1、2018-2019 学年吉林省吉林市三校联考高二（下）期末数学试卷一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知 Ax|1x2，Bx|x2+2x0，则 AB（ ） A （1，0） B （0，2） C （2，0） D （2，2） 2 （5 分）已知复数 zm23m+mi（mR）为纯虚数，则 m（ ） A0 B3 C0 或 3 D4 3 （5 分）已知平面向量 （1，3） ， （2，0） ，则| +2 |（ ） A B3 C D5 4 （5 分）各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a22，S6S46a4，则 a5 （ ）
2、A4 B10 C16 D32 5 （5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只兔子中随机 取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）已知函数 f（x）2sin（2x+） （0） ，若将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后关于 y 轴对称，则下列结论中不正确的是（ ） A B是 f（x）图象的一个对称中心 Cf（）2 D是 f（x）图象的一条对称轴 7 （5 分）若向区域 （x，y）|0x1，0y1内投点，则该点落在由直线 yx 与曲 线围成区域内的概率为（ ） A B C D 8 （5 分）设 xR，则“x25x
3、0”是“|x1|1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 20 页） 9 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件则 z3x+2y 的最大值是（ ） A1 B1 C10 D12 10 （5 分）若 x1，x2是函数 f（x）sinx（0）两个相邻的极值点，则 （ ） A2 B C1 D 11 （5 分）平行于直线 2x+y+10 且与圆 x2+y25 相切的直线的方程是（ ） A2x+y+50 或 2x+y50 B2x+y+0 或 2x+y0 C2xy+50 或 2xy50 D2xy+0 或 2xy0 12 （5 分）设 f（x）是
4、定义域为 R 的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（ ） Af（log3）f（2）f（2） Bf（log3）f（2）f（2） Cf（2）f（2）f（log3） Df（2）f（2）f（log3） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）的展开式中含 x 项的系数为 14 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若 ，m，则 m； 若 m，n，则 mn； 若 ，则 ； 其中正确命题的序号是 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx+（x0）
5、上的一个动点，则点 P 到 直线 x+y0 的距离的最小值是 第 3 页（共 20 页） 16 （5 分）更相减损术是出自九章算术的一种算法如图所示的程序框图是根据更相 减损术写出的，若输入 a91，b39，则输出的值为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （12 分）设an是等差数列，a110，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其面积 Sb2sinA （1）求的值； （2）设内角 A
6、 的平分线 AD 交 BC 于 D，求 b 19 （12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种 新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每 组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成 生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 第 4 页（共 20 页） 第一种生产方
7、式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2， P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20 （12 分）如图，AE平面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC 2 （）求证：BF平面 ADE； （）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； （）若二面角 EBDF 的余弦值为，求线段 CF 的长 21 （12 分）已知函数 f（x）（x2）ex+ax2+bx （1）若 a1，b2，求函数 f（x）的单调区间； （2）若 x1 是 f（x）的极小值点，求
8、实数 a 的取值范围 22 （10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 M（0，0） （00）在曲线 C：4cos 上， 直线 过点 A（0，4）且与 OM 垂直，垂足为 P （1）当 0时，求 0及 的极坐标方程 （2）当 M 在 C 上运动且点 P 在线段 OM 上时，求点 P 的轨迹的极坐标方程 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年吉林省吉林市三校联考高二（下）期末数学试卷学年吉林省吉林市三校联考高二（下）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）
9、1 （5 分）已知 Ax|1x2，Bx|x2+2x0，则 AB（ ） A （1，0） B （0，2） C （2，0） D （2，2） 【分析】根据集合的交集的定义进行求解即可 【解答】解：Ax|1x2，Bx|2x0， 则 AB（1，0） 故选：A 【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据交集的定义是解决本题的关键比较基础 2 （5 分）已知复数 zm23m+mi（mR）为纯虚数，则 m（ ） A0 B3 C0 或 3 D4 【分析】直接由实部为 0 且虚部不为 0 列式求得 m 值 【解答】解：zm23m+mi（mR）为纯虚数， ，解得 m3 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，
10、考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知平面向量 （1，3） ， （2，0） ，则| +2 |（ ） A B3 C D5 【分析】根据题意，由向量 、 的坐标可得 +2 （3，3） ，由向量模的计算公式 计算可得答案 【解答】解：根据题意，向量 （1，3） ， （2，0） ， 则 +2 （3，3） ， 则， 故选：A 第 6 页（共 20 页） 【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，关键是掌握向量的坐标计算公 式 4 （5 分）各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a22，S6S46a4，则 a5 （ ） A4 B10 C16 D32 【分析】利用等比数列的
11、通项公式即可得出 【解答】解：由 S6S46a4，则 a6+a56a4得 q2+q60， 解得 q2， 从而 故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 5 （5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只兔子中随机 取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为（ ） A B C D 【分析】本题根据组合的概念可知从这 5 只兔子中随机取出 3 只的所有情况数为，恰 有 2 只测量过该指标是从 3 只侧过的里面选 2，从未测的选 1，组合数为即可得 出概率 【解答】解：法一：由题意，可知： 根据组合的概念
12、，可知： 从这 5 只兔子中随机取出 3 只的所有情况数为， 恰有 2 只测量过该指标的所有情况数为 p 法二：设其中做过测试的 3 只兔子为 a，b，c，剩余的 2 只为 A，B，则从这 5 只中任取 3 只的所有取法有a，b，c，a，b，A，a，b，B，a，c，A，a，c，B，a，A， B，b，c，A，b，c，B，b，A，B，c，A，B10 种，其中恰好有两只做过测试的 取法有a，b，A，a，b，B，a，c，A，a，c，B，b，c，A，b，c，B6 种， 第 7 页（共 20 页） 故恰有两只做过测试的概率为 故选：B 【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础
13、题 6 （5 分）已知函数 f（x）2sin（2x+） （0） ，若将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后关于 y 轴对称，则下列结论中不正确的是（ ） A B是 f（x）图象的一个对称中心 Cf（）2 D是 f（x）图象的一条对称轴 【分析】直接利用正弦型函数的解析式求出结果 【解答】解：由题意可知， 故， 故选：C 【点评】本题考查三角函数的图象及性质 7 （5 分）若向区域 （x，y）|0x1，0y1内投点，则该点落在由直线 yx 与曲 线围成区域内的概率为（ ） A B C D 【分析】根据定积分的定义求出平面区域的面积，从而求出满足条件的概率即可 【 解 答 】 解 ： 由 直 线
14、y x与 曲 线围 成 区 域 的 面 积 为 ， 从而所求概率为， 故选：B 【点评】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用 8 （5 分）设 xR，则“x25x0”是“|x1|1”的（ ） 第 8 页（共 20 页） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 【解答】解：x25x0，0x5， |x1|1，0x2， 0x5 推不出 0x2， 0x20x5， 0x5 是 0x2 的必要不充分条件， 即 x25x0 是|x1|1 的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是
15、一道基础题 9 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件则 z3x+2y 的最大值是（ ） A1 B1 C10 D12 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（2，2） ， 化目标函数 z3x+2y 为 yx+z， 由图可知，当直线 yx+z 过 A（2，2）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值：10 故选：C 第 9 页（共 20 页） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 10 （5 分）若 x1，x2
16、是函数 f（x）sinx（0）两个相邻的极值点，则 （ ） A2 B C1 D 【分析】x1，x2是 f（x）两个相邻的极值点，则周期 T2（）， 然后根据周期公式即可求出 【解答】解：x1，x2是函数 f（x）sinx（0）两个相邻的极值点， T2（） 2， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题 11 （5 分）平行于直线 2x+y+10 且与圆 x2+y25 相切的直线的方程是（ ） A2x+y+50 或 2x+y50 B2x+y+0 或 2x+y0 C2xy+50 或 2xy50 D2xy+0 或 2xy0 【分析】设出所求直线方程，利用圆心
17、到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量， 即可求出直线方程 【解答】解：设所求直线方程为 2x+y+b0，则， 所以，所以 b5， 所以所求直线方程为：2x+y+50 或 2x+y50 故选：A 第 10 页（共 20 页） 【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题 12 （5 分）设 f（x）是定义域为 R 的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（ ） Af（log3）f（2）f（2） Bf（log3）f（2）f（2） Cf（2）f（2）f（log3） Df（2）f（2）f（log3） 【分析】根据 log34log331，结合 f（x）的奇偶和单调性 即可
18、判断 【解答】解：f（x）是定义域为 R 的偶函数， log34log331， 0 f（x）在（0，+）上单调递减， ， 故选：C 【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属 基础题 二、二、填空题（共填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）的展开式中含 x 项的系数为 40 【分析】首先写出二项展开式的通项，取 x 的指数为 1 求得 r 值，则答案可求 【解答】解： 由 52r1，得 r2 第 11 页（共 20 页） 的展开式中含 x 的项为 40x， 因此 x 的系数为 40 故答案为：40 【点
19、评】本题考查二项展开式系数的算法，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 14 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若 ，m，则 m； 若 m，n，则 mn； 若 ，则 ； 其中正确命题的序号是 【分析】对于，可以考虑线面垂直的定义及线面平行的性质定理；对于，根据面面 平行的性质定理和线面垂直的性质定理容易解决；对于，分析线面垂直的性质即可； 对于，考虑面面垂直的性质定理及两个平面的位置关系 【解答】解：命题，由于 n，根据线面平行的性质定理，设经过 n 的平面与 的交 线为 b， 则 nb，又 m，所以 mb，从而，mn，故正
20、确； 命题，由 ，可以得到 ，而 m，故 m，故正确； 命题，由线面垂直的性质定理即得，故正确； 命题，可以翻译成：垂直于同一平面的两个平面平行，故错误； 所以正确命题的序号是 【点评】本题考查线线关系中的垂直、平行的判定；面面关系中垂直于平行的判定，要 注意判定定理与性质定理以及课本例题结论的应用 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx+（x0）上的一个动点，则点 P 到 直线 x+y0 的距离的最小值是 4 【分析】利用导数求平行于 x+y0 的直线与曲线 yx+（x0）的切点，再由点到直 线的距离公式求点 P 到直线 x+y0 的距离的最小值 【解答】解：由 yx
21、+（x0） ，得 y1， 设斜率为1 的直线与曲线 yx+（x0）切于（x0，） ， 第 12 页（共 20 页） 由，解得（x00） 曲线 yx+（x0）上，点 P（）到直线 x+y0 的距离最小， 最小值为 故答案为：4 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的 应用，是中档题 16 （5 分）更相减损术是出自九章算术的一种算法如图所示的程序框图是根据更相 减损术写出的，若输入 a91，b39，则输出的值为 13 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到 结论 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a91，b39 a
22、b，a913952； ab，a523913； ab，b391326； ab，b261313； 此时 ab，输出 a13 故答案为：13 【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的 运用，是基础题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 第 13 页（共 20 页） 17 （12 分）设an是等差数列，a110，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 【分析】 （）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出 d2，由此能求 出an的通项
23、公式 （）由 a110，d2，求出 Sn的表达式，然后转化求解 Sn的最小值 【解答】解： （）an是等差数列，a110，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （a3+8）2（a2+10） （a4+6） ， （2+2d）2d（4+3d） ， 解得 d2， ana1+（n1）d10+2n22n12 （）由 a110，d2，得： Sn10n+n211n（n）2， n5 或 n6 时，Sn取最小值30 【点评】本题考查数列的通项公式、前 n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数 列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的
24、对边分别为 a，b，c，其面积 Sb2sinA （1）求的值； （2）设内角 A 的平分线 AD 交 BC 于 D，求 b 【分析】 （1）运用三角形的面积公式，化简可得所求值； （2）运用内角平分线定理，可得 BD，CD，再在ABC 和ABD 中，运用余弦定理， 可得 b 的方程，解方程可得 b 的值 【解答】解： （1），可知 c2b，即； （2）由角平分线定理可知，2， BD+CDBC， 解得， 在ABC 中， 第 14 页（共 20 页） 在ABD 中， 即， 则 b1 【点评】本题考查三角形的余弦定理、面积公式和内角平分线定理的运用，考查方程思 想和运算能力，属于中档题 19 （12
25、 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种 新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每 组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成 生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式
26、的效率有差异？ 附：K2， P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； 第 15 页（共 20 页） （3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论 【解答】解： （1）根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在 7292 之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在 6585 之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序
27、排列后， 排在中间的两个数据是 79 和 81，计算它们的中位数为 m80； 由此填写列联表如下； 超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 （3）根据（2）中的列联表，计算 K2106.635， 能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题 20 （12 分）如图，AE平面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC 2 （）求证：BF平面 ADE； （）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； （）若二面角 EBDF 的余弦值为，求线
28、段 CF 的长 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （）以 A 为坐标原点，分别以，所在直线为 x，y，z 轴建立空间直 角坐标系， 求得 A， B， C， D， E 的坐标， 设 CFh （h0） ， 得 F （1， 2， h） 可得 是平面 ADE 的法向量，再求出，由，且直线 BF平面 ADE， 得 BF平面 ADE； （）求出，再求出平面 BDE 的法向量，利用数量积求夹角公式得直 线 CE 与平面 BDE 所成角的余弦值，进一步得到直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； （）求出平面 BDF 的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段 CF 的 长 【解答】 （）证
29、明：以 A 为坐标原点，分别以，所在直线为 x，y，z 轴建立 空间直角坐标系， 可得 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（1，2，0） ，D（0，1，0） ，E（0，0，2） 设 CFh（h0） ，则 F（1，2，h） 则是平面 ADE 的法向量，又，可得 又直线 BF平面 ADE，BF平面 ADE； （）解：依题意， 设为平面 BDE 的法向量， 则，令 z1，得 cos 直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为； （）解：设为平面 BDF 的法向量， 则，取 y1，可得， 第 17 页（共 20 页） 由题意，|cos|，解得 h 经检验，符合题意 线段 CF 的长为 【点评
30、】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（x2）ex+ax2+bx （1）若 a1，b2，求函数 f（x）的单调区间； （2）若 x1 是 f（x）的极小值点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）直接利用求导的方法求出函数的关系式，进一步确定函数的单调区间 （2）利用分类讨论思想对参数进行讨论，进一步利用函数的极值求出函数中的参数的取 值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）（x2）ex+ax2+bx 由题意：f（x）（x1） （ex+2） ， 由 f（x）0， 解得：x1 由
31、 f（x）0， 得 x1； 由 f（x）0， 得 x1 所以：f（x）的单调减区间为（，1） ， 第 18 页（共 20 页） 单调增区间为（1，+） （2）f（x）（x1）ex+2ax+b， 因为 x1 是 f（x）的极小值点， 所以 f（1）0， 即 2a+b0， 所以 f（x）（x1） （ex+2a） 1当 a0 时，x（，1） ，f（x）0， 所以函数 f（x）在（，1）上单调递减； x（1，+） ，f（x）0， 所以：f（x）在（，1）上单调递增； 所以 x1 是 f（x）的极小值点，符合题意； 2当时，ln（2a）1x（，ln（2a） ） ， f（x）0，f（x）在（，ln（2a）
32、 ）上单调递增； x（ln（2a） ，1） ，f（x）0， f（x）在（ln（2a） ，1）上单调递减； x（1，+） ，f（x）0， f（x）在（1，+）上单调递增； 所以 x1 是 f（x）的极小值点，符合题意； 3当时，x（，+） ，f（x）0 所以 f（x）在（，+）上单调递增， f（x）无极值点，不合题意 4当 ae 时，ln（2a）1x（，1） ， f（x）0，f（x）在（，1）上单调递增； x（1，ln（2a） ） ，f（x）0， f（x）在（1，ln（2a） ）上单调递减； x（ln（2a） ，+） ，f（x）0， f（x）在（，1）上单调递增； 所以：x1 是 f（x）的极大
33、值点，不符合题意； 综上知， 第 19 页（共 20 页） 所求 a 的取值范围为 【点评】本题考查的知识要点：利用函数的求导求出函数的单调区间，利用函数的单调 区间求出函数的最值和极值，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 22 （10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 M（0，0） （00）在曲线 C：4cos 上， 直线 过点 A（0，4）且与 OM 垂直，垂足为 P （1）当 0时，求 0及 的极坐标方程 （2）当 M 在 C 上运动且点 P 在线段 OM 上时，求点 P 的轨迹的极坐标方程 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换
34、，及直线垂直的充要条件的应用求出直线的方程 （2）进一步利用方程的转换关系求出结果 【解答】解： （1）当 0时时， 以 O 为原点，极轴为 x 轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有 M（2，2） ，A（0，4） ， 所以 kOM1， 由于直线 过点 A（0，4）且与 OM 垂直， 则直线 l 的斜率 k1， 由点斜式可得直线 l：yx+4， 化成极坐标方程为 sin+cos4 （2）lOM， ， 则 P 点的轨迹为以 OA 为直径的圆 ，此时圆的直角坐标方程为 x2+（y2）24， 化成极坐标方程为 4sin， 又 P 在线段 OM 上， 由， 可得， P 点轨迹的极坐标方程为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 第 20 页（共 20 页） 的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型
