1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|x22x3，Bx|0x4，则 AB（ ） A（1，4） B（0，3 C3，4） D（3，4） 2 已知复数 zm1+ （m3） i （mZ） 在复平面内对应的点在第四象限， 则 （ ） A B C1 D 3“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率 是（ ） A B C D
2、 4设 a ， ， ，则（ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 5若两个非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的余 弦值为（ ） A B C D 6函数 在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 7在如图算法框图中，若 a6，程序运行的结果 S 为二项式（2+x）5的展开式中 x3的系数 的 3 倍，那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件是（ ） Ak3 Bk3 Ck4 Dk4 8为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校 500 名学生 2019 年 12 月课余使用 手机的总时间（单位：小时）的情况从中随机抽取了 50 名学生，将数据进行整理，得 到如图所示的频率分
3、布直方图已知这 50 名学生中，恰有 3 名女生课余使用手机的总时 间在10， 12， 现在从课余使用手机总时间在10， 12的样本对应的学生中随机抽取 3 名， 则至少抽到 2 名女生的概率为（ ） A B C D 9在等差数列an中，Sn为其前 n 项和若 S20202020，且 2000，则 a1等于 （ ） A2021 B2020 C2019 D2018 10已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 1（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点
4、，则 C 的离心率为（ ） A B C D 11已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的体积是 （ ） A16 B C64 D 12已知函数 f（x）的定义域是 R，对任意的 xR，有 f（x+2）f（x）0当 x1，1） 时 f（x）x给出下列四个关于函数 f（x）的命题： 函数 f（x）是奇函数； 函数 f（x）是周期函数； 函数 f（x）的全部零点为 x2k，kZ； 当 x3，3）时，函数 的图象与函数 f（x）的图象有且只有 4 个公共点 其中，真命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13
5、若实数 x、y 满足 ，则 z3x+2y 的最大值为 14已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+3a2+3n1ann，则 S4 15设函数 f（x）x3+（a1）x2+ax，若 f（x）为奇函数，则过点（0，16）且与曲线 y f（x）相切的直线方程为 16已知双曲线 C： 的右顶点为 A，以点 A 为圆心，b 为半径作圆，且 圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若 （O 为坐标原点），则双曲 线 C 的标准方程为 三、解答题（共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生
6、根据要求作答） （一） 必考题：共 60 分 17已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）若 ，b2，求 c 的大小； （2）若 b2，且 C 是钝角，求ABC 面积的大小范围 18 如图， 在空间几何体 ABCDE 中， ABC， ACD， EBC 均是边长为 2 的等边三角形， 平面 ACD平面 ABC，且平面 EBC平面 ABC，H 为 AB 的中点 （1）证明：DH平面 EBC； （2）求二面角 EACB 的正弦值 19某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 669 人的血样进
7、行化验，由于人数较多，检 疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验 669 次 方案二：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认 为每个人的血化验 次） ； 否则， 若呈阳性， 则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验， 这时该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的 概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案二中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列 （2）设 p0
8、.1，试比较方案二中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指 出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数） 20已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（2，m）在抛物线上， 且|MF| ，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2 （）求抛物线的方程； （）当 k1+k22 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标 21已知函数 f（x）lnxaex+1（aR） （1）当 a1 时，讨论 f（x）极值点的个数； （2）若函数 f
9、（x）有两个零点，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求经过椭圆 C 右焦点 F 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程； （2）若 P 为椭圆 C 上任意一点，当点 P 到直线 l 距离最小时，求点 P 的直角坐标 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2
10、）若函数 yf（x）图象的最低点为（m，n），正数 a，b 满足 ma+nb6，求 的 取值范围 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1已知集合 Ax|x22x3，Bx|0x4，则 AB（ ） A（1，4） B（0，3 C3，4） D（3，4） 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x22x3x|x1 或 x3， Bx|0x4， ABx|3x43，4） 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 已知复数 zm1+ （m3） i （m
11、Z） 在复平面内对应的点在第四象限， 则 （ ） A B C1 D 【分析】由已知列式求得 m，再由商的模等于模的商求解 解：由题意可得， ，解得 1m3 又mZ，m2， 则 z1i， 故选：A 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题 3“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率 是（ ） A B C D 【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出 解：不妨设 OA1，扇形
12、中心角为 此点取自扇面（扇环）部分的概率 故选：C 【点评】本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 4设 a ， ， ，则（ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与 0，1 比较可得答案 【解答】 解析： 由指数、 对数函数的性质可知： ， ， 有 abc 故选：A 【点评】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识 5若两个非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的余 弦值为（ ） A B C D 【分析】根据题意，设 与 的夹角为 由 ，可得 ，又由由 可得 ，将 代入，变形可得 co
13、s 的值，即可得答案 解：根据题意，设 与 的夹角为 若 ，则 ，变形可得 ， 又由 ，则有 又由 ，则有 2| |2+2| |2cos18| |218| |2cos， 变形可得： 故选：D 【点评】本题考查向量数量积的计算，属于基础题 6函数 在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解 解： ， 函数 f（x）为奇函数， 又 ， ， ， ， 选项 D 符合题意 故选：D 【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运 用排除法求解，属于基础题 7在如图算法框图中，若 a6，程序运行的结果 S 为二项式（2+
14、x）5的展开式中 x3的系数 的 3 倍，那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件是（ ） Ak3 Bk3 Ck4 Dk4 【分析】根据二项式（2+x）5展开式的通项公式，求出 x3的系数，模拟程序的运行，可 得判断框内的条件 解：二项式（2x）5展开式的通项公式是 Tr+1 25r xr， 令 r3， T3+1 22 x3； x3的系数是 22 1340 程序运行的结果 S 为 120， 模拟程序的运行，由题意可得 k6，S1 不满足判断框内的条件，执行循环体，S6，k5 不满足判断框内的条件，执行循环体，S30，k4 不满足判断框内的条件，执行循环体，S120，k3 此时，应该满足判断框内
15、的条件，退出循环，输出 S 的值为 120 故判断框中应填入的关于 k 的判断条件是 k4？ 故选：C 【点评】 本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题， 考查了程序框图的应用问题， 解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题 8为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校 500 名学生 2019 年 12 月课余使用 手机的总时间（单位：小时）的情况从中随机抽取了 50 名学生，将数据进行整理，得 到如图所示的频率分布直方图已知这 50 名学生中，恰有 3 名女生课余使用手机的总时 间在10， 12， 现在从课余使用手机总时间在10， 12的样本对应的学生中随机抽取
16、 3 名， 则至少抽到 2 名女生的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n 56，至少抽到 2 名女生包含的基本事件个数 m 16，由此能求出至少抽到 2 名女生的概率 解：这 50 名学生中，恰有 3 名女生的课余使用手机总时间在10，12， 调余时间使用手机总时间在10，12的学生总数为：500.0828（名）， 从课余使用手机总时间在10，12的样本对应的学生中随机抽取 3 名， 基本事件总数 n 56， 至少抽到 2 名女生包含的基本事件个数 m 16， 至少抽到 2 名女生的概率为 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求
17、解能 力，是基础题 9在等差数列an中，Sn为其前 n 项和若 S20202020，且 2000，则 a1等于 （ ） A2021 B2020 C2019 D2018 【分析】先推出数列 是等差数列根据等差数列通项公式列式求解出 d 和 a1 解：an是等差数列，Sn为其前 n 项和，设公差为 d， 则 ， ， 数列 是以 a1为首项、 为公差的等差数列 则 1000d2000， 解得 d2 又S20202020， ，a 12018 故选：D 【点评】本题考查了构造数列和等差数列的通项公式，做题时应细心，属简单题 10已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 1（ab0）的左焦点，A，B 分别为
18、 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 yk（x+a），分别令 x c， x0， 可得 M， E 的坐标， 再由中点坐标公式可得 H 的坐标， 运用三点共线的条件： 斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值 解：由题意可设 F（c，0），A（a，0），B（a，0）， 设直线 AE 的方程为 yk（x+a）， 令 xc，可得 M（c，k（ac），令 x0，可得 E（0，ka）
19、， 设 OE 的中点为 H，可得 H（0， ）， 由 B，H，M 三点共线，可得 kBHkBM， 即为 ， 化简可得 ，即为 a3c， 可得 e 另解：由AMFAEO， 可得 ， 由BOHBFM， 可得 ， 即有 即 a3c， 可得 e 故选：A 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的 运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题 11已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的体积是 （ ） A16 B C64 D 【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的 半径，再由
20、勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的体积公式求出体 积 解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O，外接 圆的半径 r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上，设为 O，连接 OA 得：r ，r 2 ，即 OA2 ， 所以三棱锥的高 h 6， 由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4， 所以外接球的体积 V R 3 故选：D 【点评】本题主要考查正三棱锥的外接球的体积以及计算能力，属于中档题 12已知函数 f（x）的定义域是 R，对任意的 xR，有 f（x+2）f（x）0当 x1，1） 时 f（x）x给出下列四个关于函数 f（x
21、）的命题： 函数 f（x）是奇函数； 函数 f（x）是周期函数； 函数 f（x）的全部零点为 x2k，kZ； 当 x3，3）时，函数 的图象与函数 f（x）的图象有且只有 4 个公共点 其中，真命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】通过题中给的知识点，判断周期性，奇偶性，求出每一段的解析式 解：对任意的 xR，有 f（x+2）f（x）0， 对任意的 xR，有 f（x+2）f（x）， f（x）是以 2 为周期的函数，对， f（1）f（12）f（1）， 又当 x1，1）时 f（x）x， f（1）f（1）1， 函数 f（x）不是奇函数，错， f（0）0， f（2k）f（0）0，kZ，对
22、， 当 x1，1）时 f（x）x， 令 f（x）g（x），解之得 x1（舍），x1； 当 x1，3）时 f（x）f（x2）x2， 令 f（x）g（x），解之得 x1 （舍），x1 ； 当 x3，1）时 f（x）f（x+2）x+2， 令 f（x）g（x），解之得 x1 （舍），x1 ； 共有 3 个公共点，错， 故选：B 【点评】本题考查命题，周期，奇偶性，以及求分段函数的解析式，属于基础题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若实数 x、y 满足 ，则 z3x+2y 的最大值为 10 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联
23、立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 解：由实数 x、y 满足 ，作出可行域如图， 联立 ，解得 A（4，1）， 化目标函数 z3x+2y 为 y x ， 由图可知，当直线 y x 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 z34 2110 故答案为：10 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+3a2+3n1ann，则 S4 【分析】利用已知条件求出首项，推出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求 解数列的和 解： ，可得 n1 时，a11， n2 时， ，又 ， 两式相减可得 3
24、n1an1，即 ，上式对 n1 也成立， 可得数列an是首项为 1，公比为 的等比数列， 可得 故答案为： 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力 15设函数 f（x）x3+（a1）x2+ax，若 f（x）为奇函数，则过点（0，16）且与曲线 y f（x）相切的直线方程为 13xy160 【分析】根据函数是奇函数，构造 f（1）+f（1）0 求出 a 值再另设切点，求出切 线方程，将（0，16）代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求 解：函数 f（x）x3+（a1）x2+ax 为奇函数， f（1）+f（1）0，1+a1a+（1+a1+a）0解得 a1
25、， f（x）x3+x，f（x）3x2+1 设切点为（x0，y0），则 所以切线方程为 该直线过点（0，16）， ， 解得 x02，y010，f（x0）13， 所求直线方程为 y1013（x2），即 13xy160 故答案为：13xy160 【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及导数的几何意义，属于较简单的中档题 16已知双曲线 C： 的右顶点为 A，以点 A 为圆心，b 为半径作圆，且 圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若 （O 为坐标原点），则双曲 线 C 的标准方程为 【分析】利用已知条件，转化求解 A 到渐近线的距离，推出 a，c 的关系，求解双曲线的 a，b 即可得到
26、双曲线的标准方程 解：双曲线 C： 的右顶点为 A（ ，0）， 以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点 则点 A 到渐近线 bx y0 的距离为|AB| ， ANrb，|BN| ， ， |OB|5|BN| ， |OA| ，AB ，OB ，OB2+AB2OA2，即 ，解得 b1， 双曲线方程为： 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用：标准方程的求法，点到直线的距离公式以 及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 三、解答题（共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考
27、生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一） 必考题：共 60 分 17已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）若 ，b2，求 c 的大小； （2）若 b2，且 C 是钝角，求ABC 面积的大小范围 【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简可求 tanA，进而可求 A，然后由余弦定理可 求； （2） 由A结合三角形的面积公式极正弦定理可求c的范围， 进而可求三角形面积的范围， 解：（1）在ABC 中， ，由正弦定理，得 0B，sinB0， ， 又0A， 在ABC 中，由余弦定理，得 a2b2+c22bccosA，即 ， 解得 （舍去）， （
28、2）由（1）知 ， 由正弦定理，得 ， ，C 为钝角， ， ，c4， 即ABC 面积的大小范围是 ， 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应 用，属于中档试题 18 如图， 在空间几何体 ABCDE 中， ABC， ACD， EBC 均是边长为 2 的等边三角形， 平面 ACD平面 ABC，且平面 EBC平面 ABC，H 为 AB 的中点 （1）证明：DH平面 EBC； （2）求二面角 EACB 的正弦值 【分析】（1）分别取 AC，BC 的中点 P，Q，连接 DP，EQ，PQ，PH证明 DP平面 ABC，EQ平面 ABC，得到 DPEQ推出 PHBC，P
29、H平面 EBC即可证明平面 EBC平面 DPH，得到 DH平面 BEC （2）又点 P 为原点、射线 PA 为 x 轴正方向、射线 PB 为 y 轴正方向量、射线 PD 为 z 轴正方向，建立如图 2 所以的空间直角坐标系，求出平面 ABC 的法向量，平面 EAC 的 法向量，设二面角 EACB 的平面角为 ，利用空间向量的数量积求解二面角 EAC B 的正弦值 【解答】（1）证明：如图 1，分别取 AC，BC 的中点 P，Q，连接 DP，EQ，PQ，PH ACD，EBC 均是等边三角形，P 是 AC 的中点，Q 是 BC 的中点， DPAC，EQBC 平面 ACD平面 ABC 且交于 AC，
30、DP平面 ACD，DP平面 ABC， 平面 EBC平面 ABC 且交于 BC，BQ平面 BEC，EQ平面 ABC， DPEQ 又EQ平面 EBC，DP平面 EBCDP平面 EBC PH 是ABC 的中位线，PHBC， 又BC平面 EBC，PH平面 EBC，PH平面 EBC DP平面 EBC，PH平面 EBC，DPPHP，平面 EBC平面 DPH， DH平面 BEC （2）解：又点 P 为原点、射线 PA 为 x 轴正方向、射线 PB 为 y 轴正方向量、射线 PD 为 z 轴正方向，建立如图 2 所以的空间直角坐标系， 则 P（0，0，0）A（1，0，0），C（1，0，0）， ， ， ， ，
31、， ， ， ， EQ平面 ABC，平面 ABC 的法向量可取 ， ， 设平面 EAC 的法向量 （x，y，z）， 则 ， ，可取 （0，2，1） 设二面角 EACB 的平面角为 ，据判断其为锐角， cos sin 即二面角 EACB 的正弦值 【点评】本题考查二面角飞平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空 间想象能力以及计算能力，转化思想的应用 19某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 669 人的血样进行化验，由于人数较多，检 疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案一：将每个人的血分别化验，这时需
32、要验 669 次 方案二：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认 为每个人的血化验 次） ； 否则， 若呈阳性， 则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验， 这时该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的 概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案二中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列 （2）设 p0.1，试比较方案二中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指 出在这三种分组情况下
33、，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数） 【分析】（1）根据题意，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X ， ，每个人的 血样化验呈阳性的概率为 p，则呈阳性的概率 q1p，求出概率，写出分布列即可； （2） 根据 （1） 可得方案二的数学期望 E （X） ，p0.1，求出 k2，3，4 时化验的平均次数，求出化验次数最少的情况， 与方案一对比，得出结论 解：（1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，则呈阴性的概率 q1p， 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1p） k，呈阳性反应的概率为 1（1p） k， 故 X ， ， P（X ）（
34、1p） k，P（X ）1（1p） k， 故 X 的分布列为： X P （1p）k 1 （1p）k （2） 根据 （1） 可得方案二的数学期望 E （X） ，p0.1， 当 k2 时，E（X） ，此时 669 人需要化验总次数为 462 次； 当 k3 时，E（X） ，此时 669 人需要化验总次数为 404 次； 当 k4 时，E（X） ，此时 669 人需要化验总次数为 397 次； 故 k4 时，化验次数最少， 根据方案一，化验次数为 669 次， 故当 k4 时，化验次数最多可以平均减少 669397272 次 【点评】本题考查离散型随机变量求分布列和数学期望，考查了数学期望在实际问题中
35、 的应用，注意运算的正确性，中档题 20已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（2，m）在抛物线上， 且|MF| ，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2 （）求抛物线的方程； （）当 k1+k22 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标 【分析】（）利用抛物线的定义以及性质，列出方程求出 p，即可求抛物线的方程； （）当 k1+k22 时，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化求解直线 l 恒 过定点并求出该定点的坐标 解：（）由抛物线的定义可以 ， p1 抛物线的方程为 y22x；
36、 （）证明：由（1）可知，点 M 的坐标为（2，2） 当直线 l 斜率不存在时，此时 A，B 重合，舍去 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+b 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线 l 与抛物线联立得： k2x2+（2kb+2）x+b2 0 ， 又 ， 即（kx1+b2）（x2+2）+（kx2+b2）（x1+2）2（x1+2）（x2+2）2kx1x2+2k（x1+x2） +b（x1+x2）2（x1+x2）+4b82x1x24（x1+x2）8 将带入得，b2b22k（b+1）0 即（b+1）（b22k）0 得 b1 或 b2+2k 当 b1 时，直线 l 为 yk
37、x1，此时直线恒过（0，1） 当 b22k 时，直线 l 为 ykx+2k+2k（x+2）+2，此时直线恒过（2，2） （舍去） 所以直线 l 恒过定点（0，1） 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计 算能力 21已知函数 f（x）lnxaex+1（aR） （1）当 a1 时，讨论 f（x）极值点的个数； （2）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 【分析】（1）将 a1 代入，求导得到 f（x）在（0，+）上单调递减，则 f（x） 在（ ，1）上存在唯一零点 x 0，进而可判断出 x0是 f（x）的极大值点，且是唯一极值点； （2）令 f（x
38、）0，得到 a ，则 ya 与 g（x） 的图象在（0，+）上有 2 个交点，利用导数，数形结合即可得到 a 的取值范围 解：（1）当 a1 时，f（x）lnxex+1（x0），则 f（x） e x， 显然 f（x）在（0，+）上单调递减，又 f（ ）2 0，f（1）1e0， 所以 f（x）在（ ，1）上存在唯一零点 x 0， 当 x（0，x0）时，f（x）0，当 x（x0，+）时，f（x）0， 所以 x0是 f（x）的极大值点，且是唯一极值点； （2）令 f（x）0，a ，令 ya，g（x） ，则 ya 与 g（x）的图象在（0， +）上有 2 个交点， g（x） （x0），令 h（x） ，
39、则 h（x） 0， 所以 h（x）在（0，+）上单调递减，而 h（1）0， 故当 x（0，1）时，h（x）0，即 g（x）0，g（x）单调递增， 当 x（1，+）时，h（x）0，即 g（x）0，g（x）单调递减， 故 g（x）maxg（1） ， 又 g（ ）0，当 x1 时，g（x）0，作出图象如图： 由图可得：0a ， 故 a 的取值范围是（0， ） 【点评】本题考查利用导数求函数单调区间，求函数极值，利用导数数形结合判断函数 零点个数，属于中档题 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l
40、 的极坐标方程为 （1）求经过椭圆 C 右焦点 F 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程； （2）若 P 为椭圆 C 上任意一点，当点 P 到直线 l 距离最小时，求点 P 的直角坐标 【分析】（1）消参得椭圆的直角坐标方程，进而得右焦点 F 的坐标，再得直线的直角坐 标方程和极坐标方程； （2）利用点到直线的距离公式求得点 P 到直线 l 的距离，然后用三角函数的性质求得最 小值以及取得最小值的条件 解：（1）椭圆方程 ，F（1，0）， 直线 l 的直角坐标方程为 yx4， 与 l 垂直的直线斜率为1， 直线方程为 y（x1），即 x+y10， 则极坐标方程为 cos+sin10 （2）由
41、得 cos sinsin 2 ，得直线 l 的直角坐标方程 为：xy40 设 ， ，点 P 到直线 l 的距离 ， 此时 ， ， 当 ， 时，d 取最小值， 此时 ， ， ， ， P 点坐标为 ， 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若函数 yf（x）图象的最低点为（m，n），正数 a，b 满足 ma+nb6，求 的 取值范围 【分析】 （1）先将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）5 分别解不等式即可； （2）先求出 f（x）的最小值，然后根据 f（x）图象的最低点为（m，n），求出 m 和 n 的值，再利用基本不等式求出 的取值范围 解：（1）f（x）|x+1|+|2x4| ， ， ， ， f（x）5， 或 或 ， ， 或 x0.2）或 x， ， ， 不等式的解集为 ， （2） ， ， ， ，当 x2 时，f（x）取得最小值 3 函数 yf（x）的图象的最低点为（2，3），即 m2，n3 ma+nb6，2a+3b6， ， ， 当且仅当 ，即 a1， 时取等号， ， 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思 想和转化思想，属中档题
