2018-2019学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 (上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)在ABC 中,a5,b3,则 sinA:sinB( ) A B C D 2 (5 分)数列 1,3,5,7,9,的一个通项公式为( ) Aan2n1 Ban(1)n(12n)  Can(1)n(2n1) Dan(1)n(2n+1) 3 (5 分)下列说法正确的是( ) Aabac2bc2 Baba2

2、b2  Caba3b3 Da2b2ab 4 (5 分) “”是“A30”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件  C充分必要条件 D既不充分也必要条件 5 (5 分)不等式 x22x30 的解集是( ) A (3,1) B (1,3)  C (,1)(3,+) D (,3)(1,+) 6 (5 分)设 (2,2,5) 、 (6,4,4)分别是平面 , 的法向量,则平面 , 的位置关系是( ) A平行 B垂直  C相交但不垂直 D不能确定 7 (5 分)已知an为等比数列,且 a32,a78,则 a5( ) A B C4 D4 8 (5 分)设

3、x、y 满足约束条件,则 z2x3y 的最小值是( ) A7 B6 C5 D3 9 (5 分)过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)若|AB|7, 第 2 页(共 16 页) 则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为( ) A B C2 D 10 (5 分)下列有关命题的说法正确的是( ) A命题“若 x21,则 x1”的否命题为: “若 x21,则 x1”  B若 pq 为真命题,则 p,q 均为真命题  C命题“存在 xR,使得 x2+x+10”的否定是: “对任意 xR,均有 x2+x+10”  D命题“若 xy

4、,则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 11 (5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a111,a4+a66,则当 Sn取最小值 时,n 等于( ) A6 B7 C8 D9 12 (5 分)已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个 焦点在抛物线 y224x 的准线上,则双曲线的方程为( ) A B  C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)设等比数列an的公比,前 n 项和为 Sn,则   14 (5 分)设 x、yR+且1,则 x+y 的最小值为   15 (5

5、分)在ABC 中,则 BC 的长度为   16 (5 分)在平面直角坐标系 xOy,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1F2在 x 轴上,离心率为 过 F1的直线交于 A,B 两点,且ABF2的周长为 16,那么 C 的方程为   三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过算步骤分解答应写出文字说明,证明过算步骤 17 (10 分)已知命题 p:m4,命题 q:方程 4x2+4(m2)x+90 无实根,若 pq 为 真,pq 为假,p 为假,求 m 的范围 18 (12 分)ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a

6、,b,c,asinBbcosA 第 3 页(共 16 页) ()求 A; ()若 b2,ABC 的面积为,求 a 19 (12 分)已知公差不为零的等差数列an满足 a510,且 a1,a3,a9成等比数列 (1)求数列an的通项公式 an; (2)设 Sn为数列an的前 n 项和,求数列的前 n 项和 Tn 20 (12 分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形 的休闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米 (1)若设休闲区的长 A1B1x 米,求公园

7、ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析 式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 21 (12 分)设椭圆 C:过点(0,4)离心率为 (1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被 C 所截线段中点坐标 22 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD底面 ABCD,ADPD 1,AB2a(a0) ,E,F 分别 CD、PB 的中点 ()求证:EF平面 PAB; , ()当时,求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值 第 4 页(共 16 页) 2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好

8、学校联合体高二 (上)学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 (上) 期末数学试卷(理科)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合有一项是符合题目要求的题目要求的 1 (5 分)在ABC 中,a5,b3,则 sinA:sinB( ) A B C D 【分析】由条件利用正弦定理可得 ,运算求得结果 【解答】解:在ABC 中,a5,b3,则由正弦定理可得 , 故选:A 【点评】本题主要考查正弦定理的应用,

9、属于基础题 2 (5 分)数列 1,3,5,7,9,的一个通项公式为( ) Aan2n1 Ban(1)n(12n)  Can(1)n(2n1) Dan(1)n(2n+1) 【分析】首先注意到数列的奇数项为正,偶数项为负,其次数列各项绝对值构成一个以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,从而易求出其通项公式 【解答】解:数列an各项值为 1,3,5,7,9, 各项绝对值构成一个以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, |an|2n1 又数列的奇数项为正,偶数项为负, an(1)n+1(2n1)(1)n(12n) 故选:B 【点评】本题给出数列的前几项,猜想数列的通项,挖掘其规律是关

10、键解题时应注意 数列的奇数项为正,偶数项为负,否则会错 3 (5 分)下列说法正确的是( ) Aabac2bc2 Baba2b2  Caba3b3 Da2b2ab 第 5 页(共 16 页) 【分析】由不等式的性质,对各个选项逐一验证即可得,其中错误的可举反例 【解答】解:选项 A,当 c0 时,由 ab,不能推出 ac2bc2,故错误; 选项 B,当 a1,b2 时,显然有 ab,但 a2b2,故错误; 选项 C,当 ab 时,必有 a3b3,故正确; 选项 D,当 a2,b1 时,显然有 a2b2,但却有 ab,故错误 故选:C 【点评】本题考查命题真假的判断,涉及不等式的性质,

11、属基础题 4 (5 分) “”是“A30”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件  C充分必要条件 D既不充分也必要条件 【分析】由正弦函数的周期性,满足的 A 有无数多个 【解答】解: “A30”“” ,反之不成立 故选:B 【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题,属基本题 5 (5 分)不等式 x22x30 的解集是( ) A (3,1) B (1,3)  C (,1)(3,+) D (,3)(1,+) 【分析】把不等式 x22x30 化为(x+1) (x3)0,求出解集即可 【解答】解:不等式 x22x30 可化为 (x+1) (x3)0, 解得1

12、x3, 不等式的解集是(1,3) 故选:B 【点评】本题考查了求一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目 6 (5 分)设 (2,2,5) 、 (6,4,4)分别是平面 , 的法向量,则平面 , 的位置关系是( ) A平行 B垂直  C相交但不垂直 D不能确定 第 6 页(共 16 页) 【分析】先根据向量的坐标运算计算向量 与向量 的数量积,然后根据数量积为 0 得到 两向量垂直,从而判断出两平面的位置关系 【解答】解:26+2(4)+540   (2,2,5) 、 (6,4,4)分别是平面 , 的法向量 平面 与平面 垂直 故选:B 【点评】本题主要考查了向量数量积以

13、及向量垂直的充要条件,同时考查了两平面的位 置关系与法向量之间的关系,属于基础题 7 (5 分)已知an为等比数列,且 a32,a78,则 a5( ) A B C4 D4 【分析】根据题意,由等比数列的通项公式可得 q44,又由 a5a3q2,计算可得 答案 【解答】解:根据题意,an为等比数列,且 a32,a78, 则 q44, 则 a5a3q24; 故选:C 【点评】本题考查等比数列的性质,注意等比数列通项公式的应用,属于基础题 8 (5 分)设 x、y 满足约束条件,则 z2x3y 的最小值是( ) A7 B6 C5 D3 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求出

14、最优解即可求 最小值 【解答】解:由 z2x3y 得 y, 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC) : 第 7 页(共 16 页) 平移直线 y,由图象可知当直线 y,过点 A 时,直线 y截距最 大,此时 z 最小, 由得,即 A(3,4) , 代入目标函数 z2x3y, 得 z23346126 目标函数 z2x3y 的最小值是6 故选:B 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 9 (5 分)过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)若|AB|7, 则 AB 的中点 M

15、 到抛物线准线的距离为( ) A B C2 D 【分析】抛物线的焦点 F(1,0) ,准线方程为 x1,由抛物线的定义可得|AB|7 (x1+1)+(x2+1) ,求得 x1+x2 的值,由此求得点 M 到抛物线准线的距离+1 的值 【解答】解:由抛物线的方程 y24x 可得 p2,故它的焦点 F(1,0) ,准线方程为 x 1 由抛物线的定义可得|AB|7|AF|+|BF|(x1+1)+(x2+1) ,x1+x25 由于 AB 的中点 M(,)到准线的距离为+1, 第 8 页(共 16 页) 故选:A 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题 10 (5 分

16、)下列有关命题的说法正确的是( ) A命题“若 x21,则 x1”的否命题为: “若 x21,则 x1”  B若 pq 为真命题,则 p,q 均为真命题  C命题“存在 xR,使得 x2+x+10”的否定是: “对任意 xR,均有 x2+x+10”  D命题“若 xy,则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 【分析】A利用否命题的定义即可判断出; B利用“或”命题的定义可知:若 pq 为真命题,则 p 与 q 至少有一个为真命题; Cl 利用命题的否定即可判断出; D由于命题“若 xy,则 sinxsiny”为真命题,而逆否命题与原命题是等价命题,即 可判断出

17、【解答】解:对于 A命题“若 x21,则 x1”的否命题为“若 x21,则 x1” ,因 此不正确; 对于 B若 pq 为真命题,则 p 与 q 至少有一个为真命题,因此不正确; 对于 C “存在 xR,使得 x2+x+10”的否定是: “对任意 xR,均有 x2+x+10” ,因 此不正确 对于 D由于命题“若 xy,则 sinxsiny”为真命题,因此其逆否命题为真命题,正确  故选:D 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于基础题 11 (5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a111,a4+a66,则当 Sn取最小值 时,n 等于( ) A6

18、B7 C8 D9 【分析】条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于 n 的二次函数解得 【解答】解:设该数列的公差为 d,则 a4+a62a1+8d2(11)+8d6,解得 d 2, 所以,所以当 n6 时,Sn取最小值 故选:A 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最值的 第 9 页(共 16 页) 求法及计算能力 12 (5 分)已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个 焦点在抛物线 y224x 的准线上,则双曲线的方程为( ) A B  C D 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为 x6,而通过双曲线的标准方程可见其 焦点在 x

19、 轴上,则双曲线的左焦点为(6,0) ,此时由双曲线的性质 a2+b2c2可得 a、 b 的一个方程;再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 yx,可得, 则得 a、b 的另一个方程那么只需解 a、b 的方程组,问题即可解决 【解答】解:因为抛物线 y224x 的准线方程为 x6, 则由题意知,点 F(6,0)是双曲线的左焦点, 所以 a2+b2c236, 又双曲线的一条渐近线方程是 yx, 所以, 解得 a29,b227, 所以双曲线的方程为 故选:B 【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分

20、,共分,共 20 分分 13 (5 分)设等比数列an的公比,前 n 项和为 Sn,则 15 【分析】先通过等比数列的求和公式,表示出 S4,得知 a4a1q3,进而把 a1和 q 代入 约分化简可得到答案 第 10 页(共 16 页) 【解答】解:对于, 【点评】本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式的应用属基础题 14 (5 分)设 x、yR+且1,则 x+y 的最小值为 16 【分析】将 x、yR+且1,代入 x+y(x+y) () ,展开后应用基本不等式即 可 【解答】解:1,x、yR+, x+y(x+y) ()10+10+216(当且仅当 ,x4,y12 时取“” ) 故答案为:

21、16 【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力, 属于中档题 15 (5 分)在ABC 中,则 BC 的长度为 1 或 2 【分析】通过正弦定理求出 C 的大小,然后利用三角形的特征直接求出 BC 的长度即可  【解答】解:因为在ABC 中, 所以由正弦定理考点 sinC所以 C或 C, 当 C时,三角形是直角三角形,所以 BC2, 当 C时,三角形是等腰三角形,所以 BC1, 故答案为:1 或 2 【点评】本题考查三角形的解法,正弦定理的应用,考查计算能力 16 (5 分)在平面直角坐标系 xOy,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1F2在 x 轴

22、上,离心率为 过 F1的直线交于 A,B 两点,且ABF2的周长为 16,那么 C 的方程为 + 1 【分析】根据题意,ABF2的周长为 16,即 BF2+AF2+BF1+AF116,结合椭圆的定义, 有 4a16,即可得 a 的值;又由椭圆的离心率,可得 c 的值,进而可得 b 的值;由椭圆 第 11 页(共 16 页) 的焦点在 x 轴上,可得椭圆的方程 【解答】解:根据题意,ABF2的周长为 16,即 BF2+AF2+BF1+AF116; 根据椭圆的性质,有 4a16,即 a4; 椭圆的离心率为,即,则 ac, 将 ac,代入可得,c2,则 b2a2c28; 则椭圆的方程为+1; 故答案

23、为:+1 【点评】本题考查椭圆的性质,此类题型一般与焦点三角形联系,难度一般不大;注意 结合椭圆的基本几何性质解题即可 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过算步骤分解答应写出文字说明,证明过算步骤 17 (10 分)已知命题 p:m4,命题 q:方程 4x2+4(m2)x+90 无实根,若 pq 为 真,pq 为假,p 为假,求 m 的范围 【分析】根据 p 真,q 假,以及韦达定理得到关于 m 的不等式组,解出即可 【解答】解:若 pq 为真,pq 为假,p 为假, 则 p 真 q 假, 所以, 解得:m5 【点评】本题考查了复合

24、命题的判断,考查韦达定理的应用,是一道基础题 18 (12 分)ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinBbcosA ()求 A; ()若 b2,ABC 的面积为,求 a 【分析】 ()由正弦定理化简已知等式可得 sinAsinBsinBcosA,结合 sinB0,可 得 tanA,结合范围 0A,利用特殊角的三角函数值可求 A ()利用三角形面积公式可求 c,进而根据余弦定理可求 a 的值 【解答】 (本小题满分 12 分) 解 :( ) 因 为asinB bcosA , 所 以 由 正 弦 定 理 得sinAsinB 第 12 页(共 16 页) sinBcosA,

25、(2 分) 又 sinB0, 从而 tanA,(4 分) 由于 0A, 所以 A(6 分) ()因为 b2,ABC 的面积为, 所以csin,(8 分) 所以 c3(9 分) 由余弦定理,得 a2b2+c22bccosA7,(11 分) 所以 a(12 分) 【点评】本题主要考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,三角形面积公式,余弦定理 在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 19 (12 分)已知公差不为零的等差数列an满足 a510,且 a1,a3,a9成等比数列 (1)求数列an的通项公式 an; (2)设 Sn为数列an的前 n 项和,求数列的前 n 项和 Tn 【分析

26、】 (1)利用公差不为零的等差数列an满足 a510,且 a1,a3,a9成等比数列, 建立方程组,求得数列的首项与公差,从而可得数列的通项; (2)先求 Sn,再利用裂项法求数列的前 n 项和 Tn 【解答】解: (1)由题意,设公差为 d,则 d0,a12,d2 an2+(n1)22n; (2)由(1)知, 数列的前 n 项和 Tn(1)+()+()  第 13 页(共 16 页) 【点评】本题考查数列的通项与求和,解题的关键是确定数列的首项与公差,正确运用 求和公式 20 (12 分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形 的休闲区 A1B1C

27、1D1(阴影部分)和环公园人行道组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米 (1)若设休闲区的长 A1B1x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析 式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 【分析】 (1)利用休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米,表示出,进而 可得公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式; (2)利用基本不等式确定公园所占最小面积,即可得到结论 【解答】解: (1)由 A1B1x 米,知米 (2) 当且仅当,即 x1

28、00 时取等号 要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1的长为 100 米、宽为 40 米 【点评】本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,注意使用条件:一正二定 三相等 21 (12 分)设椭圆 C:过点(0,4)离心率为 (1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被 C 所截线段中点坐标 【分析】 (1)由题意可知:b4,根据椭圆离心率公式即可求得 b 的值,求得椭圆方程;  第 14 页(共 16 页) (2)由点斜式方程求得直线 AB 方程,代入椭圆方程,求得 A 和 B 点坐标,利用中点坐 标公式,即可求得 AB 的中点坐标 【解答】解: (1

29、)由椭圆 C:过点(0,4) ,则 b4 (2 分) 椭圆离心率为 e,则 a5, (3 分) C 的方程为; (5 分) (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为 y(x3) ,(6 分) 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 将直线方程 y (x3)代入 C 的方程,得 x23x80,解得 (8 分) x1,x2,(9 分) AB 的中点 M(x0,y0)坐标 x0, (10 分) y0(x1+x16),(11 分) 即中点为(,) (12 分) 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,中点坐标 公式,考查计算能力,属于中档题 22

30、(12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD底面 ABCD,ADPD 1,AB2a(a0) ,E,F 分别 CD、PB 的中点 ()求证:EF平面 PAB; , 第 15 页(共 16 页) ()当时,求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值 【分析】 ()证明:建立空间直角坐标系 Dxyz,利用向量垂直证出, 转化成线线垂直,可证 EF平面 PAB () 先求出与平面 AEF 的法向量所成角的余弦值 再求 AC 与平面 AEF 所成角的正 弦值 【解答】解: ()证明:建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz(如图) , AD1,PD1,AB2a(a0) , 则 E

31、(a, 0, 0) , C (2a, 0, 0) , A (0, 1, 0) , B (2a, 1, 0) , P (0, 0, 1) , 得 , 由,得,即 EFAB 同理 EFPB,又 ABPBB 所以,EF平面 PAB ()解:由,得, 有, 设平面AEF的法向量为n(x,y,1) ,由 ,解得于是 设 AC 与面 AEF 所成的角为 ,与 n 的夹角为 则 第 16 页(共 16 页) 所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小的正弦值为 【点评】本题考查线面位置关系的判定,线面角的求解利用向量法减少思维量,解决 此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征,进而得到空间中点、线、面的位置关系, 利于建立空间之间坐标系,利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置 关系等问题

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