1、2019-2020 学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题 1 （3 分）已知过抛物线 y2ax（a0）的焦点且垂直于 x 轴的弦长度为 2，则实数 a 的值 为（ ） A4 B2 C1 D0 2 （3 分）下列选项中，可以作为曲线 yax22x1 与 x 轴有两个交点的充分不必要条件 是（ ） A （1，+） B （1，0）（0，+） C （1，0） D （2，+） 3 （3 分）气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大 雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（ ） A B C D 4 （3 分）一个班级共有 30 名学生，其中有
2、10 名女生，现从中任选三人代表班级参加学校 开展的某项活动，假设选出的 3 名代表中的女生人数为变量 X，男生的人数为变量 Y，则 P（X2）+P（Y2）等于（ ） A B C D 5 （3 分）某设备的使用年限 x（单位：年）与所支出的维修费用 y（单位：万元）如表所 示 已知 y 与 x 具有线性相关关系， 且线性回归方程为， 则实数 a 的值为 （ ） x 2 3 4 5 6 y 2 4 6 6 7 A6 B4 C2 D1 第 2 页（共 26 页） 6 （3 分）在直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：的右支上有一点 P，该点的横坐标 为 5，F1F2是 C 的左、右焦点，则PF1F2
3、的周长为（ ） A B18 C D 7 （3 分）由 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为（ ） A288 B360 C480 D600 8 （3 分）已知 a，b 是平面 外的两条不同直线，它们在平面 内的射影分别是直线 a， b（a与 b不重合） ，则下列命题正确的个数是（ ） （1）若 ab，则 ab； （2）若 ab，则 ab； （3）若 ab，则 ab； （4）若 ab，则 ab A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二、多项选择题二、多项选择题 9 （3 分）如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车，
4、 若从如城镇中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是（ ） A这 5 个家庭均有小汽车的概率为 B这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D这 5 个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 10 （3 分） 若随机变量 N （0， 1） ， （x） P （x） ， 其中 x0， 下列等式成立有 （ ） A（x）1（x） B（2x）2（x） CP（|x）2（x）1 DP（|x）2（x） 11 （3 分）在正三棱锥 ABCD 中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则下列命题正确的是（ ）
5、 AEF 与 AD 所成角的正切值为 BEF 与 AD 所成角的正切值为 第 3 页（共 26 页） CAB 与面 ACD 所成角的余弦值为 DAB 与面 ACD 所成角的余弦值为 12 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点， R，S，T 是线段 OF 的四等分点，R，S，T是线段 CF 的四等分点，分别以 HF，EG 为 x， y 轴建立直角坐标系，设 ER 与 GR、ER 与 GT分别交于 L1，L2，ES 与 GS、ES 与 GT 交于 M1，M2，ET 与 GT交于点 N，则下列关于点 L1，L2，M1，M2，N 与两个椭圆：1：
6、，2：的位置关系叙述正确的是（ ） A三点 L1，M1，N 在1，点 M2在2上 BL1，M1不在1上，L2，N 在1上 C点 M2在2上，点 L1，L2，M1均不在2上 DL1，M1在1上，L2，M2均不在2上 三、填空题三、填空题 13 （3 分）采用随机数表法从编号为 01，02，03，30 的 30 个个体中选取 7 个个体， 指定从下面随机数表的第一行第 5 列开始， 由左向右选取两个数字作为应取个体的号码， 则选取的第 6 个个体号码是 03 47 43 86 3616 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 26 36 77 97
7、 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 79 89 73 14 （3 分）一个球的直径为 2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 15 （3 分）已知双曲线（a0，b0） ，其右焦点为 F，过点 F 作双曲线渐近线 的垂线，垂足为 Q，线段 FQ 的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为 第 4 页（共 26 页） 16 （3 分）已知（1x）10（1+x+x2+x9）a0+a1x+a2x2+a19x19，则 a18 ； a6 四、解答题四、解答题 17为了了解居民消费情况，某地区调查了 10000 户小家庭的日常
8、生活平均月消费金额，根 据所得数据绘制了样本频率分布直方图，如图所示，每户小家庭的平均月消费金额均不 超过 9 千元，其中第六组、第七组、第八组尚未绘制完成，但是已知这三组的频率依次 成等差数列，且第六组户数比第七组多500户， （1）求第六组、第七组、第八组的户数，并补画图中所缺三组的直方图； （2）若定义月消费在 3 千元以下的小家庭为 4 类家庭，定义月消费在 3 千元至 6 千无的 小家庭为 B 类家庭，定义月消费 6 千元以上的小家庭为 C 类家庭，现从这 10000 户家庭 中按分层抽样的方法抽取 80 户家庭召开座谈会，间 A，B，C 各层抽取的户数分别是多 少？ 18在直三棱柱
9、 ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，CC12，M，N 分别是 AB1、 BC1上的点，且 B1M：MABN：NC11：2 （1）求证：MN平面 ACC1A1； （2）求平面 MNB1与平面 A1B1C1所成锐二面角的余弦值 第 5 页（共 26 页） 19已知椭圆 E：（ab0）过点 A（2，1） ，且它的右焦点为 （1）求椭圆 E 的方程； （2） 过 A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆 E 于点 B、 C （不同于点 A） ， 且， 求直线 AB 的方程 20农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一 次性额外订购买若干次维修服务，费用为每次
10、100 元，每次维修时公司维修人员均上门 服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费 50 元/次；若实际维修次数少于购买 的维修次数，则未提供服务的订购费用退还 50%；如果维修次数超过了购买的次数，农 机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为 400 元，无须 支付餐饮费；位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务为此， 他拟范收集、整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如表： 维修次数 5 6 7 8 9 频率 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 （1）如果农机手在购买收割机时购买了 6 次维修，在使用期内实际维修的次数为 5 次，
11、这位农机手的花费总费用是多少？如果实际维修的次数是 8 次，农机手的花费总费用又 是多少？ （2）农机手购买了一台收制机，试在购买维修次数为 6 次和 7 次的两个数据中，根据使 用期内维修时花费的总费用期望值，帮助农机手进行决策 21如图，ABC 是边长为 3 的正三角形，D，E 分别在边 AB，AC 上，且 BDAE1，沿 DE 将ADE 翻折至ADE 位置，使二面角 ADEC 为 60 第 6 页（共 26 页） （1）求证：AC平面ADE； （2）求四棱锥 ABDEC 的体积 22抛物线 M：y28x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l（与 x 轴不垂直）交抛物线 M 于点 A， B
12、，A 关于 x 轴的对称点为 A1 （1）求证：直线 A1B 过定点，并求出这个定点； （2）若 A1B 的垂直平分线交抛物线于 C，D，四边形 A1CBD 外接圆圆心 N 的横坐标为 19，求直线 AB 和圆 N 的方程 第 7 页（共 26 页） 2019-2020 学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题一、单项选择题 1 （3 分）已知过抛物线 y2ax（a0）的焦点且垂直于 x 轴的弦长度为 2，则实数 a 的值 为（ ） A4 B2 C1 D0 【分析】由题意求出焦点坐标，然后代入
13、抛物线求出交点的纵坐标，进而求出弦长，由 题意可得 a 的值 【解答】解：由题意可得焦点 F（，0） ，将 x代入抛物线方程可得：y2，解 得 y，所以 a2， 故选：B 【点评】考查抛物线的定义，属于基础题 2 （3 分）下列选项中，可以作为曲线 yax22x1 与 x 轴有两个交点的充分不必要条件 是（ ） A （1，+） B （1，0）（0，+） C （1，0） D （2，+） 【分析】根据二次函数的性质和充分不必要条件的定义即可求出 【解答】解：曲线 yax22x1 与 x 轴有两个交点，则4+4a0，且 a0，解得 a 1，且 a0 故可以作为曲线 yax22x1 与 x 轴有两个交
14、点的充分不必要条件是 a（1，0） ， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中求出二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象 与 x 轴没有交点时，对系数的限制，是解答本题的关键 3 （3 分）气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大 雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（ ） A B C D 【分析】利用条件概率的计算公式即可得出 第 8 页（共 26 页） 【解答】解：设事件 A 表示刮台风，事件 B 表示下雨 根据条件概率计算公式可得在吹台风的条件下下雨的概率 P（B|A）， P（AB）， 故选：B 【点评】本题考查概率的计算，考查条
15、件概率，考查学生的计算能力，属于基础题 4 （3 分）一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，现从中任选三人代表班级参加学校 开展的某项活动，假设选出的 3 名代表中的女生人数为变量 X，男生的人数为变量 Y，则 P（X2）+P（Y2）等于（ ） A B C D 【分析】求得一个班级中有 10 名女生，20 名男生，分别求得从 30 人中任选三人的选法， 以及 3 名代表中 2 个男生 1 个女生， 3 名代表中 2 个女生 1 个男生的选法， 运用古典概率 的公式可得所求 【解答】解：一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，20 名男生， 从 30 人中任选三人共有 C种
16、选法， 其中 3 名代表中 2 个男生 1 个女生的选法为 CC， 3 名代表中 2 个女生 1 个男生的选 法为 CC， 则 P（X2）+P（Y2） 故选：C 【点评】本题考查古典概率的求法，注意运用分类讨论思想和计数原理，考查运算能力， 属于基础题 第 9 页（共 26 页） 5 （3 分）某设备的使用年限 x（单位：年）与所支出的维修费用 y（单位：万元）如表所 示 已知 y 与 x 具有线性相关关系， 且线性回归方程为， 则实数 a 的值为 （ ） x 2 3 4 5 6 y 2 4 6 6 7 A6 B4 C2 D1 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得 a
17、 值 【解答】解：， 样本点的中心坐标为（4，5） ， 代入，得 54a+1，即 a1 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 6 （3 分）在直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：的右支上有一点 P，该点的横坐标 为 5，F1F2是 C 的左、右焦点，则PF1F2的周长为（ ） A B18 C D 【分析】求得双曲线的 a，b，c，可得焦点的坐标，令 x5 可得 P 的坐标，由两点的距 离公式计算可得所求周长 【解答】解：双曲线 C：的 a4，b3，c5，F1（5，0） ，F2（5，0） ， 令 x5，可得 y3，即 P（5，） ， 可得|P
18、F1|，|PF2|， 则PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|+10 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查两点的距离公式，以及方程思想和运算能 力，属于基础题 7 （3 分）由 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为（ ） 第 10 页（共 26 页） A288 B360 C480 D600 【分析】根据题意，首先分析末尾数字，易得末位数字可以为 1、3、5，可得其取法数目， 其首位数字不能为 0，可得其取法数目，再选 3 个数字，排在中间，有 A44种排法，由分 步计数原理，计算可得答案 【解答】解：根据题意，末位数字可以为
19、1、3、5，有 A31种取法，首位数字不能为 0， 有 A41种取法，再选 3 个数字，排在中间，有 A43种排法， 则五位奇数共有 A31A41A43288， 故选：A 【点评】本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意 首位数字不能为 0，属于中档题 8 （3 分）已知 a，b 是平面 外的两条不同直线，它们在平面 内的射影分别是直线 a， b（a与 b不重合） ，则下列命题正确的个数是（ ） （1）若 ab，则 ab； （2）若 ab，则 ab； （3）若 ab，则 ab； （4）若 ab，则 ab A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】根据特殊情况，
20、利用正方体为模型即可判断 【解答】解：对于（1） ：若 ab，则 ab或 a与 b重合，又因为 a与 b不重合，故（1） 正确； 对于（2） ：若 ab，当 a，b 为正方体相对的两个面的相互垂直的对角线时，它们在底面 上的射影互相平行，故（2）错误； 对于（3） （4） ：若 ab，当 a，b 是正方体相邻侧面上不相交的对角线时，它们在底面 上的射影互相垂直，但 a 与 b 不平行也不垂直，故（3） ， （4）都错误； 所以正确的个数为：1 个， 故选：B 【点评】本题主要考查了空间的线线的位置关系，是中档题 二、多项选择题二、多项选择题 9 （3 分）如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均
21、每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车， 若从如城镇中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是（ ） 第 11 页（共 26 页） A这 5 个家庭均有小汽车的概率为 B这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D这 5 个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 愉好发生 k 次的概率计算公式直接求解 【解答】 解： 城镇小汽车的普及率为 75%， 即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车， 从如城镇中任意选出 5 个家庭， 在 A 中，这 5 个家庭均有小汽车
22、的概率为 p，故 A 正确； 在 B 中， 这 5 个家庭中， 恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 P， 故 B 错误； 在 C 中，这 5 个家庭平均有：575%3.75 个家庭拥有小汽车，故 C 正确； 在 D 中，这 5 个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为： P，故 D 正确 故选：ACD 【点评】本题考查命题真假的判断，考查 n 次独立重复试验中事件 A 愉好发生 k 次的概 率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 10 （3 分） 若随机变量 N （0， 1） ， （x） P （x） ， 其中 x0， 下列等式成立有 （ ） A（x）1（x） B（2x）2（
23、x） CP（|x）2（x）1 DP（|x）2（x） 【分析】根据随机变量 服从标准正态分布 N（0，1） ，得到正态曲线关于 0 对称， 再结合正态分布的密度曲线定义 （x）P（x，x0） ，由此逐一分析四个选项得 答案 【解答】解：随机变量 服从标准正态分布 N（0，1） ， 正态曲线关于 0 对称， （x）P（x，x0） ，根据曲线的对称性可得，（x）1（x） ，故 A 正确； （2x）P（2x） ，2（x）2P（x） ，（2x）2（x） ，故 B 错误； P（|x）2（x）1，故 C 正确； P（|x）21（x），故 D 错误 第 12 页（共 26 页） 故选：AC 【点评】本题考查正
24、态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，标准正态总体在任一区间 （a，b）内取值概率 P（ab）（b）（a） ，是基础题 11 （3 分）在正三棱锥 ABCD 中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则下列命题正确的是（ ） AEF 与 AD 所成角的正切值为 BEF 与 AD 所成角的正切值为 CAB 与面 ACD 所成角的余弦值为 DAB 与面 ACD 所成角的余弦值为 【分析】取 BD 中点 M，BC 中点 N，连结 EM，FM，AN，DN，推导出 ADBC，EM MF，EF 与 AD 所成角为FEM，由此能求出 EF 与 AD 所成角的正切值；连结 BF，A
25、F， 则 AFCD，BFCD，从而 CD平面 ABF，过点 B 作 BPAF，交 AF 于 P，则 BP CD，从而 BP平面 ACD，BAF 是 AB 与面 ACD 所成角，由此能求出 AB 与面 ACD 所 成角的余弦值 【解答】解：取 BD 中点 M，BC 中点 N，连结 EM，FM，AN，DN， 在正三棱锥 ABCD 中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点， ANBC，DNBC，又 ANDNN，BC平面 ADN， AD平面 ADN，ADBC， EMAD，且 EM，EFBC，EF1， EMMF，EF 与 AD 所成角为FEM， EF 与 AD 所成角的正切
26、值为 tanFEM，故 A 错误，B 正确； 第 13 页（共 26 页） 连结 BF，AF，则 AFCD，BFCD，又 AFBFF，CD平面 ABF， 过点 B 作 BPAF，交 AF 于 P，则 BPCD， CDAFF，BP平面 ACD， BAF 是 AB 与面 ACD 所成角， AB3，AF2，BF， cosBAF AB 与面 ACD 所成角的余弦值为，故 C 正确，D 错误 故选：BC 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查 运算求解能力，是中档题 12 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点，
27、R，S，T 是线段 OF 的四等分点，R，S，T是线段 CF 的四等分点，分别以 HF，EG 为 x， y 轴建立直角坐标系，设 ER 与 GR、ER 与 GT分别交于 L1，L2，ES 与 GS、ES 与 GT 交于 M1，M2，ET 与 GT交于点 N，则下列关于点 L1，L2，M1，M2，N 与两个椭圆：1： ，2：的位置关系叙述正确的是（ ） 第 14 页（共 26 页） A三点 L1，M1，N 在1，点 M2在2上 BL1，M1不在1上，L2，N 在1上 C点 M2在2上，点 L1，L2，M1均不在2上 DL1，M1在1上，L2，M2均不在2上 【分析】由题意分别将点的坐标求出进而求
28、出所给的直线方程，联立方程组求出各点的 坐标，代入两个椭圆方程可得结果 【解答】解：由题意可得 E（0，3） ，G（0，3） ，F（4，0） ，R（1，0） ，S（2，0） ，T （3，0） ，T（4，） ，S（4，） ，R（4，） ， 所以直线 ER 的方程为：x1，直线 GR的方程为：yx+3x+3， 联立：，解得：x，y，即 L1（，） ； 直线 GT的方程为：yx+3x+3， 联立，解得 x，y，即 L2（，） ； 直线 ES 的方程为：1， 直线 GS的方程方程：x+3x+3，联立，解得 y，x，即 M1（，） ； 第 15 页（共 26 页） 直线 GT的方程为： yx+3x+3，
29、 联立， 解得： x， y， 即 M2（，） ； 直线 ET 的方程为：xy3， 直线直线 GT的方程为：yx+3x+3，联立，解得 x，y 即 N（，） ； 分别将点 L1，L2，M1，M2，N 分别代入两个椭圆：1：，2： 的方程中， L1的坐标分别代入，可得+1， 1； L2的坐标分别代入：1， 1； M1的坐标分别代入+1，1； M2的坐标分别代入：1， ； N 的坐标分别代入：1， 1 可得三点 L1，M1，N 在1，点 M2在2上 第 16 页（共 26 页） 且点 M2在2上，点 L1，L2，M1均不在2上， 故选：AC 【点评】考查点与椭圆的位置关系，属于中档题 三、填空题三、
30、填空题 13 （3 分）采用随机数表法从编号为 01，02，03，30 的 30 个个体中选取 7 个个体， 指定从下面随机数表的第一行第 5 列开始， 由左向右选取两个数字作为应取个体的号码， 则选取的第 6 个个体号码是 20 03 47 43 86 3616 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 26 36 77 97 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 79 89 73 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论 【解答】解：从下面随机数表的第一行第
31、 5 列开始选取两个数字中小于 30 的编号依次为 16，11，14，26，24，20， 则第 6 个个体的编号为 20 故答案为：20 【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比 较基础 14 （3 分）一个球的直径为 2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 【分析】设底面正方形的边长为 2x，棱柱高为 2y，则棱柱侧面积 S16xy根据则 2， 化简得 2x2+y21，进而结合基本不等式可得 S 的最值 【解答】解：设底面正方形的边长为 2x，棱柱高为 2y，则棱柱侧面积 S16xy 正四棱柱为半径为 1 的球的内接正四棱柱， 则2， 即 2x2+y21，
32、 由基本不等式可得，12x2+y2，当且仅当 y时取等号， 此时侧面积取得最大值 4 故答案为：4 【点评】本题考查的知识点是球的内接多面体，基本不等式，由基本不等式得到 xy 的范 围是求解问题的关键 第 17 页（共 26 页） 15 （3 分）已知双曲线（a0，b0） ，其右焦点为 F，过点 F 作双曲线渐近线 的垂线，垂足为 Q，线段 FQ 的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为 【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知 QF 的斜率，设出 Q 的坐标代入渐近 线方程求得 x 的表达式，则 Q 的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整 理求得 a 和 c 的关系式，进而
33、求得离心率 【解答】解：由题意设 F（c，0）相应的渐近线：yx， 则根据直线 QF 的斜率为，设 Q（x，x） ，代入双曲线渐近线方程求出 x， 则 Q（，） ，则 QF 的中点（） ， 把中点坐标代入双曲线方程1 中，整理求得，即离心率为 故答案为： 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是通过分析题设中的信息，找 到双曲线方程中 a 和 c 的关系考查计算能力 16 （3 分）已知（1x）10（1+x+x2+x9）a0+a1x+a2x2+a19x19，则 a18 9 ； a6 84 【分析】根据 a18表示 x18的系数；a6表示 x18的系数；结合二项展开式即可求解 【解答】
34、解：（1x）10（1+x+x2+x9）a0+a1x+a2x2+a19x19， （1x）10的展开式通项可以表示为：（x）r 则 a18表示 x18的系数； a189； a6表示 x18的系数； a6+84； 故答案为：9；84 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性 质，属基础题 四、解答题四、解答题 第 18 页（共 26 页） 17为了了解居民消费情况，某地区调查了 10000 户小家庭的日常生活平均月消费金额，根 据所得数据绘制了样本频率分布直方图，如图所示，每户小家庭的平均月消费金额均不 超过 9 千元，其中第六组、第七组、第八组尚未绘制完成，但是
35、已知这三组的频率依次 成等差数列，且第六组户数比第七组多500户， （1）求第六组、第七组、第八组的户数，并补画图中所缺三组的直方图； （2）若定义月消费在 3 千元以下的小家庭为 4 类家庭，定义月消费在 3 千元至 6 千无的 小家庭为 B 类家庭，定义月消费 6 千元以上的小家庭为 C 类家庭，现从这 10000 户家庭 中按分层抽样的方法抽取 80 户家庭召开座谈会，间 A，B，C 各层抽取的户数分别是多 少？ 【分析】 （1）根据频率的定义以及等差数列的性质即可求出， （2）根据分层抽样，即可求出 【解答】解： （1）设第六、七、八组的户数分别是 x，y，z， 它们的频率之和为：1（
36、0.0252+0.05+0.15+0.20+0.25）0.30， 所以这三组的户数之和为：100000.33000 由于这三组的频率依次成等差数列，所以 x，y，z 也成等差数列，2yx+z， 又 x+y+z3000，xy500，解得：x1500，y100，z500 所以第六、 七、 八组的小矩形高度分别为：， 补直方图 （需注明第七组的小矩形高度为0.10， 第六、 八两组分别用虚线对应0.15和0.05 ） 第 19 页（共 26 页） （2）A 类家庭的频率之和为：0.025+0.05+0.150.225； B 类家庭的频率之和为：0.20+0.25+0.150.60； C 类家庭的频率
37、之和为：0.10+0.05+0.0250.175 故 A，B，C 类家庭分别抽取的人数分别为：800.22518，800.648，800.175 14 答： （1）第六、七、八组的户数分别是：1500 户、1000 户、500 户； （2）从 A，B，C 三类家庭分别抽取的户数分别是 18 户、48 户、14 户 【点评】本题考查了频率分布直方图和等差数列的性质以及分层抽样，属于基础题 18在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，CC12，M，N 分别是 AB1、 BC1上的点，且 B1M：MABN：NC11：2 （1）求证：MN平面 ACC1A1； （2）求平面 MNB1与
38、平面 A1B1C1所成锐二面角的余弦值 【分析】 （1）以 C 为原点，CA，CB，CC1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出 和平面 ACC1A1的一个法向量，利用向量法证明即可； （2）根据（1）先求出平面 MNB1与平面 A1B1C1的一个法向量，利用向量的夹角公式求 第 20 页（共 26 页） 出即可 【解答】解： （1）以 C 为原点，CA，CB，CC1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则 C（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，C（0，0，2） ，A1（1，0，2） ， B（0，1，2） ， 设 M（x1，y1，z1） ，因为，所以，
39、 故，得：， 同理求得，所以， 因为是平面ACC1A1的一个法向量，且 ， 所以，又 MN平面 ACC1A1，所以 MN平面 ACC1A1 （2）由， 设平面 MNB1的个法向量为， 则， 令 z1，则 x2，y4，所以， 又平面 A1B1C1的一个法向量为， 设 表示平面 MNB1与平面 A1B1C1所成锐二面角， 则 cos， 故平面 MNB1与平面 A1B1C1所成锐二面角的余弦值 第 21 页（共 26 页） 【点评】考查向量法判断线面平行，向量法求法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦 值等，中档题 19已知椭圆 E：（ab0）过点 A（2，1） ，且它的右焦点为 （1）求椭圆 E 的
40、方程； （2） 过 A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆 E 于点 B、 C （不同于点 A） ， 且， 求直线 AB 的方程 【分析】 （1）由题意列出关于 a，b 的方程组，解出 a，b 的值，即可求出椭圆方程； （2）设直线 AB：y1k（x2） ，将直线 AB 的方程代入椭圆方程解得：x2 或 ，从而求出 AB 的值，同理求出 AC 的值，因为|AB|2|AC|，所以 ，解出 k 的值，从而求出直线 AB 的方程 【解答】解： （1）由条件知：， 解得：， 所以椭圆 E 的方程为：； （2）设直线 AB：y1k（x2） ，将直线 AB 的方程代入椭圆方程：x2+4y280 得： x2+4
41、k（x2）+1280，即（x2）（x+2）+4k2（x2）+8k0， 解得：x2 或， 故， 同理：， 因为|AB|2|AC|，所以， 化简得：|2k+1|2|2k1|， 第 22 页（共 26 页） 解得：或， 所以直线 AB 的方程为：或 即 3x2y40 或 x6y+40 【点评】本题主要考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，是中档题 20农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一 次性额外订购买若干次维修服务，费用为每次 100 元，每次维修时公司维修人员均上门 服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费 50 元/次；若实际维修次数少于购买 的维修
42、次数，则未提供服务的订购费用退还 50%；如果维修次数超过了购买的次数，农 机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为 400 元，无须 支付餐饮费；位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务为此， 他拟范收集、整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如表： 维修次数 5 6 7 8 9 频率 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 （1）如果农机手在购买收割机时购买了 6 次维修，在使用期内实际维修的次数为 5 次， 这位农机手的花费总费用是多少？如果实际维修的次数是 8 次，农机手的花费总费用又 是多少？ （2）农机手购买了一台收制机，试在购买维
43、修次数为 6 次和 7 次的两个数据中，根据使 用期内维修时花费的总费用期望值，帮助农机手进行决策 【分析】 （1）由题意可得购买 6 次维修，而实际维修次数为 5 次和 8 次时的维修总费用 为：610050+550 和 6100+506+2400； （2）分别计算订购维修次数 6 次时的维修总费用概率分布、订购维修次数为 7 次时，维 修总费用的概率分布，再计算数学期望，可得结论 【解答】解： （1）购买 6 次维修，而实际维修次数为 5 次时的维修总费用为：6100 50+550800（元） ， 购买 6 次维修，而实际维修次数为 8 次时的维修总费用为：6100+506+2400170
44、0 （元） （2）购买 6 次维修时： 实际维修次数为 6 次时的维修总费用为：6100+650900（元） ； 实际维修次数为 7 次时的维修总费用为：900+4001300（元） ； 第 23 页（共 26 页） 实际维修次数为 9 次时的维修总费用为：1700+4002100（元） 综合（1）的计算，订购维修次数 6 次时的维修总费用概率分布表： 维修次数 5 6 7 8 9 维修总费用 1 800 900 1300 1700 2100 P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 E（1）8000.3+9000.3+13000.2+17000.1+21000.11150（元） ； 若订购
45、维修次数为 7 次时，维修总费用的概率分布表为： 维修次数 5 6 7 8 9 维修总费用 1 850 950 1050 1450 1850 P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 E（2）8500.3+9500.3+10500.2+14500.1+18500.11080（元） 因为 E（1）E（2） ，所以选订购 7 次维修较划算 【点评】本题考查概率统计在实际问题中的应用，考查随机变量的概率分布和期望的求 法，考查运算能力和推理能力，属于中档题 21如图，ABC 是边长为 3 的正三角形，D，E 分别在边 AB，AC 上，且 BDAE1，沿 DE 将ADE 翻折至ADE 位置，使二面角
46、 ADEC 为 60 （1）求证：AC平面ADE； （2）求四棱锥 ABDEC 的体积 【分析】 （1）推导出 DEAE，DEEC，翻折后，DEAE，DEEC，从而 DE平面 AEC，且AEC60，进而 DEAC，推导出 ACAE，由此能证明 AC 平面 ADE （2）由 DE平面 AEC，得平面 BDEC平面 AEC从而 AH平面 BDEC，由此能求 出四棱锥 ABDEC 的体积 第 24 页（共 26 页） 【解答】解： （1）证明：在ADE 中，AD2，AE1，DAE60， 所以 DE2AD2+AE22ADAEcosDAE22+12221cos603， 所以 DE2+AE24AD2，AED90，即 DEAE，DEEC， 翻折后，DEAE，DEEC，又 EAECE，EA，EC平面 AEC， 所以 DE平面 AEC，且AEC60， 又 AC平面 AEC，所以 DEAC，
