1、2018-2019 学年江苏省泰州市姜堰区高二 （下） 期中数学试卷（文科）一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请将答案填入答题纸相应的答题分请将答案填入答题纸相应的答题 线上）线上） 1 （5 分）集合 A0，1，B1，2，则 AB 2 （5 分）命题“xR，3x0”是 命题 （选填“真” 、 “假” ） 3 （5 分）函数 f（x）lg（x2）的定义域是 4 （5 分）有 5 个数据分别为 2，4，5，6，8，则这 5 个数据的平均数是 5 （5 分）袋中有形状、大小都相同的 3 只球，其中 1 只白球，1 只红球，1 只黄球从中 一次随机摸
2、出 2 只球，则这 2 只球颜色为一红一黄的概率为 6 （5 分）某校高一年级有学生 850 人，高二年级 950 人，高三年级 1400 人，现采用分层 抽样抽取容量为 64 的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为 7 （5 分）如图，程序执行后输出的结果为 8 （5 分）计算 9 （5 分） “k1”是“函数 f（x）kx+2 为 R 上的增函数”的 （填“充分不必要 条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中的一个） 10 （5 分）已知函数 f（x）是偶函数，且当 x0 时，f（x）2x+1，则 f（2） 11 （5 分）已知函数 f（x）10x10 x+1，则 12
3、（5 分）已知函数 f（x）是定义在（3，3）上的偶函数，且在0，3）上单调递增，则 第 2 页（共 13 页） 满足 f（2m）f（1）的 m 的取值范围是 13 （5 分）若函数 f（x）lg（x2ax+2）在区间（1，+）上是增函数，则 a 的取值范 围是 14 （5 分）如果存在函数 g（x）ax+b（a、b 为常数） ，使得对函数 f（x）定义域内任意 x 都有 f（x）g（x）成立，那么称 g（x）为函数 f（x）的一个“线性覆盖函数” 给出如 下四个结论： 函数 f（x）2x存在“线性覆盖函数” ； 对于给定的函数 f（x） ，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个； g（
4、x）x2 为函数的一个“线性覆盖函数” ； 若 g（x）2x+b 为函数 f（x）x2的一个“线性覆盖函数” ，则 b1 其中所有正确结论的序号是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 60 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知全集 UR，集合 Ax|x1，Bx|xa （1）若 a2，求 AB，AB； （2）若 AB，求实数 a 的取值范围 16 （14 分）已知 p：2a2，q：关于 x 的方程 x2x+2a0 有实数根 （1）若 q 为真命
5、题，求实数 a 的取值范围； （2）若 q 为假命题，pq 为真命题，求实数 a 的取值范围 17 （14 分）已知函数 （1）若 a1，b0，判断并证明函数 f（x）的奇偶性； （2）若 a0，b1，用定义证明：函数 f（x）在区间（0，+）上是增函数 18 （16 分）已知函数 f（x）2x2+mx1，m 为实数 （1）若函数 f（x）在区间1，3上是单调函数，求实数 m 的范围； （2）若对任意 xR，都有 f（1+x）f（1x）成立，求实数 m 的值； （3）若 x1，1，求函数 f（x）的最小值 19 （16 分）已知函数 f（x）logax（a0 且 a1） （1）当 a2 时，求
6、不等式 f（x）的解集； 第 3 页（共 13 页） （2）当 a3 时，求方程 f（） f（3x）5 的解； （3）若 f（3a1）f（a） ，求实数 a 的取值范围 20 （16 分）设函数 g（x）3x，h（x）9x （1）解方程 h（x）8g（x）h（1）0 （2）令，求的值 （3）若 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（h（x）1）+f（2kg（x） ） 0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 第 4 页（共 13 页） 2018-2019 学年江苏省泰州市姜堰区高二 （下） 期中数学试卷 （文学年江苏省泰州市姜堰区高二 （下） 期中数学试卷 （文 科）科） 参考答案
7、与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题： （本大题共一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请将答案填入答题纸相应的答题分请将答案填入答题纸相应的答题 线上）线上） 1 （5 分）集合 A0，1，B1，2，则 AB 1 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：A0，1，B1，2； AB1 故答案为：1 【点评】考查列举法的定义，以及交集的运算 2 （5 分）命题“xR，3x0”是 真 命题 （选填“真” 、 “假” ） 【分析】根据指数函数的性质即可判断 【解答】解：根据指数函数的性质可得，命题“xR，3x0”是真命题， 故答案为：真 【点评】本题
8、考查了命题的真假，属于基础题 3 （5 分）函数 f（x）lg（x2）的定义域是 （2，+） 【分析】对数的真数大于 0，可得答案 【解答】解：由 x20，得 x2，所以函数的定义域为（2，+） 故答案为： （2，+） 【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题 4 （5 分）有 5 个数据分别为 2，4，5，6，8，则这 5 个数据的平均数是 5 【分析】根据平均数的定义计算即可 【解答】解：计算 2，4，5，6，8 的平均数为： （2+4+5+6+8）5 故答案为：5 【点评】本题考查了平均数的计算问题，是基础题 5 （5 分）袋中有形状、大小都相同的 3 只球，其中 1 只白球，1 只红
9、球，1 只黄球从中 第 5 页（共 13 页） 一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色为一红一黄的概率为 【分析】根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率 即可 【解答】解：根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 C1、C2，则 一次取出 2 只球，基本事件为 AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共 6 种， 其中 2 只球的颜色不同的是 BC1、BC2共 2 种； 所以所求的概率是 P 故答案为： 【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目 6 （5 分）某校高一年级有学生 850 人，高二年级 950 人，高三年级 1
10、400 人，现采用分层 抽样抽取容量为 64 的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为 28 【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比总体容量，按此比 例求出在各年级中抽取的人数 【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为， 则高三年级抽取的人数是 140028 人， 故答案为：28 【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比， 再求出在各层中抽取的个体数目 7 （5 分）如图，程序执行后输出的结果为 60 第 6 页（共 13 页） 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的
11、运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a5，S1 满足判断框内的条件，执行循环体，S5，a4 满足判断框内的条件，执行循环体，S20，a3 满足判断框内的条件，执行循环体，S60，a3 此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 60 故答案为：60 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8 （5 分）计算 【分析】根据对数和指数幂的运算性质即可求出 【解答】解：原式2+， 故答案为： 【点评】本题考查了对数和指数幂的运算性质，属于基础题 9 （5 分） “k1”是“函数
12、f（x）kx+2 为 R 上的增函数”的 充分不必要条件 （填“充 分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中的一个） 【分析】 分充分性和必要性分别讨论， 即当 k1 时函数 f （x） kx+2 为 R 上的增函数， 当函数 f（x）kx+2 为 R 上的增函数时无法退出 k1 【解答】解：若 k1，则 f（x）k0，所以函数 f（x）kx+2 为 R 上的增函数， 若函数 f（x）kx+2 为 R 上的增函数，则 f（x）k0，无法推出 k1 所以“k1”是“函数 f（x）kx+2 为 R 上的增函数”的充分不必要条件 故填：充分不必要条件 【点评】本题考查了充分条
13、件，必要条件的判断，一次函数的单调性属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）是偶函数，且当 x0 时，f（x）2x+1，则 f（2） 5 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（2）的值，进而结合函数的奇偶性分析可得 答案 第 7 页（共 13 页） 【解答】解：根据题意，当 x0 时，f（x）2x+1，则 f（2）22+15， 又由函数 f（x）是偶函数， 则 f（2）f（2）5； 故答案为：5 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的求值，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）10x10 x+1，则 2 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（x）10 x1
14、0x+1，进而可得 f（x）+f（ x）2，又由 lglg2 1lg2，计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）10x10 x+1，则 f（x）10x10x+1， 则有 f（x）+f（x）2， 又由 lglg2 1lg2， 则 f（lg2）+f（lg）2； 故答案为：2 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析 f（x）与 f（x）的关系， 属于基础题 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在（3，3）上的偶函数，且在0，3）上单调递增，则 满足 f（2m）f（1）的 m 的取值范围是 【分析】根据题意， 由函数的奇偶性、 单调性和定义域分析可得 f（2m） f（1）f
15、（|2m|） f（1），解可得 m 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）是定义在（3，3）上的偶函数，且在0，3）上单 调递增， 则 f（2m）f（1）f（|2m|）f（1）， 解可得：m或m； 即 m 的取值范围为 故答案为： 第 8 页（共 13 页） 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于 m 的不等式，属 于基础题 13 （5 分）若函数 f（x）lg（x2ax+2）在区间（1，+）上是增函数，则 a 的取值范 围是 3，2 【分析】由题意利用复合函数的单调性可得函数 yx2ax+2 在区间（1，+）上为 正值，且是增函数，再利用二次函数
16、求出 a 的取值范围 【解答】解：函数 f（x）lg（x2ax+2）在区间（1，+）上是增函数， 函数 yx2ax+2 在区间（1，+）上为正值，且是增函数， 1，且（1）2+a+20，求得3a2， 故答案为：3，2 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题 14 （5 分）如果存在函数 g（x）ax+b（a、b 为常数） ，使得对函数 f（x）定义域内任意 x 都有 f（x）g（x）成立，那么称 g（x）为函数 f（x）的一个“线性覆盖函数” 给出如 下四个结论： 函数 f（x）2x存在“线性覆盖函数” ； 对于给定的函数 f（x） ，其“线性覆盖函数”可能
17、不存在，也可能有无数个； g（x）x2 为函数的一个“线性覆盖函数” ； 若 g（x）2x+b 为函数 f（x）x2的一个“线性覆盖函数” ，则 b1 其中所有正确结论的序号是 【分析】，根据函数 f（x）2x的图象及值域可以判定； ，举例 f（x）sinx，ytanx，ylgx，可说明结论正确； ，由 x时，x20，可以判定； ，由 g（x）2x+b 为函数 f（x）x2的一个“线性覆盖函数” ，知 2x+bx2对一 切实数 x 都成立，由此能求出 b 的范围 【解答】解：对于，函数 f（x）2x在 R 上单调递增，且 x+时，y+， 故不存在“线性覆盖函数” ，所以错； 对于，若 f（x）
18、sinx，则 g（x）B（B1） ，就是它的一个“线性覆盖函数” ，且 有无数个， 再如 ytanx，ylgx 就没有“线性覆盖函数” ，故正确； 第 9 页（共 13 页） 对于，由 x时，x20，可以判定正确； 对于，由 g（x）2x+b 为函数 f（x）x2的一个“线性覆盖函数” ， 知 2x+bx2对一切实数 x 都成立，即 b（x2+2x） ，则 b1，故错； 故答案为： 【点评】本题考查函数恒成立问题，理解新定义“线性覆盖函数”的概念是解题的关键， 考查等价转化思想与逻辑思维能力与运算能力，属于难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 60 分请在答
19、题纸指定区域内作答，解答应写出文字分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知全集 UR，集合 Ax|x1，Bx|xa （1）若 a2，求 AB，AB； （2）若 AB，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a2 代入可求 B，然后根据集合的交集，并集的运算即可求解 （2）直接根据集合的包含关系即可求解 【解答】解： （1）a2 时，Ax|x1，Bx|x2 AB2，+） ，AB1，+） （2）AB，且 B a1 【点评】本题主要考查了集合的交集，并集的基本运算及集合的包含关系的简单应用， 属于基础试题 16 （14
20、分）已知 p：2a2，q：关于 x 的方程 x2x+2a0 有实数根 （1）若 q 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若 q 为假命题，pq 为真命题，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）根据方程根与判别式的关系进行求解即可 （2）根据复合命题真假关系进行求解即可 【解答】解： （1）若 q 为真命题，则0，即 142a0， （2）由 q 为假命题，pq 为真命题，得 p 是真命题， 所以，得 第 10 页（共 13 页） 即实数 a 的取值范围是（，2） 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件求出命题为真命题的等价条 件是解决本题的关键 17 （14 分）已知函数
21、（1）若 a1，b0，判断并证明函数 f（x）的奇偶性； （2）若 a0，b1，用定义证明：函数 f（x）在区间（0，+）上是增函数 【分析】 （1）根据题意，a1，b0，则，由奇偶性的判断方法分 析可得答案； （2）若 a0，b1，则 f（x）1，设 0x1x2，由作差法分析可得结 论 【解答】解： （1）根据题意，a1，b0，则， ，xR 恒成立； 故 f（x）为奇函数； （2）证明：若 a0，b1，则 f（x）1， 设 0x1x2， 则 f（x1）f（x2）（1）（1）， 又由 0x1x2， 则 x1x20， （x1+1）0， （x2+1）0， 则 f（x1）f（x2）0， 则函数 f（
22、x）在（0，+）上是增函数 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性单调性的判 定证明方法 18 （16 分）已知函数 f（x）2x2+mx1，m 为实数 （1）若函数 f（x）在区间1，3上是单调函数，求实数 m 的范围； （2）若对任意 xR，都有 f（1+x）f（1x）成立，求实数 m 的值； （3）若 x1，1，求函数 f（x）的最小值 第 11 页（共 13 页） 【分析】 （1）由函数 f（x）在区间1，3上是单调函数，可得或； （2）对任意 xR，都有 f（1+x）f（1x）成立可知函数的对称轴 x1 可求 m； （3）讨论对称轴与已知区间1，1的三种位
23、置关系即可求解 【解答】解：f（x）2x2+mx1 开口向上，对称轴 x， （1）函数 f（x）在区间1，3上是单调函数， 或， 解可得，m4 或 m12； （2）对任意 xR，都有 f（1+x）f（1x）成立， 函数的对称轴 x1 即1， m4； （3）若即 m4 时，f（x）minf（1）1m， 若即 m4 时，f（x）minf（1）1+m， 若1即4m4 时，f（x）minf（）1 【点评】本题主要考查了二次函数的单调性，对称性及闭区间上的最值求解，体现了分 类讨论思想的应用 19 （16 分）已知函数 f（x）logax（a0 且 a1） （1）当 a2 时，求不等式 f（x）的解集；
24、 （2）当 a3 时，求方程 f（） f（3x）5 的解； （3）若 f（3a1）f（a） ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a2 代入，解对数不等式即可； （2）将 x，3x，代入函数解析式，根据对数运算将方程化为关于 log3x 的方程，解 方程即可 （3）分当 0a1 和 a1 两组情况讨论可得 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）log2x，不等式，x|x； （2）当 a3 时，f（x）log3x， 第 12 页（共 13 页） f（）f（3x）（log327log3x） （log33+log3x）（3log3x） （1+log3x）5， 解得：log3x4，或 lo
25、g3x2， 解得：x81 或 x； （3）f（3a1）f（a）1， 当 0a1 时，03a1a，解得， 当 a1 时，3a1a，解得：a1， 综上可得：，或 a1 【点评】本题考查了对数运算的运算律、对数不等式、对数方程等，属于中档题 20 （16 分）设函数 g（x）3x，h（x）9x （1）解方程 h（x）8g（x）h（1）0 （2）令，求的值 （3）若 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（h（x）1）+f（2kg（x） ） 0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）令 3xt，解关于 t 的一元二次方程，再得出 x 的值； （2）先证明 p（x）+p（1x）
26、1，再得出结论； （3）求出 f（x）的函数解析式，判断 f（x）的单调性，根据单调性可得 h（x）1k g（x）2 恒成立，分离参数可得 k3x+，利用基本不等式得出 k 的范围 【解答】解： （1）由 h（x）8g（x）h（1）0 得：9x83x90， 令 3xt，则 t28t90，解得：t9，或 t1（舍） 即 3x9，故 x2， （2）p（x）， 故， p（）+p（）p（）+p（）p（）+p（） 1， 第 13 页（共 13 页） 1009 （3）f（x）， f（x）是实数集 R 上的奇函数， f（0）0，f（1）f（1） ， 即，解得 a3，b1 f（x）3（1） ，故 f（x）在 R 上单调递增， 由 f（h（x）1）+f（2kg（x） ）0 得：f（h（x）1）f（2kg（x） ）f（k g（x）2） ， 又f（x）在 R 上单调递增， h（x）1kg（x）2， 即 32x1k3x2 对任意的 xR 都成立， 即对任意 xR 都成立， 又， k2 故实数 k 的取值范围是： （，2） 【点评】本题考查了函数的性质，函数性质的应用，属于中档题
