1、2018-2019 学年江苏省扬州市高邮市高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本小题共 14 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 70 分请将答案填入答题卡相应的位置）分请将答案填入答题卡相应的位置） 1 （5 分）复数 z的虚部是 2 （5 分）设离散型随机变量 X 的概率分布如下： X 1 2 3 4 P m 则 m 的值为 3 （5 分）若 （2x，1，3） ， （1，3，9） ，若，则 x 4 （5 分）已知 A 11109，5，则 mn 为 5 （5 分）用反证法证明命题： “a、b
2、N，ab 能被 3 整除，那么 a、b 中至少有一个能被 3 整除”时，假设的内容应为“a、bN，ab 能被 3 整除，那么 ” 6 （5 分）若 CC，则 x 7 （5 分）若（12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a1+a2+a6的值为 8 （5 分）从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中任取 3 个组成一个无重复数字的三位数，其 中奇数的个数是 9 （5 分）若向量 （1，1） ， （2，1，2） ，且 与 夹角的余弦值为，则 10 （5 分）A，B，C，
3、D，E，F 六人并排站成一排，A，B 必须站在一起，且 C，D 不能相 邻，那么不同的排法共有 种（结果用数字表示） 11 （5 分）已知某人每次投篮投中的概率均为，计划投中 3 次则结束投篮，则此人恰好 在第 5 次结束投篮的概率是 12（5 分） 学校安排 5 名学生到 3 家公司实习， 要求每个公司至少有 1 名学生， 则有 种 不同的排法 13 （5 分）六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体如图甲在平行四边形 ABCD 中，有 AC2+BD22（AB2+AD2） ，那么在图乙中所示的平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 若
4、设底面边长和侧棱长分别为 3，4，5，则 AC +BD +CA +DB 第 2 页（共 16 页） 14 （5 分） 在数学上， 常用符号来表示算式， 如记aia0+a1+a2+a3+an， 其中 nN* 若 bn5n1，记 dn1+（1）ibiC ，且不等式 t （dn1）bn对任意的 n 为正偶数 恒成立，则实数 t 的最大值是 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分解答题请写出必要的文字说明证明过程或演分解答题请写出必要的文字说明证明过程或演 算步骤）算步骤） 15 （14 分）已知复数 za+（2
5、a3）i，i 为虚数单位，aR （）若 z 是实数，求实数 a 的值； （）若|z|，求实数 a 的值； （）若 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数 a 的取值范围 16 （14 分）在（+）n的展开式中，前 3 项的系数成等差数列， （）求 n 的值； （）求展开式中二项式系数最大的项； （）求展开式中含 x 2 的项的系数 17 （15 分）一批产品共 10 件，其中 n（0n5，nZ*）件是不合格品，从中随机抽取 2 件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为 若先随机抽取 1 件，放回后再随机抽取 1 件，当抽到不合格产品数 1 时，概率为 （）求 n 的值； （）若一次性随机抽取
6、 2 件，求抽到不合格产品数 的概率分布及数学期望 18 （15 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，OA 8，OB6，OP8，OP底面 ABCD，设点 M 满足（01） 第 3 页（共 16 页） （）若 ，求二面角 MABC 的大小； （）若直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值，求 的值 19 （16 分）已知数列an的通项公式为 an，它的前 n 项和为 Sn （）求 S1，S2，S3的值； （）是否存在实数 a，b，c 使得 Sn对一切 nN*都成立？若存在，求出 a， b，c 的值，并用数学归纳法证明，若不存在，说明利用 20 （16
7、 分）在集合 A1，2，3，2n中，任取 m（mn，mN*）个元素构成集合 Am若 Am的所有元素之和为偶数，则称 Am为集合 A 的偶子集，其个数记为 f（n，m） ； 若 Am的所有元素之和为奇数，则称 Am为集合 A 的奇子集，其个数记为 g（n，m） （）求 f（3，2） ，f（3，3）的值； （）求 f（4，2）+f（5，2）+f（6，2）+f（n，2） ； （结果用含 n 的多项式表示） （）当 n 为偶数时，证明：f（n，n）+g（n，n）C 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年江苏省扬州市高邮市高二 （下） 期中数学试卷 （理学年江苏省扬州市高邮市高二 （下）
8、期中数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本小题共一、填空题（本小题共 14 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 70 分请将答案填入答题卡相应的位置）分请将答案填入答题卡相应的位置） 1 （5 分）复数 z的虚部是 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案 【解答】解：z， 复数 z的虚部是 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）设离散型随机变量 X 的概率分布如下： X 1 2 3 4 P m 则 m 的值为 【分析】由离散型随机变量 X 的概率分布的性质能求出
9、m 的值 【解答】解：由离散型随机变量 X 的概率分布的性质得： 1， 解得 m 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量分布列的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 3 （5 分）若 （2x，1，3） ， （1，3，9） ，若，则 x 【分析】利用向量共线定理即可求出 第 5 页（共 16 页） 【解答】解：，存在实数 使得，即解得 故答案为 【点评】熟练掌握向量共线的充要条件是解题的关键 4 （5 分）已知 A 11109，5，则 mn 为 77 【分析】由题意根据排列数公式的定义和排列数公式的计算方法，求得 m、n 的值，可得 mn 的值 【解答】解
10、：已知 A n（n1）（n2）（nm+1）11109，5， n11，nm+15，m7， 则 mn77， 故答案为：77 【点评】本题主要考查排列数公式的定义和排列数公式的计算，属于基础题 5 （5 分）用反证法证明命题： “a、bN，ab 能被 3 整除，那么 a、b 中至少有一个能被 3 整除”时，假设的内容应为“a、bN，ab 能被 3 整除，那么 a，b 都不能被 3 整除 ” 【分析】根据反证法的定义对结论进行假设即可 【解答】解：由反证法的步骤知，假设的结论是： a，b 都不能被 3 整除， 故答案为：a，b 都不能被 3 整除 【点评】本题主要考查反证法的应
11、用，结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键比 较基础 6 （5 分）若 CC，则 x 1 或 9 【分析】由 CC，再根据组合的互补性质可得 C，即可解得 x 的 值 【解答】解：由 CC，可得：x2x1，解得：x1， 又根据组合的互补性质可得 C，可得：x26（2x1） ，解得：x9 故答案为：1 或 9 【点评】本题主要考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是 第 6 页（共 16 页） 解题的关键，属于基础题 7 （5 分）若（12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a1+a2+a6的值为 0 【分析】在所给的等式中，分别令 x0，令
12、x1，从而求得 a1+a2+a6的值 【解答】解：（12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，令 x0，可得 a01， 再令 x1，可得 1+a1+a2+a61，a1+a2+a60， 故答案为：0 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 8 （5 分）从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中任取 3 个组成一个无重复数字的三位数，其 中奇数的个数是 48 【分析】根据题意，分 3 步进行分析：，从 1、3、5 三个数中取一个排个位，0 不能在百位，则百位的安排方法有 4 种，在剩下的 4 个数中任选 1 个，安排在十位， 由
13、分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： ，从 1、3、5 三个数中取一个排个位，有 3 种安排方法， ，0 不能在百位，则百位的安排方法有 4 种， ，在剩下的 4 个数中任选 1 个，安排在十位，有 4 种情况， 则符合题意的奇数的个数是为 34448 个； 故答案为：48 【点评】本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法， 属中档题 9 （5 分）若向量 （1，1） ， （2，1，2） ，且 与 夹角的余弦值为，则 【分析】 根据条件可求出， 再根据 夹角的余弦为即可求出，解出 即可 【解答】解：，； 又夹角的余弦值为； 第 7 页
14、（共 16 页） ； 解得 故答案为： 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的 计算公式 10 （5 分）A，B，C，D，E，F 六人并排站成一排，A，B 必须站在一起，且 C，D 不能相 邻，那么不同的排法共有 144 种（结果用数字表示） 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，将 AB 两人看成一个元素，与 EF2 人进行全 排列，易得排好后有 4 个空位，在 4 个空位中任选 2 个，安排 C、D，由分步计数 原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将 AB 两人看成一个元素，与 EF2 人进行全排列，有 A22A3312
15、种排法，排好后有 4 个空位， ，在 4 个空位中任选 2 个，安排 C、D，有 A4212 种情况， 则有 1212144 种不同的排法， 故答案为：144 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意常见问题的处理方法，属于基础题 11 （5 分）已知某人每次投篮投中的概率均为，计划投中 3 次则结束投篮，则此人恰好 在第 5 次结束投篮的概率是 【分析】第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中，根据独立重复试验的 知识处理即可 【解答】解：依题意，恰好在第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中， 所以概率为：p 故填： 【点评】本题考查了独立重复试验的知识，属于基础
16、题 12 （5 分）学校安排 5 名学生到 3 家公司实习，要求每个公司至少有 1 名学生，则有 150 种不同的排法 第 8 页（共 16 页） 【分析】根据题意，分 2 步分析：先将 5 名学生分成 3 组，分 2 种情况分类讨论，再将 分好的三组全排列，对应三个公司，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，先将 5 名学生分成 3 组， 若分成 1、1、3 的三组，有10 种分组方法， 若分成 1、2、2 的三组，有15 种分组方法， 则有 10+1525 种分组方法； ，再将分好的三组全排列，对应三个公司，有 A336 种情况， 则有 256150 种
17、不同的安排方式； 故答案为：150 【点评】题考查排列、组合的应用，注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组与 不平均分组，要用对公式 13 （5 分）六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体如图甲在平行四边形 ABCD 中，有 AC2+BD22（AB2+AD2） ，那么在图乙中所示的平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 若设底面边长和侧棱长分别为 3，4，5，则 AC +BD +CA +DB 200 【分析】 根据四边形 A1BCD1， 四边形 AB1C1D， 四边形 ABCD 均是平行四边形得出结论 【解答】解：四边形 A1BCD1和四边形 AB1C1D 都
18、是平行四边形， A1C2+D1B22（BC2+A1B2） ， AC12+DB122（AB12+AD2） ， 又四边形 ABB1A1是平行四边形，AB12+A1B22（AB2+AA12） ， AC +BD +CA +DB 2BC2+AD2+2 （AB2+AA12） 4 （AD2+AB2+AA12） 4 （9+16+25） 200 第 9 页（共 16 页） 故答案为：200 【点评】本题考查了棱柱的结构特征，属于中档题 14 （5 分） 在数学上， 常用符号来表示算式， 如记aia0+a1+a2+a3+an， 其中 nN* 若 bn5n1，记 dn1+（1）ibiC ，且不等式 t （dn1）b
19、n对任意的 n 为正偶数 恒成立，则实数 t 的最大值是 【分析】借助于二项式系数的性质化简可得 dn（4）n+1，代入不等式 t （dn1） bn，可求出 n 为正偶数时 t 的最大值 【解答】解：当 bn5n1 时， dn1+ +1 （15）n（11）n+1（4）n+1 将 bn5n1，dn（4）n+1 代入不等式 t （dn1）bn中得， t （4）n5n1， 当 n 正偶数时，t 故答案为： 【点评】本题考查数列的求和、二项式系数的性质和不等式恒成立问题，体现了数学转 化思想方法，属于中档题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分解答题
20、请写出必要的文字说明证明过程或演分解答题请写出必要的文字说明证明过程或演 算步骤）算步骤） 15 （14 分）已知复数 za+（2a3）i，i 为虚数单位，aR （）若 z 是实数，求实数 a 的值； （）若|z|，求实数 a 的值； （）若 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）直接由虚部等于 0 求实数 a 的值； （）由|z|列关于 a 的方程组求实数 a 的值； 第 10 页（共 16 页） （）由题意，实部大于 0 且虚部小于 0，联立不等式组求解 【解答】解： （）若 z 为实数，则 2a30，即 a； （）|z|， 5a212a+40，解得 a
21、2 或 a； （）z 在复平面内对应的点位于第四象限， ，即 0a 【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几 何意义，是基础题 16 （14 分）在（+）n的展开式中，前 3 项的系数成等差数列， （）求 n 的值； （）求展开式中二项式系数最大的项； （）求展开式中含 x 2 的项的系数 【分析】 （）根据前 3 项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得 n 的值； （）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项； （）在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于2，求出 r 的值，即可求得含 x 2 的项的系数 【解答】解： （）因为
22、前 3 项的系数成等差数列，且前三项系数为， 2+，即 n29n+80，n1（舍去） ，或 n8 （）因为 n8，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即 T5x （）二项展开式的通项公式：Tr+1， 令 4r2，求得 r8，可得所以含 x 的项的系数为 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 第 11 页（共 16 页） 17 （15 分）一批产品共 10 件，其中 n（0n5，nZ*）件是不合格品，从中随机抽取 2 件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为 若先随机抽取 1 件，放回后再随机抽取 1 件，当抽到不合格产品数
23、1 时，概率为 （）求 n 的值； （）若一次性随机抽取 2 件，求抽到不合格产品数 的概率分布及数学期望 【分析】 （）随机变量 服从二项分布，B（2，） ，由 P（1） ，以求出 n 的值 （）随机变量 可取的值为 0，1，2，且 服从超几何分布，H（2，3，10） ，由此 以求出 的频率分布列和 E（） 【解答】解： （）随机变量 服从二项分布，B（2，） ， 则 P（1）， n210n+210，（4 分） 解得 n3，或 n7， 0n5，nN*，n3（6 分） （）随机变量 可取的值为 0，1，2，且 服从超几何分布，H（2，3，10） ， 于是 P（0）， P（1）， P（2），（1
24、1 分） 因此 的频率分布可表示为下表： 0 1 2 P 所以 E（）（15 分） 【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，考查 超几何分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 第 12 页（共 16 页） 18 （15 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，OA 8，OB6，OP8，OP底面 ABCD，设点 M 满足（01） （）若 ，求二面角 MABC 的大小； （）若直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值，求 的值 【分析】 （I）以 O 为原点建立坐标系，求出平面 MAB 和平面 ABC 的法向量，计
25、算法向 量的夹角得出二面角的大小； （II）用 表示出平面 BDM 的法向量 ，令|cos， |计算 的值， 【解答】解： （）以 O 为坐标原点，建立坐标系 OABP， 则 A（8，0，0） ，B（0，6，0） ，C（8，0，0） ，D（0，6，0） ，P（0，0，8） ， 所以（8，6，0） ，设 M（x，y，z） ，则（x，y，z8）（8x， y，z） ， M（2，0，6） ，所以（2，6，6） 显然（0，0，1）为平面 ABC 的一个法向量 设平面 MAB 的一个法向量为（x，y，z） ，则，即， 令 x3 可得（3，4，5） ，cos， 由图形可得，二面角 MABC 为锐角， 所以二
26、面角 MABC 的大小为 （）（8，0，8） ，（0，12，0） ，设 M（x，y，z） ， 则（x，y，z8）（8x，y，z） ，M（，0，） ， 第 13 页（共 16 页） 所以（，6，） 设平面 BDM 的一个法向量 （x，y，z） ，则， 令 z，则 （1，0，） ， cos， 因为直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值，则， 解得 或 2（舍） 【点评】本题考查了空间向量与空间角的计算，属于中档题 19 （16 分）已知数列an的通项公式为 an，它的前 n 项和为 Sn （）求 S1，S2，S3的值； （）是否存在实数 a，b，c 使得 Sn对一切 nN*都成立？若存在，求出
27、 a， b，c 的值，并用数学归纳法证明，若不存在，说明利用 【分析】 （）直接利用赋值法的应用求出结果 （）利用数学归纳法的应用求出结果 【解答】解： （）已知， 当 n1 时，解得：， 当 n2 时， 第 14 页（共 16 页） 当 n3 时， （）由（）得：假设存在实数 a、b、c 使得对任意整数都成立 故：当 n1，2，3 时， 解得：a1，b1，c2 所以，对于任意 nN 都成立 证明如下： （1）当 n1 时，左边，右边， 所以等式成立； （2）假设 nk 时等式成立， 即：， 当 nk+1 时， 所以，当 nk+1 时等式成立 由（1） （2）知等式成立，即存在 a1，b1，c
28、2 使得对于一切整数都 成立 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数学归纳法的证明及应 用，主要考查学生的转换能力，属于基础题型 20 （16 分）在集合 A1，2，3，2n中，任取 m（mn，mN*）个元素构成集合 Am若 Am的所有元素之和为偶数，则称 Am为集合 A 的偶子集，其个数记为 f（n，m） ； 若 Am的所有元素之和为奇数，则称 Am为集合 A 的奇子集，其个数记为 g（n，m） （）求 f（3，2） ，f（3，3）的值； 第 15 页（共 16 页） （）求 f（4，2）+f（5，2）+f（6，2）+f（n，2） ； （结果用含 n 的多项式表示） （）
29、当 n 为偶数时，证明：f（n，n）+g（n，n）C 【分析】 （）读题看懂定义，利用计数原理求解即可； （）首先算出通项 f（n，2） 2，其它各项均可写出，然后组合数性质公式计算即可； （）令 P1，3，5， 2n1，Q2，4，6，8，2n，当 n 为偶数时，从集合 A 中取 n 个元素，其和为 偶数，可从集合 P 中取 0 个元素、Q 中取 n 个元素；也可从 P 中取 2 个元素，Q 中取 n 2 个元素；也可从 P 中取 4 个元素，Q 中取 n4 个元素；，分类表示结果，再写 出 f（n，n）和 g（n，n） ，利用二项式定理计算结果 【解答】解： （）当 n3 时，A1，2，3，
30、4，5，6， 从集合 A 中取两个元素，且和为偶数，则可取 2 个奇数，也可取 2 个偶数，所以 f（3，2） 6， 从集合 A 中取三个元素，且和为偶数，则可取 2 个奇数 1 个偶数，也可取 3 个偶数，所 以 f（3，3）+10； （）从集合 A 中取两个元素，且和为偶数，则可取两个奇数，也可取 2 个偶数，故 f （n，2）2， 所以 f（4，2）+f（5，2）+f（6，2）+f（n，2）2（+） 2（+） 2（） （）令 P1，3，5，2n1，Q2，4，6，8，2n，当 n 为偶数时，从集 合 A 中取 n 个元素，其和为偶数，可从集合 P 中取 0 个元素、Q 中取 n 个元素；也可从 P 中取 2 个元素， Q 中取 n2 个元素； 也可从 P 中取 4 个元素， Q 中取 n4 个元素； ， 故 f（n，n）+， 同理 g（n，n）+ 所以 f（n，n）+g（n，n）+， 设 （x）（1+x）2n，则 g（x）展开式中 xn的系数为 第 16 页（共 16 页） 又 （x） （1+x） n （1+x） n， 其展开式中 xn 的系数为+， 所以 f（n，n）+ 【点评】此题属于集合、函数和二项式定理的综合题型，难度系数较大
