1、2019-2020 学年江苏省南通市海安高中高二（下）3 月月考数学试卷一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求 1 （4 分）若集合 Ax|x23x+20，Bx|x1|2，则 AB（ ） A （1，1） B （2，3） C （1，3） D （1，1）U（2，3） 2 （4 分）若复数 z 满足 z（1+2i）4+3i，则 （ ） A2+i B2i C1+2i D12i 3 （4 分）命题“x0，x2x0”的否定是（ ） Ax0，x2x0 Bx0，x2x0 Cx
2、0，x2x0 Dx0，x2x0 4 （4 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，对称轴与准线的交点为 T，P 为 C 上任意一点，若|PT|2|PF|，则PTF（ ） A30 B45 C60 D75 5 （4 分）已知 cos（），（，） ，则 sincos（ ） A B C D 6 （4 分）某设备使用年限 x（年）与所支出的维修费用 y（万元）的统计数据（x，y）分别 为 （2， 1.5） ， （3， 4.5） ， （4， 5.5） ， （5， 6.5） ， 由最小二乘法得到回归直线方程为 1.6x+ ， 若计划维修费用超过 15 万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）
3、 A8 年 B9 年 C10 年 D11 年 7 （4 分）公比为 2 的等比数列an中存在两项 am，an，满足 aman32a12，则的最小 值为（ ） A B C D 8 （4 分）函数 f（x）2x3ax2+1 在（0，+）内有且只有一个零点，则 a 的值为（ ） A3 B3 C2 D2 第 2 页（共 23 页） 9 （4 分）设 F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点 F1作圆 x2+y2b2的切线与双曲线的左支交于点 P， 若|PF2|2|PF1|， 则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 10 （4 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 4，底面边长为 6
4、，则该正三棱锥外接球 的表面积是（ ） A16 B20 C32 D64 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 4 分，两个都选对但分，两个都选对但不全的得不全的得 2 分，有选错或只选一个分，有选错或只选一个 或不选的不得分或不选的不得分 11 （4 分）已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，cd，则 acbd B若 ab0，bcad0，则 C若 ab，cd，则 adbc D若
5、ab，cd0，则 12 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E 为 BC 边 上一点，且，F 为 AE 的中点，则（ ） A B C D 13 （4 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，则下 列命题正确的是（ ） A当 x0 时，f（x）e x（x1） B函数 f（x）有 3 个零点 Cf（x）0 的解集为（，1）（0，1） 第 3 页（共 23 页） Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分把答案填
6、在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 14 （4 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 a52，S3a2+3a1，则 a1 15 （4 分）在ABC 中，若，则 tanB 16 （4 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（4，0） ，过 F 作直线 l 交抛物线于 M， N 两点，则 p ，的最小值为 17 （4 分）在ABC 中，BAC60，AD 为BAC 的角平分线，且+， 若 AB2，则 BC 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （12 分）
7、在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，sin（A+B）4 （）求 cosC； （）若 b7，D 是 BC 边上的点，且ACD 的面积为 6，求 sinADB 19 （14 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2+a512，S416 （1）求an的通项公式； （2）数列bn满足 bn为数列bn的前 n 项和，是否存在正整数 m，k（1 mk） ，使得 Tk3Tm2？若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由 20 （14 分）已知 f（x）mlnx+x1（mR 且 m 为常数） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若对任意的 m（0，+） ，都存在 x（0
8、，+） ，使得 f（x）ex+k（其中 e 为自 然对数的底数） ，求实数 k 的取值范围 21 （14 分）已知抛物线 y24x 的准线过椭圆 C：（ab0）的左焦点 F，且 点 F 到直线 l：x（c 为椭圆焦距的一半）的距离为 4 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 F 做直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，P 是 AB 的中点，线段 AB 的中垂线交直 线 l 于点 Q若|PQ|2|AB|，求直线 AB 的方程 22 （14 分）在以 ABCDEF 为顶点的五面体中，底面 ABCD 为菱形，ABC120，AB AEED2EF，EFAB，点 G 为 CD 中点，平面 EAD平面 AB
9、CD 第 4 页（共 23 页） （）证明：BDEG； （）若三棱锥 VEFBC，求菱形 ABCD 的边长 23 （14 分）设函数 f（x）exax1（aR） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若关于 x 的方程 ln（ax+a+1）x1 有唯一的实数解，求 a 的取值范围 第 5 页（共 23 页） 2019-2020 学年江苏省南通市海安高中高二（下）学年江苏省南通市海安高中高二（下）3 月月考数学月月考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分
10、在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求 1 （4 分）若集合 Ax|x23x+20，Bx|x1|2，则 AB（ ） A （1，1） B （2，3） C （1，3） D （1，1）U（2，3） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x1 或 x2，Bx|1x3， AB（1，1）（2，3） 故选：D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交 集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题 2 （4 分）若复数 z 满足 z（1+2i）4+3i，则 （ ） A2+i B2i C1+2i D12i 【分析】等号
11、两边同时除以 1+2i，再进行化简，整理 【解答】解：2i 故选：B 【点评】本题考查复数，属于基础题 3 （4 分）命题“x0，x2x0”的否定是（ ） Ax0，x2x0 Bx0，x2x0 Cx0，x2x0 Dx0，x2x0 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0，x2x0”的否定 是：x0，x2x0 故选：B 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 第 6 页（共 23 页） 4 （4 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，对称轴与准线的交点为 T，P 为 C 上任意一点
12、，若|PT|2|PF|，则PTF（ ） A30 B45 C60 D75 【分析】由抛物线的定义可得|PF|PM|，sinPTM ，可得PTM， 即有则PTF即可 【解答】解：设 P 在准线 l 上的射影为 M， 由抛物线的定义可得|PF|PM|， 若|PT|2|PF|，则 sinPTM ，可得PTM， 即有则PTF 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查解直角三角形，考查运算能力，属于基础 题 5 （4 分）已知 cos（），（，） ，则 sincos（ ） A B C D 【分析】由 （，） ，所以（），又因为 cos（） 0，所以角（）是第四象限角，所以 sin（），再利用两角
13、和 与差的三角函数公式即可算出结果 【解答】解：（，） ，（），又cos（） 第 7 页（共 23 页） 0，角（）是第四象限角， sin（）， sinsin（）sincos（）cossin（）， coscos（）coscos（）+sinsin（）， sincos， 故选：C 【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，是基础题 6 （4 分）某设备使用年限 x（年）与所支出的维修费用 y（万元）的统计数据（x，y）分别 为 （2， 1.5） ， （3， 4.5） ， （4， 5.5） ， （5， 6.5） ， 由最小二乘法得到回归直线方程为 1.6x+ ， 若计划维修费用超过 15 万元
14、将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A8 年 B9 年 C10 年 D11 年 【分析】由已知表格中的数据，我们易计算出变量 x，y 的平均数，根据回归直线一定经 过样本数据中心点，求出 后，代入 y15 可得答案 【解答】解：由表中数据可得： 3.5， 4.5， 归直线一定经过样本数据中心点， 故 1.23 4.51.63.51.1； 故 1.6x1.1； 当 y15 时，x10.625 该设备的使用年限为 10 年 故选：C 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，其中根据回归直线一定经过样本数据中心 点，求出 ，是解答的关键 7 （4 分）公比为 2 的等比数列an中存在两项 am
15、，an，满足 aman32a12，则的最小 值为（ ） 第 8 页（共 23 页） A B C D 【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解 m、n 的方程，利用基本不等式求解表达式 的最小值即可 【解答】解：公比为 2 的等比数列an中存在两项 am，an，满足 aman32a12， 可得：a12m 1a 12n 132a 12，可得 m+n25， 所以 m+n7， 则（）（m+n）， 当且仅当 n2m，并且 m+n7 时，取等号，但是 m，nN， 所以 m2，n4 时，表达式的值为：，m3，n4 时，表达式的值为：， m2，n5 时，表达式的值为： 表达式的最小值： 故选：D 【点评】本题
16、考查数列的应用，表达式的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思 想以及计算能力，是中档题 8 （4 分）函数 f（x）2x3ax2+1 在（0，+）内有且只有一个零点，则 a 的值为（ ） A3 B3 C2 D2 【分析】先对函数求导，然后结合导数的符号判断函数的单调性，结合零点判定定理即 可求解 【解答】解：函数 f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点， f（x）2x（3xa） ，x（0，+） ， 当 a0 时，f（x）2x（3xa）0， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）1， f（x）在（0，+）上没有零点，舍去； 当 a0 时，f（x）2x（3xa）
17、0 的解为 x， f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增， 又 f（x）只有一个零点， f（）+10，解得 a3 第 9 页（共 23 页） 故选：A 【点评】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合 应用能力，属中档题 9 （4 分）设 F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点 F1作圆 x2+y2b2的切线与双曲线的左支交于点 P， 若|PF2|2|PF1|， 则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 【分析】由双曲线的定义可得，|PF2|PF1|2a，则|PF2|4a，|PF1|2a，设切点为 M， 则|OM|b，|OF1|c，又|MF1|a
18、，|PF2|2b，即有 4a2b，即可 【解答】解：P 为双曲线左支上的一点， 则由双曲线的定义可得，|PF2|PF1|2a， 由|PF2|2|PF1|，则|PF2|4a，|PF1|2a， 设切点为 M，则|OM|b，|OF1|c，|MF1|a， OM 为PF1F2的中位线，则|PF2|2b 即有 4a2b 即有 e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础 题 10 （4 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 4，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球 的表面积是（ ） A16 B20 C32 D64 第 10 页（共 23 页） 【分析】正棱锥的
19、外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的 半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出 表面积 【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O，接圆的半径 r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上，设为 O，连接 OA 得， ： r，r2，即 OA2，所以三棱锥的高 h 6， 由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4， 所以外接球的表面积 S4R264 故选：D 【点评】考查正三棱锥的外接球的表面积，属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题
20、4 分，共分，共 12 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 4 分，两个都选对但不全的得分，两个都选对但不全的得 2 分，有选错或只选一个分，有选错或只选一个 或不选的不得分或不选的不得分 11 （4 分）已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，cd，则 acbd B若 ab0，bcad0，则 C若 ab，cd，则 adbc D若 ab，cd0，则 【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可 【解答】解：若 ab0，cd0，则 acbd，所以 A 不正确； 第 1
21、1 页（共 23 页） 若 ab0，bcad0，可得，即0，所以 B 正确； 若 ab，cd，则 a+cb+d，即 adbc，所以 C 正确； 若 ab，cd0，则不正确，反例 a1，b1，c2，d3， 显然，所以 D 不正确 故选：BC 【点评】本题考查命题的真假的判断，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查， 基础题 12 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E 为 BC 边 上一点，且，F 为 AE 的中点，则（ ） A B C D 【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出 【解答】解：由 AB2AD2DC 知： ， ， 故 A 选项正确
22、又， ， 故 B 选项正确 第 12 页（共 23 页） ， ， 故 C 正确 ， D 不正确 故选：ABC 【点评】本题考查向量的加法法则的合理运用，解题时要注意向量间的关系以及转化的 思想 13 （4 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，则下 列命题正确的是（ ） A当 x0 时，f（x）e x（x1） B函数 f（x）有 3 个零点 Cf（x）0 的解集为（，1）（0，1） Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2 【分析】函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，设 x0 时， x0，可得
23、f（x）f（x）e x（x1） ，x0 时，f（0）0当 x0 时，f（x） ex（x+1） ，f（x）ex（x+2） ，可得 x2 时，函数 f（x）取得极小值，进而判 断出结论 【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ， 第 13 页（共 23 页） 设 x0 时，x0，f（x）e x（x+1） ，f（x）f（x）ex（x1） ， x0 时，f（0）0因此函数 f（x）有三个零点：0，1 当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，f（x）ex（x+2） ，可得 x2 时，函数 f（x） 取得极小值， f（2）可得其图象： f（x）0 时的解集
24、为： （，1）（0，1） x1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|f（0+）f（0）|2 因此 BCD 都正确 故选：BCD 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解集、函数的奇偶性， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 14 （4 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 a52，S3a2+3a1，则 a1 【分析】根据题意，设等比数列an的公比为 q，由 S3a2+3a1变形可得 1+q+q2q+3， 即 q22
25、，结合等比数列的通项公式分析可得答案 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 S3a2+3a1，则 a1+a2+a3a2+3a1，即 a1+a2+a3a2+3a1， 变形可得：1+q+q2q+3，即 q22， 又由 a52，则 a1； 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式和通项公式的应用，属于基础题 15 （4 分）在ABC 中，若，则 tanB 4 【分析】由，利用余弦定理可得 cosA，A（0，） ，可得 sinA， tanA由，利用正弦定理可得：+1，于是 +1，即可得出 【解答】解：由，则 cosA， 第 14 页（共 23 页） A（0，） ，则 s
26、inA，tanA 由， 利用正弦定理可得：+1， +1， tanB4 故答案为：4 【点评】本题考查了解三角形、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 16 （4 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（4，0） ，过 F 作直线 l 交抛物线于 M， N 两点，则 p 8 ，的最小值为 【分析】先有焦点坐标求出 p，再讨论当直线 l 的斜率不存在时，求出答案，当直线 l 的 斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出 +，代入， 根据基本不等式即可求最小值 【解答】解：抛物线 y22px 的焦点 F，因为 F（4，0） ， 4p8y216
27、x； 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4， 由，可得 M（4，8） ，N（4，8） ， |MF|NF|8， ； 当直线 l 的斜率存在时，设过点 F 作直线 l 的方程为 yk（x4） ，不妨设 M（x1，y1 ） ， N （x2，y2 ） ， 由 ，消 y 可得 k2x（16+8k2）x+16k20， x1+x28+，x1x216， |MF|x1+x1+4，|NF|x2+x2+4， 第 15 页（共 23 页） + 4 （） +121（当且仅当|NF| 6 时等号成立） 故答案为：8， 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的定义，基本不等式的应用，考 查了运算能力和转
28、化能力，是中档题 17 （4 分）在ABC 中，BAC60，AD 为BAC 的角平分线，且+， 若 AB2，则 BC 2 【分析】因为 AD 为BAC 的角平分线，所以，设 ACx，则，2 +，结合条件得 x6，利用余 弦定理就可解出 BC 【解答】解：因为 AD 为BAC 的角平分线， 所以， 设 ACx，则， ， 所以 2， 2+， 2+（）， 2+（） （） ， 2+， ， 第 16 页（共 23 页） 所以，解得 x6，即 AC6， 在ABC 中， cosBAC， cos60， 解得 BC2 故答案为：2 【点评】本题考查角平分线的性质，向量运算，解三角形，属于中档题 四、解答题：本题
29、共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，sin（A+B）4 （）求 cosC； （）若 b7，D 是 BC 边上的点，且ACD 的面积为 6，求 sinADB 【分析】 （I）由已知结合二倍角及诱导公式进行化简可求 cosC， （II）结合三角形的面积可求 CD，然后由余弦定理可求 AD，再由正弦定理及诱导公式 求解 【解答】解： （I）sin（A+B）4， 4， 即+2cosC2， 7cos2C8cosC+10， C（0，） ，
30、 cosC1（舍）或 cosC， （II）b7，ACD 的面积为 6，舍 CDm， 结合（1）可得 sinC， 第 17 页（共 23 页） 6， mCD3， 由余弦定理可得，AD2952， AD2， 由正弦定理可得， sinADBsinADC 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角平方关系，正弦定理及余弦定理，三角形的 面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题 19 （14 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2+a512，S416 （1）求an的通项公式； （2）数列bn满足 bn为数列bn的前 n 项和，是否存在正整数 m，k（1 mk） ，使得 Tk3Tm2？若存在，求出
31、m，k 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d，利用已知条件列出方程求解首项与公差，得到 通项公式 （2）求出，化简bn的通项公式，利用裂项消项法求和，通过 ，分析求解即可 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d， 由， 解得 （2）， Tnb1+b2+bn 第 18 页（共 23 页） 若，则 整理得， 又 km1 整理得 解得， 又 mN* m2，k12 存在 m2，k12 满足题意 【点评】本题考查数列的求和，递推关系式的应用，数列的函数的性质，考查转化首项 以及计算能力，是中档题 20 （14 分）已知 f（x）mlnx+x1（mR 且 m 为常
32、数） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若对任意的 m（0，+） ，都存在 x（0，+） ，使得 f（x）ex+k（其中 e 为自 然对数的底数） ，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）求导，分 m0 及 m0 两种情形讨论即可得出单调性情况； （2）原问题等价于对任意的 m（0，+） ，都存在 x（0，+） ，使得 kmlnx+x1 ex成立，记 g（m）（lnx）m+x1ex，则 kg（m）min在（0，+）上恒成立， 由 g（m）为一次函数，容易分类讨论得解 【解答】解： （1）函数的定义域为（0，+） ， 当 m0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当
33、 m0 时，令 f（x）0，得 xm，令 f（x）0，得 0xm， 函数 f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+）上单调递增； 综上，当 m0 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增， 当 m0 时，函数 f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+）上单调递增； 第 19 页（共 23 页） （2）原问题等价于对任意的 m（0，+） ，都存在 x（0，+） ，使得 kmlnx+x1 ex成立， 记 g（m）（lnx）m+x1ex，则 kg（m）min在（0，+）上恒成立， 当 x1 时，g（m）e； 当 x1 时，lnx0，函数 g（m）在（0，+）上单调递增， g（m）g（0）x1ex
34、， 存在 x（1，+） ，使得 kx1ex成立， 记 （x）x1ex（x1） ，则 k（x）max， 又 （x）1ex0 在（1，+）上恒成立，故 （x）在（1，+）上单调递减， k（1）e； 当 0x1 时，易知此时函数 g（m）不存在最小值，即不存在满足条件的实数 k； 综上，实数 k 的取值范围为（，e 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式的任意存在性问题，考 查分类讨论思想及变换主元思想，属于中档题 21 （14 分）已知抛物线 y24x 的准线过椭圆 C：（ab0）的左焦点 F，且 点 F 到直线 l：x（c 为椭圆焦距的一半）的距离为 4 （）求椭圆 C 的标准
35、方程； （）过点 F 做直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，P 是 AB 的中点，线段 AB 的中垂线交直 线 l 于点 Q若|PQ|2|AB|，求直线 AB 的方程 【分析】 （）由题意知椭圆的 c，点 F 到直线 l：x（c 为椭圆焦距的一半）的距离 为 4 知，a，c 的关系，再由 a，b，c 之间的关系求出椭圆方程； （）神州行 AB 的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长 AB 及中 点坐标，再由椭圆求出 Q 的坐标，进而求出 PQ 的长，再由题意求出参数 m 的值，即求 出直线 AB 的方程 【解答】解： （）由题意得 c1，+c4，b2a2c2，解得：a23，b2
36、2， 所以椭圆 C 的标准方程：+1； 第 20 页（共 23 页） （）由（）得 F（1，0） ，x3，显然直线 AB 的斜率不为零，设直线 AB 的 方程：xmy1，A（x，y） ，B（x，y） ， 联立与椭圆的方程：（3+2m2） y24my40， y+y， yy， x+xm （y+y） 2， 所以中点 P 的坐标（，） ，所以 AB 的中垂线方程：ym （x+）即：ymx， 与直线 x3 联立得：所以 Q 的坐标（3，） ，|PQ|2（3+）2+ （）236， |AB|2（）2|yy|2（1+m2） （）2+48 （）2 由题意|PQ|2|AB|，36448 （）2，整理得：3m44m
37、2 40，解得：m22，所以 m， 所以直线 AB 方程：xy1 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 22 （14 分）在以 ABCDEF 为顶点的五面体中，底面 ABCD 为菱形，ABC120，AB AEED2EF，EFAB，点 G 为 CD 中点，平面 EAD平面 ABCD （）证明：BDEG； （）若三棱锥 VEFBC，求菱形 ABCD 的边长 【分析】 （）取 AD 中点 O，连结 EO、GO、AC，推导出 OGBD，EOAD，从而 EO 平面 ABCD，进而 EOBD，BD平面 EOG，由此能证明 BDEG （）设菱形 ABCD 的边长为 a，则 ABAEED2EFa，以
38、O 为原点，OA 为 x 轴， 第 21 页（共 23 页） OB 为 y 轴，OE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出菱形 ABCD 的边长 【解答】解： （）证明：取 AD 中点 O，连结 EO、GO、AC， 底面 ABCD 为菱形，ABC120，ABAEED2EF，EFAB， 点 G 为 CD 中点，平面 EAD平面 ABCD OGBD，EOAD，EO平面 ABCD， BD平面 ABCD，EOBD， OEOGO，BD平面 EOG， EG平面 EOG，BDEG （）解：设菱形 ABCD 的边长为 a，则 ABAEED2EFa， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y
39、轴，OE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 E（0，0，） ，F（，） ，B（0，0） ，C（2a，0） ， （，0） ，（0，） ，（2a，） ， 设平面 EFB 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x，得 （） ， C 到平面 EFB 的距离 d， cos， sin， SBEF 三棱锥 VEFBC， VEFBCVGFBCVFBCG 第 22 页（共 23 页） ， 解得 a1 菱形 ABCD 的边长为 2 【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间 几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化 归与转化思想等，考查的数
40、学素养主要有逻辑推理、直观想象等 23 （14 分）设函数 f（x）exax1（aR） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若关于 x 的方程 ln（ax+a+1）x1 有唯一的实数解，求 a 的取值范围 【分析】 （1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， （2）结合（1）的讨论及零点判定定理即可求解 【解答】解： （I）f（x）exax1， f（x）exa， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在 R 上单调递增， a0 时，若 x（lna，+） ，f（x）0，f（x）单调递增，若 x（，lna） ，f （x）0，f（x）单调递减， 综上可得，当 a0 时，f（x）在
41、R 上单调递增；a0 时，f（x）在（lna，+）上单调 递增， （，lna）上单调递减， （）若关于 x 的方程 ln（ax+a+1）x1 有唯一的实数解， 即 ex+1axa+1a（x+1）+1 有唯一的实数根， 令 tx+1，则 etat+1 即 etat10 有唯一的实数根， 结合（1）的讨论可知， 当 a0 时，f（t）0 恒成立，f（t）在 R 上单调递增，f（0）0，结合零点判定 第 23 页（共 23 页） 定理可知，只有一个零点 0， a0 时，若，t（lna，+） ，f（x）0，f（t）单调递增，若 t（，lna） ，f （t）0，f（t）单调递减， 若只有 1 个零点，则 f（lna）aalna10， 令 g（x）xxlnx1，则 g（x）lnx， 则 g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， x1 时，g（x）取得最大值 g（1）0， a1 综上可得，a 的范围为a|a0 或 a1 【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算 能力
