2018-2019学年江苏省南通市启东市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、2018-2019 学年江苏省南通市启东市高二(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分分.不需写出解答过程,请把答案直接不需写出解答过程,请把答案直接 填写在答题卡相应位置上填写在答题卡相应位置上 1 (5 分)命题“xN,x2x”的否定是   2 (5 分)复数 z(2+i) (1i) ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模是   3 (5 分)某学校高一年级有 1800 名学生,高二年级有 1500 名学生,高三年级有 1200 名 学生,为了了解该校高中学生的视力情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 15

2、0 的样本,则应在高二年级抽取   人 4 (5 分)执行如图所示的伪代码,若输出 y 的值为 3,则输入 x 的值为   5 (5 分)如图是某校学生日睡眠时间(单位:h)的抽样频率分布直方图,则日睡眠时间 在7,9内的学生所占百分比为   % 6 (5 分)如图所示的算法中,若输出的结果是 31,则判断框中的整数 M 的值为    第 2 页(共 23 页) 7 (5 分)设复数 z12i,z21+i,则复数 z在复平面内所表示的点位于第   象 限 8 (5 分) “m0”是“方程+y21 表示椭圆”的   条件 (从

3、“充分不必要” “必 要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空) 9 (5 分)若数列an是等差数列,则(nN*)是与 n 无关的常数类似地,若 数列an是正项等比数列,则   (nN*)是与 n 无关的常数 10 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y28x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点,且 PF4OF,则点 P 到 x 轴的距离为    11 (5 分) 若 “存在 x1, 1, a3x+2x+10 成立” 为真命题, 则 a 的取值范围是    12 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,

4、已知圆 O:x2+y24,以 C(2,t) (t0)为圆心的 圆经过点 A(2,0)且与圆 O 交于 M,N 两点,若 MN2,则正数 t 的值为    13 (5 分)把数列an的各项按照如图规律排成三角形数阵;若 an2n1,nN*,则该 数阵的第 20 行所有项的和为   第 3 页(共 23 页) 14 (5 分)如图,已知点 A,B 分别是椭圆+1(ab0)的左顶点和上顶点,过 椭圆右焦点 F 作直线 CDAB 且交椭圆于 C,D 两点,若 AB:CD3:4,则该椭圆的 离心率为   二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共 10 小题,共小题

5、,共 90 分分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 15 (14 分)已知双曲线的焦点为 F1(4,0) ,F2(4,0) ,且该双曲线过点 P(6,2)  (1)求双曲线的标准方程; (2)若双曲线上的点 M 满足 MF1F1F2,求MF1F2的面积 16 (14 分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)整理后 画出频率分布直方图如图所示,观察图形,回答下列问题: (1)60,70)这一组的频率和频数分别是多少? (2)估计该次环保知识竞赛的及格率(

6、60 分及以上为及格) ; (3)利用频率分布直方图的组中值对该次环保知识竞赛平均分进行估计 17 (14 分)已知函数 f(x)x2x+a,集合 Ax|1x1 (1)设 Bx|f(x)0,若 xA 是 xB 的充分不必要条件,求 a 的取值范围; 第 4 页(共 23 页) (2)对任意 xA,不等式 f(x)ax1 恒成立,求 a 的取值范围 18 (16 分)在直线型公路 l 西侧有一边界近似看成圆形的湖泊,某观测者在 l 上 A 处测得 湖泊的视角余弦值为(视角是指两视线与圆形湖泊相切时所成的角) ,向北行驶 2 千米 到达 B 处测得视角为 60已知点 B 和湖泊边界上点 C 分别在

7、圆心 O 的正东和正西方 向现规划修建连接 C 和 l 上点 D 的直线型道路 CED,其中 E 在湖泊边界上,CE 段建 造桥梁,每千米费用为 4a 万元,ED 段建造公路,每千米费用为 a 万元以 O 为坐标原 点,CB 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系 xOy (1)求圆形湖泊的半径长; (2)如何规划道路 CED 建设,可使修建总费用最少? 19 (16 分)对于定义在实数集 R 上的函数 f(x) ,若存在常数 t,使得任意的 xR 都有 f (t+x)+f(tx)0,则函数 f(x)的图象关于 x 轴上的点 P(t,0)对称 (1)若 f(x)是 R 上单调函数且

8、其图象关于点 P(t,0)对称,证明:函数 f(x)有唯 一零点; (2)已知函数 g(x)x3+3x22,证明:函数 g(x)的图象关于 x 轴上的点 P 对称, 并求出点 P 的坐标 20 (16 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的左、右顶点为 A,B,点(m,0) (m 0)和直线 x称为椭圆 C 的一个“共轭点线对“ (1)若椭圆 C 的离心率为,点 P(1,0)和直线 l:x4 为椭圆 C 的一个“共轭点 线对“ 求椭圆 C 的标准方程; 第 5 页(共 23 页) 过点 P 作一条直线交椭圆于 M,N,证明:直线 AM 和 BN 的交点在直线 l 上; (2)根据(1)的结论,写出

9、一个与椭圆的“共轭点线对”有关的一般性结论,不要求 证明 21 (10 分)已知矩阵 A,B,若直线 l:xy+20 在矩阵 AB 对应的变换 作用下得到直线 l1,求直线 l1的方程 22 (10 分)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P(2,) ,圆心 C 为直线 sin() 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程 23 (10 分)如图,在三棱锥 DABC 中,DC平面 ABC,AC2,BC2,ACBC, E 是 AD 的中点,若直线 BE 和 CD 所成角为 60 (1)求平面 EBC 与平面 ABC 所成的二面角; (2)求直线 BD 与平面 EBC 所成角的正弦值 24 (10 分)

10、设数列an的通项公式为 an,nN* (1)求 a1,a2,a3,a4,a5; (2)由(1)猜想 an与 an+1的大小,并加以证明 第 6 页(共 23 页) 2018-2019 学年江苏省南通市启东市高二(上)期末数学试卷学年江苏省南通市启东市高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分分.不需写出解答过程,请把答案直接不需写出解答过程,请把答案直接 填写在答题卡相应位置上填写在答题卡相应位置上 1 (5 分)命题“xN,x2x”的否定是 xN,x2x 【分析】根据命题“

11、xN,x2x”是特称命题,其否定为全称命题,即xN,x2x, 从而得到答案 【解答】解:命题“xN,x2x”是特称命题 否定命题为;xN,x2x 故答案为:xN,x2x 【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化,属基础题 2 (5 分)复数 z(2+i) (1i) ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模是 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解 【解答】解:z(2+i) (1i)3i, |z| 故答案为: 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题 3 (5 分)某学校高一年级有 1800 名学生,高二年级有 1500 名学生,高三年级有

12、 1200 名 学生,为了了解该校高中学生的视力情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则应在高二年级抽取 50 人 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 【解答】 解: 由分层抽样的定义得应在高二年级抽取150 50, 故答案为:50 【点评】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键比 较基础 4 (5 分)执行如图所示的伪代码,若输出 y 的值为 3,则输入 x 的值为 第 7 页(共 23 页) 【分析】算法的功能是求 y的值,根据输出 y 的值为 3,分别求出当 x 0 时和当 x0 时的 x 值 【解答】解:由程序语句知:算法的

13、功能是求 y的值, 当 x0 时,yx+43,可得:x1(舍去) ; 当 x0 时,yx2+13,可得:x,或(舍去) , 综上 x 的值为: 故答案为: 【点评】本题考查了选择结构的程序语句,根据语句判断算法的功能是解题的关键,属 于基础题 5 (5 分)如图是某校学生日睡眠时间(单位:h)的抽样频率分布直方图,则日睡眠时间 在7,9内的学生所占百分比为 78 % 【分析】由频率分布直方图求出日睡眠时间在7,9内的学生的频率,由此能求出日睡眠 时间在7,9内的学生所占百分比 【解答】解:如图是某校学生日睡眠时间(单位:h)的抽样频率分布直方图, 第 8 页(共 23 页) 由频率分布直方图得

14、日睡眠时间在7,9内的学生的频率为: (0.66+0.74+0.12+0.04)0.50.78, 日睡眠时间在7,9内的学生所占百分比为 0.78100%78% 故答案为:78 【点评】本题考查日睡眠时间在7,9内的学生所占百分比的求法,考查频率分布直方图 等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 6 (5 分)如图所示的算法中,若输出的结果是 31,则判断框中的整数 M 的值为 4 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是累加 S1+21+22+23+2431 的值,并输出 【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环  

15、;   S  x 循环前/1  1 第一圈    是    1+21  2 第二圈    是    1+21+22  3 第三圈    是    1+21+22+23  4 第四圈    是    1+21+22+23+24 5 输出的结果是 31 故继续循环的条件 x 不能超过 4故 M4 故答案为:4 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容, 也必然是新高考中的一个热点,

16、应高度重视 程 第 9 页(共 23 页) 序填空也是重要的考试题型,属于基础题 7 (5 分) 设复数 z12i, z21+i, 则复数 z在复平面内所表示的点位于第 一 象限  【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:z12i,z21+i, z, 则复数 z 在复平面内所表示的点的坐标为(1,1) ,位于第一象限 故答案为:一 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题 8 (5 分) “m0”是“方程+y21 表示椭圆”的 必要不充分 条件 (从“充分不必 要” “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要

17、”中,选出适当的一种填空) 【分析】求出椭圆表示方程的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可  【解答】解:若方程+y21 表示椭圆,得 m0 且 m1, 则“m0”是“方程+y21 表示椭圆”的必要不充分条件, 故答案为:必要不充分 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合椭圆方程的定义求出 m 的范围 是解决本题的关键 9 (5 分)若数列an是等差数列,则(nN*)是与 n 无关的常数类似地,若 数列an是正项等比数列,则 (nN*)是与 n 无关的常数 【分析】由等差数列通项公式可得:d, 由等比数列的通项公式及类比推理的知识可得:类比到正项等比数列:a

18、n+1a1qn,所以 q 与 n 无关,得解 【解答】解:由等差数列的通项公式可得: an+1a1+nd, 第 10 页(共 23 页) 所以d, 类比到正项等比数列: an+1a1qn, 所以q 与 n 无关, 故答案为: 【点评】本题考查了等差数列,等比数列的通项公式及类比推理的知识,属中档题 10 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y28x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点,且 PF4OF,则点 P 到 x 轴的距离为  【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程,设出点 P 的坐标,根据题意列出方程组求 得 x0、y0,再求点 P 到 x 轴的距离 【解答】解:抛物

19、线 y28x 中,p8, 抛物线的焦点为 F(2,0) ,准线方程为 x2; 设点 P(x0,y0) , 则, , 则点 P 到 x 轴的距离为|y| 故答案为: 【点评】本题考查了抛物线的定义与标准方程的应用问题,是基础题 11 (5 分)若“存在 x1,1,a3x+2x+10 成立”为真命题,则 a 的取值范围是 ( ,+) 【分析】方程有解问题通常用分离变量值域法,结合函数的单调性求函数 f(x) 第 11 页(共 23 页) +( x x1,1值域即可得解 【解答】解: “存在 x1,1,a3x+2x+10 成立” , 即a在 x1,1有解, 设 f(x)+( x x1,1, 易得 y

20、f(x)在1,1为减函数, 所以 f(x)f(1) ,f(1), 即 1, 即a, 所以 a, 故答案为: (,+) 【点评】本题考查了函数的单调性及方程有解问题,属中档题 12 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y24,以 C(2,t) (t0)为圆心的 圆经过点 A(2,0)且与圆 O 交于 M,N 两点,若 MN2,则正数 t 的值为 2 【分析】根据直线和圆相交的性质,结合等腰直角三角形的边长关系进行求解即可 【解答】解:由题意知动圆的半径为 t, A(2,0)同时在两个圆上, 两圆相交时,A 与 N 重合, MN2, 取 MN 的中点 B,则 BN, OA2,

21、 OAB 为等腰直角三角形,则OAC 为等腰直角三角形,则 ACOA2,即 t2, 故答案为:2 第 12 页(共 23 页) 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质,利用数形结合是解决本题的关键 13 (5 分)把数列an的各项按照如图规律排成三角形数阵;若 an2n1,nN*,则该 数阵的第 20 行所有项的和为 761 【分析】由等差数列的通项公式、分组求和及归纳推理可得:第 20 行共 202139 项,最后一项的项为a,第一项为:a,从左到右按相邻两项分组,每一组 的和为 2, 该数阵的第 20 行所有项的和 S219a38(22021)761,得解 【解答】解:由该数阵的规律可得:

22、第 1 行的最后一项的项数为 112, 第 2 行的最后一项的项数为 422, 第 3 行的最后一项的项数为 932则第 n 行的最后一 项的项数为 n2, 则该数阵的第 20 行最后一项的项为a,第一项为:a 由已知有:第 20 行共 202139 项, 则从左到右按相邻两项分组,每一组的和为 2, 则该数阵的第 20 行所有项的和 S219a38(22021)761, 故答案为:761 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及分组求和,归纳推理能力,属难度较大的题 型 第 13 页(共 23 页) 14 (5 分)如图,已知点 A,B 分别是椭圆+1(ab0)的左顶点和上顶点,过 椭圆右焦点

23、 F 作直线 CDAB 且交椭圆于 C,D 两点,若 AB:CD3:4,则该椭圆的 离心率为 【分析】由已知求得|AB|,再求出 CD 所在直线方程,与椭圆方程联立,利用弦长公式求 得 CD,结合 AB:CD3:4 列式求解 【解答】解:|AB|, 则 CD 所在直线方程为 y, 联立,可得 2x22cxb20 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 则, |CD| 由 AB:CD3:4,得:, 化简得: (2a29c2) (2a2c2)0 又 e(0,1) ,解得: 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查计算能力,是中档题 第 14 页(共 23 页) 二、解答题:本大题共二

24、、解答题:本大题共 10 小题,共小题,共 90 分分.请在请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 15 (14 分)已知双曲线的焦点为 F1(4,0) ,F2(4,0) ,且该双曲线过点 P(6,2)  (1)求双曲线的标准方程; (2)若双曲线上的点 M 满足 MF1F1F2,求MF1F2的面积 【分析】 (1)由双曲线定义求出 2a,结合 c 可求 b,从而得双曲线的标准方程; (2)求出 x4 时 y2,得|MF1|y|,由 S|MF1|F1F2|可求结果 【解答】解: (1)2a4

25、, a2(2)212,又 c4,b242(2)24, 双曲线的标准方程为; (2)x4 时,y2,|MF1|, S|MF1|F1F2|8 【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质,解答关键是利用双曲线的定义 16 (14 分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)整理后 画出频率分布直方图如图所示,观察图形,回答下列问题: (1)60,70)这一组的频率和频数分别是多少? (2)估计该次环保知识竞赛的及格率(60 分及以上为及格) ; (3)利用频率分布直方图的组中值对该次环保知识竞赛平均分进行估计 【分析】 (1)由频率分布直方图能求出60,70)这一组的频率和频数

26、 第 15 页(共 23 页) (2)由频率分布直方图求出该次环保知识竞赛 60 分以上的频率,由此能估计该次环保 知识竞赛的及格率 (3)利用频率分布直方图的组中值,能估计该次环保知识竞赛平均分 【解答】解: (1)由频率分布直方图得: 60,70)这一组的频率为: 1(0.005+0.010+0.03+0.03+0.01)100.15, 60,70)这一组的频数为:0.15609 (2)由频率分布直方图得该次环保知识竞赛 60 分以上的频率为: 1(0.005+0.010)100.85, 估计该次环保知识竞赛的及格率(60 分及以上为及格)为:0.85100%85% (3)利用频率分布直方

27、图的组中值,估计该次环保知识竞赛平均分为: 450.00510+550.01010+650.01510+750.0310+850.0310+950.010 1075 【点评】本题考查频率、频数、及格率、平均分的求法,考查频率分布直方图等基础知 识,考查运算求解能力,是基础题 17 (14 分)已知函数 f(x)x2x+a,集合 Ax|1x1 (1)设 Bx|f(x)0,若 xA 是 xB 的充分不必要条件,求 a 的取值范围; (2)对任意 xA,不等式 f(x)ax1 恒成立,求 a 的取值范围 【分析】 (1)根据充分条件和必要条件的定义转化当1x1 时,f(x)0 恒成立进 行求解 (2

28、)利用参数分离法,结合基本不等式进行求解即可 【解答】解: (1)若若 xA 是 xB 的充分不必要条件, 即当1x1 时,f(x)0 恒成立,即 ,得,即, 即 a2, (2)当1x1 时,f(x)ax1 恒成立, 即 x2x+aax1 恒成立, 即 x2x+1a(x1) , 当 x1 时,10 成立, 第 16 页(共 23 页) 当1x1 时,不等式等价为 a, 令 tx1,则 xt+1,2t0, 则t+1, 2t0,t+11(t)12121, 当且仅当t,即 t1 时,取等号, 则 a1 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,结合不等式恒成立转函数问题是解 决本题的关键 18

29、(16 分)在直线型公路 l 西侧有一边界近似看成圆形的湖泊,某观测者在 l 上 A 处测得 湖泊的视角余弦值为(视角是指两视线与圆形湖泊相切时所成的角) ,向北行驶 2 千米 到达 B 处测得视角为 60已知点 B 和湖泊边界上点 C 分别在圆心 O 的正东和正西方 向现规划修建连接 C 和 l 上点 D 的直线型道路 CED,其中 E 在湖泊边界上,CE 段建 造桥梁,每千米费用为 4a 万元,ED 段建造公路,每千米费用为 a 万元以 O 为坐标原 点,CB 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系 xOy (1)求圆形湖泊的半径长; (2)如何规划道路 CED 建设,可使修建

30、总费用最少? 【分析】 (1)用半径 r 表示出 OB,OA,根据二倍角公式列方程求出 r 即可; (2)设BCD,求出 CE,CD,得出修建总费用关于 的函数,利用基本不等式得 出结论 【解答】解: (1)连接 OA,设湖泊半径为 r,则 OB2r, 第 17 页(共 23 页) OA2, 设圆 O 的过 A 的切线与圆 O 切于 M, 则 sinOAM, cos2OAM12sin2OAM,即 1, 解得 r故圆形湖泊的半径长为 (2)设BCD,则 CEcos,CD, 修建总费用 y4acos+a(cos) 2acos+24a 当且仅当 2acos,即 cos时取等号 当BCD时,可使修建总

31、费用最少 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,基本不等式的应用,属于中档题 19 (16 分)对于定义在实数集 R 上的函数 f(x) ,若存在常数 t,使得任意的 xR 都有 f (t+x)+f(tx)0,则函数 f(x)的图象关于 x 轴上的点 P(t,0)对称 (1)若 f(x)是 R 上单调函数且其图象关于点 P(t,0)对称,证明:函数 f(x)有唯 一零点; (2)已知函数 g(x)x3+3x22,证明:函数 g(x)的图象关于 x 轴上的点 P 对称, 并求出点 P 的坐标 第 18 页(共 23 页) 【分析】 (1)由已知可得 f(t+x)+f(tx)0 对于任意的 x 都

32、成立,令 x0 可求 f(t) 0,然后结合 f(x)是 R 上单调函数,及函数的零点判定定理可证 (2)由题意可知 g(t+x)+g(tx)0 恒成立,代入可求 t,进而可求 P 【解答】证明: (1)f(x)的图象关于点 P(t,0)对称, f(t+x)+f(tx)0 对于任意的 x 都成立, 令 x0 可得 2f(t)0 即 f(t)0, f(x)是 R 上单调函数, 由函数的零点判定定理可知,函数 f(x)有唯一零点; (2)设 g(x)x3+3x22 关于 P(t,0)对称, g(t+x)+g(tx)(t+x)3+3(t+x)22+(tx)3+3(tx)220 恒成立 02t3+6(

33、t+1)x24+6t2恒成立, 6(t+1)0 且 2t34+6t20, t1,即 g(x)关于(1,0)对称,即 P(1,0) 【点评】本题综合考查了函数性质的应用,考查了函数的零点判定定理的应用,考查了 考生的逻辑思维能力的应用,属于中档试题 20 (16 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的左、右顶点为 A,B,点(m,0) (m 0)和直线 x称为椭圆 C 的一个“共轭点线对“ (1)若椭圆 C 的离心率为,点 P(1,0)和直线 l:x4 为椭圆 C 的一个“共轭点 线对“ 求椭圆 C 的标准方程; 过点 P 作一条直线交椭圆于 M,N,证明:直线 AM 和 BN 的交点在直线 l 上

34、; (2)根据(1)的结论,写出一个与椭圆的“共轭点线对”有关的一般性结论,不要求 证明 第 19 页(共 23 页) 【分析】 (1)求得 a,运用离心率公式和 a,b,c 的关系可得 b,进而得到椭圆方程;  将直线 l:yk(x1)代入椭圆方程,运用韦达定理,求出直线 AM,BN 的方程, 解得交点的横坐标,化简整理,即可得到交点在定直线 x4 上; (2)由(1)的结论,可得直线 AM 和 BN 的交点在定直线 x上 【解答】解: (1)由题意可得 e,a24,即 a2,c,b1,  则椭圆方程为+y21; 设过 P 的直线 MN 为 yk(x1) ,代入椭圆方程得

35、 (1+4k2)x28k2x+4(k21)0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 x1+x2,x1x2,可得 5(x1+x2)8+2x1x2, 直线 AM 的方程为 y(x+2) ,即 y(x+2) , 直线 BN 的方程为 y(x2) ,即 y(x2) , 联立得 x4, 所以直线 AM 与直线 BN 的交点在定直线 x4 上; (2)一般性结论为:已知椭圆 C:+1(ab0)的左、右顶点为 A,B, 点(m,0) (m0)和直线 x,过点(m,0)的直线与椭圆交于 M,N, 则直线 AM,BN 的交点在定直线 x上 【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线方程和椭圆方程联立,以

36、及直线的交点求法, 考查化简整理的运算能力和推理能力,属于中档题 21 (10 分)已知矩阵 A,B,若直线 l:xy+20 在矩阵 AB 对应的变换 作用下得到直线 l1,求直线 l1的方程 【分析】本题可先算出 AB 的乘积矩阵,然后设直线 l 上任意一点 P(x,y)经过矩阵 AB 对应的变换作用下得到一点 P(x,y) ,则点 P(x,y)在直线 l1上然后 第 20 页(共 23 页) 根据矩阵变换公式可得到 x,y 与 x,y的表达关系式,然后将 x,y 用 x,y表示 出来,代入直线 l 的直线方程,即可得到直线 l1的方程 【解答】解:由题意,可知: ABAB 由题意,可设直线

37、 l 上任意一点 P(x,y)经过矩阵 AB 对应的变换作用下得到一点 P (x,y) , 则点 P(x,y)在直线 l1上 , 即: 即: 点 P(x,y)在直线 l 上, 可将:代入 xy+20,得: 整理,得:x6y+60 直线 l1的方程为 x6y+60 故答案为:x6y+60 【点评】本题主要考査一条直线 l 上经过矩阵 M 对应的变换作用下得到另一条直线,已 知其中一条直线方程求另一条直线方程本题属基础题 22 (10 分)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P(2,) ,圆心 C 为直线 sin() 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程 【分析】求出 P 点的直角坐标为(1,) ,

38、圆心 C 的直角坐标为(2,0) ,从而求出圆 半径 r|PC|2,进而求出圆 C 的直角坐标方程,由此能求出圆 C 的极坐标方程 【解答】解:圆 C 经过点 P(2,) ,P 点的直角坐标为(1,) , 圆心 C 为直线 sin()与极轴的交点, 第 21 页(共 23 页) 直线 sin()的直角坐标方程为 xy20, 圆心 C 的直角坐标为(2,0) , 圆半径 r|PC|2, 圆 C 的直角坐标方程为(x2)2+y24,即 x2+y24x0, 圆 C 的极坐标方程为 4cos 【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法,考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程 的互化等基础知识,考查运算求解能

39、力,是中档题 23 (10 分)如图,在三棱锥 DABC 中,DC平面 ABC,AC2,BC2,ACBC, E 是 AD 的中点,若直线 BE 和 CD 所成角为 60 (1)求平面 EBC 与平面 ABC 所成的二面角; (2)求直线 BD 与平面 EBC 所成角的正弦值 【分析】以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CD 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系,由直线 BE 和 CD 所成角为 60求得 D 的坐标 (1)分别求出平面 EBC 与平面 ABC 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值求解; (2) 求出, 再由与平面 EBC 的法向量所成角的余弦值求解直线 BD 与

40、平面 EBC 所 成角的正弦值 【解答】解:如图, 以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CD 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 CD2a,又 AC2,BC2,E 是 AD 的中点, 可得 C(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(0,0) ,D(0,0,2a) ,E(1,0,a) , 第 22 页(共 23 页) 由直线 BE 和 CD 所成角为 60,得|cos|, 解得:a,则 D(0,0,) ,E(1,0,) (1)设平面 EBC 的一个法向量为, 由, 得,取 z1,得 平面 ABC 的一个法向量为 cos 由图可知,平面 EBC 与平面 ABC 所成的二面角为

41、锐角, 平面 EBC 与平面 ABC 所成的二面角为 60; (2),又平面 EBC 的一个法向量为 直线 BD 与平面 EBC 所成角的正弦值为 sin|cos| 【点评】本题考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解线面角与二面角 的大小,是中档题 24 (10 分)设数列an的通项公式为 an,nN* (1)求 a1,a2,a3,a4,a5; (2)由(1)猜想 an与 an+1的大小,并加以证明 【分析】 (1)将 n1,2,3,4,5 代入通项公式计算; 第 23 页(共 23 页) (2)令 f(x),判断 f(x)的单调性,根据 f(x)的单调性得出结论 【解答】解: (1)a1log210,a2,a3,a4,a5 (2)由(1)可知 a1a2a3,a3a4a5, 猜想:当 n2 时,anan+1,当 n3 时,anan+1 证明:由(1)可知当 n2 时,anan+1成立; 下面证明当 n3 时,anan+1 设 f(x),则 f(x) 令 f(x)0 可得log2x,即 xe 当 xe 时,f(x)0,故 f(x)在(e,+)上单调递减, 当 n3 时,anan+1 【点评】本题考查了数列计算与数列的单调性,属于中档题

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