1、2019-2020 学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）如果 ab0，cR，那么（ ） Aab0 Bacbc Ca2b2 D 2 （5 分）在等差数列an中，已知 a11，a3+a58，则 a7（ ） A5 B6 C7 D8 3 （5 分）经过点（2，4）的抛物线的标准方程是（ ） Ay28x Bx2y Cy28
2、x 或 x2y D无法确定 4 （5 分）命题“x（0，+） ，lnxx1”的否定是（ ） Ax（0，+） ，ln xx1 Bx（0，+） ，ln xx1 Cx（0，+） ，lnxx1 Dx（0，+） ，lnxx1 5 （5 分）椭圆（ab0）的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1， F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A B C D 6 （5 分）在下列函数中，最小值是 2 的是（ ） A（xR 且 x0） B Cy3x+3 x（xR） D） 7 （5 分）已知空间向量 （1，3，x） ， （x2，1，2） ，则
3、“x1”是“ ”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）若 x0，y0，且 x+yS，xyP，则下列说法中正确的是（ ） A当且仅当 xy 时 S 有最小值 2 B当且仅当 xy 时 p 有最大值 C当且仅当 p 为定值时 S 有最小值 2 第 2 页（共 20 页） D若 S 为定值，当且仅当 xy 时 P 有最大值 9 （5 分） 周髀算经中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬
4、至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子 长为（ ） A12.5 尺 B10.5 尺 C15.5 尺 D9.5 尺 10 （5 分）已知离心率为的双曲线 C：（a0，b0）的右焦点为 F，O 为 坐标原点，以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O、A 两点若AOF 的 面积为 2，则实数 a 的值为（ ） A2 B C4 D8 11 （5 分）如图，在三棱锥 COAB 中，OAOB，OC平面 OAB，OA6，OBOC8， 点 D、E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 在线段 BC 上若 BFBC，则异面直线 EF 与 OD 所
5、成角的余弦值为（ ） A B C D 12（5 分） 已知 F 为椭圆 M：的右焦点， 点 A， B， C 为椭圆 M 上三点， 当 时，称ABC 为“和谐三角形” ，则“和谐三角形”有（ ） A0 个 B1 个 C3 个 D无数个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把分请把答案填写在答题卡相应位置答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）不等式1 的解集是 第 3 页（共 20 页） 14 （5 分）己知正数 a，b 满足 4a+bl，则 ab+的最小值为 15 （ 5分 ） 若 数
6、列 an 的 通 项 公 式 为， 数 列 bn 满 足bn log2an+（nN*） ，则数列bn的前 10 项和为 16 （5 分）点 P 为椭圆上一点，M、N 分别是圆（x+3）2+y24 和（x3）2+y2 1 上的动点，则 PM+PN 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知 p：x27x+100，q：x24mx+3m20，其中 m0 （1）求使得
7、p 为真命题的实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an是 Sn与 2 的等差中项数列bn中，b1 2，点 P（bn，bn+1）在直线 yx+2 上 （1）求 a1和 a2的值； （2）求数列an，bn的通项公式； （3）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）如图，两条公路垂直相交于 A 站，已知 AB100 千米，甲车从 A 站出发，沿 AC 方向以 50 千米/小时的速度行驶，同时乙车从 B 站出发，沿 BA 方向以 v 千米/小时的 速度行驶乙车行驶至
8、 A 站时停止前行并停留在 A 站，甲车仍继续行驶（两车的车长均 忽略不计） （1）求甲、乙两车的最近距离（用含 v 的式子表示） ； （2）若甲、乙两车开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为 t0小时，问 v 为何值时 t0最大？ 20 （12 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面 ABCD，ABAC，AB 第 4 页（共 20 页） 1，ACAA12，ADCD （1）求二面角 D1ACB1的正弦值； （2）点 N 是线段 D1D 的中点，点 E 为线段 A1B1上点，若直线 NE 与平面 ABCD 所成角 的正弦值为，求线段 A1E 的长 21 （12 分）已
9、知椭圆 C：（ab0）的离心率为，左右焦点分别为 F1， F2，焦距为 6 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于 M， N 点 试问直线 MN 是否过某定点？若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由 22 （12 分）己知数列an中，an0，Sn是数列an的前 n 项和，且 an+ （1）求 S2，S3，并求数列an的通项公式 an； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，若 2k0 对任意的正整数 n 都成立，求实数 k 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷学年
10、江苏省常州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）如果 ab0，cR，那么（ ） Aab0 Bacbc Ca2b2 D 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误 【解答】解：ab0，cR，那么 ab0，ac 与 bc 的大小关系不确定，a2b2， 只有 D 正确， 故选：D 【点评
11、】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2 （5 分）在等差数列an中，已知 a11，a3+a58，则 a7（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】本题根据等差中项的性质，有 a1+a7a3+a5通过计算可得正确选项 【解答】解：由题意，根据等差中项的性质，有 a1+a7a3+a5 a7a3+a5a1817 故选：C 【点评】本题主要考查等差数列的基础知识，考查了等差中项的性质，本题属基础题 3 （5 分）经过点（2，4）的抛物线的标准方程是（ ） Ay28x Bx2y Cy28x 或 x2y D无法确定 【分析】分别设焦点在 x 轴和在 y 轴上的抛物
12、线的方程，然后将点 P 的坐标代入即可求 出所求 【解答】解：设焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为 y2ax，将 P 点代入可得 a8， 故抛物线的标准方程为 y28x 设焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程为 x2by，将 P 点代入可得 b1 第 6 页（共 20 页） 故抛物线的标准方程为 x2y 故选：C 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程抛物线是高考的一个重要考点，要复习充分 4 （5 分）命题“x（0，+） ，lnxx1”的否定是（ ） Ax（0，+） ，ln xx1 Bx（0，+） ，ln xx1 Cx（0，+） ，lnxx1 Dx（0，+）
13、 ，lnxx1 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0（0，+） ，ln x0x0 1”的否定是：x（0，+） ，ln xx1 故选：A 【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题 5 （5 分）椭圆（ab0）的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1， F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意可得，|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等 比数列可得到 e2，从而得到答案 【解答
14、】解：设该椭圆的半焦距为 c，由题意可得，|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|a+c， |AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， （2c）2（ac） （a+c） ， ，即 e2， e，即此椭圆的离心率为 故选：B 【点评】 本题考查椭圆的简单性质， 考查等比数列的性质， 用 a， c 分别表示出|AF1|， |F1F2|， |F1B|是关键，属于基础题 6 （5 分）在下列函数中，最小值是 2 的是（ ） 第 7 页（共 20 页） A（xR 且 x0） B Cy3x+3 x（xR） D） 【分析】利用均值定理求函数最值需要满足三个条件即一“正” ，二“
15、定” ，三“等号” ， 选项 A 不满足条件一“正” ；选项 B、D 不满足条件三“等号” ，即等号成立的条件不具 备，而选项 C 三个条件都具备 【解答】解：当 x0 时，y0，排除 A， lgx在 1x10 无解，大于 2，但不能等于 2，排除 B sinx在 0x上无解，）大于 2，但不能等 于 2，排除 D 对于函数 y3x+3 x，令 3xt，则 t0，yt+ 22， （当且仅当 t1，即 x 0 时取等号） y3x+3 x 的最小值为 2 故选：C 【点评】本题考察了均值定理求函数最值的方法，解题时要牢记口诀一“正” ，二“定” ， 三“等号” ，并用此口诀检验解题的正误 7 （5
16、 分）已知空间向量 （1，3，x） ， （x2，1，2） ，则“x1”是“ ”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由“ ” ，可得 0，解得 x，即可判断出结论 【解答】解：由“ ” ，可得 x23+2x0，解得 x1 或3 “x1”是“ ”的充分不必要条件 故选：B 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 8 （5 分）若 x0，y0，且 x+yS，xyP，则下列说法中正确的是（ ） 第 8 页（共 20 页） A当且仅当 xy 时 S 有最小值 2 &
17、nbsp;B当且仅当 xy 时 p 有最大值 C当且仅当 p 为定值时 S 有最小值 2 D若 S 为定值，当且仅当 xy 时 P 有最大值 【分析】利用均值不等式及其变形进行解答 【解答】解：x，yR+，x+ys，xyp， sx+y22，当且仅当 xy 时取等号； 如果 p 是定值，那么当且仅当 xy 时 s 的值最小，故 A、C 错误； 由得，p，当且仅当 xy 时取等号； 如果 s 是定值，那么当且仅当 xy 时 p 的值最大，故 D 正确，B 错误 故选：D 【点评】应用基本不等式时，要熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形 9 （5 分） 周髀算经中有一个
18、问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬 至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子 长为（ ） A12.5 尺 B10.5 尺 C15.5 尺 D9.5 尺 【分析】设此等差数列an的公差为 d，由已知可得 a1+a4+a73a1+9d37.5，a1+11d 4.5，联立解得：d，a1 【解答】解：设此等差数列an的公差为 d， 则 a1+a4+a73a1+9d37.5，a1+11d4.5， 解得：d1，a115.5 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的通
19、项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 10 （5 分）已知离心率为的双曲线 C：（a0，b0）的右焦点为 F，O 为 坐标原点，以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O、A 两点若AOF 的 面积为 2，则实数 a 的值为（ ） 第 9 页（共 20 页） A2 B C4 D8 【分析】利用直径所对的圆周角为直角，利用三角形的面积，结合离心率即可得到方程 组求出 a 即可 【解答】解：双曲线 C：（a0，b0）的右焦点为 F，O 为坐标原点， 以 OF 为直径圆与双曲线 C 的一条渐近线 bxay0 相交于 O，A 两点， 所以 FAOA，则|FA|b，|OA
20、|a， AOF 的面积为 2， 可得ab2， 双曲线的离心率 e，可得2，得 ba，a2 故选：A 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查计算能力，属 于中档题 11 （5 分）如图，在三棱锥 COAB 中，OAOB，OC平面 OAB，OA6，OBOC8， 点 D、E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 在线段 BC 上若 BFBC，则异面直线 EF 与 OD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出异面直线 EF 与 OD 所成角的余弦值 【解答】解：
21、在三棱锥 COAB 中，OAOB，OC平面 OAB，OA6， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 第 10 页（共 20 页） A（6，0，0） ，B（0，8，0） ，C（0，0，8） ，E（3，4，0） ，F（0，2，6） ， O（0，0，0） ，D（3，0，4） ， （3，2，6） ，（3，0，4） ， 设异面直线 EF 与 OD 所成角为 ， 则 cos 异面直线 EF 与 OD 所成角的余弦值为 故选：B 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结
22、合思想，是中档题 12（5 分） 已知 F 为椭圆 M：的右焦点， 点 A， B， C 为椭圆 M 上三点， 当 时，称ABC 为“和谐三角形” ，则“和谐三角形”有（ ） A0 个 B1 个 C3 个 D无数个 【分析】由已知椭圆的方程求得椭圆右焦点，再由 ，得 F 为三角形 ABC 的重心，结合构造以 F 为重心的三角形可以构造无数个得答案 【解答】解：如图，椭圆 M：的右焦点 F（1，0） ， A、B、C 为椭圆 M 上三点，当 时，F 为ABC 的重心， 用如下办法构造ABC，设 A 为椭圆上任意一点，连接 AF 并延长至 D，使 FDAF， 当 D 在椭圆内部时，存在以 D 为中点的
23、弦 BC，则这样的三角形有无数个 故选：D 第 11 页（共 20 页） 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查三角形重心的应用，是中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）不等式1 的解集是 x|2x 【分析】把不等式右边的“1”移项到不等式左边，通分后根据分母不变只把分子相减计 算后，在不等式两边同时除以1，不等号方向改变，然后根据两数相除，异号得负，根 据商为负数得到 x+2 与 3x+1 异号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解
24、集， 求出两解集的并集即可得到原不等式的解集 【解答】解：不等式， 移项得：0， 即0， 可化为：或， 解得：2x或无解， 则原不等式的解集是x|2x 故答案为：x|2x 【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中 常考的基础题学生做题时注意在不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的 方向要改变 14 （5 分）己知正数 a，b 满足 4a+bl，则 ab+的最小值为 第 12 页（共 20 页） 【分析】正数 a，b 满足 4a+bl，利用基本不等式的性质可得：0ab令 abx， 0x，利用 ab+x+在（0，上单调递减，即可得出最小值 【解答】解：正
25、数 a，b 满足 4a+bl，12，解得 0ab，当且仅当 4a b时取等号 令 abx，0x， 则 ab+x+在（0，上单调递减， x+的最小值为：+16 即 ab+的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查了基本不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 15 （ 5分 ） 若 数 列 an 的 通 项 公 式 为， 数 列 bn 满 足bn log2an+（nN*） ，则数列bn的前 10 项和为 【分析】结合已知及对数的运算性质可求得，bnn1+，然后利用分组求和， 结合等差数列的求和公式及裂项求和即可求解 【解答】解：由题意可得，bnlog2an+n1+n1+
26、（） ， 则数列bn的前 10 项和 S（0+1+9）+（1+） ， 45+1 故答案为： 【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及裂项求和及分组求和方法的简单应用 16 （5 分）点 P 为椭圆上一点，M、N 分别是圆（x+3）2+y24 和（x3）2+y2 第 13 页（共 20 页） 1 上的动点，则 PM+PN 的取值范围是 7，13 【分析】由题设知椭圆 的左右焦点分别是两圆（x+3）2+y24 和（x3）2+y2 1 的圆心，由此能求出|PM|+|PN|的最小值、最大值 【解答】解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y24 和（x3）2+y2 1 的圆心， 所以（|PM|
27、+|PN|）max25+313， （|PM|+|PN|）min2537， 则|PM|+|PN|的取值范围是7，13 故答案为：7，13 【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的 合理运用 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知 p：x27x+100，q：x24mx+3m20，其中 m0 （1）求使得 p 为真命题的实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充
28、分不必要条件，求实数 m 的取值范围 【分析】化简 p：x27x+100，解得：2x5q：x24mx+3m20，其中 m0解 得：mx3m （1）由 p 为真命题，即可得出实数 x 的取值范围 （2）p 是 q 的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立即可解出实数 m 的 取值范围 【解答】解：p：x27x+100，解得：2x5q：x24mx+3m20，其中 m0解 得：mx3m （1）p 为真命题的实数 x 的取值范围是（2，5） （2）p 是 q 的充分不必要条件，则且等号不能同时成立 解得：m2 第 14 页（共 20 页） 实数 m 的取值范围是x|m2 【点评】本题考查了不等式的解法
29、、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an是 Sn与 2 的等差中项数列bn中，b1 2，点 P（bn，bn+1）在直线 yx+2 上 （1）求 a1和 a2的值； （2）求数列an，bn的通项公式； （3）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）由于 an是 Sn与 2 的等差中项，可得 2anSn+2，分别令 n1，2 即可得出 a1，a2； （2）设等比数列an的公比为 q，则2，利用通项公式即可得 出；由于点 P（bn，bn+1）在直线 yx+2 上，可得 bn+1bn+2，即
30、bn+1bn2，利用等 差数列的通项公式就看得出 （3），利用“错位相减法”即可得出 【解答】解： （1）an是 Sn与 2 的等差中项，2anSn+2， 当 n1 时，2a1a1+2，解得 a12； 当 n2 时，2a2a1+a2+2，a22+24 （2）设等比数列an的公比为 q，则2， 22n 12n 点 P（bn，bn+1）在直线 yx+2 上， bn+1bn+2，即 bn+1bn2； bn2+（n1）22n （3）， Tn122+223+n2n+1， 2Tn123+224+（n1） 2n+1+n2n+2， Tn22+23+2n+1n2n+2n2n+22n+24n2n+2（1n） 2n
31、+2 第 15 页（共 20 页） 4， 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和公式、 “错位相减法”等 基础知识与基本技能方法，属于难题 19 （12 分）如图，两条公路垂直相交于 A 站，已知 AB100 千米，甲车从 A 站出发，沿 AC 方向以 50 千米/小时的速度行驶，同时乙车从 B 站出发，沿 BA 方向以 v 千米/小时的 速度行驶乙车行驶至 A 站时停止前行并停留在 A 站，甲车仍继续行驶（两车的车长均 忽略不计） （1）求甲、乙两车的最近距离（用含 v 的式子表示） ； （2）若甲、乙两车开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为 t0小时，问 v 为何
32、值时 t0最大？ 【分析】 （1）设经过 t 小时后，两车的距离为 d，写出当时，d2（100vt） 2+（50t）2（v2+2500）t2200vt+10000，利用二次函数求最值，再由基本不等式求甲 乙两车的最近距离； （2）由（1）可得，当两车相距最近时，t0，利用基本不等式求最大值 【解答】解： （1）设经过 t 小时后，两车的距离为 d， 当时，d2（100vt）2+（50t）2（v2+2500）t2200vt+10000 对称轴 t， 当 t时， 当 t时，d50t50 综上所述，t时， 第 16 页（共 20 页） 答：甲乙两车的最近距离是千米； （2）由（1）可得，当两车相距最
33、近时， 当且仅当 v50 时取等号， 当 v50 时，t0取到最大值 1 答：当车速 v50 千米/小时时，甲、乙两车相距最近所用时间为 t0最大，且最大值为 1 小时 【点评】本题考查函数模型的性质及其应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题 20 （12 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面 ABCD，ABAC，AB 1，ACAA12，ADCD （1）求二面角 D1ACB1的正弦值； （2）点 N 是线段 D1D 的中点，点 E 为线段 A1B1上点，若直线 NE 与平面 ABCD 所成角 的正弦值为，求线段 A1E 的长 【分析】 （
34、1）以 A 为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直 角坐标系，利用向量法能求出二面角 D1ACB1的正弦值 （2）求出平面 ABCD 的法向量 （0，0，1） ，由直线 NE 与平面 ABCD 所成角的正弦 值为，利用向量法能求出线段 A1E 的长 【解答】解： （1）如图，以 A 为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为 x，y，z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，C（2，0，0） ，D（1，2，0） ，A1（0，0，2） ， B1（0，1，2） ，C1（2，0，2） ，D1（1，2，2） ，N（1，2，1） ，
35、（1，2，2） ，（2，0，0） ，（0，1，2） ， 第 17 页（共 20 页） 设平面 ACD1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （0，1，1） ， 设平面 ACB1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （0，2，1） ， cos， 设二面角 D1ACB1的平面角为 ， 则二面角 D1ACB1的正弦值为 sin （2）由题意可设，其中 0，1， E（0，2） ，（1，+2，1） ， 平面 ABCD 的法向量 （0，0，1） ， cos， 直线 NE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为， 设直线 NE 与平面 ABCD 所成角为 ， sin|cos|， 整理，得0，
36、解得或（舍） 线段 A1E 的长为 第 18 页（共 20 页） 【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，左右焦点分别为 F1， F2，焦距为 6 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于 M， N 点 试问直线 MN 是否过某定点？若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由 【分析】 （1）由条件 c3，由离心率得到 a 的值，可得到 b，从而可得椭圆方程 （2）设出直线 AM 的方
37、程与椭圆联立，得到 M 的坐标，同理得到 N 的坐标，写出直线 MN 的方程，得到直线 MN 过原点 【解答】解： （1）由题意得：，解得 a2； 则 b2a2c23； 椭圆 C 的方程：； （2）设左顶点，根据条件直线 AM，AN 的斜率均不为 0； 设 直 线AM的 方 程 为 ：， 代 入 椭 圆 方 程 ， 得 ： ； 设 M（x1，y1） ，则， 第 19 页（共 20 页） 即， 即， 设直线 AN 的斜率为 k，则，即， 把点 M 坐标中的 k 替换为 k，得：， 当 M，N 的横坐标不相等，即 k时， 直线 MN 的方程为：即，该直线恒 过定点（0，0） ， 当时，M，N 的横
38、坐标为 0，直线 MN 过原点； 故直线 MN 恒过定点（0，0） 【点评】本题考查椭圆方程，直线方程，直线过定点问题，方程联立求点的坐标再解决 问题，这也是一种常见的方法，属于难题 22 （12 分）己知数列an中，an0，Sn是数列an的前 n 项和，且 an+ （1）求 S2，S3，并求数列an的通项公式 an； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，若 2k0 对任意的正整数 n 都成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）分别令 n1，2，3，计算可得所求 S2，S3，由数列的递推式，结合等差数 列的定义、通项公式，计算可得所求通项公式； （2）求得 bn（） ，运用数
39、列的裂项相消 求和，可得 Tn，判断单调性，可得最小值，即可得到所求范围 【解答】解： （1）数列an中，an0，Sn是数列an的前 n 项和，且 an+， 可得 2S12a1a1+，解得 a1；由 2（+a2）a2+，解得 a22，可 得 S22； 第 20 页（共 20 页） 由 2（2+a3）a3+，解得 a32，即有 S3， 由 n2 时，anSnSn1，可得 SnSn1+2Sn， 化为（SnSn1） （Sn+Sn1）2，即 Sn2Sn122， 则 Sn22+2（n1）2n，由 an0，可得 Sn， 由 an+2，可得 an（） ； （2）bn（） ， 可得 Tn（1+） （+1） ， 由Tn+1Tn（） 0， 可得Tn在nN*递增， Tn的最小值为T1， 2k0 对任意的正整数 n 都成立，可得 k2T11， 则实数 k 的取值范围为（，1 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及数列不等式恒 成立问题解法，考查化简运算能力，属于中档题
