1、2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在ABC 中，a5，b3，则 sinA：sinB（ ） A B C D 2 （5 分）数列 1，3，5，7，9，的一个通项公式为（ ） Aan2n1 Ban（1）n（12n） Can（1）n（2n1） Dan（1）n（2n+1） 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） Aabac2bc2 Baba2b2 Cab
2、a3b3 Da2b2ab 4 （5 分） “”是“A30”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也必要条件 5 （5 分）不等式 x22x30 的解集是（ ） A （3，1） B （1，3） C （，1）（3，+） D （，3）（1，+） 6 （5 分）设 f（x）xlnx，若 f（x0）2，则 x0等于（ ） Ae2 Be C Dln2 7 （5 分）已知an为等比数列，且 a32，a78，则 a5（ ） A B C4 D4 8 （5 分）设 x、y 满足约束条件，则 z2x3y 的最小值是（ ） A7 B6 C5 D3 9 （5 分）过抛物线 y24x
3、 的焦点作直线交抛物线于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）若|AB|7， 则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为（ ） 第 2 页（共 15 页） A B C2 D 10 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 x21，则 x1”的否命题为： “若 x21，则 x1” B若 pq 为真命题，则 p，q 均为真命题 C命题“存在 xR，使得 x2+x+10”的否定是： “对任意 xR，均有 x2+x+10” D命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 11 （5 分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个 焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方
4、程为（ ） A B C D 12 （5 分）若函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A （，2 B （，1 C2，+） D1，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 y2xx3在点（1，1）处的切线方程为 14 （5 分）设 x、yR+且1，则 x+y 的最小值为 15 （5 分）在ABC 中，则 BC 的长度为 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1F2在 x 轴上，离心率为 过 F1的直线交于 A，B 两点，且ABF2的周
5、长为 16，那么 C 的方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知命题 p：m4，命题 q：方程 4x2+4（m2）x+90 无实根，若 pq 为 真，pq 为假，p 为假，求 m 的范围 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinBbcosA （）求 A； （）若 b2，ABC 的面积为，求 a 19 （12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315 第 3 页（共 15 页） （1）求an
6、的通项公式； （2）求 Sn，并求 Sn的最小值 20 （12 分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形 的休闲区 A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米 （1）若设休闲区的长 A1B1x 米，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S（x）的解析 式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 21 （12 分）设椭圆 C：过点（0，4）离心率为 （1）求 C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为的直线被 C 所
7、截线段中点坐标 22 （12 分）设函数 f（x）x3x2+6xa （）求函数 f（x）的单调区间； （）若方程 f（x）0 有且仅有三个实根，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （上）学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （上） 期末数学试卷（文科）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求
8、的 1 （5 分）在ABC 中，a5，b3，则 sinA：sinB（ ） A B C D 【分析】由条件利用正弦定理可得 ，运算求得结果 【解答】解：在ABC 中，a5，b3，则由正弦定理可得 ， 故选：A 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题 2 （5 分）数列 1，3，5，7，9，的一个通项公式为（ ） Aan2n1 Ban（1）n（12n） Can（1）n（2n1） Dan（1）n（2n+1） 【分析】首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，从而易求出其通项公式 【解答】解：数列an各项值为 1，3，5，7，9
9、， 各项绝对值构成一个以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， |an|2n1 又数列的奇数项为正，偶数项为负， an（1）n+1（2n1）（1）n（12n） 故选：B 【点评】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键解题时应注意 数列的奇数项为正，偶数项为负，否则会错 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） Aabac2bc2 Baba2b2 Caba3b3 Da2b2ab 第 5 页（共 15 页） 【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例 【解答】解：选项 A，当 c0 时，由 ab，不能推出 ac2bc2，故错误； 选项 B，当 a1，b2 时
10、，显然有 ab，但 a2b2，故错误； 选项 C，当 ab 时，必有 a3b3，故正确； 选项 D，当 a2，b1 时，显然有 a2b2，但却有 ab，故错误 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题 4 （5 分） “”是“A30”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也必要条件 【分析】由正弦函数的周期性，满足的 A 有无数多个 【解答】解： “A30”“” ，反之不成立 故选：B 【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题 5 （5 分）不等式 x22x30 的解集是（ ） A （3，1） B （1，3）
11、C （，1）（3，+） D （，3）（1，+） 【分析】把不等式 x22x30 化为（x+1） （x3）0，求出解集即可 【解答】解：不等式 x22x30 可化为 （x+1） （x3）0， 解得1x3， 不等式的解集是（1，3） 故选：B 【点评】本题考查了求一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目 6 （5 分）设 f（x）xlnx，若 f（x0）2，则 x0等于（ ） Ae2 Be C Dln2 【分析】求函数的导数，解导数方程即可 【解答】解：f（x）xlnx， 第 6 页（共 15 页） f（x）lnx+1， 由 f（x0）2， 得 lnx0+12，即 lnx01，则 x0e， 故选
12、：B 【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础 7 （5 分）已知an为等比数列，且 a32，a78，则 a5（ ） A B C4 D4 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得 q44，又由 a5a3q2，计算可得 答案 【解答】解：根据题意，an为等比数列，且 a32，a78， 则 q44， 则 a5a3q24； 故选：C 【点评】本题考查等比数列的性质，注意等比数列通项公式的应用，属于基础题 8 （5 分）设 x、y 满足约束条件，则 z2x3y 的最小值是（ ） A7 B6 C5 D3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求 最小值 【解答】解：
13、由 z2x3y 得 y， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 ABC） ： 平移直线 y，由图象可知当直线 y，过点 A 时，直线 y截距最 大，此时 z 最小， 由得，即 A（3，4） ， 代入目标函数 z2x3y， 得 z23346126 第 7 页（共 15 页） 目标函数 z2x3y 的最小值是6 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 9 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）若|AB|7， 则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为（ ） A
14、B C2 D 【分析】抛物线的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1，由抛物线的定义可得|AB|7 （x1+1）+（x2+1） ，求得 x1+x2 的值，由此求得点 M 到抛物线准线的距离+1 的值 【解答】解：由抛物线的方程 y24x 可得 p2，故它的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x 1 由抛物线的定义可得|AB|7|AF|+|BF|（x1+1）+（x2+1） ，x1+x25 由于 AB 的中点 M（，）到准线的距离为+1， 故选：A 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题 10 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 x21，则 x
15、1”的否命题为： “若 x21，则 x1” B若 pq 为真命题，则 p，q 均为真命题 C命题“存在 xR，使得 x2+x+10”的否定是： “对任意 xR，均有 x2+x+10” 第 8 页（共 15 页） D命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 【分析】A利用否命题的定义即可判断出； B利用“或”命题的定义可知：若 pq 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题； Cl 利用命题的否定即可判断出； D由于命题“若 xy，则 sinxsiny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即 可判断出 【解答】解：对于 A命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21
16、，则 x1” ，因 此不正确； 对于 B若 pq 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题，因此不正确； 对于 C “存在 xR，使得 x2+x+10”的否定是： “对任意 xR，均有 x2+x+10” ，因 此不正确 对于 D由于命题“若 xy，则 sinxsiny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确 故选：D 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题 11 （5 分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个 焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A B C D 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为 x6，而通过双曲线的标准方程可见其
17、焦点在 x 轴上，则双曲线的左焦点为（6，0） ，此时由双曲线的性质 a2+b2c2可得 a、 b 的一个方程；再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 yx，可得， 则得 a、b 的另一个方程那么只需解 a、b 的方程组，问题即可解决 【解答】解：因为抛物线 y224x 的准线方程为 x6， 则由题意知，点 F（6，0）是双曲线的左焦点， 所以 a2+b2c236， 又双曲线的一条渐近线方程是 yx， 第 9 页（共 15 页） 所以， 解得 a29，b227， 所以双曲线的方程为 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质 12 （5 分）若函数 f（x）kxln
18、x 在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A （，2 B （，1 C2，+） D1，+） 【分析】求出导函数 f（x） ，由于函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增， 可得 f（x）0 在区间（1，+）上恒成立解出即可 【解答】解：f（x）k， 函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增， f（x）0 在区间（1，+）上恒成立 k， 而 y在区间（1，+）上单调递减， k1 k 的取值范围是：1，+） 故选：D 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中 档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，
19、每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 y2xx3在点（1，1）处的切线方程为 x+y20 【分析】根据导数的几何意义求出函数在 x1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用 点斜式方程写出切线方程即可 【解答】解：y2xx3的导数为 y23x2 即有在点（1，1）处的切线斜率为 ky|x11， 而切点的坐标为（1，1） ， 曲线 y2xx3在 x1 的处的切线方程为 y1（x1） ， 第 10 页（共 15 页） 即为 x+y20 故答案为：x+y20 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于 基础题 14 （5 分）设 x、yR+且1，
20、则 x+y 的最小值为 16 【分析】将 x、yR+且1，代入 x+y（x+y） （） ，展开后应用基本不等式即 可 【解答】解：1，x、yR+， x+y（x+y） （）10+10+216（当且仅当 ，x4，y12 时取“” ） 故答案为：16 【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力， 属于中档题 15 （5 分）在ABC 中，则 BC 的长度为 1 或 2 【分析】通过正弦定理求出 C 的大小，然后利用三角形的特征直接求出 BC 的长度即可 【解答】解：因为在ABC 中， 所以由正弦定理考点 sinC所以 C或 C， 当 C时，三角形是直角三角形，所以
21、BC2， 当 C时，三角形是等腰三角形，所以 BC1， 故答案为：1 或 2 【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，考查计算能力 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1F2在 x 轴上，离心率为 过 F1的直线交于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为 + 1 【分析】根据题意，ABF2的周长为 16，即 BF2+AF2+BF1+AF116，结合椭圆的定义， 第 11 页（共 15 页） 有 4a16，即可得 a 的值；又由椭圆的离心率，可得 c 的值，进而可得 b 的值；由椭圆 的焦点在 x 轴上，可得椭圆的方程 【解答】解
22、：根据题意，ABF2的周长为 16，即 BF2+AF2+BF1+AF116； 根据椭圆的性质，有 4a16，即 a4； 椭圆的离心率为，即，则 ac， 将 ac，代入可得，c2，则 b2a2c28； 则椭圆的方程为+1； 故答案为：+1 【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意 结合椭圆的基本几何性质解题即可 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知命题 p：m4，命题 q：方程 4x2+4（m2）x+90 无实根，若 pq
23、为 真，pq 为假，p 为假，求 m 的范围 【分析】根据 p 真，q 假，以及韦达定理得到关于 m 的不等式组，解出即可 【解答】解：若 pq 为真，pq 为假，p 为假， 则 p 真 q 假， 所以， 解得：m5 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查韦达定理的应用，是一道基础题 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinBbcosA （）求 A； （）若 b2，ABC 的面积为，求 a 【分析】 （）由正弦定理化简已知等式可得 sinAsinBsinBcosA，结合 sinB0，可 得 tanA，结合范围 0A，利用特殊角的三角函数值可求 A （）
24、利用三角形面积公式可求 c，进而根据余弦定理可求 a 的值 【解答】 （本小题满分 12 分） 第 12 页（共 15 页） 解 ：（ ） 因 为asinB bcosA ， 所 以 由 正 弦 定 理 得sinAsinB sinBcosA，（2 分） 又 sinB0， 从而 tanA，（4 分） 由于 0A， 所以 A（6 分） （）因为 b2，ABC 的面积为， 所以csin，（8 分） 所以 c3（9 分） 由余弦定理，得 a2b2+c22bccosA7，（11 分） 所以 a（12 分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理 在解三角形中的应用，考
25、查了计算能力和转化思想，属于基础题 19 （12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315 （1）求an的通项公式； （2）求 Sn，并求 Sn的最小值 【分析】 （1）根据 a17，S315，可得 a17，3a1+3d15，求出等差数列an 的公差，然后求出 an即可； （2）由 a17，d2，an2n9，得 Snn28n （n4）216，由此可求出 Sn以及 Sn的最小值 【解答】解： （1）等差数列an中，a17，S315， a17，3a1+3d15，解得 a17，d2， an7+2（n1）2n9； （2）a17，d2，an2n9， Snn28n（n4）216，
26、当 n4 时，前 n 项的和 Sn取得最小值为16 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项的和公式，属 于中档题 第 13 页（共 15 页） 20 （12 分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形 的休闲区 A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米 （1）若设休闲区的长 A1B1x 米，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S（x）的解析 式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
27、【分析】 （1）利用休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米，表示出，进而 可得公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S（x）的解析式； （2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论 【解答】解： （1）由 A1B1x 米，知米 （2） 当且仅当，即 x100 时取等号 要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长为 100 米、宽为 40 米 【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定 三相等 21 （12 分）设椭圆 C：过点（0，4）离心率为 （1）求 C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为的直线被 C 所截线段
28、中点坐标 【分析】 （1）由题意可知：b4，根据椭圆离心率公式即可求得 b 的值，求得椭圆方程； （2）由点斜式方程求得直线 AB 方程，代入椭圆方程，求得 A 和 B 点坐标，利用中点坐 标公式，即可求得 AB 的中点坐标 第 14 页（共 15 页） 【解答】解： （1）由椭圆 C：过点（0，4） ，则 b4 （2 分） 椭圆离心率为 e，则 a5， （3 分） C 的方程为； （5 分） （2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为 y（x3） ，（6 分） 设直线与 C 的交点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 将直线方程 y （x3）代入 C 的方程，得 x23x80，解得 （
29、8 分） x1，x2，（9 分） AB 的中点 M（x0，y0）坐标 x0， （10 分） y0（x1+x16），（11 分） 即中点为（，） （12 分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标 公式，考查计算能力，属于中档题 22 （12 分）设函数 f（x）x3x2+6xa （）求函数 f（x）的单调区间； （）若方程 f（x）0 有且仅有三个实根，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）求出函数的导数 f（x）3x29x+63（x1） （x2） ，令 f（x）0； f（x）0，求解函数的单调区间即可 （）利用函数的极值列出不等式，即可求解实数 a 的取值范围 第 15 页（共 15 页） 【解答】 解： （） f （x） 3x29x+63 （x1） （x2） ， （2 分） 令 f（x）0，得 x2 或 x1；f（x）0，得 1x2，（4 分） f（x）增区间（，1）和（2，+） ；减区间是（1，2） （6 分） （）由（I）知 当 x1 时，f（x）取极大值 f（1）， （7 分） 当 x2 时，f（x）取极小值 f（2）2a，（8 分） 因为方程 f（x）0 仅有三个实根所以 （10 分） 解得：， 实数 a 的取值范围是 （12 分） 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力
