河北省2020届高三名优校联考数学(理科)试题(含答案解析)

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1、 1 2019-20202019-2020 学年度河北名优校联考学年度河北名优校联考 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.C解析:由 x22x3 变形,得(x+1)(x3)0,解得 x3 或 x1,Ax|x3 或 x1. 又Bx|0x4,AB3,4). 2.A解析:由题意可得 , , 03 01 m m 解得 1m3.又mZ,m2,z1i, 5 5 5 1 1 1 1 1 zz . 3.D解析:设扇形的圆心角为,大扇形的半径长为 R,小扇形的半径长为 r,则 S大扇形 2 2 R , S小扇形 2 2 r ,R=2r.

2、所以根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为 4 3 4 3 2 22 2 2 2 22 2 22 r r R rR R rR P . 4.A解析:,22211 3 1 3 1 001log3log 1 3 102 . 0 2 1 2 1 cbaabc. 5.D 解析:设向量 a,b 的夹角为.(a+b)(ab)0,a2b20,|a|b|.|a+b|3|ab|, a2+2|a|b|cos +b29a218|a|b|cos +9b2,解得 cos 5 4 . 6.D解析:)( sin cos |ln )(xf xx xx xf ,f(x)为奇函数,排除 A.又f(1)f(1)0, 0

3、22 ff ,排除 B.又 0 3 f , 0f,排除 C.故只有 D 选项符合. 7.C解析:二项式(2+x)5展开式的通项公式是 rrr r xT 5 51 2C.令3r, 33353 513 402xxT C, x3的系数的 3 倍为 120,即程序运行的结果 S 为 120.模拟程序的运行,可得 k6,S1, 不满足条件;执行循环体,S6,k5,不满足条件;执行循环体,S30,k4,不满足条 件;执行循环体,S120,k3,满足条件,退出循环,此时 S 的值为 120.则判断框中应填 入的关于 k 的判断条件是“k4?”. 8.C 解析:这 50名学生中,恰有 3名女生的课余使用手机总

4、时间在10,12,课余使用手机总时 间在10,12的学生共有 500.082=8(名),从课余使用手机总时间在10,12的学生中随机抽 取 3人,基本事件总数 n= 3 8 C=56,至少抽到 2名女生包含的基本事件个数 m= 3 3 C+ 2 3 C 1 5 C=16, 则至少抽到 1 名女生的概率为 p= n m = 56 16 = 7 2 . 9.D 解析:an是等差数列,Sn为其前n项和,设公差为d,则 2 1 1 d na n Sn ,易知数列 n Sn 是以 a1为首项、 2 d 为公差的等差数列,则 202020 202020 SS a1+(20201) 2 d 2 120 1

5、d a 1000d2000,解得d2.又S20202020,1 2020 2020 2020 2020 S 2 2 12020 1 a,a12018. 10.D解析:如图,设 OE 的中点为 G,|FM| = m. 2 PFx 轴,MFOE, | | | | OA AF OE FM ,即 a ca OE m | , ca ma OE |, )(2 | 2 1 | ca ma OEOG .又OGFM, | | | | BF OB FM OG ,即 ca a m ca ma )2( -, a3c,则 3 1 a c e. 11. D解析:过点 S 作 SE平面 ABC 于点 E,记球心为 O. 在

6、正三棱锥 S-ABC 中,底面边长为 6,侧棱长为34,326 2 3 3 2 BE, 6 22 BESBSE .球心 O到四个顶点的距离相等,均等于该正三棱锥外接球的半径 长 R,OBR,OE6R.在 RtBOE 中,OB2BE2+OE2,即 R212+(6R)2,解得 R4,该正三棱锥外接球的体积 V= 3 4 R3= 3 256 . 12.B解析:对任意的 xR,有 f(x+2)f(x)0,对任意的 xR,f(x+2)f(x),f(x)是周期 为 2 的函数,f(1)f(12)f(1),又当 x1,1)时,f(x)x,f(1)f(1)1, 函数 f(x)不是奇函数,故错误,正确.当 x1

7、,1)时,f(x)x,f(0)0,又f(x) 是周期为 2 的函数,函数 f(x) 的全部零点为 x2k,kZ ,故正确.当 x1,1) 时,f(x)x,令 x xgxf 1 )()(,解得 x1(舍)或 x1;当 x1,3)时,)2()(xfxf x2,令 )()(xgxf ,则 x x 1 2 ,解得 x1+ 2或 x12(舍);当 x3,1)时, 2)2()(xxfxf ,令 )()(xgxf ,则 x x 1 2 ,解得 x1 2或 x1+2(舍), 共有 3个公共点,故错误.因此真命题的个数为 2个. 二、填空题二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.1

8、0解析:根据题意画出可行域,如图所示: 由图可知目标函数经过点 A(4,1)时,z 取得最大值 10. 14. 27 40 解析:由 a1+3a2+ 1 3 n ann,得当 n1 时,a11;当 n2 时,a1+3a2+ 2 3 n an1 n1.又 a1+3a2+ 1 3 n ann,两式相减,得 1 3 1 n n a,当 n1 时也成立,数 3 列an是首项为 1,公比为 3 1 的等比数列, 27 40 3 1 1 3 1 1 4 4 S . 15.y13x16解析:函数f(x)x3+(a1)x2+ax为奇函数,f(1)+f(1)0,1+a1a+(1+a 1+a)0,解得a1,f(x

9、)x3+x,13)( 2 xxf.设切点为( 0 x, 0 y),则)( 0 xf 13 2 0 x.设切线方程为 y 0 y)( 00 xxxf. 0 3 00 xxy,)( 0 3 0 xxy )(13( 0 2 0 xxx.该直线过点(0,16),)0)(13()(16 0 2 00 3 0 xxxx,解得 ,2 0 x,10 0 y13)( 0 xf,所求直线方程为)2(1310xy,即y13x16. 16.1 5 2 2 y x 解析:由双曲线的方程 C:1 5 2 22 b yx (b0),知 a5,不妨设圆 A与双曲线 的一条渐近线 x b y 5 交于 M,N 两点,过点 A

10、作 AB 垂直于该渐进线于点 B,连 接 AN,如图. 点A(5,0)到渐近线bx5y0的距离 c b ab ab AB 5 22 .ANrb, BN c b c ba bABAN 2 2 22 222 . NBONONOM2 2 3 , NBON4 , NBOB5 ,OB5BN c b25 .在 RtABO 中,OA5,AB c b5 ,OB c b25 ,OB2+AB2OA2,即5 525 2 2 2 4 c b c b ,25b4+5b25c2,25b45c25b2 5(c2b2)5a225,b21,双曲线 C的标准方程为1 5 2 2 y x . 三、解答题三、解答题(共 70 分)

11、17. 解:(1)在ABC 中,3 cos sin Ab Ba ,由正弦定理,得 sin Asin B3sin Bcos A. 0B,sin B0,sin A3cos A, tan A A A cos sin 3.2 分 又0A,A 3 . 3 分 在ABC 中,由余弦定理,得 a2b2+c22bccos A, 即 204+c24c 2 1 , 4 分 解得 c171(舍去),c171. c171. 6 分 (2)由(1)知,A 3 , SABCAbcsin 2 1 c 2 3 . 7 分 4 由正弦定理,得 B b C c sinsin ,1 tan 3 sin 3 2 sin2 sin s

12、in BB B B Cb c .8 分 A 3 ,C为钝角,0B 6 , 3 3 tan0B,c4, 10 分 SABC32. 即ABC 面积的大小范围是(32,+).12 分 18. (1)证明:如图 1,分别取 AC,BC 的中点 P,Q,连接 DP,EQ,PQ,PH. 1 分 ACD,EBC 均是等边三角形,P 是 AC 的中点,Q 是 BC 的中点, DPAC,EQBC.2 分 平面 ACD平面 ABC 且交于 AC,DP平面 ACD,DP平面 ABC, 平面 EBC平面 ABC 且交于 BC,EQ平面 EBC,EQ平面 ABC, DPEQ. 3 分 又EQ平面 EBC,DP平面 EB

13、C,DP平面 EBC. PH 是ABC 的中位线,PHBC, 4 分 又BC平面 EBC,PH平面 EBC,PH平面 EBC. 5 分 DP平面 EBC,PH平面 EBC,DPPHP,平面 EBC平面 DPH, DH平面 EBC. 6 分 图 1 图 2 (2)解:以点 P 为原点、射线 PA为 x 轴正方向、射线 PB 为 y 轴正方向、射线 PD 为 z 轴正方 向,建立如图 2 所示的空间直角坐标系, 则 P(0,0,0),A(1,0,0),C(1,0,0), 3 2 3 2 1 ,E ,7 分 002 ,AC, 3 2 3 2 3 ,AE . 8 分 EQ平面 ABC,平面 ABC 的

14、法向量可取 n(0,0,1) . 9 分 设平面 EAC 的法向量 m(x,y,z) , 则 , , 03 2 3 2 3 02 zyx x , , zy x 2 0 可取 m(0,2,1) . 10 分 设二面角 E-AC-B 的平面角为,据判断其为锐角, cos nm nm 51 1 5 5 .11 分 sin 5 52 . 即二面角 E-AC-B 的正弦值为 5 52 . 12 分 19. 解:(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为 q,则 q1p. 1 分 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 qk,呈阳性反应的概率为 1qk. 5 依题意可知 k X 1 ,1+ k 1 , 所以

15、 X 的分布列为: X k 1 1+ k 1 Pqk1qk 5 分 (2)方案二中,结合(1)知每个人的平均化验次数为 E(X) kk q k q k 1 1 1 1 1 1 k q k ,6 分 所以当 k2 时,E(X)19 . 0 2 1 2 0.69, 此时 669人需要化验的总次数为 462次;7 分 当 k3 时,E(X)19 . 0 3 1 3 0.6043, 此时 669人需要化验的总次数为 404次;8 分 当 k4 时,E(X)19 . 0 4 1 4 0.5939, 此时 669人需要化验的总次数为 397次. 9 分 即 k2 时化验次数最多,k3 时次数居中,k4 时

16、化验次数最少, 10 分 而采用方案一则需化验 669次.11分 故在这三种分组情况下,相比方案一,当k4时化验次数最多可以平均减少669397272(次). 12分 20. 解:(1)由抛物线的定义,得 2 5 )2( 2 | p MF,p1. 该抛物线的方程为 y22x. 3 分 (2)由(1)可知,点 M 的坐标为(2,2). 4 分 当直线 l 斜率不存在时,设 A(a,y1),B(a,y2),且 y1+y2=0, 则2 2 4 2 4 2 2 2 2 2121 21 aa yy a y a y kk, a0,y1=y2=0,此时 A,B两点重合,舍去. 5 分 当直线 l 斜率存在时

17、,设直线 l 的方程为 y=kx+b. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 联立直线 l 与抛物线的方程,得 , , xy bkxy 2 2 整理,得 k2x2+(2kb+2)x+b20,6 分 2 21 22 k kb xx , 2 2 21 k b xx.7 分 又 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 21 x bkx x bkx x y x y kk ,8 分 整理,得(2k+2)x1x2+(2k+b+2)(x1+x2)+4b0, (2k+2) 2 2 k b +(2k+b+2) 2 22 k kb +4b0, b2b22k(b+1)0,即(b+1)

18、(b22k)0,解得 b1 或 b2+2k. 10 分 当 b1 时,直线 l 为 y=kx1,此时直线 l 恒过定点(0,1). 当b2+2k时,直线l为y=kx+2k+2k(x+2)+2,此时直线l恒过定点(2,2)(与点M重合,舍去). 直线 l 恒过定点(0,1). 12 分 21.解:(1)由 f(x)ln xaex+1 知,0x. 1 分 当 a1 时,f(x)ln xex+1, )(xf x 1 ex,显然 )(xf 在(0,+)上单调递减. 2 分 6 又e 2 2 1 f0, e11f0, )(xf 在 1 2 1, 上存在零点x0,且是唯一零点,当 0 0xx,时,)(xf

19、0;当, 0 xx时, )(xf 0,3分 x0是 f(x)ln xex+1 的极大值点,且是唯一极值点. 4 分 (2)令 f(x)ln xaex+10,则 x x a e 1ln . 5 分 令 ya, x x xg e 1ln )( ,则 ya 和 x x xg e 1ln )( 的图象在(0,+)上有 2 个交点, .0 1ln 1 )()(x x x xg x e 6 分 令1ln 1 )(x x xh,则 xx x h 11 )( 2 0, 7 分 所以 h(x)在(0,+)上单调递减,而 h(1)0,8 分 故当10,x时,h(x)0,即 )(xg 0,g(x) 单调递增; 当

20、,1x时,h(x)0,即 )(xg 0,g(x) 单调递减,9 分 故 e 1 ) 1 ()( max gxg.10 分 又0 1 e g,当 x1 时,g(x)0, 结合图象,可知若 ya和 x x xg e 1ln )( 的图象在(0,+)上有 2个交点,只需 e 1 0a, 所以 a 的取值范围为 e 1 0,.12 分 22.解:(1)将参数方程 sin3 cos2 y x, (为参数)消去参数,得1 34 22 yx , 椭圆的标准方程为1 34 22 yx , 1 分 椭圆的右焦点为 F(1,0).2 分 由 22 4 cos ,得 4sincos , 3 分 直线 l 的直角坐标

21、方程为 xy4, 过点 F(1,0)与直线 l 垂直的直线方程为 y(x1),即 x+y10, 4 分 所求直线的极坐标方程为 01sincos 5 分 (2)设点 P 的坐标为( cos2 ,sin3)(02), 则点 P 到直线 l 的距离 2 |4)sin(7| 2 |4sin3cos2| d, 其中 7 72 sin, 7 21 cos 2 0 , 7 分 当 k2 2 ,kZ 时,d 取得最小值, 此时 k2 2 ,kZ,8 分 7 74 sin22 2 cos2cos2 k, 7 7 73 cos32 2 sin3sin3 k, 9 分 点 P 的直角坐标为 7 73 7 74 ,

22、 10 分 23.解:(1)由 f(x)=|x+1|+|2x4|,得 , , , 133 215 233 )( xx xx xx xf 2 分 由 f(x)5 可得 , , 533 2 x x 或 , , 55 21 x x 或 , , 533 1 x x 解得 3 8 2,x或20,x或 x.4 分 综上, 3 8 0,x . 5 分 (2) , , , 133 215 233 )( xx xx xx xf 当 x2 时,f(x)取得最小值 3, 6 分 函数 yf(x)图象的最低点为(2,3) ,即 m2,n3. 7 分 ma+nb6,2a+3b6,1 23 ba , 8 分 945 3 8 2 3 254 3 8 2 3 1 23 8383 b a a b b a a bba baba . 9 分 当且仅当 b a a b 3 8 2 3 ,即 a1,b 3 4 时取等号, ,9 83 ba .10 分

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