2019-2020学年江苏省南通市海安市八年级（上）期末数学试卷（含详细解答）

1、2019-2020 学年江苏省南通市海安市八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，恰在每小题给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1 （3 分）中国传统服装历史悠远，下列服装中，是轴对称的是（ ） A汉朝 B唐朝 C明朝 D清朝 2 （3 分）用科学记数法表示 0.000031，结果是（ ） A3.110 4 B3.110 5 C0.3110 4 D3110 6 3 （3 分）

2、在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ） Axz+yzz（x+y） B3a2b2ab2+abab（3a2b） C6xy28y32y2（3x4y） Dx2+3x4（x+2） （x2）+3x 4 （3 分）以下关于多边形内角和与外角和的表述，错误的是（ ） A四边形的内角和与外角和相等 B如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C六边形的内角和是外角和是 2 倍 D如果一个多边形的每个内角是 120，那么它是十边形 5 （3 分）如图，给出下列四组条件： ABDE，BCEF，ACDF； ABDE，BEBCEF； BE，BCEF，CF； ABDE，ACDF，BE 第 2 页（共 2

3、5 页） 其中，能使ABCDEF 的条件共有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 6 （3 分）如图，在ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交 于点 E，F，连接 AE，BE，作直线 EF 交 AB 于点 M，连接 CM，则下列判断不正确的是 （ ） AAB2CM BEFAB CAEBE DAMBM 7 （3 分）当 2（a+1） 1 与 3（a2） 1 的值相等时，则（ ） Aa5 Ba6 Ca7 Da8 8 （3 分）如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点 A） ，临建楼（图中的 点 B）和图书馆（图中的点 C）进行装修，装修工人小明需要放置

4、一批装修物资，使得 装修物资到点 A，点 B 和点 C 的距离相等，则装修物资应该放置在（ ） AAC、BC 两边高线的交点处 B在 AC、BC 两边中线的交点处 C在A、B 两内角平分线的交点处 D在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 9 （3 分）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案： 方案（一） ：第一次提价 p%，第二次提价 q%； 方案（二） ：第一次提价 q%，第二次提价 p%； 第 3 页（共 25 页） 方案（三） ：第一、二次提价均为； 其中 p，q 是不相等的正数 有以下说法： 方案（一） 、方案（二）提价一样； 方案（一）的提价也有可能高于方案（二）

5、的提价； 三种方案中，以方案（三）的提价最多； 方案（三）的提价也有可能会低于方案（一）或方案（二）的提价 其中正确的有（ ） A B C D 10 （3 分）关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题： 命题 1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较 大； 命题 2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较 大； 命题 3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形； 命题 4：直角三角形中斜边最长； 以上真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题

6、，第小题，第 1113 题，每小题题，每小题 3 分，第分，第 1418 题，每小题题，每小题 3 分，分， 共共 29 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11 （3 分）计算：x5x2 12 （3 分）等边三角形有 条对称轴 13 （3 分）在实数范围内分解因式：x35x 14 （3 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间 与原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器 15 （4 分）若正实数 m，n 满足等式（m+n1） 2（m1）2+（n1

7、）2，则 mn 16 （4 分）如图，点 P 为AOB 内任一点，E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点若 AOB30，则E+F 第 4 页（共 25 页） 17 （4 分）RtABC 中，ACB90，A30，点 D 在边 AB 上，连接 CD有以下 4 种说法： 当 DCDB 时，BCD 一定为等边三角形； 当 ADCD 时，BCD 一定为等边三角形； 当ACD 是等腰三角形时，BCD 一定为等边三角形； 当BCD 是等腰三角形时，ACD 一定为等腰三角形 其中错误的是 （填写序号即可） 18 （4 分）若关于 x 的多项式 ax3+bx22 的一个因式是 x2+3x1，则 a+b

8、 的值为 三、解答三、解答题（本大题共题（本大题共 8 小题，共小题，共 91 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤） 19 （16 分）计算： （1） （4x3y）2 （2） （x+y+1） （x+y1） （3） （4） 20 （10 分）如图，CACD，12，BCEC （1）求证：ABDE； （2）当A21，E39时，求ACB 的度数 第 5 页（共 25 页） 21 （10 分）如图，在ABC 中，C90，边 AC 的垂直平分线分别交 AC，AB 于点 D， E （1）求证：E 为

9、AB 的中点； （2）若，求 BE 的长 22 （10 分）日历上某些数满足一定的规律小政同学任意选择 2020 年 1 月份的日历中所 示的方框部分（阴影显示） ，将每个方框部分中 4 个位置上的数交又相乘，再相减，例如： 7136147，172316247，小政发现，结果都是 7 （1）请在选择两个类似的部分试一试，看看是否符合“小政发现”的规律； （2）请利用整式的运算对以上的规律加以证明 23 （10 分）老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数 式的一部分，如图：） （1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于1 吗？请说明

10、理由 24 （10 分）人教版教材指出：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形 请证明：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 25 （12 分） （1）如图，小明同学作出ABC 两条角平分线 AD，BE 得到交点 I，就指出 若连接 CI，则 CI 平分ACB，你觉得有道理吗？为什么？ （2）如图，RtABC 中，AC5，AC12，AB13，ABC 的角平分线 CD 上有一 第 6 页（共 25 页） 点 I，设点 I 到边 AB 的距离为 d （d 为正实数） 小季、小何同学经过探究，有以下发现： 小季发现：d 的最大值为 小何发现：当 d2 时，连接 AI，则 AI 平分BAC 请分

11、别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由 26 （14 分）定义：若两个分式的和为 n（n 为正整数） ，则称这两个分式互为“n 阶分式” 例如，分式与互为“3 阶分式” （1）分式与 互为“5 阶分式” ； （2）设正数 x，y 互为倒数，求证：分式与互为“2 阶分式” ； （3）若分式与互为“1 阶分式” （其中 a，b 为正数） ，求 ab 的值 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年江苏省南通市海安市八年级（上）期末数学年江苏省南通市海安市八年级（上）期末数学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题

12、个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，恰在每小题给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1 （3 分）中国传统服装历史悠远，下列服装中，是轴对称的是（ ） A汉朝 B唐朝 C明朝 D清朝 【分析】直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而判断得出答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，故不合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不合题意； D、不是轴对

13、称图形，故不合题意； 故选：B 【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解题关键 2 （3 分）用科学记数法表示 0.000031，结果是（ ） A3.110 4 B3.110 5 C0.3110 4 D3110 6 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000313.110 5， 故选：B 第 8 页（共 25 页） 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n

14、 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3 （3 分）在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ） Axz+yzz（x+y） B3a2b2ab2+abab（3a2b） C6xy28y32y2（3x4y） Dx2+3x4（x+2） （x2）+3x 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案 【解答】解：A、xz+yzz（xy） ，故 A 错误； B、3a2b2ab2+abab（3a2b+1） ，故 B 错误； C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 C 正确； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查了因

15、式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式 4 （3 分）以下关于多边形内角和与外角和的表述，错误的是（ ） A四边形的内角和与外角和相等 B如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C六边形的内角和是外角和是 2 倍 D如果一个多边形的每个内角是 120，那么它是十边形 【分析】直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案 【解答】解：A四边形的内角和与外角和相等，都等于 360，故本选项表述正确； B如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补，故本选项表述正确； C六边形的内角和为 720，外角和为 360，所以六边形的内角和是外角和是 2 倍， 故本选项表述正确； D如果一

16、个多边形的每个内角是 120，那么它是六边形，故原表述错误 故选：D 【点评】此题主要考查了命题与定理以及多边形内角与外角，正确把握相关定理是解题 关键 5 （3 分）如图，给出下列四组条件： ABDE，BCEF，ACDF； 第 9 页（共 25 页） ABDE，BEBCEF； BE，BCEF，CF； ABDE，ACDF，BE 其中，能使ABCDEF 的条件共有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 【分析】要使ABCDEF 的条件必须满足 SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断 【解答】解：第组满足 SSS，能证明ABCDEF 第组满足 SAS，能证明ABCDEF 第组满足

17、ASA，能证明ABCDEF 第组只是 SSA，不能证明ABCDEF 所以有 3 组能证明ABCDEF 故符合条件的有 3 组 故选：C 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法； 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 ASA、AAS、HL添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已 知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键 6 （3 分）如图，在ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交 于点 E，F，连接 AE，BE，作直线 EF 交 AB 于点 M，连接 CM，则下列判断不正确的是 （ ） AAB2CM BEFAB CAE

18、BE DAMBM 【分析】 根据基本作图得到 EF 是线段 AB 的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的概念和 性质判断即可 【解答】解：由作图可知，EF 是线段 AB 的垂直平分线， 第 10 页（共 25 页） EFAB，AEBE，AMBM， 则 B、C、D 说法正确，不符合题意， AB 与 2CM 的故选不确定，A 错误，符合题意， 故选：A 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段 的两个端点的距离相等 7 （3 分）当 2（a+1） 1 与 3（a2） 1 的值相等时，则（ ） Aa5 Ba6 Ca7 Da8 【分析】直接利用负指数幂的性质得出等式进

19、而求出答案 【解答】解：2（a+1） 1 与 3（a2） 1 的值相等， ， 解得：a7， 当 a7 时， （a+1） （a2）0，故分式方程的解为：a7 故选：C 【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确将原式变形是解题关键 8 （3 分）如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点 A） ，临建楼（图中的 点 B）和图书馆（图中的点 C）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得 装修物资到点 A，点 B 和点 C 的距离相等，则装修物资应该放置在（ ） AAC、BC 两边高线的交点处 B在 AC、BC 两边中线的交点处 C在A、B 两内角平分线的交点处 D在 AC、BC

20、 两边垂直平分线的交点处 【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可， 【解答】解：作 AC、BC 两边的垂直平分线，它们的交点是 P， 由线段的垂直平分线的性质，PAPBPC， 第 11 页（共 25 页） 故选：D 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题 的关键 9 （3 分）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案： 方案（一） ：第一次提价 p%，第二次提价 q%； 方案（二） ：第一次提价 q%，第二次提价 p%； 方案（三） ：第一、二次提价均为； 其中 p，q 是不相等的正数 有以下说法： 方案（一） 、方案（二）提价一样； 方

21、案（一）的提价也有可能高于方案（二）的提价； 三种方案中，以方案（三）的提价最多； 方案（三）的提价也有可能会低于方案（一）或方案（二）的提价 其中正确的有（ ） A B C D 【分析】根据提价方案求出提价后三种方案的价格，得到方案（一） 、方案（二）提价一 样，做差后可得出方案（三）提价最多 【解答】解：方案一：1+p%+q%+p%q%， 方案二：1+p%+q%+p%q%， 方案（一） 、方案（二）提价一样； 方案一： （1+p%） （1+q%）1+p%+q%+p%q%， 方案二： （1+q%） （1+p%）1+p%+q%+p%q%， 方案三： （1+%） （1+%）1+p%+q%+（%）

22、2， 1+p%+q%+（%）2（1+p%+q%+p%q%）（%）2p%q% （%）2， p，q 是不相等的正数， （%）20； 方案（三）提价最多 第 12 页（共 25 页） 故正确 故选：B 【点评】此题常考了整式混合运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公 式是解本题的关键 10 （3 分）关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题： 命题 1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较 大； 命题 2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较 大； 命题 3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是

23、锐角三角形； 命题 4：直角三角形中斜边最长； 以上真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据三角形的性质判断即可 【解答】解：命题 1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大 边所对的角较大，是真命题； 命题 2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较 大，是真命题； 命题 3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形，是 真命题； 命题 4：直角三角形中斜边最长，是真命题； 故选：D 【点评】 本题考查的是命题的真假判断， 正确的命题叫真命题， 错误的命题叫做假命题 判 断命题的真假关键是要熟悉课

24、本中的性质定理 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，第小题，第 1113 题，每小题题，每小题 3 分，第分，第 1418 题，每小题题，每小题 3 分，分， 共共 29 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11 （3 分）计算：x5x2 x7 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可 【解答】解：x5x2x5+2x7 故答案为：x7 第 13 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加 12 （3 分）等边三角形有 3 条对称轴 【分析】轴对称就是一个

25、图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这 样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解 【解答】解：等边三角形有 3 条对称轴 故答案为：3 【点评】正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题 13 （3 分）在实数范围内分解因式：x35x x（x+） （x） 【分析】首先提取公因式，再进一步运用平方差公式 【解答】解：原式x（x25）x（x+） （x） 故答案为 x（x+） （x） 【点评】此题考查了实数范围内的因式分解注意：5（）2 14 （3 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间 与原计划生产

26、450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产 200 台机器 【分析】根据现在生产 600 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间相同所以可 得等量关系为：现在生产 600 台机器时间原计划生产 450 台时间 【解答】解：设：现在平均每天生产 x 台机器，则原计划可生产（x50）台 依题意得： 解得：x200 检验：当 x200 时，x（x50）0 x200 是原分式方程的解 现在平均每天生产 200 台机器 故答案为：200 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程 的依据而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件 有两

27、种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含 条件给出本题中“现在平均每天比原计划多生产 50 台机器”就是一个隐含条件，注意 挖掘 第 14 页（共 25 页） 15 （4 分）若正实数 m，n 满足等式（m+n1）2（m1）2+（n1）2，则 mn 【分析】根据完全平方公式计算即可 【解答】解：（m+n1）2（m1）2+（n1）2， m2+n2+1+2mn2m2nm22m+1+n22n+1， 2mn1， mn， 故答案为： 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 16 （4 分）如图，点 P 为AOB 内任一点，E，F 分别为点 P 关

28、于 OA，OB 的对称点若 AOB30，则E+F 150 【分析】连接 OP，根据轴对称的性质解答即可 【解答】解：连接 OP， E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点， EOAAOP，POBBOF， AOBAOP+POB， EOF2AOB60， E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点， PEOA，PFOB， AOB30， EPF150， 第 15 页（共 25 页） E+F36060150150， 故答案为：150 【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称中对应角相等 17 （4 分）RtABC 中，ACB90，A30，点 D 在边 AB 上，连接 CD有以下 4

29、种说法： 当 DCDB 时，BCD 一定为等边三角形； 当 ADCD 时，BCD 一定为等边三角形； 当ACD 是等腰三角形时，BCD 一定为等边三角形； 当BCD 是等腰三角形时，ACD 一定为等腰三角形 其中错误的是 （填写序号即可） 【分析】由等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含 30角的直角三角 形的性质分别对各个说法进行判断即可 【解答】解：ACB90，A30， B60， 当 DCDB 时，BCD 一定为等边三角形，故正确； ADCD， ADCA30， BDCA+DCA30+3060， B60， BCD 一定为等边三角形，故正确； 当ACD 是等腰三角形时，ADCD，或

30、 ADAC， 若 ADCD，则BCD 是等边三角形； 若 ADAC，则BCD 不是等边三角形，故错误； 当BCD 是等腰三角形时， B60， BCD 是等边三角形， BDCDBCAB， ADBDCD， ACD 一定为等腰三角形，故正确； 第 16 页（共 25 页） 故选： 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含 30角的 直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性 质是解题的关键 18 （4 分）若关于 x 的多项式 ax3+bx22 的一个因式是 x2+3x1，则 a+b 的值为 26 【分析】首先正确理解题意，然后利用因式分

31、解的意义就可以求出 k 的值 【解答】解：设多项式 ax3+bx22 另一个因式为（mx+2） ， 多项式 ax3+bx22 的一个因式是（x2+3x1） ， 则 ax3+bx22（mx+2） （x2+3x1）mx3+（3m+2）x2+（6m）x2， am，b3m+2，6m0， a6，b20，m6， a+b6+2026 故答案为：26 【点评】此题主要考查了因式分解的运用解题的关键首先正确理解题意，然后利用因 式分解的意义就可以解决问题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 91 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

32、文字说 明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤） 19 （16 分）计算： （1） （4x3y）2 （2） （x+y+1） （x+y1） （3） （4） 第 17 页（共 25 页） 【分析】 （1）直接利用完全平方公式计算得出答案； （2）直接利用惩罚公司计算得出答案； （3）利用分式的混合运算法则计算得出答案； （4）利用分式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解： （1） （4x3y）216x224xy+9y2； （2） （x+y+1） （x+y1） （x+y）21 x2+2xy+y21； （3） ； （4） 【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运

33、算法则 是解题关键 20 （10 分）如图，CACD，12，BCEC （1）求证：ABDE； 第 18 页（共 25 页） （2）当A21，E39时，求ACB 的度数 【分析】 （1）由“SAS”可证ABCDEC，可得 ABDE； （2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求解 【解答】证明： （1）12， 1+ECA2+ACE， 即ACBDCE， 在ABC 和DEC 中， ， ABCDEC（SAS） DEAB； （2）ABCDEC， EB39 ACB180AB120 【点评】本题考查了运用 SAS 的判定方法证明三角形全等的运用，全等三角形的性质的 运用，解答时证明ACBDCE 是关键 2

34、1 （10 分）如图，在ABC 中，C90，边 AC 的垂直平分线分别交 AC，AB 于点 D， E （1）求证：E 为 AB 的中点； （2）若，求 BE 的长 【分析】 （1）连接 CE，根据线段垂直平分线的性质得出 AECE，求出ACE 是等边三 第 19 页（共 25 页） 角形，求出 AECE，再求出 CEBE 即可； （2）根据含 30角的直角三角形的性质求出 AB 长，再求出 BE 即可 【解答】 （1）证明：ACB90，A60连接 CE， 线段 DE 是边 AC 的垂直平分线， AECE， A60， ACE 是等边三角形， ACCEAE，ACE60， ACB90， ECB30B

35、， CEBE， AEBE， 即 E 为 AB 的中点； （2）解：边 AC 的垂直平分线分别交 AC，AB 于点 D，E，CD， AC2CD2， 在 RtACB 中，ACB90，AC2，B30， AB2AC4， 即 BEAEAB2 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，含 30角的直角三角形的性质，三角形 的内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算 是解此题的关键 22 （10 分）日历上某些数满足一定的规律小政同学任意选择 2020 年 1 月份的日历中所 示的方框部分（阴影显示） ，将每个方框部分中 4 个位置上的数交又相乘，再相减，例如： 71361

36、47，172316247，小政发现，结果都是 7 （1）请在选择两个类似的部分试一试，看看是否符合“小政发现”的规律； 第 20 页（共 25 页） （2）请利用整式的运算对以上的规律加以证明 【分析】 （1）利用规定的方法计算，比较结果得出规律即可； （2）设最小的一个数为 x，其他三个分别为 x+1，x+7，x+8，利用交叉相乘计算证明即 可 【解答】解： （1）例如 111710187；392107； （2）设最小的一个数为 x，其他三个分别为 x+1，x+7，x+8，则 （x+1） （x+7）x（x+8） x2+8x+7x28x 7 【点评】此题考查了整式的混合运算，数字的变化规律，由

37、特殊到一般，得出一般性结 论解决问题 23 （10 分）老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数 式的一部分，如图：） （1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于1 吗？请说明理由 【分析】 （1）根据加减和乘除的关系可得+，然后先算乘法，后算加法即 可； （2）假设能等于1 可得方程1，解出 x 的值，发现分式0，除数为零无 意义，则原代数式的值不能等于1 【解答】解： （1）由题意得： 第 21 页（共 25 页） +， ， ； （2）不能， 假设能，则1， x+2（x2） ， x+2x+2， x0， 当 x0 时，分式0，除数

38、为零无意义，则原代数式的值不能等于1 【点评】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握计算法则，注意除法中除数不能为 零 24 （10 分）人教版教材指出：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形 请证明：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 【分析】写出已知，求出，证明即可解决问题 【解答】已知：如图，ABC 中，ABAC， 求证：当A60或B60时，ABC 是等边三角形 证明：ABAC， BC， 当A60时，可得BC60， AB， ACCB， ABBCAC， ABC 是等边三角形， 当B60时，则CB60， 第 22 页（共 25 页） A60， AB， ACCB， ABBCAC， AB

39、C 是等边三角形， 【点评】本题考查等边三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 25 （12 分） （1）如图，小明同学作出ABC 两条角平分线 AD，BE 得到交点 I，就指出 若连接 CI，则 CI 平分ACB，你觉得有道理吗？为什么？ （2）如图，RtABC 中，AC5，AC12，AB13，ABC 的角平分线 CD 上有一 点 I，设点 I 到边 AB 的距离为 d （d 为正实数） 小季、小何同学经过探究，有以下发现： 小季发现：d 的最大值为 小何发现：当 d2 时，连接 AI，则 AI 平分BAC 请分别判断小季、小何的发现是否正确

40、？并说明理由 【分析】 （1）过 I 点分别作 IM，IN，IK 垂直于 AB，BC，AC 于点 M，N，K，根据角平 分线的性质即可得解； （2）根据等积法的相关方法进行求解即可 【解答】解：如图 1，过 I 点分别作 IM，IN，IK 垂直于 AB，BC，AC 于点 M，N，K， 连接 IC， 第 23 页（共 25 页） AI 平分BAC，IMAB，IKAC， IMIK，同理 IMIN， IKIN， 又IKAC，INBC， CI 平分BCA； （2）如图 2，过 C 点作 CEAB 于点 E，则 d 的最大值为 CE 长， AC5，BC12， ， 又30， CE， d 的最大值为 小季正

41、确； 假设此时 AI 平分BAC，如图 3，连接 BI，过 I 点作 IG，IH，IF 分别垂直于 AC，BC， AB 于点 G，H，F， 第 24 页（共 25 页） AI 平分BAC，CD 平分ACB， BI 平分CBA， IGAC，IHBC，IDAB， IGIHIFd， SACBSAIC+SBIC+SABI， ， ， d2， 假设成立，当 d2 时，连接 AI，则 AI 平分BAC， 小何正确 【点评】本题主要考查了等积法及角平分线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握等积法 的运用及角平分线性质的证明是解决本题的关键 26 （14 分）定义：若两个分式的和为 n（n 为正整数） ，则称这两个

42、分式互为“n 阶分式” 例如，分式与互为“3 阶分式” （1）分式与 互为“5 阶分式” ； （2）设正数 x，y 互为倒数，求证：分式与互为“2 阶分式” ； （3）若分式与互为“1 阶分式” （其中 a，b 为正数） ，求 ab 的值 【分析】 （1）根据题意两个分式相加等于 5，建立等式计算即可； （2）根据题意得出 xy1，可以用表示 y，代入 +，求证计算结果为 2 即 可； （3）列出等式+1，再根据分式的运算法则计算并探索 【解答】解： （1）设另外一个分式为 M， 则+M5， 解得 M 第 25 页（共 25 页） 故答案为 （2）证明：由题意得 xy1，则 y， 把 y代入 +得： 原式+2 与互为“2 阶分式” （3）与互为“1 阶分式” +1 +1 1 即 2ab4a2b2 又a，b 为正数， ab 答：ab 的值为 【点评】本题是一道新定义型题目，主要考查分式的相关计算，有一定难度，熟练掌握 分式的运算法则是解题的关键另外，做计算题时一定要仔细认真，莫要“因小失大”