答】解：在菱形 ABCD 中，AB2，ABC60， ， 以 A 和 C 为圆心的扇形面积和为， 以 B 和 D 为圆心的扇形面积和为 2， 菱形内空白部分的面积为， 则在菱形内 随机取一点，该点取自黑色部分的概率是 故答案为： 【点评】本题考查几何概型，关键是熟记扇形的面积公式，是中档题 14 （3 分）垂直于直线 yx+1 且与圆 x2+y21 相切于第一象限的直线方程是 x+y 0 【分析】设所求的直线
19、为 l，根据直线 l 垂直于 yx+1，设 l 方程为 yx+b，即 x+y+b 0根据直线 l 与圆 x2+y21 相切，得圆心 0 到直线 l 的距离等于 1，由点到直线的距 离公式建立关于 b 的方程，解之可得 b，最后根据切点在第一象限即可得到满足 题意直线的方程 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：设所求的直线为 l， 直线 l 垂直于直线 yx+1，可得直线的斜率为 k1， 设直线 l 方程为 yx+b，即 x+yb0， 直线 l 与圆 x2+y21 相切， 圆心到直线的距离 d1，解之得 b 当 b时，可得切点坐标（，） ，切点在第三象限； 当 b时，可得切点坐标（，） ，
20、切点在第一象限； 直线 l 与圆 x2+y21 的切点在第一象限， b不符合题意，可得 b， 则直线方程为 x+y0 故答案为：x+y0 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于 圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键 15 （3 分）设 m、n 是两条不重合的直线，、 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn；若 ，m，则 m； 若 m，n 则 mn；若 ，则 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上） 【分析】由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可判断；由面面平行的性质 定理和线面垂直的性质定理，可判断；由
21、线面平行的性质定理、线线的位置关系可判 断；由面面的位置关系可判断 【解答】解：m、n 是两条不重合的直线，、 是三个不同的平面， 若 m，n，可得过 n 的平面与 交于 l，推得 nl，则 mn，故正确； 若 ，可得 ，又 m，则 m，故正确； 若 m，n，则 m、n 平行、相交或异面，故错误； 若 ，则 、 相交或平行，故错误 故答案为： 【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质， 考查空间想象能力和推理能力，属于基础题 16 （3 分）更相减损术是出自九章算术的一种算法如图所示的程序框图是根据更相 第 12 页（共 17 页） 减损术写出的，若输入 a
22、91，b39，则输出的值为 13 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到 结论 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a91，b39 ab，a913952； ab，a523913； ab，b391326； ab，b261313； 此时 ab，输出 a13 故答案为：13 【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的 运用，是基础题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 0 分）分） 17记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315 （1）求an的通项公式； （2）求 Sn，并求 Sn的最小
23、值 【分析】 （1）根据 a17，S315，可得 a17，3a1+3d15，求出等差数列an 的公差，然后求出 an即可； （2）由 a17，d2，an2n9，得 Snn28n （n4）216，由此可求出 Sn以及 Sn的最小值 【解答】解： （1）等差数列an中，a17，S315， 第 13 页（共 17 页） a17，3a1+3d15，解得 a17，d2， an7+2（n1）2n9； （2）a17，d2，an2n9， Snn28n（n4）216， 当 n4 时，前 n 项的和 Sn取得最小值为16 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项的和公式，属 于中档题
24、18 某种植园在芒果临近成熟时， 随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果， 其质量分别在100， 150） ，150，200） ，200，250） ，250，300） ，300，350） ，350，400） （单位：克）中， 经统计得频率分布直方图如图所示 （1）经计算估计这组数据的中位数； （2）现按分层抽样从质量为250，300） ，300，350）的芒果中随机抽取 6 个，再从这 6 个中随机抽取 3 个，求这 3 个芒果中恰有 1 个在300，350）内的概率 【分析】 （1）由频率分布直方图先求出100，250）的频率和250，300）的频率，由此能 求出该样本的中位数 （2）抽取的
25、 6 个芒果中，质量在250，300）和300，350）内的分别有 4 个和 2 个设 质量在250，300）内的 4 个芒果分别为 A，B，C，D，质量在300，350）内的 2 个芒果 分别为 a， b， 从这 6 个芒果中选出 3 个， 利用列举法能求出这 3 个芒果中恰有 1 个在300， 350）内的概率 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： 100，250）的频率为（0.002+0.002+0.003）500.35， 250，300）的频率为 0.008500.4， 第 14 页（共 17 页） 该样本的中位数为：250+268.75 （2）抽取的 6 个芒果中，质量在250，
26、300）和300，350）内的分别有 4 个和 2 个 设质量在250，300）内的 4 个芒果分别为 A，B，C，D，质量在300，350）内的 2 个芒 果分别为 a，b， 从这 6 个芒果中选出 3 个的情况共有： （A，B，C） ， （A，B，D） ， （A，B，a） ， （A，B，b） ， （A，C，D） ， （A，C，a） ， （A，C， b） ， （A，D，a） ， （A，D，b） ， （A，a，b） ， （B，C，D） ， （B，C，a） ， （B，C，b） ， （B，D，a） ， （B，D，b） ， （B，a，b） ， （C，D， a） ， （C，D，b） ， （C，a，b）
27、 ， （D，a，b） ，共计 20 种， 其中恰有一个在300，350）内的情况有： （A，B，a） ， （A，B，b） ， （A，C，a） ， （A，C，b） ， （A，D，a） ， （A，D，b） ， （B，C，a） ， （B，C，b） ， （B，D，a） ， （B，D，b） ， （C，D，a） ， （C，D，b）共计 12 种， 这 3 个芒果中恰有 1 个在300，350）内的概率为 P 【点评】本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查 运用求解能力，是基础题 19如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA12，AC2AB4，BAC60 （1）证明：B1C
28、平面 ABC1； （2）求三棱锥 C1ABB1的体积 【分析】 （1）由 ABCA1B1C1为直三棱柱，得 BB1AB，求解三角形可得 ABBC，则 AB平面 BB1C1C，得 ABB1C，再由 B1CBC1，可得 B1C平面 ABC1； （2）直接利用等积法求三棱锥 C1ABB1的体积 【解答】 （1）证明：ABCA1B1C1为直三棱柱，BB1AB， 在ABC 中，由 AC2AB4，BAC60， 第 15 页（共 17 页） 可得 BC2AB2+AC22ABACcos6012， 则 AB2+BC2AC2，ABBC， 又 BCBB1B，AB平面 BB1C1C，得 ABB1C， 由，得 B1CB
29、C1， 又 ABBC1B， B1C平面 ABC1； （2） 【点评】本题考查线面垂直的判定，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求 解能力，是中档题 20已知直线 l 过抛物线 C：x22py（p0）的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物 线两交点间的距离为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若点 P（2，2） ，过点（2，4）的直线与抛物线 C 相交于 A，B 两点，设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1和 k2求证：k1k2为定值，并求出此定值 【分析】 （1）由题意可知，2p2，即可求出抛物线的方程， （2）设直线 l 的方程为：y4k（x+2）A（x1，y1） ，B
30、（x2，y2） ，分别求出 k1和 k2， 以及韦达定理即可证明 【解答】解： （1）由题意可知，2p2，抛物线的方程为 x22y 证明（2）已知 P（2，2） ，设直线 l 的方程为：y4k（x+2）A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， 第 16 页（共 17 页） 联立抛物线 x22y 与直线 y4k（x+2）的方程消去 y 得 x22kx4k80 可得 x1+x22k，x1x24k8，代入 k1k2可得 k1k21 因此 k1k2可以为定值，且该定值为1 【点评】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和 运算求解能力 21已知函数 f（x
31、）x3+（1a）x2a（a+2）x+b（a，bR） （1）若函数 f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求 a，b 的值； （2）若曲线 yf（x）存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围 【分析】求出原函数的导函数 （1）由函数 f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3 得到方程组 ，解方程组求得 a，b 的值； （2）把曲线 yf（x）存在两条垂直于 y 轴的切线转化为函数 f（x）有两个极值点，进 一步转化为关于 x 的方程 f（x）3x2+2（1a）xa（a+2）0 有两个不相等的实数 根，然后尤其判别式大于 0 求得 a 的范围 【解答】解：由 f（x）x3+
32、（1a）x2a（a+2）x+b（a，bR） ，得 f（x）3x2+2（1a）xa（a+2） （1）由题意得， 解得：b0，a3 或 1； （2）曲线 yf（x）存在两条垂直于 y 轴的切线， 关于 x 的方程 f（x）3x2+2（1a）xa（a+2）0 有两个不相等的实数根， 4（1a）2+12a（a+2）0，即 4a2+4a+10， a a 的取值范围是（，）（，+） 【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，着重考查了数学转化思 想方法，是中档题 22在极坐标系中，已知圆 C 的圆心（5，） ，半径 r3，Q 点在圆 C 上运动 第 17 页（共 17 页） （1）求圆 C
33、的极坐标方程； （2）若 P 点在线段 OQ 上，且|OP|：|PQ|2：3，求动点 P 的轨迹方程 【分析】 （1）运用 xcos，ysin，x2+y22，先求圆 C 的直角坐标方程，再化为 极坐标方程； （2）由题意可得，设 O（0，0） ，P（x，y） ，Q（m，n） ，运用代入法，以及 Q 在圆 C 上，化简可得所求轨迹方程 【解答】解： （1）圆心（5，） ，又 xcos，ysin， 即 C 的直角坐标为（，） ， 由圆的半径为 3，可得圆 C 的直角坐标方程为（x）2+（y）29， 即为 x2+y25x5y+160， 由 xcos，ysin，x2+y22， 可得圆 C 的极坐标方程为 25（cos+sin）+160， 即为 210cos（）+160； （2）P 点线段 OQ 上，且|OP|：|PQ|2：3， 即为， 设 O（0，0） ，P（x，y） ，Q（m，n） ，可得 x，y， 即有 mx，ny， 由 m2+n25m5n+160， 可得 25x2+25y250x50y+640， 即为 x2+y22x2y+0， 即为动点 P 的轨迹方程 【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及动点轨迹方程的求法，考查 化简运算能力，属于中档题
