1、2018-2019 学年江苏省南通市启东市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.不需写出解答过程，请把答案直接不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上填写在答题卡相应位置上 1 （5 分）命题“xN，x2x”的否定是 2 （5 分）复数 z（2+i） （1i） ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模是 3 （5 分）某学校高一年级有 1800 名学生，高二年级有 1500 名学生，高三年级有 1200 名 学生，为了了解该校高中学生的视力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 15
2、0 的样本，则应在高二年级抽取 人 4 （5 分）执行如图所示的伪代码，若输出 y 的值为 3，则输入 x 的值为 5 （5 分）如图是某校学生日睡眠时间（单位：h）的抽样频率分布直方图，则日睡眠时间 在7，9内的学生所占百分比为 % 6 （5 分）如图所示的算法中，若输出的结果是 31，则判断框中的整数 M 的值为 第 2 页（共 23 页） 7 （5 分）设复数 z12i，z21+i，则复数 z在复平面内所表示的点位于第 象 限 8 （5 分） “m0”是“方程+y21 表示椭圆”的 条件 （从
3、“充分不必要” “必 要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空） 9 （5 分）若数列an是等差数列，则（nN*）是与 n 无关的常数类似地，若 数列an是正项等比数列，则 （nN*）是与 n 无关的常数 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y28x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点，且 PF4OF，则点 P 到 x 轴的距离为 11 （5 分） 若 “存在 x1， 1， a3x+2x+10 成立” 为真命题， 则 a 的取值范围是 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，
4、已知圆 O：x2+y24，以 C（2，t） （t0）为圆心的 圆经过点 A（2，0）且与圆 O 交于 M，N 两点，若 MN2，则正数 t 的值为 13 （5 分）把数列an的各项按照如图规律排成三角形数阵；若 an2n1，nN*，则该 数阵的第 20 行所有项的和为 第 3 页（共 23 页） 14 （5 分）如图，已知点 A，B 分别是椭圆+1（ab0）的左顶点和上顶点，过 椭圆右焦点 F 作直线 CDAB 且交椭圆于 C，D 两点，若 AB：CD3：4，则该椭圆的 离心率为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 10 小题，共小题
5、，共 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）已知双曲线的焦点为 F1（4，0） ，F2（4，0） ，且该双曲线过点 P（6，2） （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线上的点 M 满足 MF1F1F2，求MF1F2的面积 16 （14 分）从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）整理后 画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题： （1）60，70）这一组的频率和频数分别是多少？ （2）估计该次环保知识竞赛的及格率（
6、60 分及以上为及格） ； （3）利用频率分布直方图的组中值对该次环保知识竞赛平均分进行估计 17 （14 分）已知函数 f（x）x2x+a，集合 Ax|1x1 （1）设 Bx|f（x）0，若 xA 是 xB 的充分不必要条件，求 a 的取值范围； 第 4 页（共 23 页） （2）对任意 xA，不等式 f（x）ax1 恒成立，求 a 的取值范围 18 （16 分）在直线型公路 l 西侧有一边界近似看成圆形的湖泊，某观测者在 l 上 A 处测得 湖泊的视角余弦值为（视角是指两视线与圆形湖泊相切时所成的角） ，向北行驶 2 千米 到达 B 处测得视角为 60已知点 B 和湖泊边界上点 C 分别在
7、圆心 O 的正东和正西方 向现规划修建连接 C 和 l 上点 D 的直线型道路 CED，其中 E 在湖泊边界上，CE 段建 造桥梁，每千米费用为 4a 万元，ED 段建造公路，每千米费用为 a 万元以 O 为坐标原 点，CB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy （1）求圆形湖泊的半径长； （2）如何规划道路 CED 建设，可使修建总费用最少？ 19 （16 分）对于定义在实数集 R 上的函数 f（x） ，若存在常数 t，使得任意的 xR 都有 f （t+x）+f（tx）0，则函数 f（x）的图象关于 x 轴上的点 P（t，0）对称 （1）若 f（x）是 R 上单调函数且
8、其图象关于点 P（t，0）对称，证明：函数 f（x）有唯 一零点； （2）已知函数 g（x）x3+3x22，证明：函数 g（x）的图象关于 x 轴上的点 P 对称， 并求出点 P 的坐标 20 （16 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右顶点为 A，B，点（m，0） （m 0）和直线 x称为椭圆 C 的一个“共轭点线对“ （1）若椭圆 C 的离心率为，点 P（1，0）和直线 l：x4 为椭圆 C 的一个“共轭点 线对“ 求椭圆 C 的标准方程； 第 5 页（共 23 页） 过点 P 作一条直线交椭圆于 M，N，证明：直线 AM 和 BN 的交点在直线 l 上； （2）根据（1）的结论，写出
9、一个与椭圆的“共轭点线对”有关的一般性结论，不要求 证明 21 （10 分）已知矩阵 A，B，若直线 l：xy+20 在矩阵 AB 对应的变换 作用下得到直线 l1，求直线 l1的方程 22 （10 分）在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2，） ，圆心 C 为直线 sin（） 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 23 （10 分）如图，在三棱锥 DABC 中，DC平面 ABC，AC2，BC2，ACBC， E 是 AD 的中点，若直线 BE 和 CD 所成角为 60 （1）求平面 EBC 与平面 ABC 所成的二面角； （2）求直线 BD 与平面 EBC 所成角的正弦值 24 （10 分）
10、设数列an的通项公式为 an，nN* （1）求 a1，a2，a3，a4，a5； （2）由（1）猜想 an与 an+1的大小，并加以证明 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年江苏省南通市启东市高二（上）期末数学试卷学年江苏省南通市启东市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.不需写出解答过程，请把答案直接不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上填写在答题卡相应位置上 1 （5 分）命题“xN，x2x”的否定是 xN，x2x 【分析】根据命题“
11、xN，x2x”是特称命题，其否定为全称命题，即xN，x2x， 从而得到答案 【解答】解：命题“xN，x2x”是特称命题 否定命题为；xN，x2x 故答案为：xN，x2x 【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化，属基础题 2 （5 分）复数 z（2+i） （1i） ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模是 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 【解答】解：z（2+i） （1i）3i， |z| 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）某学校高一年级有 1800 名学生，高二年级有 1500 名学生，高三年级有
12、 1200 名 学生，为了了解该校高中学生的视力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则应在高二年级抽取 50 人 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 【解答】 解： 由分层抽样的定义得应在高二年级抽取150 50， 故答案为：50 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比 较基础 4 （5 分）执行如图所示的伪代码，若输出 y 的值为 3，则输入 x 的值为 第 7 页（共 23 页） 【分析】算法的功能是求 y的值，根据输出 y 的值为 3，分别求出当 x 0 时和当 x0 时的 x 值 【解答】解：由程序语句知：算法的
13、功能是求 y的值， 当 x0 时，yx+43，可得：x1（舍去） ； 当 x0 时，yx2+13，可得：x，或（舍去） ， 综上 x 的值为： 故答案为： 【点评】本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属 于基础题 5 （5 分）如图是某校学生日睡眠时间（单位：h）的抽样频率分布直方图，则日睡眠时间 在7，9内的学生所占百分比为 78 % 【分析】由频率分布直方图求出日睡眠时间在7，9内的学生的频率，由此能求出日睡眠 时间在7，9内的学生所占百分比 【解答】解：如图是某校学生日睡眠时间（单位：h）的抽样频率分布直方图， 第 8 页（共 23 页） 由频率分布直方图得
14、日睡眠时间在7，9内的学生的频率为： （0.66+0.74+0.12+0.04）0.50.78， 日睡眠时间在7，9内的学生所占百分比为 0.78100%78% 故答案为：78 【点评】本题考查日睡眠时间在7，9内的学生所占百分比的求法，考查频率分布直方图 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）如图所示的算法中，若输出的结果是 31，则判断框中的整数 M 的值为 4 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是累加 S1+21+22+23+2431 的值，并输出 【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环
15、; S x 循环前/1 1 第一圈 是 1+21 2 第二圈 是 1+21+22 3 第三圈 是 1+21+22+23 4 第四圈 是 1+21+22+23+24 5 输出的结果是 31 故继续循环的条件 x 不能超过 4故 M4 故答案为：4 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容， 也必然是新高考中的一个热点，
16、应高度重视 程 第 9 页（共 23 页） 序填空也是重要的考试题型，属于基础题 7 （5 分） 设复数 z12i， z21+i， 则复数 z在复平面内所表示的点位于第 一 象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z12i，z21+i， z， 则复数 z 在复平面内所表示的点的坐标为（1，1） ，位于第一象限 故答案为：一 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 8 （5 分） “m0”是“方程+y21 表示椭圆”的 必要不充分 条件 （从“充分不必 要” “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要
17、”中，选出适当的一种填空） 【分析】求出椭圆表示方程的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：若方程+y21 表示椭圆，得 m0 且 m1， 则“m0”是“方程+y21 表示椭圆”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的定义求出 m 的范围 是解决本题的关键 9 （5 分）若数列an是等差数列，则（nN*）是与 n 无关的常数类似地，若 数列an是正项等比数列，则 （nN*）是与 n 无关的常数 【分析】由等差数列通项公式可得：d， 由等比数列的通项公式及类比推理的知识可得：类比到正项等比数列：a
18、n+1a1qn，所以 q 与 n 无关，得解 【解答】解：由等差数列的通项公式可得： an+1a1+nd， 第 10 页（共 23 页） 所以d， 类比到正项等比数列： an+1a1qn， 所以q 与 n 无关， 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列，等比数列的通项公式及类比推理的知识，属中档题 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y28x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点，且 PF4OF，则点 P 到 x 轴的距离为 【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设出点 P 的坐标，根据题意列出方程组求 得 x0、y0，再求点 P 到 x 轴的距离 【解答】解：抛物
19、线 y28x 中，p8， 抛物线的焦点为 F（2，0） ，准线方程为 x2； 设点 P（x0，y0） ， 则， ， 则点 P 到 x 轴的距离为|y| 故答案为： 【点评】本题考查了抛物线的定义与标准方程的应用问题，是基础题 11 （5 分）若“存在 x1，1，a3x+2x+10 成立”为真命题，则 a 的取值范围是 （ ，+） 【分析】方程有解问题通常用分离变量值域法，结合函数的单调性求函数 f（x） 第 11 页（共 23 页） +（ x x1，1值域即可得解 【解答】解： “存在 x1，1，a3x+2x+10 成立” ， 即a在 x1，1有解， 设 f（x）+（ x x1，1， 易得 y
20、f（x）在1，1为减函数， 所以 f（x）f（1） ，f（1）， 即 1， 即a， 所以 a， 故答案为： （，+） 【点评】本题考查了函数的单调性及方程有解问题，属中档题 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y24，以 C（2，t） （t0）为圆心的 圆经过点 A（2，0）且与圆 O 交于 M，N 两点，若 MN2，则正数 t 的值为 2 【分析】根据直线和圆相交的性质，结合等腰直角三角形的边长关系进行求解即可 【解答】解：由题意知动圆的半径为 t， A（2，0）同时在两个圆上， 两圆相交时，A 与 N 重合， MN2， 取 MN 的中点 B，则 BN， OA2，
21、 OAB 为等腰直角三角形，则OAC 为等腰直角三角形，则 ACOA2，即 t2， 故答案为：2 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，利用数形结合是解决本题的关键 13 （5 分）把数列an的各项按照如图规律排成三角形数阵；若 an2n1，nN*，则该 数阵的第 20 行所有项的和为 761 【分析】由等差数列的通项公式、分组求和及归纳推理可得：第 20 行共 202139 项，最后一项的项为a，第一项为：a，从左到右按相邻两项分组，每一组 的和为 2， 该数阵的第 20 行所有项的和 S219a38（22021）761，得解 【解答】解：由该数阵的规律可得：
22、第 1 行的最后一项的项数为 112， 第 2 行的最后一项的项数为 422， 第 3 行的最后一项的项数为 932则第 n 行的最后一 项的项数为 n2， 则该数阵的第 20 行最后一项的项为a，第一项为：a 由已知有：第 20 行共 202139 项， 则从左到右按相邻两项分组，每一组的和为 2， 则该数阵的第 20 行所有项的和 S219a38（22021）761， 故答案为：761 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及分组求和，归纳推理能力，属难度较大的题 型 第 13 页（共 23 页） 14 （5 分）如图，已知点 A，B 分别是椭圆+1（ab0）的左顶点和上顶点，过 椭圆右焦点
23、 F 作直线 CDAB 且交椭圆于 C，D 两点，若 AB：CD3：4，则该椭圆的 离心率为 【分析】由已知求得|AB|，再求出 CD 所在直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求 得 CD，结合 AB：CD3：4 列式求解 【解答】解：|AB|， 则 CD 所在直线方程为 y， 联立，可得 2x22cxb20 设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 则， |CD| 由 AB：CD3：4，得：， 化简得： （2a29c2） （2a2c2）0 又 e（0，1） ，解得： 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题 第 14 页（共 23 页） 二、解答题：本大题共二
24、、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 90 分分.请在请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）已知双曲线的焦点为 F1（4，0） ，F2（4，0） ，且该双曲线过点 P（6，2） （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线上的点 M 满足 MF1F1F2，求MF1F2的面积 【分析】 （1）由双曲线定义求出 2a，结合 c 可求 b，从而得双曲线的标准方程； （2）求出 x4 时 y2，得|MF1|y|，由 S|MF1|F1F2|可求结果 【解答】解： （1）2a4
25、， a2（2）212，又 c4，b242（2）24， 双曲线的标准方程为； （2）x4 时，y2，|MF1|， S|MF1|F1F2|8 【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，解答关键是利用双曲线的定义 16 （14 分）从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）整理后 画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题： （1）60，70）这一组的频率和频数分别是多少？ （2）估计该次环保知识竞赛的及格率（60 分及以上为及格） ； （3）利用频率分布直方图的组中值对该次环保知识竞赛平均分进行估计 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出60，70）这一组的频率和频数
26、 第 15 页（共 23 页） （2）由频率分布直方图求出该次环保知识竞赛 60 分以上的频率，由此能估计该次环保 知识竞赛的及格率 （3）利用频率分布直方图的组中值，能估计该次环保知识竞赛平均分 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： 60，70）这一组的频率为： 1（0.005+0.010+0.03+0.03+0.01）100.15， 60，70）这一组的频数为：0.15609 （2）由频率分布直方图得该次环保知识竞赛 60 分以上的频率为： 1（0.005+0.010）100.85， 估计该次环保知识竞赛的及格率（60 分及以上为及格）为：0.85100%85% （3）利用频率分布直方
27、图的组中值，估计该次环保知识竞赛平均分为： 450.00510+550.01010+650.01510+750.0310+850.0310+950.010 1075 【点评】本题考查频率、频数、及格率、平均分的求法，考查频率分布直方图等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 17 （14 分）已知函数 f（x）x2x+a，集合 Ax|1x1 （1）设 Bx|f（x）0，若 xA 是 xB 的充分不必要条件，求 a 的取值范围； （2）对任意 xA，不等式 f（x）ax1 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据充分条件和必要条件的定义转化当1x1 时，f（x）0 恒成立进 行求解 （2
28、）利用参数分离法，结合基本不等式进行求解即可 【解答】解： （1）若若 xA 是 xB 的充分不必要条件， 即当1x1 时，f（x）0 恒成立，即 ，得，即， 即 a2， （2）当1x1 时，f（x）ax1 恒成立， 即 x2x+aax1 恒成立， 即 x2x+1a（x1） ， 当 x1 时，10 成立， 第 16 页（共 23 页） 当1x1 时，不等式等价为 a， 令 tx1，则 xt+1，2t0， 则t+1， 2t0，t+11（t）12121， 当且仅当t，即 t1 时，取等号， 则 a1 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式恒成立转函数问题是解 决本题的关键 18
29、（16 分）在直线型公路 l 西侧有一边界近似看成圆形的湖泊，某观测者在 l 上 A 处测得 湖泊的视角余弦值为（视角是指两视线与圆形湖泊相切时所成的角） ，向北行驶 2 千米 到达 B 处测得视角为 60已知点 B 和湖泊边界上点 C 分别在圆心 O 的正东和正西方 向现规划修建连接 C 和 l 上点 D 的直线型道路 CED，其中 E 在湖泊边界上，CE 段建 造桥梁，每千米费用为 4a 万元，ED 段建造公路，每千米费用为 a 万元以 O 为坐标原 点，CB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy （1）求圆形湖泊的半径长； （2）如何规划道路 CED 建设，可使修建
30、总费用最少？ 【分析】 （1）用半径 r 表示出 OB，OA，根据二倍角公式列方程求出 r 即可； （2）设BCD，求出 CE，CD，得出修建总费用关于 的函数，利用基本不等式得 出结论 【解答】解： （1）连接 OA，设湖泊半径为 r，则 OB2r， 第 17 页（共 23 页） OA2， 设圆 O 的过 A 的切线与圆 O 切于 M， 则 sinOAM， cos2OAM12sin2OAM，即 1， 解得 r故圆形湖泊的半径长为 （2）设BCD，则 CEcos，CD， 修建总费用 y4acos+a（cos） 2acos+24a 当且仅当 2acos，即 cos时取等号 当BCD时，可使修建总
31、费用最少 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，属于中档题 19 （16 分）对于定义在实数集 R 上的函数 f（x） ，若存在常数 t，使得任意的 xR 都有 f （t+x）+f（tx）0，则函数 f（x）的图象关于 x 轴上的点 P（t，0）对称 （1）若 f（x）是 R 上单调函数且其图象关于点 P（t，0）对称，证明：函数 f（x）有唯 一零点； （2）已知函数 g（x）x3+3x22，证明：函数 g（x）的图象关于 x 轴上的点 P 对称， 并求出点 P 的坐标 第 18 页（共 23 页） 【分析】 （1）由已知可得 f（t+x）+f（tx）0 对于任意的 x 都
32、成立，令 x0 可求 f（t） 0，然后结合 f（x）是 R 上单调函数，及函数的零点判定定理可证 （2）由题意可知 g（t+x）+g（tx）0 恒成立，代入可求 t，进而可求 P 【解答】证明： （1）f（x）的图象关于点 P（t，0）对称， f（t+x）+f（tx）0 对于任意的 x 都成立， 令 x0 可得 2f（t）0 即 f（t）0， f（x）是 R 上单调函数， 由函数的零点判定定理可知，函数 f（x）有唯一零点； （2）设 g（x）x3+3x22 关于 P（t，0）对称， g（t+x）+g（tx）（t+x）3+3（t+x）22+（tx）3+3（tx）220 恒成立 02t3+6（
33、t+1）x24+6t2恒成立， 6（t+1）0 且 2t34+6t20， t1，即 g（x）关于（1，0）对称，即 P（1，0） 【点评】本题综合考查了函数性质的应用，考查了函数的零点判定定理的应用，考查了 考生的逻辑思维能力的应用，属于中档试题 20 （16 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右顶点为 A，B，点（m，0） （m 0）和直线 x称为椭圆 C 的一个“共轭点线对“ （1）若椭圆 C 的离心率为，点 P（1，0）和直线 l：x4 为椭圆 C 的一个“共轭点 线对“ 求椭圆 C 的标准方程； 过点 P 作一条直线交椭圆于 M，N，证明：直线 AM 和 BN 的交点在直线 l 上
34、； （2）根据（1）的结论，写出一个与椭圆的“共轭点线对”有关的一般性结论，不要求 证明 第 19 页（共 23 页） 【分析】 （1）求得 a，运用离心率公式和 a，b，c 的关系可得 b，进而得到椭圆方程； 将直线 l：yk（x1）代入椭圆方程，运用韦达定理，求出直线 AM，BN 的方程， 解得交点的横坐标，化简整理，即可得到交点在定直线 x4 上； （2）由（1）的结论，可得直线 AM 和 BN 的交点在定直线 x上 【解答】解： （1）由题意可得 e，a24，即 a2，c，b1， 则椭圆方程为+y21； 设过 P 的直线 MN 为 yk（x1） ，代入椭圆方程得
35、 （1+4k2）x28k2x+4（k21）0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则 x1+x2，x1x2，可得 5（x1+x2）8+2x1x2， 直线 AM 的方程为 y（x+2） ，即 y（x+2） ， 直线 BN 的方程为 y（x2） ，即 y（x2） ， 联立得 x4， 所以直线 AM 与直线 BN 的交点在定直线 x4 上； （2）一般性结论为：已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右顶点为 A，B， 点（m，0） （m0）和直线 x，过点（m，0）的直线与椭圆交于 M，N， 则直线 AM，BN 的交点在定直线 x上 【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线方程和椭圆方程联立，以
36、及直线的交点求法， 考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题 21 （10 分）已知矩阵 A，B，若直线 l：xy+20 在矩阵 AB 对应的变换 作用下得到直线 l1，求直线 l1的方程 【分析】本题可先算出 AB 的乘积矩阵，然后设直线 l 上任意一点 P（x，y）经过矩阵 AB 对应的变换作用下得到一点 P（x，y） ，则点 P（x，y）在直线 l1上然后 第 20 页（共 23 页） 根据矩阵变换公式可得到 x，y 与 x，y的表达关系式，然后将 x，y 用 x，y表示 出来，代入直线 l 的直线方程，即可得到直线 l1的方程 【解答】解：由题意，可知： ABAB 由题意，可设直线
37、 l 上任意一点 P（x，y）经过矩阵 AB 对应的变换作用下得到一点 P （x，y） ， 则点 P（x，y）在直线 l1上 ， 即： 即： 点 P（x，y）在直线 l 上， 可将：代入 xy+20，得： 整理，得：x6y+60 直线 l1的方程为 x6y+60 故答案为：x6y+60 【点评】本题主要考査一条直线 l 上经过矩阵 M 对应的变换作用下得到另一条直线，已 知其中一条直线方程求另一条直线方程本题属基础题 22 （10 分）在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2，） ，圆心 C 为直线 sin（） 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 【分析】求出 P 点的直角坐标为（1，） ，
38、圆心 C 的直角坐标为（2，0） ，从而求出圆 半径 r|PC|2，进而求出圆 C 的直角坐标方程，由此能求出圆 C 的极坐标方程 【解答】解：圆 C 经过点 P（2，） ，P 点的直角坐标为（1，） ， 圆心 C 为直线 sin（）与极轴的交点， 第 21 页（共 23 页） 直线 sin（）的直角坐标方程为 xy20， 圆心 C 的直角坐标为（2，0） ， 圆半径 r|PC|2， 圆 C 的直角坐标方程为（x2）2+y24，即 x2+y24x0， 圆 C 的极坐标方程为 4cos 【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程 的互化等基础知识，考查运算求解能
39、力，是中档题 23 （10 分）如图，在三棱锥 DABC 中，DC平面 ABC，AC2，BC2，ACBC， E 是 AD 的中点，若直线 BE 和 CD 所成角为 60 （1）求平面 EBC 与平面 ABC 所成的二面角； （2）求直线 BD 与平面 EBC 所成角的正弦值 【分析】以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐 标系，由直线 BE 和 CD 所成角为 60求得 D 的坐标 （1）分别求出平面 EBC 与平面 ABC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求解； （2） 求出， 再由与平面 EBC 的法向量所成角的余弦值求解直线 BD 与
40、平面 EBC 所 成角的正弦值 【解答】解：如图， 以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 CD2a，又 AC2，BC2，E 是 AD 的中点， 可得 C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（0，0） ，D（0，0，2a） ，E（1，0，a） ， 第 22 页（共 23 页） 由直线 BE 和 CD 所成角为 60，得|cos|， 解得：a，则 D（0，0，） ，E（1，0，） （1）设平面 EBC 的一个法向量为， 由， 得，取 z1，得 平面 ABC 的一个法向量为 cos 由图可知，平面 EBC 与平面 ABC 所成的二面角为
41、锐角， 平面 EBC 与平面 ABC 所成的二面角为 60； （2），又平面 EBC 的一个法向量为 直线 BD 与平面 EBC 所成角的正弦值为 sin|cos| 【点评】本题考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与二面角 的大小，是中档题 24 （10 分）设数列an的通项公式为 an，nN* （1）求 a1，a2，a3，a4，a5； （2）由（1）猜想 an与 an+1的大小，并加以证明 【分析】 （1）将 n1，2，3，4，5 代入通项公式计算； 第 23 页（共 23 页） （2）令 f（x），判断 f（x）的单调性，根据 f（x）的单调性得出结论 【解答】解： （1）a1log210，a2，a3，a4，a5 （2）由（1）可知 a1a2a3，a3a4a5， 猜想：当 n2 时，anan+1，当 n3 时，anan+1 证明：由（1）可知当 n2 时，anan+1成立； 下面证明当 n3 时，anan+1 设 f（x），则 f（x） 令 f（x）0 可得log2x，即 xe 当 xe 时，f（x）0，故 f（x）在（e，+）上单调递减， 当 n3 时，anan+1 【点评】本题考查了数列计算与数列的单调性，属于中档题
