1、2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 A 1，2，3，4，5，6，Bx|2x5，则 A（RB）等于（ ） A 2，3，4，5 B 1，2，5，6 C 3，4 D 1，6 2 （5 分）的共轭复数是（ ） A+i Bi C+i Di 3 （5 分）将 t2 输入以下程序框图，得结果为（ ） A6 B5 C4 D3 4 （5 分）函数 y+
2、的定义域为（ ） A，+） B （，3）（3，+） C，3）（3，+） D （3，+） 5 （5 分）若大前提是：任何实数的平方都大于 0，小前提是：aR，结论是：a20，那么 这个演绎推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D没有错误 6 （5 分） （log29） （log34）（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C2 D4 7 （5 分）已知函数，那么 f（ln2）的值是（ ） A0 B1 Cln（ln2） D2 8 （5 分）函数 f（x）xln|x|的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）如图是根据变量 x，y 的观测数据（xi，yi） （i1，2，
3、10）得到的散点图，由 这些散点图可以判断变量 x，y 具有相关关系的图是（ ） A B C D 10 （5 分）已知函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数 a 的取值范围 第 3 页（共 19 页） 是（ ） A （1，3） B （1，2） C （0，3） D （0，2） 11 （5 分）设 alog0.50.6，blog1.10.6，c1.10.6，则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 12 （5 分）已知函数 f（x）满足对任意的实数 x1x2都有 0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，2） B （， C （，2 D，2） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题
4、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若 0a1，b1，则函数 f（x）ax+b 的图象不经过第 象限 14（5 分） 原点与极点重合， x 轴正半轴与极轴重合， 则点 （2， 2） 的极坐标是 15 （5 分）观察下列等式照此规律，第 n 个等式为 11 2+3+49 3+4+5+6+725 4+5+6+7+8+9+1049 16 （5 分）已知函数 f（x）（x2） （ax+b）为偶函数，且在（0，+）上单调递增，则 f（2x）0 的解集为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 分，解答须写出
5、文字说明，证明过程和演算步骤） 17 （10 分） “DD 共享单车”是为城市人群提供便捷经济、绿色低碳的环保出行方式，根据 日前在三明市的投放量与使用的情况，有人作了抽样调查，抽取年龄在二十至五十岁的 不同性别的骑行者，统计数据如下表所示： 男性 女性 合计 2035 岁 a 40 100 3650 岁 40 d 90 合计 100 90 190 （）求统计数据表中 a，d 的值； 第 4 页（共 19 页） （） 假设用抽到的 100 名 2035 岁年龄的骑行者作为样本估计全市的该年龄段男女使 用”DD 共享单车“情况，现从全市的该年龄段骑行者中随机抽取 3 人，求恰有一名女性 的概率；
6、 （）根据以上列联表，判断使用”DD 共享单车“的人群中，能否有 95%的把握认为” 性别“与”年龄“有关，并说明理由 参考数表 P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式 K2，na+b+c+d 18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为： cos+sin+1 0 （1）将曲线 C 的参数方程与直线 l 的极坐标方程化为普通方程； （2）P 是曲线 C 上一动点，求 P 到直线 l 的距离
7、的最大值 19 （12 分）通过市场调查，得到某种产品的资金投入 x（万元）与获得的利润 y（万元） 的数据，如表所示： 资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9 （）画出数据对应的散点图； （）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程 bx+a； （）现投入资金 10 万元，求获得利润的估计值为多少万元？ （参考公式：） 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P（0，1）且斜率为 1，以 O 为极点，x 轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2sin+2cos 第 5 页（共 19 页） （）求直线 l 的参数方程与
8、曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 的交点为 A、B，求|PA|+|PB|的值 21 （12 分）设 a0，b0，且求证： （1）a+b2； （2）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 22 （12 分）已知函数 f（x）loga（x+3）loga（3x） ，a0 且 a1 （1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断并证明函数 f（x）的奇偶性； （3）若 a1，指出函数的单调性，并求函数 f（x）在区间0，1上的最大值 第 6 页（共 19 页） 2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （下）学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （下
9、） 期末数学试卷（文科）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 A 1，2，3，4，5，6，Bx|2x5，则 A（RB）等于（ ） A 2，3，4，5 B 1，2，5，6 C 3，4 D 1，6 【分析】进行补集、交集的运算即可 【解答】解：RBx|x2，或 x5； A（RB）1，2，5，6 故选：B 【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，交集
10、、补集的运算 2 （5 分）的共轭复数是（ ） A+i Bi C+i Di 【分析】直接利用复数的除法运算化为 a+bi（a，bR） ，则复数的共轭复数可求 【解答】解：由 的共轭复数是 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分 母的共轭复数，是基础题 3 （5 分）将 t2 输入以下程序框图，得结果为（ ） 第 7 页（共 19 页） A6 B5 C4 D3 【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算 s的值，结合 t 的值即可计算 s 的值 【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算 s的值， 由于 t21，可得 s42224
11、故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 4 （5 分）函数 y+的定义域为（ ） A，+） B （，3）（3，+） C，3）（3，+） D （3，+） 【分析】根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可 【解答】解：函数 y+， ， 解得 x且 x3； 函数 y 的定义域为，3）（3，+） 故选：C 第 8 页（共 19 页） 【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题 5 （5 分）若大前提是：任何实数的平方都大于 0，小前提是：aR，结论是：a20，那么 这个演绎推理（ ） A
12、大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D没有错误 【分析】分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案 【解答】解：任何实数的平方大于 0，因为 a 是实数，所以 a20， 其中大前提是：任何实数的平方大于 0 是不正确的， 因为 a0 时，a20，此时 a20 不成立， 所以大前提是错误的，致使得出的结论错误 故选：A 【点评】本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进 行逐一判定，得出正确的结论，是基础题 6 （5 分） （log29） （log34）（ ） A B C2 D4 【分析】直接利用换底公式求解即可 【解答】解： （log29） （lo
13、g34）4 故选：D 【点评】本题考查对数的换底公式的应用，考查计算能力 7 （5 分）已知函数，那么 f（ln2）的值是（ ） A0 B1 Cln（ln2） D2 【分析】先判断 ln21，代入 f（x）ex1，利用进行化简求值 【解答】解：ln21，f（ln2）eln21211， 故选：B 【点评】本题考查了分段函数求值问题，主要是判断出自变量的范围，再代入对应的关 系式进行求解 8 （5 分）函数 f（x）xln|x|的图象大致为（ ） 第 9 页（共 19 页） A B C D 【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值 的符号是否对应进行判断即可 【
14、解答】解：f（x）xln|x|xlnxf（x） ，则函数 f（x）是奇函数， 图象关于原点对称，排除 B，D， 当 x时，f（）ln|ln0，排除 C， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应 性是否一致进行排除是解决本题的关键 9 （5 分）如图是根据变量 x，y 的观测数据（xi，yi） （i1，2，10）得到的散点图，由 这些散点图可以判断变量 x，y 具有相关关系的图是（ ） 第 10 页（共 19 页） A B C D 【分析】通过观察散点图可以知道，y 随 x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与 y 负相关，u 随 v 的增大而
15、增大，各点整体呈上升趋势，u 与 v 正相关 【解答】解：由题图可知，y 随 x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与 y 负相关， 由题图可知，u 随 v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与 v 正相关 故选：D 【点评】本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，粗略的反应两个变 量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关 10 （5 分）已知函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数 a 的取值范围 是（ ） A （1，3） B （1，2） C （0，3） D （0，2） 【分析】由题意可得 f（1）f（2）（0a） （3a）0，解不等式求得实数 a 的取值 范围
16、【解答】解：由题意可得 f（1）f（2）（0a） （3a）0，解得 0a3， 故实数 a 的取值范围是（0，3） ， 故选：C 【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题 11 （5 分）设 alog0.50.6，blog1.10.6，c1.10.6，则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【解答】解：log0.510alog0.50.6log0.50.51， blog1.10.6log1.110， c1.10.61.101 bac 故选：C 【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等
17、基础知识， 第 11 页（共 19 页） 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 12 （5 分）已知函数 f（x）满足对任意的实数 x1x2都有 0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，2） B （， C （，2 D，2） 【分析】由已知可得函数 f（x）在 R 上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且 在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数 a 的取值范围 【解答】解：若对任意的实数 x1x2都有0 成立， 则函数 f（x）在 R 上为减函数， 函数 f（x）， 故， 解得：a（， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象
18、和性质的综 合应用，难度中档 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若 0a1，b1，则函数 f（x）ax+b 的图象不经过第 一 象限 【分析】函数 f（x）ax（0a1）是指数函数，在 R 上单调递减，过定点（0，1） ， 过一、二象限，函数 f（x）ax+b 的图象由函数 f（x）ax的图象向下平移|b|个单位得 到，与 y 轴相交于原点以下，可知图象不过第一象限 【解答】解：函数 f（x）ax（0a1）的是减函数，图象过定点（0，1） ，在 x 轴上 方，过一、二象限， 函数 f（x）ax+b 的图象由函数
19、 f（x）ax的图象向下平移|b|个单位得到， b1，|b|1，函数 f（x）ax+b 的图象与 y 轴交于负半轴， 如图，函数 f（x）ax+b 的图象过二、三、四象限 第 12 页（共 19 页） 故答案为一 【点评】本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、 形状不发生变化，结合图形，一目了然 14 （5 分） 原点与极点重合， x 轴正半轴与极轴重合， 则点 （2， 2） 的极坐标是 （4， ） 【分析】由点（2，2） ，求出 4，tan， 且 在第三象限，由此能求出点（2，2）的极坐标 【解答】解：点（2，2） ， 4， tan，且 在第三象限， 点（2，2
20、）的极坐标是（4，） 故答案为： （4，） 【点评】本题考查点的极坐标的求法，考查直角坐标与极坐标的互化等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 15 （5 分）观察下列等式照此规律，第 n 个等式为 n+（n+1）+（n+2）+（3n2） （2n1）2 11 2+3+49 3+4+5+6+725 第 13 页（共 19 页） 4+5+6+7+8+9+1049 【分析】由图知，第 n 个等式的等式左边第一个数是 n，共 2n1 个连续整数的和，右边 是奇数 2n1 的平方，即可得结果 【解答】解：观察下列等式 11 2+3+49 3+4+5+6+725 4+5+6+7+8+9+1049 由图知
21、，第 n 个等式的等式左边第一个数是 n，共 2n1 个连续整数的和，右边是奇数 2n1 的平方， 故有 n+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2 【点评】本题考查归纳推理的运用，关键是从所给的式子中，发现变化的规律 16 （5 分）已知函数 f（x）（x2） （ax+b）为偶函数，且在（0，+）上单调递增，则 f（2x）0 的解集为 x|x0 或 x4 【分析】根据函数是偶函数，求出 a，b 关系，结合单调性确定 a 的符号即可得到结论 【解答】解：f（x）（x2） （ax+b）ax2+（b2a）x2b 为偶函数， b2
22、a0，即 b2a， 则 f（x）（x2） （ax+2a）a（x2） （x+2）ax24a， 在（0，+）单调递增，a0， 则由 f（2x）a（x） （4x）0 得 x（x4）0， 解得 x0 或 x4， 故不等式的解集为x|x0 或 x4， 故答案为x|x0 或 x4 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题 的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17 （10 分） “DD 共享单车”是为城市人群提供便捷经济、绿色低碳的环保出行方式，根据 第 14
23、页（共 19 页） 日前在三明市的投放量与使用的情况，有人作了抽样调查，抽取年龄在二十至五十岁的 不同性别的骑行者，统计数据如下表所示： 男性 女性 合计 2035 岁 a 40 100 3650 岁 40 d 90 合计 100 90 190 （）求统计数据表中 a，d 的值； （） 假设用抽到的 100 名 2035 岁年龄的骑行者作为样本估计全市的该年龄段男女使 用”DD 共享单车“情况，现从全市的该年龄段骑行者中随机抽取 3 人，求恰有一名女性 的概率； （）根据以上列联表，判断使用”DD 共享单车“的人群中，能否有 95%的把握认为” 性别“与”年龄“有关，并说明理由 参考数表 P（
24、K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式 K2，na+b+c+d 【分析】 （）根据表中数据计算 a、d 的值； （）依题意知每 1 次抽到女性的概率， 利用 n 次独立实验恰有 k 次发生的概率公式求出对应的概率值； （）根据列联表计算 K2，对照临界值得出结论 【解答】解： （）根据表中数据，计算 a1004060， d904050； （）依题意得，每一次抽到女性的概率为 P1， 所以抽取的 3 人中恰有一名女性的概率为 P； （）根据列联表，计算 第 15 页（共 19 页） K24.5983.841， 所以
25、在使用共享单车的人群中，有 95%的把握认为”性别“与”年龄“有关 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题 18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为： cos+sin+1 0 （1）将曲线 C 的参数方程与直线 l 的极坐标方程化为普通方程； （2）P 是曲线 C 上一动点，求 P 到直线 l 的距离的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 （2）利用（1）的结论，进一步利用三角函数关系式的恒等变变换和点到
26、直线的距离公 式的应用求出结果 【解答】解： （1）将曲线 C 的参数方程（ 为参数） ， 化为普通方程为， 直线 l 的极坐标方程为：cos+sin+10， 化为普通方程为 x+y+10 （2）设 P 到直线 l 的距离为 d， ， P 到直线 l 的距离的最大值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变变换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的 应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 19 （12 分）通过市场调查，得到某种产品的资金投入 x（万元）与获得的利润 y（万元） 的数据，如表所示： 资金投入
27、 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9 （）画出数据对应的散点图； 第 16 页（共 19 页） （）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程 bx+a； （）现投入资金 10 万元，求获得利润的估计值为多少万元？ （参考公式：） 【分析】 （1）分别以 x，y 为横纵坐标描点； （2）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （3）把 x10 代入回归方程计算 【解答】解： （1）作出散点图如下： （2） 4， 5 22+33+45+56+69117，22+32+42+52+6290 1.7， 51.741.8 线性回归方程为： 1.7x1.8 （3）当 x10
28、 时， 1.7101.815.2（万元） 当投入资金 10 万元，获得利润的估计值为 15.2 万元 【点评】本题考查了线性回归方程的求解，数值估计，属于基础题 第 17 页（共 19 页） 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P（0，1）且斜率为 1，以 O 为极点，x 轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2sin+2cos （）求直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 的交点为 A、B，求|PA|+|PB|的值 【分析】（） 根据直线l过点P （0， 1） 且斜率为1， 可得直线l的参数方程 由2sin+
29、2cos 利用互化公式即可得出曲线 C 的直角坐标方程 （） 将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程， 得， 利用|PA|+|PB|t1+t2| 即可得出答案 【解答】 （本题满分 10 分） 解： （）直线 l 过点 P（0，1）且斜率为 1， 故直线的倾斜角为 45， 故直线 l 的普通方程为（t 为参数） （2 分） 2sin+2cos，（3 分） 即 22sin+2cos 曲线 C 的直角坐标方程为（x1）2+（y1）22 （5 分） （）将直线的参数方程代入曲线方程（x1）2+（y1）22 得（7 分） t1+t2，t1t210 （9 分） （10 分） 【点评】本题考查了直线
30、参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方 程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21 （12 分）设 a0，b0，且求证： （1）a+b2； （2）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 【分析】 （1）由已知等式可得 ab1，再由基本不等式即可得证； 第 18 页（共 19 页） （2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明 【解答】证明： （1）由，得 ab1， 由基本不等式及 ab1，有，即 a+b2 （2）假设 a2+a2 与 b2+b2 同时成立， 则 a2+a2 且 b2+b2，则 a2+a+b2+b4， 即： （a+b）
31、2+a+b2ab4，由（1）知 ab1 因此（a+b）2+a+b6 而 a+b2，因此（a+b）2+a+b6，因此矛盾， 因此假设不成立，原结论成立 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查运算能力和 推理能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）loga（x+3）loga（3x） ，a0 且 a1 （1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断并证明函数 f（x）的奇偶性； （3）若 a1，指出函数的单调性，并求函数 f（x）在区间0，1上的最大值 【分析】 （1）由题意可得，从而求定义域； （2）可判断函数 f（x）是奇函数，再证明如下； （3）当 a1
32、 时，由复合函数的单调性及四则运算可得 f（x）为增函数，从而求最值 【解答】解： （1）由题意知， ； 解得，3x3； 故函数 f（x）的定义域为（3，3） ； （2）函数 f（x）是奇函数，证明如下， 函数 f（x）的定义域（3，3）关于原点对称； 则 f（x）loga（x+3）loga（3+x）f（x） ， 故函数 f（x）是奇函数 （3）当 a1 时，由复合函数的单调性及四则运算可得， f（x）loga（x+3）loga（3x）为增函数， 第 19 页（共 19 页） 则函数 f（x）在区间0，1上单调递增， 故 fmax（x）f（1）loga2 【点评】本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题
