1、2018-2019 学年江苏省南通市海安高中高二（下）段考数学试卷（四）（6月份）一填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分 1 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） 若 这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x+y 的值为 2 （5 分）已知等差数列an是递增数列，且公差为 d，若 a1，a2，a3，a4，a5的方差为 8， 则 d 3 （5 分）从1（其中 m，n1，2，3）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、 抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概
2、率为 4 （5 分）给出一个算法的流程图，若 asin，bcos，ctan（， 则输出的结果是 5 （5 分）执行如图所示的伪代码，输出的结果是 第 2 页（共 28 页） 6 （5 分） 已知 i 是虚数单位， 复数的实部与虚部互为相反数则实数 a 的值为 7 （5 分）复数 z 满足（1+i）z|2i|（i 为虚数单位） ，则 z 8 （5 分）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概 率为 0.42，摸出黄球的概率是 0.28若红球有 21 个，则蓝球有 个
3、9 （5 分）若 tan+，（，） ，则 sin（2+）的值为 10 （5 分）若实数 a，b，c 成等差数列，点 P（1，0）在动直线 ax+by+c0 上的射影为 M，已知点 N（3，3） ，则线段 MN 长度的最大值是 11 （5 分）已知函数 f（x）ax2+bx+与直线 yx 相切于点 A（1，1） ，若对任意 x1， 9，不等式 f（xt）x 恒成立，则所有满足条件的实数 t 组成的集合为 12 （5 分）已知数列an是公差不为 0 的等差数列，bn是等比数列，其中 a13，b11， a2b2， 3a5b3， 若存在常数 u， v 对任意正
4、整数 n 都有 an3logubn+v， 则 u+v 13 （5 分）设实数 a1，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 xa，3a，都有 ya，a2满 足方程 logax+logayc，这时，实数 a 的取值的集合为 14 （5 分） 在ABC 中， AB3， AC2， 角 A 的平分线于 AB 边上的中线交于点 O， 5，则 二解答题：本大题共二解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 15 （14 分）已知函数 （1）求函数 f（
5、x）的单调递增区间； （2）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，b1，c，且 ab，试求角 B 和角 C 16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD， M 是 AD 中点，N 是 PC 中点 （1）求证：MN平面 PAB； （2）若平面 PMC平面 PAD，求证：CMAD 第 3 页（共 28 页） 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 C：+y21 的左顶点 A 作直线 l， 与椭圆 C 和 y 轴正半轴分别交于点 P，Q （1）若 APPQ，求直线 l 的斜率； （2）过原点 O 作直线 l
6、 的平行线，与椭圆 C 交于点 M，N，求证：为定值 18已知正六棱锥 SABCDEF 的底面边长为 2，高为 1，现从该棱锥的 7 个顶点中随机取 3 个点构成三角形，设随机变量 X 表示所得的三角形的面积 （1）求概率 P（X）的值； （2）求 X 的分布列，并求其数学期望 E（X） 19 （16 分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为 36 立方米的有盖圆锥形容器 （1）若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积； （2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？ 第 4 页（共 28 页） 20 （16 分）已知数列an的首项 a1a，Sn是数列an的前 n 项和，且满足：Sn
7、23n2an+Sn 12，an0，n2，nN* （1）若数列an是等差数列，求 a 的值； （2）确定 a 的取值集合 M，使 aM 时，数列an是递增数列 21 （16 分）已知函数 （1）若曲线 yf（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线方程为 axy0，求 x0的值； （2）当 x0 时，求证：f（x）x； （3）设函数 F（x）f（x）bx，其中 b 为实常数，试讨论函数 F（x）的零点个数， 并证明你的结论 22请先阅读： 在等式 cos2x2cos2x1（xR）的两边求导，得： （cos2x）（2cos2x1），由求 导法则，得（sin2x） 24cosx （sinx） ，化简得
8、等式：sin2x2cosxsinx （1） 利用上题的想法 （或其他方法） ， 结合等式 （1+x） nn0+n1x+n2x2+nnxn （xR， 正整数 n2） ，证明： （2）对于正整数 n3，求证： （i）； （ii）； （iii） 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 23、24、两小题，每小题、两小题，每小题 0 分，共分，共 20 分解答时应写出必要的文字说分解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2 矩阵与变换矩阵与变换 23在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转 45的变换 R 所对应的矩阵为 第 5 页（共 28 页） M
9、，将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换 T 所对应的矩阵为 N （）求矩阵 M 的逆矩阵 M 1； （）求曲线 xy1 先在变换 R 作用下，然后在变换 T 作用下得到的曲线方程 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 24在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知 曲线 C 的极坐标方程为 4cos，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）分别求出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （）若点 P 在曲线 C 上，且 P 到直线 l 的距离为 1，求满足这样条件的点 P 的个数 【必做题】第【必做题】第 25 题、第题、
10、第 26 题，每小题题，每小题 0 分，共分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证分解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 25从函数角度看，可以看成是以 r 为自变量的函数 f（r） ，其定义域是r|rN，rn （1）证明： （2）试利用（1）的结论来证明：当 n 为偶数时， （a+b）n的展开式最中间一项的二项式 系数最大；当 n 为奇数时， （a+b）n的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大 26在集合 A1，2，3，4，2n中，任取 m（mn，m，nN*）个元素构成集合 Am若 Am的所有元素之和为偶数，则称 Am为 A 的偶子集，其个数记为 f（m）
11、 ；若 Am的所有元 素之和为奇数，则称 Am为 A 的奇子集，其个数记为 g（m） 令 F（m）f（m）g（m） （1）当 n2 时，求 F（1） ，F（2） ，F（3）的值； （2）求 F（m） 第 6 页（共 28 页） 2018-2019 学年江苏省南通市海安高中高二（下）段考数学试卷学年江苏省南通市海安高中高二（下）段考数学试卷 （四） （四） （6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题：本大题共一填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分 1 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数
12、据（单位：件） 若 这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x+y 的值为 8 【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得 x，y 的值 【解答】解：由已知中甲组数据：56，62，65，74，70+x；的中位数为 65， 故乙组数据：59，61，60+y，67，78；的中位数也为 65，即 y5， 将 y5，代入乙组可得乙组数据的平均数为：66，这两组数据的平均值也相等，故 x3， 所以：x+y5+38； 故答案为：8 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数的应用问题，是基础 性题目 2 （5 分）已知等差数列an是递增数列，且公差为 d
13、，若 a1，a2，a3，a4，a5的方差为 8， 则 d 2 【分析】根据等差数列的性质与平均数、方差的定义，计算即可 【解答】解：数列an是递增数列的等差数列， a1，a2，a3，a4，a5的平均值是 a3，d0， 又 a1，a2，a3，a4，a5的方差为 8， （2d）2+（d）2+0+d2+（2d）28， 解得 d24，d2 故答案为：2 【点评】本题考查了等差数列的性质与平均数、方差的计算问题，属基础题 第 7 页（共 28 页） 3 （5 分）从1（其中 m，n1，2，3）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、 抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 【分析
14、】m 和 n 的所有可能取值共有 339 个，其中有两种不符合题意，故共有 7 种， 可一一列举，从中数出能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的选法，即 m 和 n 都为正的选 法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率 【解答】解：设（m，n）表示 m，n 的取值组合，则取值的所有情况有（1，1） ， （2， 1） ， （2，2） ， （2，3） ， （3，1） ， （3，2） ， （3，3）共 7 个， （注意（1，2） ， （1， 3）不合题意） 其中能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的有： （2，2） ， （2，3） ， （3，2） ， （3，3）共 4 个 此方程是焦点在 x 轴上
15、的双曲线方程的概率为 故答案为： 【点评】本题考查了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法 计数的技巧，准确计数是解决本题的关键 4 （5 分）给出一个算法的流程图，若 asin，bcos，ctan（， 则输出的结果是 cos 【分析】分析已知中的算法流程图，我们易得出该程序的功能是计算并输出 a，b，c 三 个变量中的最小值，并输出，利用三角函数的性质，我们比较三个变量 a，b，c 的值的 大小，即可得到答案 【解答】解：， asin，bcos，ctan 的大小关系是：cab， 第 8 页（共 28 页） 执行第一个选择结构后，由于 sincos， ab，此时 acos，
16、 执行第二个选择结构后，由于 tancos，执行“N“， acos， 最后输出 acos 故答案为：cos 【点评】本题考查的知识点是选择结构，三角函数的性质，其中根据已知中的框图分析 程序的功能是解答本题的关键 5 （5 分）执行如图所示的伪代码，输出的结果是 11 【分析】根据当型循环结构的算法的流程，判断算法的功能是求满足 S135I 200 的 I+2 的值，由此可得输出的 I 值 【解答】解：本题程序为当型循环结构的算法，算法的功能是求满足 S135I 0 的 I+2 的值， S1357105200，S13579945200， 输出的 I9+211 故答案为：11 【点评】本题考查了
17、当型循环结构的算法语句，根据程序的流程判断算法的功能是关键 6 （5 分） 已知 i 是虚数单位， 复数的实部与虚部互为相反数则实数 a 的值为 3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为 0 求解 【解答】解：的实部与虚部互为相反数， ，即 a3 故答案为：3 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 第 9 页（共 28 页） 7 （5 分）复数 z 满足（1+i）z|2i|（i 为虚数单位） ，则 z 1i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（1+i）z|2i|，得 z， 故答
18、案为：1i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 8 （5 分）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概 率为 0.42，摸出黄球的概率是 0.28若红球有 21 个，则蓝球有 15 个 【分析】先求出摸出蓝球的概率是 p10.420.280.3，再由红球有 21 个，求出师口 袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球总数为：50，由此能求出蓝球个数 【解答】解：口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球， 从中摸出 1 个球，摸出红球的概率为 0.42，摸出黄球的概率是 0.28 摸出蓝球的概率是 p10.420.280
19、.3， 红球有 21 个， 口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球总数为：50， 蓝球有：500.315 故答案为：15 【点评】本题考查概率的求法及应用，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 9 （5 分）若 tan+，（，） ，则 sin（2+）的值为 【分析】利用同角三角函数关系，结合二倍角公式，可得 sin2，cos2，再 利用和角的正弦公式，即可求出 sin（2+）的值 【解答】解：tan+， ， ， sin2， （，） ， 第 10 页（共 28 页） cos2， sin（2+）sin2cos+cos2sin 故答案为： 【点评】本题考查同角
20、三角函数关系，二倍角公式，考查和角的正弦公式，考查学生的 计算能力，正确运用和角的正弦公式是关键 10 （5 分）若实数 a，b，c 成等差数列，点 P（1，0）在动直线 ax+by+c0 上的射影为 M，已知点 N（3，3） ，则线段 MN 长度的最大值是 【分析】由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质得到 2ba+c，整理后与直线方程 ax+by+c0 比较发现，直线 ax+by+c0 恒过 Q（1，2） ，再由点 P（1，0）在动直 线 ax+by+c0 上的射影为 M， 得到 PM 与 QM 垂直， 利用圆周角定理得到 M 在以 PQ 为 直径的圆上，由 P 和 Q 的坐标，利
21、用中点坐标公式求出圆心 A 的坐标，利用两点间的距 离公式求出此圆的半径 r，线段 MN 长度的最大值即为 M 与圆心 A 的距离与半径的和， 求出即可 【解答】解：a，b，c 成等差数列， 2ba+c，即 a2b+c0， 可得方程 ax+by+c0 恒过 Q（1，2） ， 又点 P（1，0）在动直线 ax+by+c0 上的射影为 M， PMQ90， M 在以 PQ 为直径的圆上， 此圆的圆心 A 坐标为（，） ，即 A（0，1） ，半径 r|PQ| ， 又 N（3，3） ， |AN|5， 则|MN|max5+ 故答案为：5+ 【点评】此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，
22、线段中点坐 标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到 2ba+c，即 a2b+c0 是 第 11 页（共 28 页） 解本题的突破点 11 （5 分）已知函数 f（x）ax2+bx+与直线 yx 相切于点 A（1，1） ，若对任意 x1， 9，不等式 f（xt）x 恒成立，则所有满足条件的实数 t 组成的集合为 4 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由切线方程得到 a，b 的方程，即可得到 f （x）的表达式，则不等式 f（xt）x 即为（xt+1）2x，由于任意的 x1，9， 则有|xt+1|2，即有2x1t2x， 分别求出两边的最值，令 1t 不大于最小值且不小于最大值，
23、解出即可得到 【解答】解：函数 f（x）ax2+bx+的导数为 f（x）2ax+b， 由于函数 f（x）ax2+bx+与直线 yx 相切于点 A（1，1） ， 则 2a+b1，且 a+b+1，解得 a，b， 即有 f（x）x2+x+即为 f（x）（x+1）2， 不等式 f（xt）x 即为（xt+1）2x， 由于任意的 x1，9，则有|xt+1|2， 即有2x1t2x， 令m1，3，则 2x2mm2（m1）2+13，1， 2x2mm2（m+1）2+115，3， 则有31t3，即有 1t3，即 t4 故答案为：4 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最 值问题
24、，注意运用参数分离，属于中档题 12 （5 分）已知数列an是公差不为 0 的等差数列，bn是等比数列，其中 a13，b11， a2b2，3a5b3，若存在常数 u，v 对任意正整数 n 都有 an3logubn+v，则 u+v 6 【分析】设an的公差为 d， ，bn的公比为 q，由题设条件解得 q9 时，d6，故 an 6n3，bn9n 1由 a n3logubn+v +v，知 6n3v， 分别今 n1 和 n2，能够求出 u+v 【解答】解：设an的公差为 d， ，bn的公比为 q， a13，b11，a2b2，3a5b3， 第 12 页（共 28 页） a23+dqb2， 3
25、a53（3+4d）q2b3， 解方程得 q3，或 q9， 当 q3 时，d0，不符合题意，故舍去； 当 q9 时，d6 an3+（n1）66n3，bnqn 19n1 an3logubn+v+v， 6n3v， 当 n1 时，3vlogu10， v3 当 n2 时，1233， u693，u3， u+v6 故答案为：6 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，是基础题解题时要认真审 题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用 13 （5 分）设实数 a1，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 xa，3a，都有 ya，a2满 足方程 logax+logayc，这时，实数 a 的取值的集合为 3
26、 【分析】由题意可得 x0，y0，作出其图象如图所示，进而得出及 a1，c 只有一个值解出即可 【解答】解：logax+logayc，x0，y0， （a1） ，作出其函数图象： 由图象可以看出：函数在区间a，3a上单调递减， 必有及 a1，c 只有一个值解得 c3，a3适合题意 第 13 页（共 28 页） 实数 a 的取值的集合为3 【点评】由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键 14 （5 分） 在ABC 中， AB3， AC2， 角 A 的平分线于 AB 边上的中线交于点 O， 5，则 【分析】由内角平分线定理可得，再由向量共线定理可得，再由向量 数量积的性质：向量的平方即为模的
27、平方，化简计算即可得到所求 【解答】解：在ABC 中，AB3，AC2， 角 A 的平分线与 AB 边上的中线 CD 交于点 O， 由内角平分线定理可得， ， 即有+， （+） + 25， 则（3518） 故答案为： 第 14 页（共 28 页） 【点评】本题考查向量数量积的求法，注意运用向量共线定理和内角平分线定理，考查 向量的平方即为模的平方，以及运算能力，属于中档题 二解答题：本大题共二解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 15 （14 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调
28、递增区间； （2）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，b1，c，且 ab，试求角 B 和角 C 【分析】 （1）将 f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函 数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数 的递增区间为2k，2k+，xZ 列出关于 x 的不等式，求出不等式的解集即可 得到 f（x）的递增区间； （2）由（1）确定的 f（x）解析式，及 f（），求出 sin（B）的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数，再由 b 与 c 的值，利用正弦 定理求出 sinC 的值，由 C 为三角形
29、的内角，利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数，由 a 大于 b 得到 A 大于 B，检验后即可得到满足题意 B 和 C 的度数 【解答】 解： （1） f （x） cos （2x） cos2xsin2xcos2xsin （2x） ， 令 2k2x2k+，xZ， 解得：kxk+，xZ， 则函数 f（x）的递增区间为k，k+，xZ； （2）f（B）sin（B）， 第 15 页（共 28 页） sin（B）， 0B， B， B，即 B， 又 b1，c， 由正弦定理，得：sinC， C 为三角形的内角， C或， 当 C时，A；当 C时，A（不合题意，舍去） ， 则 B，C 【点评】本题主
30、要考查了两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值，两角和与 差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，特殊角的三角函数值，正弦定理等知识的综合 应用，考查了转化思想，属于中档题 16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD， M 是 AD 中点，N 是 PC 中点 （1）求证：MN平面 PAB； （2）若平面 PMC平面 PAD，求证：CMAD 【分析】 （1）取 PB 中点 E，连 EA，EN，推导出四边形 ENMA 是平行四边形，从而 MN AE，由此能证明 MN平面 PAB （2）在平面 PAD 内过点 A 作直线 PM 的垂线，垂足为
31、 H，由 AHPM，得 AH平面 PMC，从而 AHCM，进而 PACM，由此能证明 CM平面 PAD，从而 CMAD 【解答】证明： （1）取 PB 中点 E，连 EA，EN， PBC 中，ENBC 且， 第 16 页（共 28 页） 又，ADBC，ADBC， ENAM，四边形 ENMA 是平行四边形， MNAE，MN平面 PAB，AE平面 PAB， MN平面 PAB （2）在平面 PAD 内过点 A 作直线 PM 的垂线，垂足为 H， 平面 PMC平面 PAD，平面 PMC平面 PADPM，AHPM，AH平面 PAD， AH平面 PMC，CM平面 PMC，AHCM， PA平面 ABCD，C
32、M平面 ABCD，PACM， PAAHA，PA、AH平面 PAD，CM平面 PAD， AD平面 PAD，CMAD 【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 C：+y21 的左顶点 A 作直线 l， 与椭圆 C 和 y 轴正半轴分别交于点 P，Q （1）若 APPQ，求直线 l 的斜率； （2）过原点 O 作直线 l 的平行线，与椭圆 C 交于点 M，N，求证：为定值 【分析】 （1）设 Q（0，m） ，得出 P 点坐标，代入椭圆方程
33、得出 m 即可得出直线的斜率； （2）设直线 l 斜率为 k，联立方程组分别求出 AP，AQ，MN，代入计算化简即可得出结 论 第 17 页（共 28 页） 【解答】解： （1）A（2，0） ，设 Q（0，m） （m0） ， APPQ，P（1，） ， 代入椭圆方程得：1， 解得 m， 直线 l 的斜率为 （2）证明：设直线 l 的斜率为 k（k） ，直线 l 的方程为：yk（x+2） ， 令 x0 得 y2k，即 Q（0，2k） ， AQ2 联立方程组，消元得： （1+4k2）x2+16k2x+16k240， x1+x2，x1x2， AP APAQ 直线 MN 的方程为 ykx，
34、联立方程组，得（1+4k2）x240， 设 N（x3，y3） ，M（x3，y3） ， 则， MN2ON24， 第 18 页（共 28 页） 为定值 【点评】本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题 18已知正六棱锥 SABCDEF 的底面边长为 2，高为 1，现从该棱锥的 7 个顶点中随机取 3 个点构成三角形，设随机变量 X 表示所得的三角形的面积 （1）求概率 P（X）的值； （2）求 X 的分布列，并求其数学期望 E（X） 【分析】 （1）从 7 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形，共有35 种取法，求出 X 的三角形的个数，由此能求出 P（X） （2）由题意，X 的可能取
35、值为，2，2，3，分别求出相应的概率，由此能 求出随机变量 X 的概率分布列和 E（X） 【解答】解： （1）从 7 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形， 共有35 种取法，其中 X的三角形如ABF， 这类三角形共有 6 个， P（X） （2）由题意，X 的可能取值为，2，2，3， 其中，X的三角形如ABF，这类三角形共有 6 个， 其中，X2 的三角形有两类，如SAD（3 个） ，SAB（6 个） ，共 9 个， 其中 X的三角形如SBD，这类三角形共有 6 个， 其中 X2的三角形如CDF，这类三角形共有 12 个， 其中 X3的三角形如BDF，这类三角形共有 2 个， 第 19 页（共
36、 28 页） P（X），P（X2）， P（X），P（X2）， P（X3）， 随机变量 X 的概率分布列为： X 2 2 3 P E（X）+3 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中 档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 19 （16 分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为 36 立方米的有盖圆锥形容器 （1）若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积； （2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？ 【分析】 （1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可； （2）用高 h 表示出侧面积，利
37、用基本不等式得出侧面积最小时对应的 h 的值即可 【解答】解： （1）设圆锥形容器的高为 h，则容器的体积 V62h36， 解得 h3 圆锥容器的母线长为3， 圆锥容器的表面积为 62+（36+18）平方米 （2）由 Vr2h36 可得 r2，故圆锥的母线 l， 容器的侧面积 Srl， 第 20 页（共 28 页） +39，当且仅当即 h6 时取等号， 当 h6 时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省 【点评】本题考查了圆锥的体积与表面积计算，考查函数最值的计算与基本不等式的应 用，属于中档题 20 （16 分）已知数列an的首项 a1a，Sn是数列an的前 n 项和，且满足：Sn23
38、n2an+Sn 12，an0，n2，nN* （1）若数列an是等差数列，求 a 的值； （2）确定 a 的取值集合 M，使 aM 时，数列an是递增数列 【分析】 （1）分别令 n2，n3，及 a1a，结合已知可由 a 表示 a2，a3，结合等差数 列的性质可求 a， （2）由3n2an+，得3n2an，两式相减整理可得所以 Sn+Sn13n2， 进而有 Sn+1+Sn3（n+1）2，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结 合数列的单调性可求 a 【解答】解： （1）在3n2an+中分别令 n2，n3，及 a1a 得（a+a2）212a2+a2， （a+a2+a3）227a3+（a
39、+a2）2， 因为 an0，所以 a2122a，a33+2a （2 分） 因为数列an是等差数列，所以 a1+a32a2， 即 2（122a）a+3+2a，解得 a3（4 分） 经检验 a3 时，an3n，Sn，Sn1 满足3n2an+ （2）由3n2an+，得3n2an， 即（Sn+Sn1） （SnSn1）3n2an， 即（Sn+Sn1）an3n2an，因为 an0， 所以 Sn+Sn13n2， （n2） ，（6 分） 所以 Sn+1+Sn3（n+1）2， ，得 an+1+an6n+3， （n2） （8 分）
40、 所以 an+2+an+16n+9， 第 21 页（共 28 页） ，得 an+2an6， （n2） 即数列 a2，a4，a6，及数列 a3，a5，a7，都是公差为 6 的等差数列，（10 分） 因为 a2122a，a33+2a an （12 分） 要使数列an是递增数列，须有 a1a2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时，anan+1， 且当 n 为偶数时，anan+1，即 a122a， 3n+2a63（n+1）2a+6（n 为大于或等于 3 的奇数） ， 3n2a+63（n+1）+2a6（n 为偶数） ， 解得a 所以 M（，） ，当 aM 时，数列an是递增数列 &nbs
41、p; （16 分） 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的单调性的应用，属于知识的综 合应用 21 （16 分）已知函数 （1）若曲线 yf（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线方程为 axy0，求 x0的值； （2）当 x0 时，求证：f（x）x； （3）设函数 F（x）f（x）bx，其中 b 为实常数，试讨论函数 F（x）的零点个数， 并证明你的结论 【分析】 （1）求出函数的对数，得到关于 x0的方程，解出即可； （2）令 g（x），只需证明 g（x）0 即可，根据函数的单调性证出结论； （3）问题等价于注意 x0令，通过讨论 b 的范围，根据函数 的单调性判
42、断即可 【解答】 （1）解： 因为切线 axy0 过原点（0，0） ， 所以 ，解得：x02 第 22 页（共 28 页） （2）证明：设，则 令，解得 x2， 令 g（x）0，解得：x2，令 g（x）0，解得：0x2， g（x）的最小值是 g（2）1， 故 x0 时，f（x）x； （3）解：F（x）0 等价于 f（x）bx0，等价于注意 x0 令，所以 （ I）当 b0 时，H（x）0，所以 H（x）无零点，即 F（x）定义域内无零点 （ II）当 b0 时， （ i）当 x0 时，H'（x）0，H（x）单调递增； 因为 H（x）在（，0）上单调递增，而， 又，所以 又因为，其中 n
43、N*， 取，表示的整数部分， 所以，n3，由此 由零点存在定理知，H（x）在（，0）上存在唯一零点 （ ii）当 0x2 时，H'（x）0，H（x）单调递减； 当 x2 时，H'（x）0，H（x）单调递增 所以当 x2 时，H（x）有极小值也是最小值， 当，即时，H（x）在（0，+）上不存在零点； 第 23 页（共 28 页） 当，即时，H（x）在（0，+）上存在惟一零点 2；（12 分） 当，即时，由有 ， 而 H（2）0，所以 H（x）在（0，2）上存在惟一零点； 又因为 2b3， 令，其中 t2b2，h''（t）et3t，h''
44、'（t）et 3， 所以 h'''（t）e230，因此 h''（t）在（2，+）上单调递增，从而 h''（t）h（2） e260， 所以 h'（t）在（2，+）上单调递增，因此 h'（t）h'（2）e260， 故 h（t）在（2，+）上单调递增，所以 h（t）h（2）e240 由上得 H（2b）0，由零点存在定理知，H（x）在（2，2b）上存在惟一零点， 即在（2，+）上存在唯一零点 综上所述：当时，函数 F（x）的零点个数为 0； 当时，函数 F（x）的零点个数为 1； 当时，函数 F（x）的零点个数为
45、2； 当时，函数 F（x）的零点个数为 3 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用、 不等式的证明以及函数零点问题，是一道综合题 22请先阅读： 在等式 cos2x2cos2x1（xR）的两边求导，得： （cos2x）（2cos2x1），由求 导法则，得（sin2x） 24cosx （sinx） ，化简得等式：sin2x2cosxsinx （1） 利用上题的想法 （或其他方法） ， 结合等式 （1+x） nn0+n1x+n2x2+nnxn （xR， 第 24 页（共 28 页） 正整数 n2） ，证明： （2）对于正整数 n3，求证： （i）； （ii）；
46、（iii） 【分析】 （1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式 （2） （i）对（1）中的 x 赋值1，整理得到恒等式 （ii）对二项式的定理的两边对 x 求导数，再对得到的等式对 x 两边求导数，给 x 赋值 1 化简即得证 （iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的 等式 【解答】证明： （1）在等式（1+x）nn0+n1x+n2x2+nnxn两边对 x 求导得 n（1+x） n1n1+2n2x+（n1）nn1xn2+nnnxn1 移项得（*） （2） （i）在（*）式中，令 x1，整理得 所以 （ii）由（1）知 n（1+x）n 1 n1+2n2x+（n1）nn 1xn2+n nnxn 1，n3
