1、2018-2019 学年江苏省南通市海安市高二（下）第一次段考数学试卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位 置上置上 1 （5 分）已知集合 A2，3，B1，log2a，若 AB3，则实数 a 的值为 2 （5 分）已知复数 z 满足 zi1+i（i 为虚数单位） ，则复数 zi 的模为 3 （5 分）函数的定义域为 4 （5 分）人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如图（左边一列的 数字表示零件个数的十位数
2、，右边的数字表示零件个数的个位数） ，则该组数据的方差 s2 的值为 5 （5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 6 （5 分）设实数 x，y 满足，则 3x+2y 的最大值为 7（5 分） 若 “x， 2， 使得 2x2x+10 成立” 是假命题， 则实数 的取值范围为 8（5 分） 若函数是偶函数， 则实数 a 的值为 9 （5 分）设等差数列an的公差为 d（d0） ，其前 n 项和为 Sn若，2S12S2+10， 则 d 的值为 10 （5 分）将一个半径为 2
3、的圆分成圆心角之比为 1：2 的两个扇形，且将这两个扇形分别 围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 第 2 页（共 25 页） 11 （5 分）已知正实数 a，b 满足 a+2b1，则的最小值为 12 （5 分）已知实 a0，若曲线 f（x）lnx+ax2（a+2）x+1 上存在某点处的切线斜率 不大于5，则 a 的最小值为 13 （5 分）过点 P（2，0）的直线 l 与圆 C：x2+（yb）2b2交于两点 A，B，若 A 是 PB 的中点，则实数 b 的取值范围是 14 （5 分）若ABC 中，AB，BC8，B4
4、5，D 为ABC 所在平面内一点且满 足（），则 AD 长度的最小值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD平面 ABCD，过 AD 的平面分别与 PB，PC 交于点 E，F （1）求证：平面 PBC平面 PCD； （2）求证：ADEF 16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a1，b2，BA
5、（1）求 sinA 的值； （2）求 c 的值 17 （14 分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口 A 沿 AB，AC 方向修建 两条小路，休息亭 P 与入口的距离为米（其中 a 为正常数） ，过 P 修建一条笔直的 鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于 E、F 处，已知BAP45， （1）设 AEx 米，AFy 米，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域； （2）试确定 E，F 的位置，使三条路围成的三角形 AEF 地皮购价最低 第 3 页（共 25 页） 18 （16 分）已知椭圆 C1：+1（ab0）的离心率为，右焦点为圆 C2： （x1） 2+y2r2 的圆
6、心，且圆 C2截 y 轴所得弦长为 4 （1）求椭圆 C1与圆 C2的方程； （2）若直线 l 与曲线 C1，C2都只有一个公共点，记直线 l 与圆 C2的公共点为 M，求点 M 的坐标 19 （ 16分 ） 设 数 列 an 的 前n项 和 为Sn， 且 满 足 ： （1）若，求 a1的值； （2）若 a1，a2，a3成等差数列，求数列an的通项公式 20 （16 分）已知函数 f（x）exa（x+1） ，其中 e 为自然对数的底数，aR （1）讨论函数 f（x）的单调性，并写出相应的单调区间； （2）已知 a0，bR，若 f（x）b 对任意 xR 都成立，求 ab 的最大值； （3）设 g
7、（x）（a+e）x，若存在 x0R，使得 f（x0）g（x0）成立，求 a 的取值范围 数学附加试题数学附加试题 21 （1）A，B，C，D，E 五人站一排，B 必须站 A 右边，则不同的排法有多少种； （2）晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又加了 2 个节目，若将这 2 个节目插入 原节目单中，则不同的插法有多少种 22有四个编有 1、2、3、4 的四个不同的盒子，有编有 1、2、3、4 的四个不同的小球，现 把小球放入盒子里 小球全部放入盒子中有多少种不同的放法； 恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法； 恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法 【必做题】第【必做题】第
8、23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答分请在答卷纸指定区域内作答 第 4 页（共 25 页） 23如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，ABAC，M 是棱 BC 的中点， 点 P 在线段 A1B 上 （1）若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小； （2）若 N 是 CC1的中点，直线 A1B 与平面 PMN 所成角的正弦值为，求线段 BP 的 长度 24已知抛物线 C：y24x，过直线 l：x2 上任一点 A 向抛物线 C 引两条切线 AS，AT （切点为 S，T，且点 S 在
9、x 轴上方） （1）求证：直线 ST 过定点，并求出该定点； （2）抛物线 C 上是否存在点 B，使得 BSBT 第 5 页（共 25 页） 2018-2019 学年江苏省南通市海安市高二（下）第一次段考数学学年江苏省南通市海安市高二（下）第一次段考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位 置上置上 1 （5 分）已知集合 A2，3，B1，log2a，若 AB3，则实数 a 的值为 8 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】
10、解：集合 A2，3，B1，log2a，AB3， log2a3， 解得 a8 实数 a 的值为 8 故答案为：8 【点评】本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，是基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足 zi1+i（i 为虚数单位） ，则复数 zi 的模为 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，得到 zi，代入复 数模的计算公式求解 【解答】解：由 zi1+i，得 z， zi12i， 则复数 zi 的模为 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）函数的定义域为 1，
11、+） 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 求解对数不等式得答案 【解答】解：由 lnx0，得 x1 函数的定义域为1，+） 故答案为：1，+） 第 6 页（共 25 页） 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题 4 （5 分）人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如图（左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数） ，则该组数据的方差 s2 的值为 【分析】由茎叶图得该组数据的平均数，由此能求出该组数据的方差 【解答】解：由茎叶图得该组数据的平均数为： （18+17+22+21+22）20， 该组数据的方差为
12、： s2（1820）2+（1720）2+（2220）2+（2120）2+（2220）2 故答案为： 【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题 5 （5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 12 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S0，I2 满足条件 I4，执行循环体，I3，S3 满足条件 I4，执行循环体，I4，S7 满足条件 I4，执行循环体，I5，S12 此时，
13、不满足条件 I4，退出循环，输出 S 的值为 12 第 7 页（共 25 页） 故答案为：12 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 6 （5 分）设实数 x，y 满足，则 3x+2y 的最大值为 3 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论 【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 设 z3x+2y，则 y， 平移直线 y，由图象可知当直线 y， 经过点 C 时，直线 y的截距最大，此时 z 最大， 由，解得， 即 C（1，0） ， 此时 zmax31+203， 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划
14、的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题 的关键 7 （5 分） 若 “x， 2， 使得 2x2x+10 成立” 是假命题， 则实数 的取值范围为 （ ，2 【分析】根据“x，2，不等式 2x2x+10 成立”是假命题， 第 8 页（共 25 页） 求出“x，2，使得 2x+成立”是假命题时 的最小值， 即可求出实数 的取值范围 【解答】解：若“x，2，使得 2x2x+10 成立”是假命题， 即“x，2，使得 2x+成立”是假命题， 由 x，2，当 x时，函数 y2x+22， 取最小值 2； 所以实数 的取值范围为（，2 故答案为： （，2 【点评】本题考查了特称命题，不等式恒成立
15、问题以及函数的图象和性质的应用问题， 是中档题 8（5 分） 若函数是偶函数， 则实数 a 的值为 1 【分析】将 f（x）asin（x+）+sin（x）转化为 f（x）（a+1）sinx+ （）cosx，利用偶函数的概念可求得 a 的值 【解答】解：f（x）asin（x+）+sin（x） a（sinx+cosx）+（sinxcosx） （a+1）sinx+（）cosx 为偶函数， f（x）f（x） ， a+10， a1 故答案为：1 【点评】本题考查三角函数的化简，考查函数的奇偶性，求得 f（x）（a+1）sinx+ （）cosx 是关键，属于中档题 9 （5 分）设等差数列an
16、的公差为 d（d0） ，其前 n 项和为 Sn若，2S12S2+10， 则 d 的值为 10 【 分 析 】 由 已 知 条 件 结 合 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 公 式 ， 可 得 第 9 页（共 25 页） ，求解即可得答案 【解答】解：由，2S12S2+10， 得，解得 d10 故答案为：10 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题 10 （5 分）将一个半径为 2 的圆分成圆心角之比为 1：2 的两个扇形，且将这两个扇形分别 围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 1： 【分析】求出两个扇形的圆心角分别为和 l2，求出，从 而，
17、由此能求出所得体积较小的圆锥与 较大圆锥的体积之比 【解答】解：将一个半径为 2 的圆分成圆心角之比为 1：2 的两个扇形， 两个扇形的圆心角分别为和 l2，2r2， 解得， ， 所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为： 故答案为：1： 【点评】本题考查两个圆锥的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11 （5 分）已知正实数 a，b 满足 a+2b1，则的最小值为 18 【分析】由题可知，（1+） （2+） ，展开整理后利用基本不 等式即可求解 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：正数 a，b 满足 a+2b1， 则（1+）
18、（2+）（2+） （4+）10+10+8 18， 当且仅当且 a+2b1 即 a，b时取等号 故答案为：18 【点评】 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的简单应用， 1 的代换是求解本题的关 键，属于基础试题 12 （5 分）已知实 a0，若曲线 f（x）lnx+ax2（a+2）x+1 上存在某点处的切线斜率 不大于5，则 a 的最小值为 9 【分析】求函数的导数结合导数的几何意义转化为 f（x）5 在（0，+）上有解， 构造一元二次函数，结合一元二次函数零点分布进行转化求解即可 【解答】解：函数的定义域为（0，+） ， 函数的导数 f（x）+ax（a+2） ， 若曲线 f（x）lnx+a
19、x2（a+2）x+1 上存在某点处的切线斜率不大于5， 即 f（x）5 在（0，+）上有解， 即+ax（a+2）5 得0， 即 1+ax2+（3a）x0，在（0，+）上有解， 设 h（x）ax2+（3a）x+1， h（0）10，a0， 要使 1+ax2+（3a）x0，在（0，+）上有解， 满足得， 得， a0， 不等式组的解为 a9， 第 11 页（共 25 页） 即 a 的最小值为 9， 故答案为：9 【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，结合导数的几何意义转化为 f（x） 5 在（0，+）上有解，构造一元二次函数，结合一元二次函数零点分布进行转化是 解决本题的关键 13 （5 分）过点
20、 P（2，0）的直线 l 与圆 C：x2+（yb）2b2交于两点 A，B，若 A 是 PB 的中点，则实数 b 的取值范围是 或 【分析】取 AB 的中点 E 后，通过勾股定理得到 CE2b2，再利用 CE20 可得 【解答】解：设 AB 的中点为 E，连 CE，AC，PC，如右图： 在 RtCEA 中，CE2+AE2b2， 在 RtCEP 中，CE2+（3AE）2CP2b2+4， 联立消去 AE2得 CE2b2， 由 CE20，得 b2， b或 b， 故答案为 b或 b 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系属中档题 14 （5 分）若ABC 中，AB，BC8，B45，D 为ABC 所在平面内
21、一点且满 足（），则 AD 长度的最小值为 【分析】根据条件建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积建立方程关系， 第 12 页（共 25 页） 利用换元法进行转化，结合基本不等式的性质进行求解即可 【解答】解：建立如图的平面坐标系如图， 则 B（1，1） ，C（7，1） ，设 D（x，y） ， 则（1，1） ，（7，1） ， 则（x，y） ， xy，7xy， （），（xy） （7xy）4， 即（x+y） （y7x）4， 设得 mn4，且， 则 |AD| ， 当且仅当 50m22n2，即 5mn 时取等号， 即 AD 长度的最小值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查向量数量积的应用，
22、建立坐标系利用坐标法结合基本不等式的性 质是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD平面 ABCD，过 AD 的平面分别与 PB，PC 交于点 E，F 第 13 页（共 25 页） （1）求证：平面 PBC平面 PCD； （2）求证：ADEF 【分析】 （1）根据 BCCD，BCPD 可得 BC平面 PCD，故
23、而平面 PBC平面 PCD； （2）证明 AD平面 PBC，再根据线面平行的性质得出 ADEF 【解答】证明： （1）因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PDBC， 因为底面 ABCD 是矩形，所以 BCCD 因为 CD平面 PCD，PD平面 PCD，CDPDD， 所以 BC平面 PCD 因为 BC平面 PBC， 所以平面 PBC平面 PCD （2）底面 ABCD 是矩形，所以 ADBC， 因为 BC平面 PBC，AD平面 PBC， 所以 AD平面 PBC 因为 AD平面 ADFE，平面 ADFE平面 PBCEF， 所以 ADEF 【点评】本题考查了面面垂直的判定，
24、线面平行的性质，属于中档题 16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a1，b2，BA （1）求 sinA 的值； （2）求 c 的值 【分析】 （1）由已知结合正弦定理可得，整理后与平方关系联立求 得 sinA 的值； 第 14 页（共 25 页） （2） 由同角三角函数基本关系式及倍角公式求得 sin2A， cos2A 的值， 然后结合 sinCsin （） ，展开两角差的正弦求解 【解答】解： （1）在ABC 中，a1，b2，BA， 由正弦定理得， 于是，即， 又 sin2A+cos2A1，sinA； （2）由（1）知，cosA， 则 sin2A2si
25、nAcosA，cos2A12sin2A， 在ABC 中，A+B+C，BA，C 则 sinCsin （） sin 由正弦定理得，c 【点评】本题考查三角形的解法，考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运 算能力，属于中档题 17 （14 分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口 A 沿 AB，AC 方向修建 两条小路，休息亭 P 与入口的距离为米（其中 a 为正常数） ，过 P 修建一条笔直的 鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于 E、F 处，已知BAP45， （1）设 AEx 米，AFy 米，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域； （2）试确定 E，
26、F 的位置，使三条路围成的三角形 AEF 地皮购价最低 【分析】 （1）计算 sinFAP，根据面积公式列方程化简得出 y 关于 x 的函数关系式； （2） 得出三角形 AEF 的面积关于 x 的函数， 求出面积最小时对应的 x 的值即可得出结论 第 15 页（共 25 页） 【解答】解： （1）由得， 且， 由题可知 SAEFSAEP+SAFP 所以， 得， 即， 所以， 由得定义域为（6 分） （2）由题可知 ， x， 令 t4x7a0，则 x， 则 当且仅当 t7a 即时取等号 所以，当时，SAEF最小 答：当点 E 距离点 A米远时，三条路围成地皮购价最低（14 分） 【点
27、评】本题考查了函数解析式的求解，解三角形，考查函数最值的计算，属于中档题 18 （16 分）已知椭圆 C1：+1（ab0）的离心率为，右焦点为圆 C2： （x1） 2+y2r2 的圆心，且圆 C2截 y 轴所得弦长为 4 （1）求椭圆 C1与圆 C2的方程； 第 16 页（共 25 页） （2）若直线 l 与曲线 C1，C2都只有一个公共点，记直线 l 与圆 C2的公共点为 M，求点 M 的坐标 【分析】 （1）由椭圆的离心率为，右焦点为圆 C2： （x1）2+y2r2的圆心，列出方程 组，求出 a，b，c，由此能求出椭圆 C1的方程；由圆 C2截 y 轴所得弦长为 4，得22+1
28、2 5，由此能求出圆 C2的方程 （2） 设直线 l 的方程为 ykx+m， 推导出 4k2m22km5， 由， 得 （3+4k2） x2+8kmx+4m2120，由此利用根的判别式、直线方程、圆、椭圆性质，结合已知条件 能求出直线 l 与圆 C2的公共点 M 的坐标 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （1）椭圆 C1：+1（ab0）的离心率为， 右焦点为圆 C2： （x1）2+y2r2的圆心， 由题意知：，解得 a2，c1， 又 b2a2c23， 所以椭圆 C1的方程为1 因为圆 C2截 y 轴所得弦长为 4，所以 r222+125， 所以圆 C2的方程为（x1）2+y25 &nbs
29、p; （4 分） （2）由题意知 L 的斜率一定存在，设直线 l 的方程为 ykx+m，则， 即 4k2m22km5，（6 分） 由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，（8 分） 因为直线 l 与曲线 C1只有一个公共点，所以64k2m216（m23） （3+4k2）0， 化简，得 4k2m2+30，联立km 第 17 页（共 25 页） 联立，解得或 由，解得 M（0，2） ， 由，解得 M（0，2） ， 故直线 l 与圆 C2的公共点 M 的坐标为（0，2）或（0，2）
30、 （12 分） 【点评】本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，考查直线与圆的交点坐标的求法，考查 根的判别式、直线方程、圆、椭圆性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方 程思想，是中档题 19 （ 16分 ） 设 数 列 an 的 前n项 和 为Sn， 且 满 足 ： （1）若，求 a1的值； （2）若 a1，a2，a3成等差数列，求数列an的通项公式 【分析】 （1）利用数列的关系式和赋值法求出结果 （2）利用关系式的应用已知条件的应用求出数列的通项公式 【解答】解： （1）因为，所以， 即， 解得或 （2）设等差数列 a1，a2，a3的公差为 d 因为， 所以
31、， ， ， 第 18 页（共 25 页） ， 得， 即 a2d（a1+a2+2p） ， ， 得， 即 a3d（a2+a3+2p） ， ， 得 a3a2d（a2+a3+2p）（a1+a2+2p）， 即 d2d2 若 d0，则 a2a30，与 an0 矛盾， 故 代入得， 于是 因为， 所以， 所以， 即， 整理得， 于是 因为 an0， 所以， 即 因为， 所以 第 19 页（共 25 页） 所以数列an是首项为，公差为的等差数列 因此， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，递推关系式在数列求和 中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 20 （16 分）已知
32、函数 f（x）exa（x+1） ，其中 e 为自然对数的底数，aR （1）讨论函数 f（x）的单调性，并写出相应的单调区间； （2）已知 a0，bR，若 f（x）b 对任意 xR 都成立，求 ab 的最大值； （3）设 g（x）（a+e）x，若存在 x0R，使得 f（x0）g（x0）成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）讨论 f（x）0 的根的情况，得出 f（x）的单调性； （2）用 a 表示出 f（x）的最小值得出 ab 关于 a 的函数，再利用函数单调性求出函数最 大值即可； （3）由题意可知 f（x）g（x）0 有解，可得 yex与 y（2a+e）x+a 的图象有交点，
33、求出 yex的过点（，）的切线斜率即可得出 a 的范围 【解答】解： （1）f（x）exa， 若 a0，则 f（x）0 恒成立，故 f（x）在 R 上单调递增 若 a0，则当 xlna 时，f（x）0，当 xlna 时，f（x）0， f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增 综上，当 a0 时，f（x）的增区间为 R， 当 a0 时，f（x）的减区间为（，lna） ，增区间为（lna，+） （2）由（1）可知当 a0 时，f（x）的最小值为 f（lna）aa（lna+1）alna， balna，故 aba2lna， 设 h（x）x2lnx（x0） ，则 h（x）2xlnxx
34、x（2lnx+1） ， 令 h（x）0 可得 x，当 0x时，h（x）0，当 x时，h（x） 0， h（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， h（x）的最大值为 h（） ab 的最大值为 第 20 页（共 25 页） （3）令 f（x）g（x）可得：ex（2a+e）x+a， 存在 x0R，使得 f（x0）g（x0）成立，故经过点（，）的直线 y（2a+e） x+a 与曲线 yex有交点， 当 2a+e0 即 a时，直线与曲线 yex必有交点，符合题意； 当 2a+e0 即 a时，直线方程为 y，与曲线 yex无交点，不符合题意； 当 2a+e0 即 a时，不妨设 yex的经过点（，
35、）的切线斜率为 k，切 点为（x0，e） ， 则切线方程为 yee（xx0） ，把（，）代入切线方程可得 x01，故 k e 2a+ee，故 a0 综上，a 的取值范围是a|a或 a0 【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数最值的计算，函数零点的个数 判断，属于中档题 数学附加试题数学附加试题 21 （1）A，B，C，D，E 五人站一排，B 必须站 A 右边，则不同的排法有多少种； （2）晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又加了 2 个节目，若将这 2 个节目插入 原节目单中，则不同的插法有多少种 【分析】 （1）由排列、组合及简单的计数问题的定序问题得：A，B，C，D，E
36、 五人站一 排，B 必须站 A 右边，则不同的排法有60 种， （2）由排列、组合及简单的计数问题的插空法得：晚会原定的 5 个节目已排成节目单， 开演前又加了 2 个节目，若将这 2 个节目插入原节目单中，则不同的插法有42 种得解 【解答】解： （1）A，B，C，D，E 五人站一排，B 必须站 A 右边，则不同的排法有 60 种， （2）晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又加了 2 个节目，若将这 2 个节目插入 第 21 页（共 25 页） 原节目单中，则不同的插法有42 种 故答案为： （1）60 （2）42 【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，属中档题 22有四个编
37、有 1、2、3、4 的四个不同的盒子，有编有 1、2、3、4 的四个不同的小球，现 把小球放入盒子里 小球全部放入盒子中有多少种不同的放法； 恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法； 恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法 【分析】由排列、组合及简单计数问题得：小球全部放入盒子中有 44256 种不同的 放法； 由排列、组合及简单计数问题及平均分组得：恰有一个盒子没放球有 144 种不同的放法； 由排列、组合及简单计数问题及平均分组得：恰有两个盒子没放球有（） 84 种不同的放法 【解答】解：小球全部放入盒子中有 44256 种不同的放法， 恰有一个盒子没放球有144 种不同的放法， 恰有两个盒子
38、没放球有（）84 种不同的放法， 故答案为： ：256 144 84 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题 【必做题】第【必做题】第 23 题题、第、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答分请在答卷纸指定区域内作答 23如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，ABAC，M 是棱 BC 的中点， 点 P 在线段 A1B 上 第 22 页（共 25 页） （1）若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小； （2）若 N 是 CC1的中点，直线 A1B 与平面 PMN 所成角的正弦值为，求线
39、段 BP 的 长度 【分析】分别 AB，AC，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求 出 A，B，C，A1，M 的坐标 （1）由 P 是线段 A1B 的中点，求得的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线 MP 与直线 AC 所成的角的大小； （2）由 N（0，2，1） ，得设 P（x，y，z） ，0 1，求得 P（22，0，2） ，得到求出平面 PMN 的 法向量 （x，y，z） ，利用直线 A1B 与平面 PMN 所成角的正弦值为列式求得 值， 则答案可求 【解答】解：分别 AB，AC，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A
40、（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，2，0） ，A1（0，0，2） ，M（1，1，0） （1）若 P 是线段 A1B 的中点， 则 P（1，0，1） ， 直线 MP 与直线 AC 所成的角的大小为； （2）由 N（0，2，1） ，得 设 P（x，y，z） ，01， 第 23 页（共 25 页） 则（x2，y，z）（2，0，2） ， ，得 P（22，0，2） ，则 设平面 PMN 的法向量 （x，y，z） ， 则，即 取 z1，得 ，设直线 A1B 与平面 PMN 所成角为 由 sin| ，得 ，则 【点评】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题 24已知抛物线 C：y
41、24x，过直线 l：x2 上任一点 A 向抛物线 C 引两条切线 AS，AT （切点为 S，T，且点 S 在 x 轴上方） （1）求证：直线 ST 过定点，并求出该定点； （2）抛物线 C 上是否存在点 B，使得 BSBT 【分析】 （1）方法一：设且方程，代入抛物线方程，由0，求得 k+2t，k1k2， 代入求得 S 和 T 点坐标，即可求得直线 ST 的方程，即可证明直线 ST 过定点； 第 24 页（共 25 页） 方法二：根据复合函数求导法则，求得切线的斜率及切线方程，求得 ST 的方程，即可求 得直线 ST 过定点； （2）由（1）可得 ST 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向
42、量的坐标运算，即可 求得 B 点坐标 【解答】解： （1）方法一： （1）设 A（2，t） ，过点 A 的切线：l切：ytk（x+2） ， 联立，整理得：ky24y+4（t+2k）0，由，则得 2k2+tk10， 即 k（2k+t）1，则 k+2t， 则 k1k2，且有 ky24y+0，即（ky2）20，得 y， 因此 S（，） ，T（，） ，lST：y（x）（x ）x， yx+（x2） ，即有 lST：y（x2） ， 直线 ST 过定点 P（2，0） ； 方法二：设 S（x1，y1） ，T（x2，y2） ，由 y24x，根据复合函数求导法则 2yy4，则 y ， 则直线 AS 的斜率 k，方
43、程为：yy1（xx1） ，由 y124x1， 整理得：yy12（x+x1） ，同理可得：直线 AT：yy22（x+x2） ， 设 A（2，yA） ，则 yAy12（x12） ，yAy22（x22） ， 即 yAy12x1+40，yAy22x2+40， S（x1，y1） ，T（x2，y2）是方程 yAy2（x2）0 解， 则直线 ST：yAy2（x2）0 直线 ST 恒过点（2，0） ； （2）假设存在点 B，使得 BSBT，设 B（m，n） ， 第 25 页（共 25 页） 由直线 ST：yAy2（x2）0，整理得：y22yAy80， 则 y1+y22yA，y1y28，则 x1+x2yA2+4
44、，x1x2（y1y2）24， 由 BSBT，则0，即（x1m，y1n） （x2m，y2n）0， 整理得：x1x2m（x1+x2）+m2+y1y2n（y1+y2）+n20， 4myA24m+m282nyA+n20， myA2+2nyA+4m+4m2n20，由 4mn2， 代入整理得：yA2+2nyA+40， 令 40，即 n28，当 n2则 yA2+2yA0，解得：yA0 或 yA2， 当 n2则 yA22yA0，解得：yA0（舍去）或 yA2， 当 B（2，2）或（2，2）时，A（2，2）时，BSBT 【点评】本题考查抛物线的切线方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量 的坐标运算，考查计算能力，属于难题
